平行线的证明与练习
北师大版数学八年级上《平行线的证明 》习题含答案
八年级上册第7章《平行线的证明》专题演练1．（1）如图1，AC平分∠DAB，AB∥CD，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝25°，∠CDE＝80°，求∠ABE的度数；（3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，如图3，则∠MGN＝．2．如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求证：GH∥MN；（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；（3）如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数．3．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠CFE（1）求证：∠BAF＝∠CAD；（2）求证：AD∥BE；（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系．（不需证明）4．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°，∵∠1＝∠D，∴AF∥，∴∠4＝＝90°（），又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，∴∠C＝，∴AB∥CD．5．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM＝∠ABN，∠CDM ＝∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．6．已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．（1）如图1，求证：DE∥BC．（2）如图2，当∠A＝∠EFG＝90°时，请直接写出与∠C互余的角．7．如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB＝112°，∠PNC＝34°．（1）求证：AB∥CD；（2）若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN＝1：3，求∠PQD的度数．8．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C．（1）求证AB∥CD；（2）若∠A＝30°，求∠D的度数．9．完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（）∴DF∥AE（）∴∠EGF+∠AEG＝180°（）10．如图，若∠ADE＝∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠3，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）过F作作FQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥FQ，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝CDE＝＝40°，∵CD∥FQ，∴∠DFQ＝∠CDF＝40°，∵∠DFB＝25°，∴∠BFQ＝15°，∵AB∥FQ，∴∠ABF＝∠QFB＝15°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；（3）过P作PK∥AB，则PK∥DG，∴∠BPK＝∠ABP＝30°，∵PQ平分∠BPG，∴∠GPQ＝∠BPQ，设∠GPQ＝∠BPQ＝x，∴∠GPK＝2x+30°，∵DG∥PK，∴∠DGP＝∠GPK＝30°+2x，∵GM平分∠DGP，∴∠DGM＝∠PGM＝DGP＝15°+x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∴∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝15°，故答案为：15°．2．解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，∵∠ACD＝∠D，∴AP∥BD，∴∠NBD＝∠NPA，∵∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC＝∠NPA，∴GH∥MN；（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，∵AC∥BD，∴∠AQD＝∠BDQ，∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；（3）设射线BF交GH于I，∵GH∥MN，∴∠AIB＝∠FBM，∵BF平分∠MBD，∴∠DBF＝∠FBM＝，∴∠AIB＝∠DBF，∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，解得∠GAC＝．故答案为．3．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD；（2）∵∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，∴∠B＝∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∴∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BE；（3）如图2，∵AD∥BE，∴∠E＝∠1＝∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，∴∠AFB＝3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2＝180°，即2∠AFB+∠CAF＝180°．故答案为：2∠AFB+∠CAF＝180°．4．证明：如图所示：∵AF⊥CE（已知），∴∠CGF＝90°，∵∠1＝∠D（已知），∴AF∥ED，∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，∴∠C＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：已知，已知，ED，两直线平行，同位角相等；∠3，内错角相等，两直线平行．5．解：（1）①如图1，过E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，②如图2，过点B作GB∥CD，∴∠BFD＝∠GBF，由（1）知∠GBE+∠E+∠D＝360°，∴∠B+∠E+∠D+∠BFD＝360°；（2）如图3，过M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥CD，∵∠ABM＝∠ABN，∠CDM＝∠CDN，∴设∠MBN＝x，∠MDN＝y，则∠MDC＝2y，∠ABM＝2x，∠EBN＝3x，∠EDN＝3y，∴∠BMF＝2x，∠DMF＝2y，∠ABE＝6x，∠CDE＝6y，∴∠BMD＝2（x+y），过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣6x，∠DEG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣6y，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝360°﹣（6x+6y）＝360°﹣3∠BMD，∴3∠BMD+∠BED＝360°．6．（1）证明：∵∠EFD+∠EFG＝180°，∠BDG+∠EFG＝180°，∴∠BDG＝∠EFD，∴BD∥EF，∴∠BDE+∠DEF＝180°，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE+∠B＝180°，∴DE∥BC；（2）解：∵∠A＝∠EFG＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠B+∠C＝90°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴与∠C互余的角有∠B，∠ADE，∠DEF．7．（1）证明：∵∠EMB＝112°，∴∠PMN＝112°，∵NP平分∠EN，∴∠CNE＝2∠CNP，∵∠CNP＝34°，∴∠CNE＝68°，∴∠PMN+∠CNE＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠APN＝∠PMN+∠PNM＝112°+34°＝146°，∵∠APQ：∠QPN＝1：3，∴∠APQ＝36.5°，∵AB∥CD，∴∠PQD＝∠APQ，∴∠PQD＝36.5°．8．解：（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠FMN，∴∠2＝∠FMN，∴CF∥BE，∴∠C＝∠BED．又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠BED，∴AB∥CD．（2）∵AB∥CD，∴∠A＝∠D．又∵∠A＝30°，∴∠D＝30°．9．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（等量代换）∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．10．解：∠1与∠2相等．理由如下：∵∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴∠1＝∠EBC，∵BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，∴BE∥MN，∴∠EBC＝∠2，∴∠1＝∠2．。
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。
(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。
（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。
（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。
(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。
（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。
第七章 平行线的证明课堂精练及参考答案北师大版数学八年级上册
数学八年级上册北师大版课堂精练及参考答案第七章平行线的证明7.1为什么要证明一、选择题1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是()A.只需观察得出B.只需依靠经验获得C.通过亲自试验得出D.必须进行有根有据的证明2.能说明x<5,但x2<25不一定成立的x值是()A.3B.0C.-3D.-63.某届世界杯的小组比赛规则如下:四个球队进行单循环比赛(每两队都要比赛一场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,某小组比赛结束后,甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名,各队的总得分恰好是四个连续奇数,则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁二、填空题4.语句“线段AB=7,在直线AB上取一点C,使BC=3,则线段AC的长为4”是的(填“正确”或“错误”),理由是.5.当n=1,2,3,4时,n2+n+17的值都是质数,请写出两个小于40的n的值,使得n2+n+17不是质数,则n=或.三、解答题6.先观察再验证:(1)图①中的实线是直的还是弯曲的?(2)图②中两条线段a 与b 哪一条更长? (3)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗?7.在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n 2-6n 的值都是负数,于是小明猜想:当n 为任意正整数时,n 2-6n 的值都是负数.小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由.8、观察下列各个等式的规律:第一个等式:22-12-12=1,第二个等式:32-22-12=2,第三个等式:42-32-12=3,…请用上述等式反映出的规律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n 个等式(用含n 的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.7.2.1定义与命题一、选择题1.下列语句中,是定义的是()A.两点确定一条直线B.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线C.三角形的角平分线是一条线段D.同角的余角相等2.下列语句是命题的是()(1)两点之间,线段最短;(2)如果x2>0,那么x>0吗?(3)如果两个角的和是90度,那么这两个角互余;(4)过直线外一点作已知直线的垂线.A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)3.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是()A.∠1=∠2=45°B.∠1=∠2=50°C.∠1=50°,∠2=40°D.∠1=∠2=40°4.下列命题中是真命题的有()①如果a=b,b=c,那么a=c;②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;③如果a·b=0,那么a=b=0;④如果a=b,那么a3=b3.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题5.一个角的补角大于这个角,这个命题的条件是,结论是.6.有下列四个命题:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等.其中是假命题的是.(填序号)7.用一组a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是假命题,这组值可以是a=,b=,c=.三、解答题8.下列各语句中,哪些是命题,哪些不是命题?是命题的,请先将它改写为“如果……那么……”的形式,再指出命题的条件和结论.(1)同号两数的和一定不是负数;(2)若x=2,则1-5x=0;(3)延长线段AB至点C,使B是AC的中点;(4)互为倒数的两个数的积为1.9.指出下列命题的条件和结论,如果是假命题,举出一个反例.(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;(2)内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.10、已知p=n2+n+17(n是自然数).(1)填表:(2)探究:小欣归纳总结出一个命题:当n为任意自然数时,相应p的值都是质数.你认为这个命题是(填“真命题”或“假命题”).如果是真命题,请说明理由;如果是假命题,请举出一个反例.7.2.2定理与证明一、选择题1.下列命题不是基本事实的是()A.两点确定一条直线B.两直线平行,同位角相等C.三边分别相等的两个三角形全等D.同位角相等,两直线平行2.下列说法错误的是()A.定理是命题,而且是真命题B.证明是一种推理过程C.公理也需要推理证明D.证明一个命题是假命题可以举出一个反例3.有下列命题:①垂线段最短;②能被2整除的数也能被4整除;③等式两边除以同一个数,结果仍是等式.其中可以作为定理的有()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题4.已知α是钝角,α与β互补,β与γ互余,则α与γ的关系式为.三、解答题5.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,∠FOB=∠DOE.求证:AO⊥OE.6.证明:角平分线上的点到角两边的距离相等.7、如图已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行,即AB∥DE,BC∥EF,且BC与DE相交于点G.(1)如图①,若∠B=40°,则∠E=°;(2)如图②,猜想∠B与∠E有怎样的数量关系,并说明理由;(3)如图③,猜想∠B与∠E有怎样的数量关系,并说明理由;(4)根据以上的情况,请你归纳概括出一个真命题.7.3平行线的判定一、选择题1.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中,不能判定a∥b的是()A.∠2=∠4B.∠1+∠4=180°C.∠5=∠4D.∠1=∠32.如图是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是()A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行C.两直线平行,同位角相等D.两直线平行,内错角相等3.如图所示,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路走向为北偏东45°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通,则乙地所修公路的走向为()A.南偏东45°B.北偏东45°C.南偏西45°D.北偏西45°二、填空题4.如图,有下列条件:①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5.其中一定能判定AB∥CD的有.(填序号)5.如果两条直线被第三条直线所截,一组同旁内角的度数比为3∶2,差为36°,那么这两条直线的位置关系是,这是因为.三、解答题6.如图,EF分别交AB,CD于点G,H,GM,HN分别平分∠BGE和∠DHF,且∠1+∠2=90°.求证:AB∥CD.7.如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.求证:AD∥BC.8、学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)~(4)).从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗?请把你的想法写出来.7.4平行线的性质一、选择题1.[2020·随州]如图,直线l1∥l2,直线l与l1,l2分别相交于A,B两点,若∠1=60°,则∠2的度数是()A.60°B.100°C.120°D.140°2.如图,放缩尺的各组对边互相平行,则图中α,β,γ之间的数量关系是()A.α=β=γB.α=β≠γC.α≠β=γD.α≠β≠γ3.如图,直线AB,CD被直线EF,GH所截,有下列结论:①若∠1=∠2,则AB∥CD;②若∠1=∠2,则EF∥GH;③若∠1=∠3,则AB∥CD;④若∠1=∠3,则EF∥GH.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4.某人在练车场上练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是.①第一次向左拐40°,第二次向右拐40°;②第一次向左拐50°,第二次向右拐130°;③第一次向左拐70°,第二次向右拐110°;④第一次向左拐70°,第二次向左拐110°.5.如图,直线a∥b,直线c与a,b分别相交于点D,E,射线DF⊥直线c,则图中与∠1互余的角有个.三、解答题6.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.7.如图,∠ADC=∠ABC,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,且∠1=∠2.求证:(1)AB∥CD;(2)∠A=∠C.8、如图直线AB∥CD,E为直线AB,CD之间的一点.(1)如图①,若∠B=15°,∠BED=90°,则∠D=°;(2)如图②,若∠B=α,∠D=β,则∠BED=;(3)如图③,若∠B=α,∠C=β,则α,β与∠BEC之间有什么等量关系?请猜想并证明.7.5.1三角形内角和定理的证明一、选择题1.在△ABC中,若∠A+∠B-∠C=0°,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图,三条直线两两相交于点A,B,C,CA⊥CB,∠1=30°,则∠2的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°3.如ABCDE是封闭折线,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于()A.180°B.270°C.360°D.540°4.如图,AE∥BD,△ABC为等边三角形,若∠CBD=15°,则∠EAC的度数是()A.60°B.45°C.55°D.75°5.如图,在△ABC中,∠ABC=100°,且∠AEF=∠AFE,∠CFD=∠CDF,则∠EFD的度数为()A.80°B.60°C.40°D.20°6.如图在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的度数为()A.44°B.40°C.39°D.38°7.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则∠ADB'的度数为()A.40°B.35°C.30°D.25°二、填空题8.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=°.9.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为.10.“生活中处处有数学”.如图,折叠一张三角形纸片ABC,把三角形的三个角拼在一起,我们就可以得到一个著名的常用几何结论,这一结论是.11.[2019·吉林]如图E为△ABC的边CA的延长线上一点,过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B=°.12.一副三角尺按图所示方式叠放,三角尺的斜边AB,CE相交于点D,则∠BDC=°.13.定义:当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为48°,那么这个“特征角”α的度数为.三、解答题14.在△ABC中,∠A是∠B的2倍,∠C比∠A与∠B的和大12°,求∠C的度数.15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,CD,BE分别是△ABC的高和角平分线,求∠BCD,∠CEB的度数.16.如图,已知AB∥CD,EF与AB,CD分别相交于点E,F,∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P.求证:EP⊥FP.17.如图,在△ABC中,∠B>∠C,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC交BC于点E.(1)若∠B=60°,∠C=30°,求∠DAE的度数;(2)若∠B=3∠C,试说明:∠DAE=∠C.18、如图①,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.(1)填写下面的表格;(2)试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图②,△ABC的高BE,CD交于点O,试说明图中∠A与∠BOD的关系.7.5.2三角形的外角一、选择题1.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,则下列结论一定成立的是()A.∠1=∠A+∠BB.∠1=∠2+∠AC.∠1=∠2+∠BD.∠2=∠A+∠B2.三角形的一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不确定3.如图,将一个等边三角形沿虚线剪去一个角后,∠1+∠2等于()A.120°B.240°C.300°D.不确定4.如图,∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠3>∠2B.∠1>∠2>∠3C.∠3>∠2>∠1D.∠2>∠1>∠35.如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF.有以下结论:①AD∥BC;②∠BDC=1∠BAC;③∠ADC=90°-∠ABD;④DB平分∠ADC.其中正确的2结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.如图,∠1,∠2,∠3的大小关系是.(用“>”连接)7.如图所示,已知AB∥CD,∠EBA=45°,那么∠E+∠D的度数为.8.如图所示,则α=°.9.如图,直线a,b,c,d互不平行,以下结论正确的是.(只填序号)①∠1+∠2=∠5;②∠1+∠3=∠4;③∠1+∠2+∠3=∠6;④∠3+∠4=∠2+∠5.10.如图,∠AOB=40°,OC平分∠AOB,点D,E分别在射线OA,OC上,P是射线OB上的一个动点,连接DP交射线OC于点F,设∠ODP=x°.若DE⊥OA,则当x=时,∠EFD=4∠EDF.三、解答题11.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.12.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别等于30°和20°,李叔叔只量得∠BDC=142°,就判定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?13.如图,已知在△ABC中,点D在边AC上,点E在BC的延长线上.求证:∠ADB>∠CDE.14.已知:如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动(不与点O重合),AC平分∠MAB,AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D.(1)当∠ABO=70°时,∠D的度数是多少?(2)随着点A,B的移动,则∠D的大小是否改变?请说出你的理由.15、如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处.(1)如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①),∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由;(2)如果点A'落在四边形BCDE的BE边上,这时图①中的∠1变为0°角,那么∠A与∠2之间的数量关系是;(3)如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②),这时∠A与∠1,∠2之间又存在怎样的数量关系?并说明理由.第七章 平行线的证明7.1为什么要证明[课堂达标]1.D2.D3.B4.错误 当点C 在线段AB 的延长线上时,AC 的长为10,漏掉一种情况5.17 346.解:观察可能得出的结论:(1)中的实线是弯曲的;(2)a 更长一些;(3)AB 与CD 不平行.用科学的方法验证可发现:(1)中的实线是直的;(2)a 与b 一样长;(3)AB 与CD 平行.7.解:不正确.理由:因为当n=7时,n 2-6n=7>0,所以当n 为任意正整数时,n 2-6n 的值不一定是负数.[素养提升]解:(1)由题目中式子的变化规律可得第四个等式是52-42-12=4.(2)第n 个等式是(n+1)2-n 2-12=n.证明:因为(n+1)2-n 2-12=[(n+1)+n ][(n+1)-n ]-12=2n+1-12=2nn=n,所以猜想的等式正确.7.2.1定义与命题[课堂达标]1.B2.C3.A4.B5.一个角是已知角的补角这个角大于已知角6.②7.12-1(答案不唯一)[解析] 当a=1,b=2,c=-1时,1<2,而1×(-1)>2×(-1),所以命题“若a<b,则ac<bc”是错误的.故答案为1,2,-1(答案不唯一).8.解:(1)“同号两数的和一定不是负数”是命题.改写:如果两个数同号,那么这两个数的和一定不是负数.条件:两个数同号,结论:这两个数的和一定不是负数.(2)“若x=2,则1-5x=0”是命题.改写:如果x=2,那么1-5x=0.条件:x=2,结论:1-5x=0.(3)“延长线段AB至点C,使B是AC的中点”不是命题.(4)“互为倒数的两个数的积为1”是命题.改写:如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1.条件:两个数互为倒数,结论:这两个数的积为1.9.解:(1)条件:两个角的和等于平角,结论:这两个角互为补角.(2)条件:两个角是内错角,结论:这两个角相等;是假命题,如图,∠1与∠2是内错角,∠2>∠1.(3)条件:两条平行线被第三条直线所截,结论:内错角相等.[素养提升][解析](1)当n=3时,p=n2+n+17=9+3+17=29;当n=4时,p=n2+n+17=16+4+17=37;当n=5时,p=n2+n+17=25+5+17=47;当n=6时,p=n2+n+17=36+6+17=59.解:(1)表中从左往右依次填29,37,47,59.(2)假命题反例:如当n=17时,p=172+17+17=17×19,p为合数.7.2.2定理与证明[课堂达标]1.B2.C3.B4.α-γ=90°5.证明:∵OF⊥CD(已知),∴∠DOF=90°(垂直的定义),∴∠FOB+∠BOD=90°.∵∠FOB=∠DOE(已知),∴∠DOE+∠BOD=90°(等量代换),即∠BOE=90°,∴AO⊥OE(垂直的定义).6.解:已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.证明:∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∵∠PDO=∠PEO,∠DOP=∠EOP,OP=OP,∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.[素养提升][解析](1)∵AB∥DE,∴∠B=∠DGC.∵BC∥EF,∴∠DGC=∠E.∴∠B=∠E=40°.解:(1)40(2)∠B=∠E.理由:∵AB∥DE,∴∠B+∠BGE=180°.∵BC∥EF,∴∠BGE+∠E=180°.∴∠B=∠E.(3)∠B+∠E=180°.理由:∵BC∥EF,∴∠E=∠BGD.∵AB∥DE,∴∠B+∠BGD=180°.∴∠B+∠E=180°.(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.7.3平行线的判定[课堂达标]1.D2.A3.C4.①③④5.平行同旁内角互补,两直线平行6.证明:∵GM,HN分别平分∠BGE和∠DHF,∴∠BGE=2∠1,∠DHF=2∠2.又∵∠1+∠2=90°,∴∠BGE+∠DHF=180°.∵∠BGE+∠BGF=180°,∴∠BGF=∠DHF,∴AB∥CD.7.证明:∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵AB∥CD,∠CFE=∠E.∴∠BAE=∠CFE=∠E.∴∠DAE=∠E.∴AD∥BC.[素养提升]解:答案不唯一,如:由图(a)可知,∵AB⊥PE,CD⊥PE,∴AB∥CD,即同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;由图(b)可知,∵AB⊥PE,CD⊥PE,∴∠1=∠2=90°,∴AB∥CD,即同位角相等,两直线平行.7.4平行线的性质[课堂达标]1.C2.A3.B4.④5.46.解:如图.∵直线AB∥CD,∴∠1=∠3=54°,∠2=∠5.∵BC 平分∠ABD ,∴∠3=∠4=54°.∴∠5=180°-54°-54°=72°.∴∠2=∠5=72°.7.证明:(1)∵BE ,DF 分别平分∠ABC ,∠ADC ,∴∠2=12∠ABC ,∠FDC=12∠ADC (角平分线的定义). ∵∠ABC=∠ADC ,∴∠2=∠FDC (等式的性质).又∵∠1=∠2,∴∠1=∠FDC (等量代换),∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行).(2)由(1)得AB ∥CD ,∴∠A+∠ADC=180°,∠C+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠ADC=∠ABC ,∴∠A=∠C.[素养提升][解析](1)过点E 向右作EF ∥AB.∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD.∵∠B=15°,∴∠BEF=15°.∵∠BED=90°,∴∠DEF=75°.∵EF∥CD,∴∠D=∠DEF=75°.(2)过点E向左作EF∥AB,∴∠B+∠BEF=180°.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠DEF+∠D=180°.又∵∠B=α,∠D=β,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-α+180-β=360°-α-β.解:(1)75(2)360°-α-β(3)猜想:∠BEC=180°-α+β.证明:如图,过点E作EF∥AB,则∠BEF=180°-∠B=180°-α.∵AB∥EF,AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠CEF=∠C=β.∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°-α+β.7.5.1三角形内角和定理的证明[课堂达标]1.A2.B3.A4.B5.C6.C[解析] ∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.∵CD平分∠ACB交AB于点×78°=39°.∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°.故选C.D,∴∠DCB=127.A[解析] ∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°-25°=65°.∵△CDB'是由△CDB折叠而成,∴∠CB'D=∠B=65°.∴∠AB'D=180°-∠CB'D=115°.∴∠ADB'=180°-∠A-∠AB'D=40°.故选A.8.1009.40°10.三角形的内角和是180°11.6012.75[解析] ∵∠CEA=60°,∠BAE=45°,∴∠ADE=180°-∠CEA-∠BAE=75°.∴∠BDC=∠ADE=75°.故答案为75.13.[答案] 48°或96°或88°[解析] 当“特征角”为48°时,即α=48°;当β=48°,则“特征角”α=2×48°=96°;当第三个角为48°α+48°=180°,解得α=88°.综上所述,这个“特征角”α的度数为48°或96°或88°.故答案为时,α+1248°或96°或88°.14.解:设∠B=x ,则∠A=2x ,∠C=3x+12°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2x+x+3x+12°=180°,解得x=28°.∴∠C=3×28°+12°=96°.15.解:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=40°,∴∠ABC=50°. ∵CD ⊥AB ,∴∠BDC=90°.∴∠BCD=40°.∵BE 平分∠ABC ,∴∠CBE=12∠ABC=25°.∴∠CEB=180°-90°-∠CBE=65°.16.证明:∵AB ∥CD ,∴∠BEF+∠EFD=180°.∵EP ,FP 分别是∠BEF ,∠EFD 的平分线,∴∠PEF=12∠BEF ,∠EFP=12∠EFD ,∴∠PEF+∠EFP=12(∠BEF+∠EFD )=90°,∴∠P=180°-(∠PEF+∠EFP )=180°-90°=90°,即EP ⊥FP .17.解:(1)由题意,得∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-60°-30°=90°. ∵AE 平分∠BAC ,∴∠BAE=1∠BAC=45°.2∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∴∠BAD=180°-90°-∠B=90°-60°=30°.∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.(2)设∠C=x,则∠B=3x,∴∠BAC=180°-4x.∵AE平分∠BAC,∠BAC=90°-2x.∴∠BAE=12∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∴∠BAD=90°-3x.则∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-2x)-(90°-3x)=x.∴∠DAE=∠C.[素养提升]解:(1)填表如下:(2)猜想:∠BOC=90°+1∠A.2证明:∵在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB. ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-12∠A. ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=180°-(90°-12∠A)=90°+12∠A.(3)∵△ABC 的高BE ,CD 交于点O ,∴∠BDC=∠BEA=90°.∴∠ABE+∠BOD=90°,∠ABE+∠A=90°.∴∠A=∠BOD.[点评] 此题考查了三角形的内角和定理与同角的余角相等,以及角平分线的定义.此题难度适中,解题的关键是整体思想与数形结合思想的应用.7.5.2三角形的外角[课堂达标]1.A2.B3.B [解析] 等边三角形的各个内角都是60°,根据三角形的外角的性质得∠1=60°+180°-∠2,则∠1+∠2=240°.故选B .4.B5.C6.∠3>∠2>∠17.45° 8.114 9.①②③10.68或104 [解析] 分两种情况:①如图(a),当DP 在DE 的左侧时,∵DE⊥OA,∴∠ODE=90°,∴∠EDF=90°-x°.由题易知∠AOC=20°,∴∠EFD=20°+x°.当∠EFD=4∠EDF时,20°+x°=4(90°-x°),解得x=68;②如图(b),当DP在DE的右侧时.∵∠EDF=x°-90°,∠EFD=180°-20°-x°=160°-x°,∴当∠EFD=4∠EDF时,160°-x°=4(x°-90°),解得x=104.综上所述,当x=68或104时,∠EFD=4∠EDF.故答案为68或104.11.解:设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.因为∠BAC=63°,所以∠2+∠4=117°,即x+2x=117°.所以x=39°.则∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.12.解:如图,连接AD并延长至点E,∴∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD.∵若零件合格,则∠BAC=90°,∠B=30°,∠C=20°,∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C=30°+90°+20°=140°.∵142°≠140°,∴这个零件不合格.13.证明:∵∠DCB是△DCE的一个外角(三角形外角的定义),∴∠DCB>∠CDE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠ADB是△BCD的一个外角(三角形外角的定义),∴∠ADB>∠DCB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),∴∠ADB>∠CDE.14.解:(1)∵∠MON=90°,∠ABO=70°,∴∠MAB=160°.∵AC平分∠MAB,∠MAB=80°.∴∠CAB=12∵BD平分∠ABO,∴∠ABD=1∠ABO=35°.2又∵∠CAB=∠ABD+∠D,∴∠D=∠CAB-∠ABD=80°-35°=45°.(2)∠D的大小不改变.理由如下:∵∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO ,AC 平分∠MAB ,∴∠CAB=12∠MAB=45°+12∠ABO.∵BD 平分∠ABO ,∴∠ABD=12∠ABO. 又∵∠CAB=∠ABD+∠D ,∴∠D=∠CAB -∠ABD=45°+12∠ABO -12∠ABO=45°,∴∠D 的大小不改变.[素养提升][解析] (2)由折叠的性质,得∠A=∠EA'D.由三角形外角的性质,得∠2=∠A+∠EA'D=2∠A ,即2∠A=∠2.解:(1)2∠A=∠1+∠2.理由:由折叠的性质,得∠AED=∠A'ED ,∠ADE=∠A'DE.∵∠AED+∠ADE=180°-∠A ,∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE ),∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A )=2∠A.(2)2∠A=∠2(3)2∠A=∠2-∠1.理由:如图,设A'D 与BE 交于点M ,由折叠的性质,得∠A=∠A'.∵∠DME=∠A'+∠1,∠2=∠A+∠DME ,∴∠2=∠A+∠A'+∠1,即2∠A=∠2-∠1.。
(913)平行线的判定专项练习60题(有答案)ok
平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．32．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．33．如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．34．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP．35．如图，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2．求证（1）DF∥AC；（2）DE∥AF．36．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1=∠2，试说明DE与AB的位置关系．37．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC．38．如图，AB与CD相交于点O，并且∠A=∠1，试问∠2与∠B满足什么关系时，AC∥BD？说明理由．39．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗？如果平行，请说明理由．40．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠4=180°，求证：AB∥CD．41．如图所示，已知：∠1=∠2，∠E=∠F．试说明AB∥CD．42．如图，已知EF⊥CD于F，∠GEF=25°，∠1=65°，则AB与CD平行吗？请说明理由．43．如图，已知∠1=∠2=90°，∠3=30°，∠4=60°，图中有几对平行线？说说你的理由．44．直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？45．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．46．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，∠2=∠E，试说明AD∥CE．47．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．48．如图所示，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，请你说出BE与CF的位置关系，并说出你的理由．49．如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．50．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗？为什么？51．如图，已知：HG平分∠AHM，MN平分∠DMH，且∠AHM=∠DMH．问：GH与MN有怎样的位置关系，请说明理由．（请注明每一步的理由）52．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．53．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG．求证：AB∥CD．54．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．55．如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠DCA，且DE⊥AC，BF⊥AC，问：（1）AD∥BC吗？（2）AB∥CD吗？为什么？56．如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗？AB与CD呢？若平行请说明理由，反之则不用说明理由．57．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．58．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．59．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE．60．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行？平行线的判定60题参考答案:1．∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC∥DE2．∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．3．∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC=90°（垂直定义）；∵BC⊥CD（已知），∴∠BCD=90°（垂直定义），∴∠ABC=∠DCB；∵∠1=∠2（已知），∴∠ABC﹣∠2=∠DCB﹣∠1，即∠FBC=∠ECB，∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）4．∵AB⊥BC，∴∠3+∠4=90°．∵∠2=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4，∴BE∥DF．5．AB平行于ON．证明：∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠NOA，∵∠BOA=∠BAO，∴∠BAO=∠NOA，∴AB∥ON6．∵∠1=∠2，∴DC∥AB，∴∠A+∠ADC=180°．又∵∠A=∠C，∴∠ADC+∠C=180°，∴AE∥BC．7．∵BC是∠ABE的平分线，∴∠ABC=∠CBE（角平分线定义），∵∠ABE=∠D+∠E=∠ABC+∠CBE，∠D=∠E，∴∠ABC=∠D，∴DE∥BC8．过点E作EF∥AB．∵EF∥AB，∴∠A=∠AEF；又∵∠AEC=∠A+∠C，∴∠AEC=∠AEF+∠C；而∠AEC=∠AEF+∠CEF，∴∠CEF=∠C，∴EF∥CD，∴AB∥CD．9．∵AC∥ED，∴∠1=∠4；∵∠1=∠2，∴∠2=∠4；又∵EB平分∠AED，∴∠3=∠4；∴∠2=∠3，∴AE∥BD10．∵∠1+∠BEF=180°，∠1=105°，∴∠BEF=75°，∵∠2=75°，∴∠BEF=∠2，∴AB∥CD．11．∵∠D=∠A，∴ED∥AB；∵∠B=∠BCF，∴AB∥CF；∴ED∥CF．12．∵AB⊥BC，CD⊥BC（已知），∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定义）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2（等量减等量，差相等），∴∠EBC=∠FCB，∴EB∥FC（内错角相等，两直线平行）13．∵BE是∠B的平分线，∴∠1=∠CBE，∵∠1=∠2，∴∠2=∠CBE，∴DE∥BC．14．AC与DF平行，理由如下：∵BD∥EC，∴∠DBC+∠C=180°，又∠C=∠D，∴∠DBC+∠D=180°，∴AC∥DF．15．∵AC⊥AE，BD⊥BF，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∵∠1=35°，∠2=35°，∴∠3=∠4，∴AE∥BF．16．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）；∵∠1=∠2，∴∠ABC﹣∠1=∠BCD﹣∠2，即∠EBC=∠BCF，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．17．∵∠BAD=DCB，∠1=∠3（已知），∴∠BAD﹣∠1=∠DCB﹣∠3（等式性质），即∠2=∠4，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）18．DF∥AB．理由：∵DE∥CA，∴∠1=∠CAD，∵AD是三角形ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAD，∴DF∥AB19．AB∥DF（2分）理由：∵∠C=∠DAE，（已知）∴AD∥BC，（内错角相等，两直线平行）（2分）∴∠D=∠DFC，（两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠D，（已知）∴∠B=∠DFC，（2分）∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）20．CF∥BD．理由如下：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=90°；∵∠1+∠C=90°，∴∠2=∠C．∴CF∥BD．21．AB∥CD．（1分）理由如下：∵∠1+∠MNC=180°，∠MNC=∠1，∴∠1=135°．（2分）又∵∠AMN=∠2=45°，（3分）∴∠1+∠AMN=180°．（4分）∴AB∥CD22．∵BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，∴∠1=∠ABD，∠2=∠CDE，又∵∠ABD=∠CDE，∴∠1=∠2，∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）．23．ED∥BF；证明如下：∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠ADC+∠ABC=2∠ADE+2∠ABF=180°，∴∠ADE+∠ABF=90°，又∵∠A=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴ED∥BF（同位角相等，两直线平行）．24．在△ECD中∵∠C+∠CED+∠CDE=180°（三角形内角和定理），又∵∠CAB=∠CED+∠CDE（已知），∴∠C+∠CAB=180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）25．∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2=∠DCG；又∵∠1=∠2，∴∠DCG=∠1，∴DE∥BC26．∵∠CAD=∠ACB，∴AD∥BC，∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°∵∠D=90°，∴∠EFC=∠D，∴AD∥EF，∴BC∥EF，∴∠AEB=∠B．27．∵∠E=∠F，∴AE∥FP，∴∠PAE=∠APF；又∵∠BAP+∠APD=180°，∴AB∥CD，∴∠BAP=∠APC，即∠2+∠PAE=∠1+∠APF；∴∠2=∠128．∵DC⊥EC，∴∠1+∠2=90°，又∠D=∠1，∠E=∠2，∴∠D+∠1+∠E+∠2=180°．根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=180°，∴AD∥BE29．∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°而∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA∴2∠A+2∠ABE+2∠ADF=360°即∠A+∠ABE+∠ADF=180°又∠A+∠ABE+∠AEB=180°∴∠AEB=∠ADF∴BE∥DF30．∠C=∠D．理由如下：∵∠A=∠F，∴DF∥AC，∴∠D=∠DBA．∵∠1=∠DGF，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠DGF，∴DB∥EC，∴∠DBA=∠C，∴∠C=∠D31．∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠CDA=180°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∵∠A=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠3，∴BE∥FD．32．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b．33．CF∥OD．理由：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴DE∥BO，∴∠3=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴CF∥OD34．∵∠DOB是△COD的外角，∴∠C+∠CDO=∠DOB，又∵∠DOB=∠1+∠2，而∠1=∠2，∠C=∠CDO，∴∠2=∠C，∴CD∥OP35．（1）∵DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，∴∠BDF=2∠1，∠BAC=2∠2，又∵∠1=∠2，∴∠BDF=∠BAC，∴DF∥AC；（2）∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAF，∴DE∥AF．36．DE∥AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵EF平分∠DEC，∴∠DEC=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DEC，∴DE∥AB．37．∵∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD，又DE是∠BDC的平分线，∠ACD=∠A，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．38．∠2与∠B相等时，AC∥BD．理由如下：∵∠A=∠1，∠1=∠2，∴∠A=∠2，∵∠2=∠B，∴∠A=∠B，∴AC∥BD．39．MN与EF平行．理由如下：∵∠1=∠A，∴MN∥AB，∵∠2=∠B，∴EF∥AB，∴MN∥EF．40．∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB∥CD．41．∵∠E=∠F，∴BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∵∠1=∠2，∴∠CBA=∠DCB，∴AB∥CD．42．∵EF⊥CD于F，∴∠EFG=90°，∵∠GEF=25°，∴∠EGF=65°，∵∠1=65°，∴∠1=∠EGF，∴AB∥CD．43．图中共有2对平行线．①AB∥CD．理由如下：∵∠1=∠2=90°，∴AB∥CD（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）；②∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，又∵∠3=30°，∠4=60°，∴∠3=∠5，∴EF∥HG（同位角相等，两直线平行）．综上所述，图中共有2对平行线，它们是：AB∥CD、EF∥HG44．AB∥CD，理由：∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB∥CD．45．∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴∠ADB=∠EFC=90°（垂直的定义），∴∠B=90°﹣∠1（直角三角形两锐角互余），∠GFC=90°﹣∠2（互余的定义），∵∠1=∠2（已知），∴∠B=∠GFC（等角的余角相等），∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）46．∵∠B=∠1，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠ADE（两直线平行，内错角相等）∵∠2=∠E，∴∠E=∠ADE，∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．47．∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∴∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，∵∠BEF=∠DFH，∴∠MEF=∠NFH，∴EM∥FN48．BE∥CF，理由是：∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠1=∠ABC，∠2=∠BCD，∵∠ABC=∠BCD，∴∠1=∠2，∴BE∥CF．49．DB与EC的位置关系是平行，理由：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴BD∥EC．50．（1）CD∥EF，理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF=∠EFB=90°，∴CD∥EF．（2）DG∥BC，理由是：∵CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC．51．GH∥MN．理由如下：∵HG平分∠AHM，MN平分∠DNH（已知），∴∠GHM∠AHM，∠NMH=∠DMH（角平分线定义），而∠AHM=∠DMH（已知）∴∠GHM=∠NMH（等量代换），∴GH∥MN．（内错角相等，两直线平行) 52．∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD53．∵EG⊥FG，∴∠G=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴AB∥CD．54．：∵∠1+∠2=180°，∠1=130°，∴∠2=50°，∵∠A=50°，∴∠A=∠2，∴AB∥CD．55．（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，∴∠DAE+∠1=90°，∠BCF+∠2=90°，∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥CD．理由如下：∵∠DAE=∠BCF，∠DAB=∠DCB，∴∠DAB﹣∠DAE=∠DCB﹣∠BCF，即∠CAB=∠ACD，∴AB∥CD．56．（1）AD与BC一定平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∠B=60°，∴∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD+∠B=180°，∴AD∥BC．（2）AB与CD不一定平行．57．∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．58．EF与BC的位置关系是垂直关系．证明：∵∠CDG=∠B（已知），∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠DAB（两直线平行，内错角相等），又∠1=2（已知），∴EF∥AD（内错角相等，两直线平行），∴∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），又AD⊥BC于点D（已知），∴∠ADB=90°，∴∠EFB=∠ADB=90°，所以EF与BC的位置关系是垂直．59．∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠B，∴∠2=∠B，∴AB∥CE．60．∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故可以判定AB∥CD，AD∥BC．。
初中数学：平行线的证明测试题
初中数学：平行线的证明测试题一、选择题（共14小题）1．如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于（）A．120°B．130°C．140°D．40°2．如图,直线a,b与直线c,d相交,若∠1=∠2,∠3=70°,则∠4的度数是（）A．35°B．70°C．90°D．110°3．如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2=（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．如图所示,∠1+∠2=180°,∠3=100°,则∠4等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形6．下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．7．直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110°D．116°8．如图,直线a、b被直线c、d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．75°9．如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=（）A．70°B．80°C．110°D．100°10．如图,∠1=∠2,∠3=30°,则∠4等于（）A．120°B．130°C．145°D．150°11．如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°12．在△ABC中,∠A：∠B：∠C=3：4：5,则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°13．如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是（）A．15°B．25°C．35°D．45°14．如图AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共16小题）15．如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 度．16．如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3= °．17．如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4= ．18．如图,AB∥CD,∠1=60°,FG平分∠EFD,则∠2= 度．19．如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= 度．20．如右图,已知：AB∥CD,∠C=25°,∠E=30°,则∠A= ．21．如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为度．22．如图△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为．23．如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2= ．24．如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= ．25．如图,a∥b,∠1=70°,∠2=50°,∠3= °．26．如图,AD平分△ABC的外角∠EAC,且AD∥BC,若∠BAC=80°,则∠B= °．27．如图,AB∥CD,∠BAF=115°,则∠ECF的度数为°．28．如图,∠B=30°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD= 度．29．如图,四边形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN ∥DC,则∠B= °．30．如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= ．平行线的证明参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）1．如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于（）A．120°B．130°C．140°D．40°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据同位角相等,两直线平行可得a∥b,再根据平行线的性质可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5,∵∠3=40°,∴∠5=40°,∴∠4=180°﹣40°=140°,故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定,关键是掌握同位角相等,两直线平行；两直线平行,同位角相等．2．如图,直线a,b与直线c,d相交,若∠1=∠2,∠3=70°,则∠4的度数是（）A．35°B．70°C．90°D．110°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据∠1=∠2,可根据同位角相等,两直线平行判断出a∥b,可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5,∵∠3=70°,∴∠5=70°,∴∠4=180°﹣70°=110°,故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握平行线的判定定理与性质定理,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系3．如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2=（）A．60°B．50°C．40°D．30°【考点】平行线的判定与性质．【分析】先根据对顶角相等得出∠3,然后判断a∥b,再由平行线的性质,可得出∠2的度数．【解答】解：∵∠1和∠3是对顶角,∴∠1=∠3=50°,∵c⊥a,c⊥b,∴a∥b,∵∠2=∠3=50°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等,对顶角相等．4．如图所示,∠1+∠2=180°,∠3=100°,则∠4等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先证明a∥b,再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6,再根据对顶角相等可得∠4．【解答】解：∵∠1+∠5=180°,∠1+∠2=180°,∴∠2=∠5,∴a∥b,∴∠3=∠6=100°,∴∠4=100°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握两直线平行同位角相等．5．已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】根据在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数,进而得出结论．【解答】解：∵在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,解得∠C=90°,、∴△ABC是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．（2013•扬州）下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°,故A错误；B、∵AB∥CD,∴∠1=∠3,∵∠2=∠3,∴∠1=∠2,故B正确；C、∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA,若AC∥BD,可得∠1=∠2；故C错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形,可得∠1=∠2,故D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．7．直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110°D．116°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,∴∠3+∠5=180°,即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,∴∠4=∠5=110°,故选C．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键．8．如图,直线a、b被直线c、d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．75°【考点】平行线的判定与性质．【分析】利用平行线的性质定理和判定定理,即可解答．【解答】解：如图,∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5=125°,∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣125°=55°,故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质和判定定理．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．9．如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=（）A．70°B．80°C．110°D．100°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠3=∠5=110°,∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,∴∠4+∠5=180°,∴∠4=70°,故选A．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键．10．如图,∠1=∠2,∠3=30°,则∠4等于（）A．120°B．130°C．145°D．150°【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】由∠1=∠2,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5,求出∠5的度数,即可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠5=∠3=30°,∴∠4=180°﹣∠5,=150°,故选D【点评】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．11．如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°,由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°,再利用三角形的内角和定理得结果．【解答】解：∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BE,CD是∠B、∠C的平分线,∴∠CBE=∠ABC,∠BCD=,∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°,∴∠BFC=180°﹣60°=120°,故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质,综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．12．在△ABC中,∠A：∠B：∠C=3：4：5,则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°【考点】三角形内角和定理．【分析】首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5,求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义,用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率,求出∠C等于多少度即可．【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．13．如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是（）A．15°B．25°C．35°D．45°【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】先根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵直尺的两边互相平行,∠1=25°,∴∠3=∠1=25°,∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质,三角板的知识,比较简单,熟记性质是解题的关键．14．如图AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角．【分析】两角互余,则两角之和为90°,此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角,根据平行线的性质及对顶角相等作答．【解答】解：∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,设∠ABC的对顶角为∠1,则∠ABC=∠1,又∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°,因此与∠CAB互余的角为∠ABC,∠BCD,∠1．故选C．【点评】此题考查的知识点为：平行线的性质,两角互余和为90°,对顶角相等．二、填空题（共16小题）15．如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 120 度．【考点】平行线的判定与性质．【分析】由已知一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行,再利用两直线平行同旁内角互补,由∠A的度数即可求出∠ADC的度数．【解答】解：∵∠1=∠2,∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,∵∠A=60°,∴∠ADC=120°．故答案为：120°【点评】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．16．如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3= 110 °．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠MEN,利用同位角相等,两直线平行得出AB∥CD,再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠2=∠MEN,∠1=∠2=40°,∴∠1=∠MEN,∴AB∥CD,∴∠3+∠BMN=180°,∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=,∴∠3=180°﹣70°=110°．故答案为：110．【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．17．如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4= 63°30′．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据∠1=∠2可以判定a∥b,再根据平行线的性质可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可得答案．【解答】解：∵∠1=40°,∠2=40°,∴a∥b,∴∠3=∠5=116°30′,∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′,故答案为：63°30′．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握同位角相等,两直线平行．18．如图,AB∥CD,∠1=60°,FG平分∠EFD,则∠2= 30 度．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质得到∠EFD=∠1,再由FG平分∠EFD即可得到．【解答】解：∵AB∥CD∴∠EFD=∠1=60°又∵FG平分∠EFD．∴∠2=∠EFD=30°．【点评】本题主要考查了两直线平行,同位角相等．19．如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= 36 度．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠B,∠DEC=∠F,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,∴∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,在△CDE中,∠D=180°﹣∠DCE﹣∠DEC=180°﹣72°﹣72°=36°．故答案为：36．【点评】本题考查了两直线平行,同位角相等的性质,三角形的内角和定理,是基础题,熟记性质与定理是解题的关键．20．如右图,已知：AB∥CD,∠C=25°,∠E=30°,则∠A= 55°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】由AB与CD平行,利用两直线平行得到一对同位角相等,求出∠EFD的度数,而∠EFD为三角形ECF的外角,利用外角性质即可求出∠EFD的度数,即为∠A的度数．【解答】解：∵∠EFD为△ECF的外角,∴∠EFD=∠C+∠E=55°,∵CD∥AB,∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°【点评】此题考查了平行线的性质,以及三角形的外角性质,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．21．如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为107 度．【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据已知一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补,再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠5+∠3=180°,∵∠4=∠5,∠3=73°,∴∠4+∠3=180°,则∠4=107°．故答案为：107【点评】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．22．（2013•南昌）如图△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为65°．【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数,再由平行线的性质得出∠C的度数,根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠1=155°,∴∠EDC=180°﹣155°=25°,∵DE∥BC,∴∠C=∠EDC=25°,∵△ABC中,∠A=90°,∠C=25°,∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．故答案为：65°．【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为：两直线平行,内错角相等．23．如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2= 115°．【考点】平行线的性质．【分析】将各顶点标上字母,根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG,从而可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．【点评】本题考查了平行线的性质,解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．24．如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= 30°．【考点】平行线的性质；多边形内角与外角．【分析】作出平行线,根据两直线平行：内错角相等、同位角相等,结合三角形的内角和定理,即可得出答案．【解答】解：作出辅助线如图：则∠2=42°,∠1=∠3,∵五边形是正五边形,∴一个内角是108°,∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°,∴∠1=∠3=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了平行线的性质,注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．25．如图,a∥b,∠1=70°,∠2=50°,∠3= 60 °．【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数,再由平角的性质求出∠3的度数即可．【解答】解：∵a∥b,∠1=70°,∴∠4=∠1=70°,∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=180°﹣70°﹣50°=60°．故答案为：60．【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为：两直线平行,同位角相等．26．如图,AD平分△ABC的外角∠EAC,且AD∥BC,若∠BAC=80°,则∠B= 50 °．【考点】平行线的性质．【分析】由∠BAC=80°,可得出∠EAC的度数,由AD平分∠EAC,可得出∠EAD的度数,再由AD∥BC,可得出∠B的度数．【解答】解：∵∠BAC=80°,∴∠EAC=100°,∵AD平分△ABC的外角∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=50°,∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD=50°．故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质,解答本题的关键是掌握角平分线的性质及平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等,同旁内角互补．27．如图,AB∥CD,∠BAF=115°,则∠ECF的度数为65 °．【考点】平行线的性质．【分析】先根据平角的定义求出∠BAC的度数,再根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BAF=115°,∴∠BAC=180°﹣115°=65°,∵AB∥CD,∴∠ECF=∠BAC=65°．故答案为：65．【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为：两直线平行,内错角相等．28．如图,∠B=30°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD= 60 度．【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】根据AB∥CD,可得∠BCD=∠B=30°,然后根据CB平分∠ACD,可得∠ACD=2∠BCD=60°．【解答】解：∵AB∥CD,∠B=30°,∴∠BCD=∠B=30°,∵CB平分∠ACD,∴∠ACD=2∠BCD=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,掌握平行线的性质：两直线平行,内错角相等是解题的关键．29．如图,四边形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN ∥DC,则∠B= 95 °．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠BMF、∠BNF,再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°,∵△BMN沿MN翻折得△FMN,∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°,∠BNM=∠BNF=×70°=35°,在△BMN中,∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．故答案为：95．【点评】本题考查了两直线平行,同位角相等的性质,翻折变换的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键．30．如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 70°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知）,∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）,∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理）,∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性质是解题关键．。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的证明试题总集含答案
《平行线的证明》单元测试题一、填空题1．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________.2．如图，AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72º ， 则∠2= ；3．在△ABC 中，∠BAC ＝90º，AD ⊥BC 于D ，则∠B 与∠DAC 的大小关系是________ 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______． 5．如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______7．如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC 是_____________ 二、选择题9．下列语句是命题的是 【 】 (A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是 【 】 (A)75º (B)45º (C)105º (D)135º11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题是 【 】(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°(B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°(C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° (D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 13．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】（A ）63° (B) 118° (C) 55°（D ）62°14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】 （A ）锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形（D ）无法确定C A BDE E CD BA1 324 第5题第6题第7题ABCDEFG 12DABCE第10题三、解答证明题15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？C ABD1 218．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上．(1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．19、如图，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．20、已知：如图，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．21、如图，已知BE 、CE 分别是△ABC 的内角、外角的平分线，∠A =40°，求∠E 的度数．22、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。
平行线的证明试题总集含答案
《平行线的证明》单元测试题一、填空题1．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________.2．如图，AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72º， 则∠2= ；3．在△ABC 中，∠BAC ＝90º，AD ⊥BC 于D ，则∠B 与∠DAC 的大小关系是________ 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______． 5．如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______7．如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC 是_____________ 二、选择题9．下列语句是命题的是 【 】 (A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是 【 】(A)75º (B)45º (C)105º(D)135º11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题是 【 】(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°(B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°(C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° (D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 13．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】（A ）63° (B) 118° (C) 55°（D ）62°14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】 （A ）锐角三角形(B)钝角三角形 (C)直角三角形（D ）无法确定C A BDE E C D B A 1 3 24 第5题 第6题 第7题B第10题三、解答证明题15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？CABD1218．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上．(1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．19、如图，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．20、已知：如图，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．21、如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角、外角的平分线，∠A=40°，求∠E的度数．22、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。
人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)
人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练（含答案）1．如图，三角形ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点F ，G 在AG 上，连接,,DG BG EF ．己知12∠=∠，3180ABC ∠+∠=︒，求证：∥BG EF ．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．证明：∵_____________（已知）∴∥DG BC （_______________________）∴．CBG ∠=________（____________________）∵12∠=∠（已知）∴2∠=________（等量代换）∴∥BG EF （___________________）2．如图，已知12∠=∠，A F ∠=∠，试说明C D ∠=∠的理由．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（ ），所以 ∥ （ ）．（请继续完成接下去的说理过程）3．如图，CD ∥AB ，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，求∠DOF 的度数．4．如图，DH 交BF 于点E ，CH 交BF 于点G ，12∠=∠，34∠=∠，5B ∠=∠．试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由．5．已知：如图，直线DE//AB．求证：∠B+∠D=∠BCD．6．如图，已知AB CD∥，BE平分ABC∠，CE平分BCD∠，求证1290∠+∠=︒．证明：∵BE平分ABC∠（已知），∴2∠=（），同理1∠=，∴1122∠+∠=，又∵AB CD∥（已知）∴ABC BCD∠+∠=（），∴1290∠+∠=︒．7．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠3＝（）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（）．即∠BAF＝．∴∠4＝∠BAF．（）．∴AB∥CD（）．8．如图，已知∠A＝120°，∠FEC＝120°，∠1＝∠2，试说明∠FDG＝∠EFD．请补全证明过程，即在下列括号内填上结论或理由．解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），∴∠A＝（）．∴AB∥（）．又∵∠1＝∠2（已知），∴EF ∥ （ ）．∴∠FDG ＝∠EFD （ ）．9．在三角形ABC 中，CD AB ⊥于D ，F 是BC 上一点，FH AB ⊥于H ，E 在AC 上，EDC BFH ∠=∠．(1)如图1，求证：∥DE BC ；(2)如图2，若90ACB ∠=︒，请直接写出图中与ECD ∠互余的角，不需要证明．10．已知：如图，直线MN HQ ∥，直线MN 交EF ，PO 于点A ，B ，直线HQ 交EF ，PO 于点D ，C ，DG 与OP 交于点G ，若1103∠=︒，277∠=︒，396∠=︒．（1）求证：EF OP ∥；（2）请直接写出CDG ∠的度数．11．如图直线a b ∥，直线EF 与,a b 分别和交于点,,A B AC AB AC ⊥、交直线b 于点C ．（1）若160∠=︒，直接写出2∠= ；（2）若3,4,5AC AB BC ===，则点B 到直线AC 的距离是 ；（3）在图中直接画出并求出点A 到直线BC 的距离．12．如图，已知AB CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE = 150°，求∠C 的度数．13．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于D ，EF 平分AED ∠交AB 于F ，已知ADE B ∠=∠，求证：EF CD ∥．14．已知：如图，AB ∥CD ∥EF ，点G 、H 、M 分别在AB 、CD 、EF 上．求证：GHM AGH EMH ∠∠∠=+．15．如图所示，点B 、E 分别在AC 、DF 上，BD 、CE 均与AF 相交，A F ∠=∠，C D ∠=∠，求证：12∠=∠．16．如图，在ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AB ．（1）判断∠A 与∠EDF 之间的大小关系，并说明理由．（2）求∠A +∠B +∠C 的度数．17．已知：如图，ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，EF 交DC 于点F ，32180∠+∠=︒ ，1B ∠=∠．（1）求证：∥DE BC ；（2）若DE 平分ADC ∠，33B ∠=∠，求2∠的度数．18．如图，AB ∥DG ，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD ∥EF ；（2）若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝142°，求∠B 的度数．19．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ∥，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．20．直线AB CD∠．∥，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分MND（1）如图1，若MR平分EMB∠，则MR与NP的位置关系是．∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．（2）如图2，若MR平分AMN（3）如图3，若MR平分BMN∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．参考答案：1．解：证明：∵3180ABC ∠+∠=︒（已知）∴∥DG BC （同旁内角互补，两直线平行）∴．1CBG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵12∠=∠（已知）∴2CBG ∠=∠（等量代换）∴∥BG EF （同位角相等，两直线平行）2．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（等量代换），所以//BD CE （同位角相等，两直线平行），所以4C ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又因为A F ∠=∠，所以//DF AC （同位角相等，两直线平行），所以4D ∠=∠（两直线平行，内错角相等），所以C D ∠=∠（等量代换）．故答案为：等量代换；BD ；CE ；同位角相等，两直线平行．3．解：∵CD AB ∥∴110DOB D ∠=∠=︒∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB ∠=∠=︒ 又∵OF ⊥OE∴90EOF ∠=︒∴905535DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：35︒4．解：CH DF，理由如下：∵34∠=∠，∴CD BF，∴5180BED∠+∠=︒，∵5B∠=∠，∴180B BED∠+∠=︒，∴BC DH，∴2H∠=∠，∵12∠=∠，∴1H∠=∠，∴CH DF．5．证明：过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵DE//AB．CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠D=∠DCF，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D．6．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），同理∠1=12∠BCD，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC +∠BCD =180°（两直线平行，同旁内角互补 ），∴∠1+∠2=90°． 故答案为：12∠ABC ；角平分线的定义；12∠BCD ；(∠ABC +∠BCD )；180°；两直线平行，同旁内角互补．7．证明：∵AD ∥BC （已知），∴∠3＝∠CAD （两直线平行，内错角相等）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝∠CAD （等量代换）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF ＝∠2+∠CAF （等式的性质）．即∠BAF ＝∠CAD ．∴∠4＝∠BAF ．（等量代换）．∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）．8．解：∵∠A =120°，∠FEC =120°（已知），∴∠A =∠FEC （等量代换），∴AB ∥EF （同位角相等，两直线平行），又∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），∴EF ∥CD （平行于同一条直线的两直线互相平行），∴∠FDG =∠EFD （两直线平行，内错角相等），故答案为：∠FEC ；等量代换；EF ；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；CD ；平行于同一条直线的两直线互相平行；两直线平行，内错角相等．9．证明：∵CD AB ⊥，FH AB ⊥，∴//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠．∵EDC BFH ∠=∠，∴BCD EDC ∠=∠，∴//ED BC ．(2)与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．证明：∵//ED BC ，∴90DEC ACB ∠=∠=︒，EDC BCD ∠=∠，∴90ECD EDC ∠+∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒．∵//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠，∴90ECD BFH ∠+∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90ACD A ∠+∠=︒，即90ECD A ∠+∠=︒．综上，可知与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．10．解：（1）∵1103∠=︒，∴77∠=︒ABC ，∵277∠=︒，∴2ABC ∠=∠，∴EF OP ∥；（2）∵MN HQ ∥，EF OP ∥，∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ，3180∠+∠=︒FDG ，∵396∠=︒，∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ，∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG ．11．解：（1）∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∵AC AB ⊥，160∠=︒，∴230∠=︒，故答案为：30︒；（2）∵AC AB⊥，∴点B到直线AC的距离为线段4AB=，故答案为：4；（3）如图所示：过点A作AD BC⊥，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，∵AC AB⊥，∴ABC∆为直角三角形，∴1122ABCS AC AB BC AD∆=⨯⨯=⨯⨯，即1134522AD ⨯⨯=⨯⨯，解得：125 AD=，∴点A到直线BC的距离为125．12．解：∵∠CDE=150°，∴∠CDB=180°-∠CDE=30°，又∵AB CD，∴∠ABD=∠CDB=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=60°，∵AB CD，∴∠C=180°-∠ABC=120°．13．证明：ADE B∠=∠（已知），DE//BC∴（同位角相等，两直线平行），ACB AED∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），CD 平分ACB ∠，EF 平分AED ∠（已知），12ACD ACB ∴∠=∠，12AEF AED ∠=∠（角平分线的定义）， ACD AEF ∴∠=∠（等量代换）.EF //CD ∴（同位角相等，两直线平行）.14．证明：∵AB ∥CD （已知）∴1AGH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又 ∵CD ∥EF （已知）∴2EMH ∠=∠，（两直线平行，内错角相等） ∵12GHM ∠∠∠=+（已知）∴GHM AGH EMH ∠∠∠=+（等式性质）15．证明：∵A F ∠=∠，∴AC DF ∥，∴ABD D ∠=∠，又∵C D ∠=∠，∴ABD C ∠=∠，∴DB CE ∥，∴13∠=∠，∵23∠∠=，∴12∠=∠．16．（1）两角相等，理由如下：∵DE ∥AC ，∴∠A =∠BED (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠EDF =∠BED (两直线平行，内错角相等)， ∴∠A =∠EDF (等量代换).（2）∵DE ∥AC ，∴∠C =∠EDB (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠B =∠FDC (两直线平行，同位角相等).∵∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°，∴∠A +∠B +∠C =180°(等量代换).17．解：（1）∵32180∠+∠=︒，∠2+∠DFE ＝180°， ∴∠3＝∠DFE ，∴EF //AB ，∴∠ADE ＝∠1，又∵1B ∠=∠，∴∠ADE ＝∠B ，∴DE //BC ，（2）∵DE 平分ADC ∠，∴∠ADE ＝∠EDC ，∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵33B ∠=∠∴∠5+∠ADE +∠EDC ＝3B B B ∠+∠+∠＝180°， 解得：36B ∠=︒，∴∠ADC ＝2∠B ＝72°，∵EF //AB ，∴∠2＝∠ADC ＝180°－108°＝72°，18．（1）∵AB ∥DG ，∴∠BAD ＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD +∠2＝180°.∵AD ∥EF .（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG 是∠ADC 的平分线，∴∠CDG ＝∠1＝38°，∵AB ∥DG ，∴∠B ＝∠CDG ＝38°．19．解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE ∥AB ，∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠A +∠APE =180°，∠C +∠CPE =180°，∵∠P AB =130°，∠PCD =120°，∴∠APE =50°，∠CPE =60°，∴∠APC =∠APE +∠CPE =50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠；过点P 作PQ AD ∥，又因为AD BC ∥，所以PQ AD BC ∥∥，则ADP DPE ∠=∠，BCP CPE ∠=∠，所以CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠；（2）情况1：如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β，情况2：如图所示，点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α20．（1）如题图1，AB CD ∥EMB END ∴∠=∠MR 平分EMB ∠，NP 平分MND ∠．11,22EMR EMB ENP END ∴∠=∠∠=∠ EMR ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（2）如题图2，AB CD ∥AMN END ∴∠=∠MR 平分AMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22RMN AMN ENP END ∴∠=∠∠=∠ RMN ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（3）如图，设,MR PN 交于点Q ，过点Q 作QG AB ∥AB CD ∥180BMN END ∴∠+∠=︒，QG CD ∥ ,MQG BMR GQN PND ∴∠=∠∠=∠ MR 平分BMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22BMR BMN PND END ∴∠=∠∠=∠ 90BMR PND ∴∠+∠=︒90MQN MQG NQG ∴∠=∠+∠=︒ ∴MR ⊥NP ；。
初中平行线相似证明练习题
初中平行线相似证明练习题
本文档将提供一些初中平行线相似证明的练题，帮助学生加深对该知识点的理解与应用。
问题一
已知：四边形ABCD中，AB平行CD，且AD与BC相交于点O。
证明：三角形AOD与三角形BOC相似。
解答一
由已知条件可得，AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠ACD=∠BDC。
又AD与BC相交于点O，根据垂直角的性质，可以得出
∠AOD=∠COB。
综上所述，根据AAA相似性质，可以得出三角形AOD与三角形BOC相似。
问题二
已知：图中的两条直线AB和CD平行，∠FAD=∠DCB。
证明：三角形ADF与三角形CBD相似。
解答二
由已知条件可得，直线AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠FAD=∠DCB。
综上所述，根据AA相似性质，可以得出三角形ADF与三角形CBD相似。
问题三
已知：图中的直线AB和CD平行，∠EAD=∠CDB。
证明：三角形AED与三角形BCD相似。
解答三
由已知条件可得，直线AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠EAD=∠CDB。
综上所述，根据AA相似性质，可以得出三角形AED与三角形BCD相似。
结论
通过以上练题的解答，我们可以得出结论：在平行线的相关知识点中，可利用平行线性质和角的性质，通过简单的证明步骤可以得出平行线相似的结论。
希望以上内容对你的学习有所帮助！。
五道平行线证明题
五道平行线证明题
以下是五道平行线证明题：
1.在一个平面内，两条直线平行，如果第三条直线与其中一条直线平行，那么
第三条直线也平行于另一条直线。
2.在一个平面内，两条直线互相垂直，如果第三条直线与其中一条直线垂直，
那么第三条直线也垂直于另一条直线。
3.在一个平面内，两条直线与同一条直线相交，并且所成的角相等，那么这两
条直线平行。
4.在一个平面内，两条直线与同一条直线相交，并且所成的角的和为180°，
那么这两条直线平行。
5.在一个平面内，两条直线与另一条直线相交，并且所成的角的和等于90°，
那么这两条直线互相垂直。
这些证明题都是基于平面几何的基本原理，例如平行线公理、垂直线公理、角的度量等。
平行线的判定证明步骤规范书写练习
平行线的判定证明步骤规范书写练习1．如图, 填空：（1）∵∠2=∠B（已知）∴ AB__________（）（2）∵∠1=∠A（已知）∴ __________（）（3）∵∠1=∠D（已知）∴ __________（）（4）∵_______=∠F（已知）∴ AC∥DF（）2．如图，（1）∵∠A= （已知）∴AC∥ED( )(2)∵∠2= (已知)∴AC∥ED( )(3)∵∠A+ =180°(已知)∴AB∥FD( )(4)∵AB∥ (已知)∴∠2+∠AED=180°( )(5)∵AC∥ (已知)∴∠C=∠1( )3．如图∵ AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴ = =︒90( )∴∥CD ( )又∵∠1+∠2 =︒180（已知）∴∥ ( 同旁内角互补，两直线平行)∴∥EF ( )4．已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。
∵∠1＋∠2＝180°（）又∵∠2＝∠3（）∴∠1＋∠3＝180°∴_________（）5.填空。
如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知）∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（）∴∠CAB＝∠______（）∵∠CAE＝∠DBF（已知）∴∠BAE＝∠______∴_____∥_____（）6.如图：∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，那么EC与DF平行吗？为什么？请完成下面的解题过程解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （已知）∴∠DBC=∠__ ，∠ECB=∠___∵∠ABC=∠ACB （已知）∴∠____ =∠___ ．∠____ =∠_____ （已知）∴∠F=∠_________∴EF∥AD_________ ．7、已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．8．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．9.如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．10.如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．。
七年级10道平行线证明题
七年级10道平行线证明题
以下是七年级的10道平行线证明题：
题目：已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOC = ∠BOD。
求证：AB ∥ CD。
题目：在直线AB上取一点O，作射线OC，使∠AOC = ∠BOC。
求证：OA ∥ OC。
题目：已知∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，且∠1和∠3是内错角。
求证：AB ∥ CD。
题目：在△ABC中，若∠A = ∠B，则BC边上的中线AD等于BC的一半。
求证：AD ∥ BC。
题目：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，且∠1和∠3是同位角。
求证：EF ∥ GH。
题目：在梯形ABCD中，若AD ∥ BC，且∠A = ∠B，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
题目：在△ABC中，若∠C = 90°，且AC = BC，D为AB的中点。
求证：CD ⊥ AB。
题目：已知∠1 + ∠2 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°，求证：AB ∥ CD。
题目：在△ABC中，若∠A = ∠B = ∠C，则△ABC是等边三角形。
求证：AB ∥ BC ∥ CA。
题目：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，且∠1和∠3是同旁内角。
求证：EF ∥ GH。
这些题目涵盖了平行线的多种性质和判定方法，通过练习这些题目，学生可以加深对平行线概念的理解，提高解题能力。
初中数学平行线证明专题训练含答案
平行线证明专题训练一．选择题（共16小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠BOC＝130°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°2．下列命题为假命题的是（）A．直角都相等B．对顶角相等C．同位角相等D．同角的余角相等3．下列命题中：正确的说法有（）①成轴对称的两个图形一定全等；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题是真命题的是（）A．如果a＞b，a＞c，那么b＝cB．相等的角是对顶角C．一个角的补角大于这个角D．一个三角形中至少有两个锐角5．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）即可．A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD 6．如图，已知∠1＝∠2，则有（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABC＝∠ADC D．AB⊥CD7．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．36°B．72°C．50°D．46°8．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝80°，则∠C＝（）A．85°B．75°C．65°D．55°9．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°10．图中，∠2的度数是（）A．110°B．70°C．60°D．40°11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD 的度数为（）A．30°B．10°C．40°D．20°12．如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°13．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°14．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是（）A．a＝2，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣2C．a＝﹣2，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝1 15．能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝2，b＝﹣2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣2，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3 16．如图，下列条件中能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3二．填空题（共3小题）17．如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是_____．18．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠AOB＝_____．19．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为_____．三．解答题（共8小题）20．已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．21．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠_____．（_____）（2）∵∠E+∠_____＝180°，（已知）∴AC∥DE．（_____）（3）∵_____∥_____，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（_____）22．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数．23．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）证明：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（_____）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）∴∠C＝∠D（等量代换）24．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为_____；（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数_____；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．25．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）26．（1）如图，在三角形纸片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，折痕为MN．如果∠1＝17°，求∠2的度数；（2）小明在（1）的解题过程中发现∠1+∠2＝2∠C，小明的这个发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由．27．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．试说明：∠A＝∠F．请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵∠AGB＝∠DGF（_____）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠D＝_____（_____）∵∠D＝∠C（已知）∴_____＝∠C（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠A＝∠F（_____）平行线证明专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：在△OBC中，∠OBC+∠OCB＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50°，又∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝100°∴∠A＝180﹣（∠ABC+∠ACB）＝180﹣100＝80°故选：C．2．解：A、直角都相等，是真命题；B、对顶角相等，是真命题；C、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题；D、同角的余角相等，是真命题；故选：C．3．解：①成轴对称的两个图形一定全等，故符合题意；②直线l经过线段AB的中点且垂直线段，则l是线段AB的垂直平分线，故不符合题意；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，故符合题意；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在的直线．故不符合题意故选：B．4．解：A、如果a＞b，a＞c，不能判断b，c的大小，原命题是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；C、一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；D、个三角形中至少有两个锐角，原命题是真命题；故选：D．5．解：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC，故选：B．6．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故选：B．7．解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．故选：B．8．解：∵∠A＝35°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣80°＝65°，故选：C．9．解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．10．解：∵∠1＝60°+20°＝80°，∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故选：D．11．解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠B+∠C+∠BAC＝180°∴∠BAC＝80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝40°∵AE⊥BC，∠C＝60°∴∠AEC＝90°，∠CAE＝30°∴∠EAD＝10°，故选：B．12．解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．13．解：∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．14．解：对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，但（﹣1）2＜（﹣2）2，故选：B．15．解：能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例是a＝2，b＝﹣2，a2＝b2，但a＝﹣b，故选：A．16．解：A，∠1＝∠2不能判定两条直线平行；不符合题意；B，∠3＝∠4不能判定两条直线平行，不符合题意；C，∠1＝∠4可以判定AD∥BC，不符合题意；D，∠2＝∠3可以判定AB∥CD，根据内错角相等，两条直线平行，符合题意．故选：D．二．填空题（共3小题）17．解：∵△ABC中，∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵△ABC的两条角平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+ACB）＝×100°＝50°，∴∠BPD＝∠PBC+∠PCB＝50°；故答案为：50°．18．解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝25°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°故答案为125°19．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝75°，又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故答案为30°．三．解答题（共8小题）20．解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．21．解：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠F AD．（两直线平行，同位角相等）（2）∵∠E+∠ACE＝180°，（已知）∴AC∥DE．（同旁内角互补，两直线平行）（3）∵AD∥BE，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）故答案为：（1）F AD；两直线平行，同位角相等；（2）ACE；同旁内角互补，两直线平行；AD；BE；两直线平行，内错角相等．22．解：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×80°＝40°，∵AE是高，∴∠BEA＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°．23．解：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（对顶角相等）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠4＝∠D（两直线平行，内错角相等）∴∠C＝∠D（等量代换）；故答案为：对顶角相等；CE；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；DF；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等．24．解：（Ⅰ）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案为：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案为140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．25．证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．26．解：（1）∵△ABC中，∠A＝64°，∠B＝76°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，∵∠1＝17°，∴∠CNM＝，在△CMN中，∠CMN＝180°﹣∠C﹣∠CNM＝180°﹣40°﹣81.5°＝58.5°，∴∠2＝180°﹣2∠CMN＝180°﹣2×58.5°＝63°．（2）由题意可知：2∠CNM+∠1＝180°，2∠CMN+∠2＝180°，∴2（∠CNM+∠CMN）+∠1+∠2＝360°，∵∠C+∠CNM+∠CMN＝180°，∴∠CMN+∠CMN＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝360°﹣（∠1+∠2），∴∠1+∠2＝2∠C．27．解：∵∠AGB＝∠DGF（对顶角相等）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠D＝∠CEF（两直线平行，同位角相等）∵∠D＝∠C（已知）∴∠CEF＝∠C（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；∠CEF；两直线平行，同位角相等；∠CEF；等量代换；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．。
第七章 平行线的证明单元测试(解析版)
第七章平行线的证明单元测试一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，是命题的为（）A．延长线段AB到C B．垂线段最短C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题中真命题是（）A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）A．两条直线B．交点C．两条直线相交D．只有一个交点4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（）A．45°，45°，90°；B．30°，60°，90°； C．25°，25°，130°；D．36°，72°，72°6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列四个命题中，真命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（）A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC=∠AEBC．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定(第8题) (第9题) (第10题)9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A．50°B．65°C．80°D．95°10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（）A．42°B．58°C．80°D．100°二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=．13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=°．14．如果一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是三角形．15．一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为．16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=度．(第16题) (第18题)17．命题：“同角的余角相等”的题设是，结论是．18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为°．19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是．三、解答题（本大题共5小题，共30分）21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：GF∥B C．23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM．25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，是命题的为（）A．延长线段AB到C B．垂线段最短C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案．【解答】解：A，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；B，是，因为能够判断真假，故是命题；C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；故选B．【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及掌握情况．2．下列命题中真命题是（）A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角【考点】命题与定理．【分析】根据补角、余角的定义结合反例即可作出判断．【解答】解：A、两个30°角的和是60°，是锐角，不正确；B、两个80°的角之和是160°，是钝角，不正确；C、钝角大于90°，它的补角小于90°，正确；D、80°锐角的余角是10°，不正确．故选C．【点评】可以举具体角的度数来证明．3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．交点 C．两条直线相交 D．只有一个交点【考点】直线、射线、线段．【分析】本题考查两直线相交，有且只有一个交点的命题，题设和结论要搞清楚．【解答】解：两条直线相交，有且只有一个交点这一命题题设是两条直线相交，结论是有且只有一个交点，故选C．【点评】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，不是很难，不过做题要仔细．4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）A．相等 B．互余或互补C．互补 D．相等或互补【考点】平行线的性质．【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．故选D．【点评】如果两个的两条边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补．5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（）A．45°，45°，90°B．30°，60°，90° C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°【考点】三角形的外角性质．【专题】探究型．【分析】设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，再由2x+4x=180°即可求出x的值，故可得出各内角的度数．【解答】解：设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，另一个内角为4x﹣x=3x，∵2x+4x=180°，∴x=30°，∴2x=60°，4×30°﹣30°=90°，∴三角形各角的度数为30°，60°，90°．故选B．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，难度适中．6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的判定与性质．【分析】利用平行线的性质进行求解．【解答】解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD，∴∠FCD=∠A，∵∠1=∠F=30°，∴BG∥AF，∴∠A=∠ABG；故选B．【点评】考查了平行线的判定以及平行线的性质，需要熟练掌握．7．下列四个命题中，真命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2（3）一个角的余角一定小于这个角的补角（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．【分析】根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数．【解答】解：（1）不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（2）正确，因为对顶角相等；（3）正确，因为一个角的补角比它的余角大90°；（4）正确，因为∠3的余角即∠1，则∠1与∠2互补．所以正确有的三个，故选：C．【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力．8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（）A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC=∠AEBC．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定【考点】三角形的外角性质．【分析】利用三角形的内角和为180度计算．【解答】解：在△ADC中有∠A+∠C+∠ADC=180°，在△AEB有∠AEB+∠A+∠B=180°，∵∠B=∠C，∴等量代换后有∠ADC=∠AE B．故选B．【点评】本题利用了三角形内角和为180度．9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A．50°B．65°C．80°D．95°【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质计算．【解答】解：由题意可得，∠CAE=130°，∴∠BAC=50°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°．故选C．【点评】此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（）A．42°B．58°C．80°D．100°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】由AB∥CD，可得∠B=∠C=58°，根据三角形的内角和为180°即可求得∠AOB的值．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=58°；∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠A=42°，∴∠AOB=80°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．还考查了三角形的内角和为180°．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=80°．【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，然后根据平行线的性质得∠4=∠3=80°．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4=∠3=80°．故答案为80°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=53°20′．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】计算题．【分析】由平行线的性质可得出∠ABC=∠DAF=36°40′，再由DF⊥AB于F，可得出∠D的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DAF=36°40′，又∵DF⊥AB，∴∠D=90°﹣∠DAF=53°20′．【点评】本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=75°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠3=140°，∴∠4=180°﹣140°=40°，∵∠1=115°，∴∠2=∠1﹣∠4=115°﹣40°=75°．【点评】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．14．如果一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和等于180°和已知求出三角形的最大角的度数，即可得出答案．【解答】解：∵一个三角形三个内角的比是1：2：3，∴这个三角形的最大内角的度数是：180°×=90°，∴这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．15．一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为5：3：1．【考点】三角形的外角性质．【分析】设设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可求出三个外角的度数，得到与此对应的三个内角的度数，计算即可．【解答】解：设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，由题意得，2x+3x+4x=360°，解得，x=40°，则三个外角分别为80°、120°、160°则对应的三个内角分别为：100°、60°、20°，∴与此对应的三个内角的比为5：3：1．故答案为：5：3：1．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=122.5度．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得．【解答】解：∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°．∴∠EBC+∠ECB==57.5°，∴∠BEC=180°﹣57.5°=122.5°．【点评】此题考查了三角形内角和定理，属简单题目．17．命题：“同角的余角相等”的题设是如果是同角的余角，结论是那么这两个角相等．．【考点】命题与定理．【专题】计算题．【分析】命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论，因此可正确找出题设和结论．【解答】解：“同角的余角相等”可写成是“如果是同角的余角，那么这两个角相等”．故答案为：如果是同角的余角；那么这两个角相等．【点评】本题考查命题的题设和结论，命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论．18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为90°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，又知∠B=∠1，∠D=∠2，可得出∠1+∠2=∠DEF+∠DEF，由平角的定义，求出∠BED的值即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，又∵∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠1=∠BEF，∠2=∠DEF，又∵∠1+∠BEF+∠2+∠DEF=180°，∴∠BED=×180°=90°．【点评】本题主要考查运用平行线的性质的能力，主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及等量代换等知识点．19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于90度．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．【解答】解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．【点评】本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是70°．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余可以得到，∠A、∠B中有一个是70°，另一个是50°，因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．【解答】解：如图，依题意得∠ACD=40°，∠DCB=20°，而CD⊥AB于D，∴∠A=50°，∠B=70°，因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．故填空答案：70°．【点评】本题主要考查的是直角三角形两锐角互余的性质，比较简单．三、解答题（本大题共5小题，共30分）21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由平行线的性质可得∠2=∠C，∠1=∠B，已知∠1=∠2，从而推出∠B=∠C，根据等角对等边可得到AB=AC，即△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AE∥BC（已知），∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠B=∠C（等量代换）．∴AB=A C．∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）．【点评】此题主要考查平行线的性质及等腰三角形的判定；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：GF∥B C．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠FBC，再结合已知条件和等量代换证得内错角∠FBC=∠1，从而得GF∥B C．【解答】解：∵BF∥DE（已知），∴∠2=∠FBC（两直线平行，同位角相等），∵∠2=∠1（已知），∴∠FBC=∠1（等量代换），∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的性质及判定，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF=62°，∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°﹣∠AEF=180°﹣62°=118°；∵FH平分∠EFD，∴∠EFH=∠EFD=×62°=31°；又∵FG⊥FH，∴∠GFE=90°﹣∠EFH=90°﹣31°=59°，∴∠GFC=∠CFE﹣∠GFE=118°﹣59°=59°．【点评】此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补．24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据题意证得∠AEF=∠CFM，再由∠AEP=∠CFQ，可得出∠PEM=∠QFM，PE∥QF，即能得出∠EPM=∠FQM．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）．又∵∠PEA=∠QFC（已知），∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）．即∠PEM=∠QFM．∴PE∥QF（同位角相等，两直线平行）．∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）．【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC=90°，在△ADC 中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．【解答】解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBC=30°，∴∠C=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣30°﹣75°=75°．又∵∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣75°=15°．【点评】灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．特别注意“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。
平行线判定与性质证明题
乱七八糟的解答题班级：姓名：学号：成绩：一、解答题（130小题 , 共100分）1.如图，∠1=∠2，CE∥BD．求证：AB∥CF．2.已知AB ∥ DE，CD ⊥ BF ，∠ABC = 128∘，求∠CDF 的度数．解：过点C作CG ∥ AB，所以∠1+ ∠ABC = 180∘( )，因为AB ∥ DE(已知)，所以CG ∥DE( )，所以∠CDF = ∠2( )．因为∠ABC = 128∘(已知)，所以∠1= 180∘−= ∘．因为CD ⊥ DF (已知)，所以∠DCB = 90∘，所以∠2=90∘−∠1 =38∘，所以∠CDF = 38∘( )．3.请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AB∥DC，BC∥DE．求证：∠B+∠D=180°．证明：∵BC∥DE( )∴∠C= ( )．∵(已知)∴∠B+∠C=180°( )．∴∠B+∠D=180°( )．4.如图，AE、BF 、DC是直线，B在直线AC上，E在直线DF 上，∠1= ∠2，∠A = ∠F ．求证：∠C = ∠D．证明：因为∠1 = ∠2(已知)，∠1=∠3( )得∠2=∠3 ( )所以AE ∥( )得∠4 = ∠F ()因为(已知)得∠4 = ∠A所以∥( )所以∠C = ∠D ( )5.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且AB∥DE，∠1=∠2．求证：AF∥BC．6.已知：如图，△ABC．求证：∠A + ∠B + ∠ACB = 180∘．证明：如图，作BC 的延长线CD，过点C 作CE ∥ AB，∵ CE ∥AB ，∴ ∠1= ∠B ，∠2 = ∠A ，∵∠1+ ∠2+ ∠ACB = 180∘，∴∠A + ∠B + ∠ACB = 180∘．7. 如图，∠1=70°，∠2=110°，∠C=∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．8.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，则BE与CF平行吗？试说明理由．9.如图，∠A=∠F，∠C=∠D，判断BD与CE的位置关系，并说明理由．10.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2(1)求证：AB∥CD(2)若∠D=∠3+50°，∠CBD=70°，求∠C的度数．11. 如图，EF∥CD，∠1=∠2，求证：∠CGD+∠BCA=180°．12.如图所示，DF∥AC，∠1=∠2．求证DE∥AB．13.如图，AD∥BC，AD平分∠EAC，你能确定∠B与∠C的数量关系吗？请说明理由．14.如图，已知DG∥BA，∠1=∠2，求证：AD∥EF．15. 如图，AB∥DG，∠1+∠2=180°，(1)求证：AD∥EF；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=150°，求∠B的度数．16. 如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．17. 如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．19.如图，已知直线AB ∥ DE，∠ABC = 80∘，∠CDE = 140∘，求∠BCD 的度数．解：过点C 作FG ∥AB，因为FG ∥AB，AB ∥DE(已知)，所以FG ∥DE ( )，所以∠B = ∠( )，∠CDE + ∠DCF = 180∘( )，又因为∠B = 80∘，∠CDE = 140∘(已知)，所以∠= 80∘(等量代换)，∠DCF = 40∘(等式性质)，所以∠BCD = ．20.如图，已知∠A = ∠C，EF ∥ DB．说明∠AEF = ∠D 的理由．解：因为∠A = ∠C(已知)，所以∥( )，所以∠D = ∠B( )，又因为EF ∥ DB(已知)，所以∠AEF = ∠B( )，又因为∠D = ∠B(已证)，所以∠AEF = ∠D( )．21.如图，点E，F 分别在AB，CD 上，AD 分别交BF ，CE 于点H，G，∠1= ∠2，∠B = ∠C ．(1)探索BF 与CE 有怎样的位置关系？为什么？(2)探索∠A 与∠D 的数量关系，并说明理由．22. 如图，AB ∥CD，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，试说明：AD ∥BE．(在“”上填空)解：因为AB ∥ CD(已知)，所以∠4 = ∠( )，因为∠3 = ∠4(已知)，所以∠3 = ∠( )，因为∠1 = ∠2(已知)，所以∠1 + ∠CAF = ∠2 + ∠CAF ()，即∠BAE = ∠，所以∠3 = ∠，所以AD ∥BE( )．23.完成证明，说明理由．已知：如图，点D 在BC 边上，DE，AB 交于点F ，AC ∥ DE，∠1= ∠2，∠3 = ∠4．求证：AE ∥ BC．证明：∵ AC ∥ DE(已知)，∴∠4 = ( )，∵ ∠3 = ∠4(已知)，∴∠3 = ( )，∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴ ∠1 + ∠FAD = ∠2 + ∠FAD( )，即∠FAC = ∠EAD，∴∠3 = ．∴ AE ∥BC( )．24.几何证明填空题．如图，已知：AB ∥ CD，∠1= ∠2，∠3= ∠4，试说明AD ∥ BE．解：∵ AB ∥ CD(已知)，∴ ∠4= ∠( )，∵ ∠3 = ∠4(已知)，∴ ∠3= ∠( )，∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴ ∠1 + ∠CAF = ∠2 + ∠CAF ，即∠BAF = ∠CAD，∴ ∠3= ∠(等量代换)，∴ AD ∥BE( )．25.如图，直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME．求证：(1)AB∥CD；(2)MP∥NQ．26.如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，已知∠AGB=∠EHF，∠DBC=∠DEC．试说明∠A=∠F．解：∵∠AGB=∠EHF(已知)，∠AGB=∠DGF( )∴∠EHF=∠DGF∴∥∴∠DBC+∠C=180°又∵∠DBC=∠DEC(已知)∴∠+∠=180°∴∥( )∴∠A=∠F27.如图，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB．28.看图填空：已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G( 已知)∴∠ADC=90°，∠EGC=90°∴∠ADC=∠EGC(等量代换)∴AD∥EG∴∠1=∠3∠2=∠E又∵∠E=∠3( 已知)∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC ．29.如图，已知∠P=∠Q，∠1=∠2，AB与ED平行吗？为什么？30.如图，E、F分别在AB、CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，∠1与∠C互余．求证：AB∥CD．31.如图，AE、BF 、DC是直线，B在直线AC上，E在直线DF 上，∠1= ∠2，∠A = ∠F ．求证：∠C = ∠D．证明：因为∠1 = ∠2(已知)，∠1=∠3( )得∠2=∠3 ( )所以AE ∥( )得∠4 = ∠F ()因为(已知)得∠4 = ∠A所以∥( )所以∠C = ∠D ( )32.如图，∠AED=∠ACB，∠DEB=∠GFC，BE⊥AC，求证：FG⊥AC．33.如图，CE平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB和CD是否平行？请说明理由．34.已知：如图，∠AHF+∠FMD=180°，∠AHG=∠DMN．求证：GH∥MN．35.已知：如图，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，∠CDG=∠B，求证：EF⊥BC．36.已知：如图，∠AGB=∠EHF，∠C=∠D．(1)求证：BC∥DE．(2)求证：∠A=∠F．37.如图，已知AB∥CD，LF与AB，CD相交于点M，N，∠AMR=∠CNP，请你猜想MR与NP的位置关系？并说明理由．38.如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC=2：3．(1)求∠AOE的度数；(2)若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．39.如图，已知直线AB 与CD 相交于点O，OE 是∠BOD 的平分线，OF 是∠AOD 的平分线．(1)若∠BOD = 60∘，求∠DOF 的度数；(2)OE 与OF 有怎样的位置关系？为什么？40.如图，已知AF分别交BD、CE于G、H，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：∠1=∠2．41.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F．点G为直线AC上一点，连接DG，(1)CD与EF平行吗？为什么？(2)如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．42.已知：如图，∠ABC=∠ADC，∠ADE=∠CBF．且∠2=∠3．求证：DE∥FB．43.如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，OF是∠AOD的平分线．(1)已知∠BOD=60°，求∠EOF的度数；(2)求证：无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．44.如图，已知∠FDA=∠CBE，∠ADB=∠DBC．求证：AE∥FC．45.如图，∠A=∠F，∠C=∠D，判断BD与CE的位置关系，并说明理由．46.如图，CE平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB和CD是否平行？请说明理由．47.如图，已知∠FDB=∠DBE，∠FDA=∠CBE．求证：AD∥BC．48.探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．(1)小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P 作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB= ．(2)如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程．过点P作PE∥AC．∴∠A=∵AC∥BD∴∥∴∠B=∵∠BPA=∠BPE-∠EPA∴．(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．49.已知：如图，∠ABC=∠ADC，∠ADE=∠CBF．且∠2=∠3．求证：DE∥FB．50.如图所示，DF∥AC，∠1=∠2．求证DE∥AB．51.如图，直线a∥b，求∠ACB的度数．52. 已知：∠1+∠2=180°，∠B=∠3．求证：∠AFE=∠ACB．53. 已知：如图，DE 平分∠BDF ，∠A= 1 ∠BDF ，DE ⊥BF ，求证：AC ⊥BF ．254. 如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F ，∠3=∠4，求证：∠5=∠6．55. 已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E=∠AFE ． 求证：AD 平分∠BAC ．56.已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF．57.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=105°，∠ACF=25°．求∠FEC 的度数．58. 如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．59.如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AB∥CD．60.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请直接写出∠APC 与α、β之间的数量关系．61.如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．62.如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=55°，∠CEF=150°，求∠BCE的度数．63.已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．(1)求证：AB∥CD；(2)试探究∠2与∠3的数量关系．64.如图所示，现有下列4个亊项：(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠B，(3)FG⊥AB于G，(4)CD⊥AB于D．以上述4个事项中的(1)、(2)、(3)三个作为一个命题的己知条件，(4)作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．65.如图：BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC=180°，求证：∠1=∠2．66.如图，AD ⊥BC 于D，EG ⊥BC 于G，∠E = ∠1，可得AD 平分∠BAC．理由如下：∵AD ⊥BC 于D，EG ⊥BC 于G，( )∴ ∠ADC = ∠EGC = 90∘，( )∴ AD ∥EG，( )∴ ∠1=∠2，( )= ∠3，( )又∵ ∠E = ∠1，(已知)，∴= ，( )∴AD 平分∠BAC．( )67. 如图，∠AGF = ∠ABC，∠1 + ∠2 = 180∘．(1)试判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由；(2)若BF ⊥ AC，∠2 = 150∘，求∠AFG 的度数．68.如图，BD ⊥ AC 交AC 于D，EF ⊥ AC 交AC 于F ，DM ∥ BC，∠1= ∠2．求证：∠AMD = ∠AGF ．69.按图填空，并注明理由．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：AD∥BE．证明：∵∠1=∠2 (已知)∴∥( )∴∠E=∠( )又∵∠E=∠3 ( 已知)∴∠3=∠( )∴AD∥BE．( )1 70. (1) 如图a 所示，AB ∥ CD ，且点 E 在射线 AB 与 CD 之间，请说明 ∠AEC = ∠A + ∠C 的理由．(2) 如图b 所示，仍有 AB ∥ CD ，但点 E 在 AB 与 CD 的上方，①请尝试探索 ∠1，∠2，∠E 三者的数量关系；②请说明理由．71. 如图，已知 ∠A = ∠C ，BE 平分 ∠ABD ，DF 平分 ∠BDC ．说明 ∠1 = ∠2 的理由． 解：∵ ∠A = ∠C (已知)， ∴ AB ∥ DC ( )． ∴ ∠ABD = ∠CDB ( )． ∵ BE 平分 ∠ABD (已知)， ∴ ∠1 = 2 ∠ABD ( )． 同理 1 BDC ． ∠2 = 2 ∠ ∴ ∠1 = ∠2( )．72.完成下面推理过程．如图：在四边形ABCD 中，∠A = 106∘−α，∠ABC = 74∘ + α，BD ⊥ DC 于点D，EF ⊥ DC 于点F ，求证：∠1= ∠2．证明：∵ ∠A = 106∘−α，∠ABC = 74∘ + α(已知)，∴ ∠A + ∠ABC = 180∘．∴AD ∥( )．∴∠1 = ( )．∵ BD ⊥ DC，EF ⊥ DC(已知)，∴ ∠BDF = ∠EFC = 90∘( )．∴BD ∥( )．∴∠2 = ( )．∴∠1 = ∠2( )．73.如图，已知：AC ∥ DF ，直线AF 分别与直线BD，CE 相交于G，H，∠1= ∠2，说明∠C = ∠D．74.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，已知∠B + ∠BCD = 180∘，∠B =∠D．试说明：∠E = ∠DFE．解：∵ ∠B + ∠BCD = 180∘(已知)，∴ AB ∥CD( )，∴ ∠B = ∠DCE( )，又∵ ∠B = ∠D(已知)，∴∠DCE = ( )，∴ AD ∥BE( )，∴ ∠E = ∠DFE( )．75.如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1= ∠2，∠C = ∠D．试说明：AC ∥DF ．解：∵∠1= ∠2，∠1= ∠3( )，∴∠2 =∠3( )，∴∥( )，∴ ∠C = ( )，又∵ ∠C = ∠D，∴ ∠D = ∠ABD(等量代换)，∴ AC ∥DF ( )．76.如图，已知AB∥CD，LF与AB，CD相交于点M，N，∠AMR=∠CNP，请你猜想MR与NP的位置关系？并说明理由．77. 如图，EF ∥ AB，∠DCB = 70∘，∠CBF = 20∘，∠EFB = 130∘．(1)问直线CD 与AB 有怎样的位置关系？并说明理由；(2)若∠CEF = 70∘，求∠ACB 的度数．78.如图，点E 在DF 上，点B 在AC 上，∠1= ∠2，∠C = ∠D，试说明：AC ∥ DF ，将过程补充完整．解：∵∠1= ∠2(已知)，∠1= ∠3( )，∴ ∠2 = ∠3(等量代换)，∴ EC ∥DB( )，∴ ∠C = ∠ABD()．又∵ ∠C = ∠D(已知)，∴ ∠D = ∠ABD( )，∴ AC ∥DF ( )．79.在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)．如图，在△ABC 中，已知∠ADE = ∠B，∠1 = ∠2，FG ⊥ AB 于点G．求证CD ⊥ AB．证明：∵ ∠ADE = ∠B(已知)，∴( )，∵ DE ∥ BC(已证)，∴( )，又∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴( )，∴ CD ∥FG( )，∴(两直线平行，同位角相等)，∵ FG ⊥ AB(已知)，∴ ∠FGB = 90∘(垂直的定义)．即∠CDB = ∠FGB =90∘，∴ CD ⊥ AB(垂直的定义)．80. 如图，AB ∥CD，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，试说明：AD ∥BE．(在“”上填空)因为AB ∥ CD(已知)，所以∠4 = ∠( )，因为∠3 = ∠4(已知)，所以∠3 = ∠( )，因为∠1 = ∠2(已知)，所以∠1 + ∠CAF = ∠2 + ∠CAF ()，即∠BAE = ∠，所以∠3 = ∠，所以AD ∥BE( )．81.如图，点P 在CD 上，已知∠BAP + ∠APD = 180∘，∠1 = ∠2，请填写AE ∥PF 的理由．解：因为∠BAP + ∠APD = 180∘，∠APC + ∠APD = 180∘，所以∠BAP = ∠APC．又∠1= ∠2，所以∠BAP −∠1 = ∠APC −∠2，即∠EAP = ∠APF ，所以AE ∥PF ．82. 如图，EF ∥ AD ，AD ∥ BC ，CE 平分 ∠BCF ，∠DAC = 120∘，∠ACF = 20∘，求 ∠FEC 的度数．83. 请把下面证明过程补充完整：已知：如图，∠ADC = ∠ABC ，BE ，DF 分别平分 ∠ABC ，∠ADC ，且 ∠1 = ∠2．求证： ∠A = ∠C ．证明：因为 BE ，DF 分别平分 ∠ABC ，∠ADC ( )， 所以 1 1 ∠1 = 2 ∠ABC ，∠3 = 2∠ADC ( )． 因为 ∠ABC = ∠ADC (已知)，所以 ∠1 = ∠3( )，因为 ∠1 = ∠2(已知)，所以 ∠2 = ∠3( )．所以∥( )． 所以 ∠A + ∠ = 180∘，∠C + ∠ = 180∘( )． 所以 ∠A = ∠C ( )．84.已知AB ∥ DE，CD ⊥ BF ，∠ABC = 128∘，求∠CDF 的度数．解：过点C 作CG ∥ AB，∴∠1+ ∠ABC = 180∘( )，∵ AB ∥ DE(已知)，∴ CG ∥DE( )，∴ ∠CDF = ∠2( )．∵ ∠ABC = 128∘(已知)，∴ ∠1= 180∘−= ∘．∵ CD ⊥ DF (已知)，∴ ∠DCB = 90∘，∴∠2 = 90∘−∠1 = 38∘，∴ ∠CDF = 38∘( )．85.如图，点B，E 分别在直线AC 和DF 上，若∠AGB = ∠EHF ，∠C = ∠D，可以证明∠A = ∠F ．请完成下面证明过程中的各项“填空”．证明：∵∠AGB = ∠EHF (理由：)，∠AGB = (对顶角相等)，∴ ∠EHF = ∠DGF ，∴DB ∥EC(理由：)，∴ ∠= ∠DBA(两直线平行，同位角相等)，又∵ ∠C = ∠D，∴∠DBA = ∠D，∴ DF ∥(内错角相等，两直线平行)，∴∠A = ∠F (理由：)．86.如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠B=90°．(1)填空：∠DAB+∠BCD= °；(2)若AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，求证：AE∥CF．87.请完成下面的证明说理：已知：如图，点E 在DF 上，点B 在AC 上，∠1= ∠2，∠C = ∠D，求证：AC ∥ DF ．证明：∵∠1 = ∠2(已知)，且∠1 = ∠3( )，∴ ∠2 = ∠3(等量代换)，∴∥，∴ ∠C = ∠ABD( )，又∵ ∠C = ∠D(已知)，∴= (等量代换)，∴ AC ∥DF ( )．88.如图，已知：AD ⊥ BC 于点D，EG ⊥ BC 于点G，∠E = ∠1．求证：AD 平分∠BAC．下面是部分推理过程，请你将其补充完整：∵ AD ⊥ BC 于点D，EG ⊥ BC 于点G(已知)，∴ ∠ADC = ∠EGC = 90∘，∴ AD ∥EG( )．∴ ∠1= ∠2( )，= ∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵ ∠E = ∠1(已知)，∴ ∠2=∠3( )．∴AD 平分∠BAC( )．89. 如图，已知∠1 + ∠2 = 180∘，∠3 = ∠B，求证：∠EDG = ∠DGB．90.如图，已知：AB ∥ CD，E 在直线AB 上，且EF ⊥ EG，EF 交直线CD 于点M ．EG 交直线CD 于点N ．(1) 若∠1 = 34∘，求∠2 的度数；(2) 若∠2 = 2∠1，直接写出图中等于4∠1 的角．91.如图，EF ∥ AD，∠1= ∠2，∠BAC = 65∘．将下面求∠AGD 的过程填写完整．解：∵ EF ∥ AD(已知)∴∠2 = ( )又∵ ∠1 = ∠2(已知)∴ ∠1 = (等量代换)∴AB ∥( )∴∠BAC+ = 180∘( )∵ ∠BAC = 65∘(已知)∴∠AGD = ．92.已知：AD ⊥ BC，垂足为D，EG ⊥ BC，垂足为点G，EG 交AB 于点F ，且AD 平分∠BAC ，试说明∠E = ∠AFE 的理由．93.把下面的证明过程补充完整．已知：如图，∠1+ ∠2 =180∘，∠C =∠D．求证：∠A = ∠F ．证明：∵ ∠1 + ∠2 = 180∘(已知)，∴( )，∴ ∠C = ∠ABD( )，∵ ∠C = ∠D(已知)，∴(等量代换)，∴ AC ∥DF ( )，∴ ∠A = ∠F ()．94.如图，直线AB，CD 相交于点O，OE 平分∠AOC，OE ⊥ OF ，∠AOE = 32∘．(1)求∠DOB 的度数；(2)OF 是∠AOD 的平分线吗？为什么？95.如图，AB ∥ DC，AC 和BD 相交于点O，E 是CD 上一点，F 是OD 上一点，且∠1= ∠A．(1)求证：EF ∥ OC．(2)若∠BOC 比∠DFE 大20∘，求∠OFE 的度数．96. 如图①，AB ∥ CD，∠A = 65∘，∠C = 40∘．求∠AOC 的度数．解：过点O 作OE ∥ AB，∵ AB ∥ CD，根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，得OE ∥ CD，根据“两条直线平行，内错角相等”，得∠1 = ∠A = 65∘，∠2 = ∠C = 40∘，∴ ∠AOC = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C = 65∘ + 40∘ = 105∘．以上解决问题的过程，是通过添加一条直线，把要求的角转化为两个角，使问题得到了解决，体现了数学学习中的转化思想，试运用这种思想，解决下面的问题．(1) 如图②，AB ∥ CD，∠A = 112∘，∠C = 140∘，求∠AOC的度数；(2) 如图③，已知AB ∥ CD，在直线AB 上有一光源P ，从点P 发出的一束光线以与直线AB 成32∘角的方向射向垂直于CD 的标杆EF 上的点E 处，求∠PEF 的度数．如图，△ABC 中，CD ⊥ AB 于点D，EF ⊥ AB 于点F ，∠1 + ∠B = 180∘，求证：∠4 = ∠2．请阅读以下证明过程，并补全所空内容．证明：∵ CD ⊥ AB，EF ⊥ AB(已知)，∴ ∠CDA = ∠EFA = 90∘，∴ CD ∥EF ( )，∴ ∠2= ∠( )．又∵ ∠1 + ∠B = 180∘(已知)，∴EG ∥( )，∴ ∠3= ∠，∴ ∠4 = ∠2(等量代换)．98.已知：如图，△ABC 中，D，E，F 三点分别在AB，AC，BC 三边上，点H在线段EF 上，连接DH，∠1 + ∠2 = 180∘，∠3 = ∠C；(1)求证DH ∥ EC；(2) 若∠4 = 32∘，求∠EFC．如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：DF ∥ AC．证明：∵∠1= ∠2(已知)，∠1= ∠3，∠2= ∠4( )，∴ ∠3 = ∠4(等量代换)．∴∥( )．∴ ∠C = ∠ABD( )．∵ ∠C = ∠D( )，∴ ∠D = ∠ABD( )．∴ AC ∥DF ( )．100. 如图，∠1 + ∠2 = 180∘，∠B = ∠3．(1)判断DE 与BC 的位置关系，并说明理由．(2)若∠C = 65∘，求∠DEC 的度数．101. 已知：如图，∠B + ∠C = 180∘，∠1= ∠2，∠A = 40∘，求∠AEF 的度数．完成如下推理填空：解：∵ ∠B + ∠C = 180∘(已知)，∴ AB ∥ DC ( )，又∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴∥( )，∴∥( )，∴ ∠A + ∠AEF = 180∘ ( )，又∵ ∠A = 40∘(已知)，∴40∘+ ∠AEF = 180∘( )，∴∠AEF = ．102.在括号内填写理由．如图，已知∠B + ∠BCD = 180∘，∠B =∠D．求证：∠E = ∠DFE．证明：∵∠B + ∠BCD = 180∘( )，∴ AB ∥CD( )，∴ ∠B = ∠DCE( )，又∠B = ∠D( )，∴ ∠DCE = ∠D( )，∴ AD ∥BE( )，∴ ∠E = ∠DFE( )．103.请把下列证明过程补充完整．已知，如图，∠1 = ∠ACB，∠2 = ∠3，FH ⊥ AB 于H，求证：CD ⊥ AB．理由如下：∵ ∠1 = ∠ACB(已知)，∴ DE ∥BC( )，∴ ∠2 = (两直线平行，内错角相等)，又∵ ∠2 = ∠3(已知)，∴∠3 = ，∴(同位角相等，两直线平行)，∴ ∠BDC = ∠BHF ( )，又∵ FH ⊥ AB(已知)，∴ ∠FHB = 90∘，∴∠BDC = ，∴ CD ⊥ AB．104.完成下列推理说明：如图，已知∠A = ∠F ，∠C = ∠D，试说明BD ∥ CE．解：∵ ∠A = ∠F (已知)，∴∥( )，∴= ∠1( )，又∵ ∠C = ∠D(已知)，∴∠1 = ( )，∴ BD ∥CE( )．105.如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠A=∠D，∠1=∠2，求证：∠B=∠C．106.如图，在△ABC 中，GD ⊥ AC 于点D，∠AFE = ∠ABC，∠1+ ∠2 = 180∘，∠AEF = 65∘，求∠1 的度数．解：∵ ∠AFE = ∠ABC(已知)，∴(同位角相等，两直线平行)，∴ ∠1= ∠(两直线平行，内错角相等)，∵ ∠1 + ∠2 = 180∘(已知)，∴(等量代换)，∴ EB ∥DG( )，∴ ∠GDE = ∠BEA( )，∵ GD ⊥ AC(已知)，∴(垂直的定义)，∴ ∠BEA = 90∘(等量代换)，∵ ∠AEF = 65∘(已知)，∴ ∠1= ∠−∠= 90∘− 65∘ = 25∘(等式的性质)．107.如图，点E 为BA 延长线上的一点，点F 为DC 延长线上的一点，EF 交BC 于点G，交AD 于点H，若∠1 = ∠2，∠B = ∠D．(1)求证：AD ∥ BC；(2) 求证：∠E = ∠F ．108.已知：AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠1+∠2=90°，求证：BC⊥AB．109.如图，在△ABC中，∠1=∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．110. 如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．111.已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1=∠2，试说明：DE⊥AC．112.已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．(1)如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC=°．(2)如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC= °．(3)如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．113.如图，已知：AD ⊥ BC 于点D，EF ⊥ BC 于点F ，∠3= ∠E，求证：AD 平分∠BAC.114.如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．115.推理填空：已知DG ⊥ BC，AC ⊥ BC，EF ⊥ AB，∠1= ∠2.求证：CD ⊥ AB. 证明：∵ DG ⊥ BC，AC ⊥ BC，∴ ∠DGB = ∠ACB = 90∘，∴ DG ∥AC( )，∴∠2 = ( )，∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴ ∠1= ∠，(等量代换)，∴ EF ∥CD( )，∴ ∠AEF = ∠ADC( )，∵ EF ⊥A B，∴∠AEF = 90∘，∴∠ADC = 90∘，∴ CD ⊥AB( ).116.已知：如图，AD ⊥ BC 于D，EF ⊥ BC 于F ，交AB 于G，交CA 延长线于E，∠1= ∠2 ．求证：AD 平分∠BAC．证明：∵ AD ⊥ BC，EF ⊥ BC(已知)，∴∠EFC = ∠ADC = 90∘( )．∴ EF ∥ AD ( )．∴∠1 = (两直线平行，内错角相等)，∠2 = ∠DAC ( )．∵ ∠1 = ∠2(已知)，∴∠DAC = ∠DAB ()．即AD 平分∠BAC ( )．117.问题情境：如图1，AB ∥ CD，∠PAB = 130∘，∠PCD =120∘，求∠APC的度数．小明的思路是：过P 作PE ∥ AB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；(2)问题迁移：如图2，AB ∥ CD，点P 在射线OM 上运动，记∠PAB = α，∠PCD = β，当点P 在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P 在B、D两点外侧运动时(点P 与点O、B、D三点不重合)，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．。
平行线证明题典型例题
平行线证明题典型例题下列哪个条件能证明两条直线平行？（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 两条直线被第三条直线所截，同位角互补C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等D. 两条直线被第三条直线所截，内错角互补若两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，则这两条直线（）。
（单选）A. 一定相交B. 一定平行C. 可能相交，也可能平行D. 无法确定位置关系下列哪个命题是假命题？（单选）A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离C. 若a⊥b，b⊥c，则a∥cD. 不相等的角不是对顶角下列哪个条件不能判定两条直线平行？（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等若两条直线被第三条直线所截，且满足某个条件使得这两条直线平行，那么这个条件可以是（）。
（单选）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上都可以下列说法中正确的是（）。
（单选）A. 直角没有邻补角B. 一个角的邻补角一定是钝角、钝角的邻补角一定是锐角C. 一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角D. 一个角的邻补角一定是锐角下列命题中，真命题是（）。
（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 若a⊥b，b⊥c，则a∥cD. 若a∥b，b∥c，则a∥c下列关于平行线的判定方法中，不正确的是（）。
（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行D. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
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• 证明：由：∠2=∠3 （已知）
∠1+∠3=180°（ 已）知
根据： 等量代换
.
EG 12
A
B
• 得：∠1+∠2=180°.
3
C
D
FH
• 根据：同旁内角互补，两直线平行.
得： EF∥GH 。
如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，试 说明AD∥BC.
• 证明：由BD平分∠ABC（已知），
根据： 角平分线定义 .
A
D
1
2
B
C
E
再根据：内错角相等，两直线平.行
得 AB∥ CD .
1.如图，已知：AB∥CD， ∠1=55°∠2=80°， 求∠3的度数.
A
C
1
23
E
B
D
F
2.如图，已知：AB∥CD， ∠A=70°∠DHE=70°,求证：AM∥EF
M E
G
A
B
H
C
D
F
A
B
由AE∥BD（ 已）知.
根据： 两直线平行，同位角相等. E
DC
得∠BDC=∠E .
• 再根据：等量代换 得：∠ ABD= ∠E .
如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试说 明AB∥CD.
• 证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得∠ACD= ∠.2
又由∠1=∠2（已知）. 根据： 等量代换 . 得∠1=∠ACD .
• 证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
• ∠1=∠3（对顶角相等）.
A
• ∠2=∠4（ 对顶角相等 ）
根据：等量代换
C
得：∠3+ ∠4 =180°.
E
1
B
3
4 D
2 F
• 根据：同旁内角互补，两直线平行
• 得： AB ∥ CD
.
如图，已知：∠DAF=∠AFE， ∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC
平行线的证明练习
如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B， 求证：AB∥EF，DE∥BC。
• 证明：由∠1=∠2 （已知），
• 根据：内错角相等，两直线平行.
• 得AB∥EF.
B
• 又由∠1=∠B（已知 ）.
• 根据：同位角相等，两直线平行
• 得 DE ∥ BC .
A D1 E
2
F
如图，已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.
• 证明：由：∠DAF=∠AFE （ 已）知
A
D
• 根据：内错角相等，两直线平. 行
E
F
• 得：AD∥ EF .
B
• 由：∠ADC+ ∠DC=B180°（已知）.
根据：同旁内角互补，两直线平. 行
• 得：AD∥ BC . • 再根据：平行于同一直线的两条直线互相. 平行
• 得：EF∥BC
如图，已知：∠2=∠3，∠1+∠3=180°， 求证：EF∥GH.
A
D
• 得：∠2=∠3.
1
• 又由：∠2=∠1（已知）来自根据： 等量代换.
2
3
B
C
• 得：∠3= ∠1 . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： AD ∥ BC.
如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说 明∠ABD=∠E.
• 证明：由 AB∥C（D已知），
根据：两直线平行，内错角相等
得：∠ABD= ∠ BD.C