频率域变换

数字图像处理

本章包含的主要内容
傅立叶变换 卷积和卷积定理 频率域低通滤波 频率域高通滤波
2

问题1：傅立叶变换

•
空间域/灰度
•
频率域/幅值与频率
4

• 傅立叶变换的预备知识
¾ 点源和狄拉克函数
一幅图像可以看成由无穷多像素组成，每个像素可以看成 一个点源， 点源可以用狄拉克函数δ表示：
⎧∞ δ ( x, y ) = ⎨ ⎩0
∞
x = 0, y = 0 其他
ε
满足
−∞
∫ ∫ δ ( x, y ) dxdy = ∫ ∫ ε δ ( x, y ) dxdy = 1
−
ε为任意小的正数
5

• 狄拉克函数δ具性有的性质
9 δ函数为偶函数
δ ( − x, − y ) = δ ( x, y )
∞ ∞
9
位移性 或
f ( x, y ) =
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β ) d α d β
f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y )
9 9
可分性 筛选性
δ ( x, y ) = δ ( x)δ ( y )
f (α , β ) =
∞ ∞ −∞ −∞ ∞ ∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x − α , y − β )dxdy
当α=β=0时
f (0, 0) =
−∞ −∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x, y )dxdy
6

¾ 二维线性不变系统
满足线性和齐次性条件的系统称为二维线性系统 9 9 线性
T[ f1(x, y) + f2 (x, y)] = T[ f1(x, y)] +T[ f2 (x, y)]
齐次性
T [ af ( x, y )] = aT [ f ( x, y )]
9
二维线性系统
T[a1 f1(x, y) +a2 f2(x, y)] = aT 1 [ f1(x, y)] + a2T[ f2 (x, y)]
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„ 点扩散函数 当输入为单位脉冲δ(x,y),系统的输出为脉冲响应， 用h(x,y)表示，在图像处理中用作对点源的响应， 称为点扩散函数 „ 位移不变系统 当输入的脉冲响应延迟了α，β单位，即δ(x- α,yβ)，如果输出为h(x- α,y- β)，称此系统为位移不 变系统 对于位移不变系统，系统的输出仅和输入函数的性 态有关，和作用的起点无关
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• 二维线性位移不变系统输入，输出关系图
f (x, y) g(x,y)=f (x, y)* h ( x, y ) T
∞ ∞
g ( x , y ) = T [ f ( x , y )] = T
−∞ −∞ ∞ ∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β ) d α d β
线性 位移不变
= =
−∞ −∞ ∞ ∞
∫∫ ∫∫
f (α , β )T [δ ( x − α , y − β )]d α d β f (α , β ) h ( x − α , y − β ) d α d β
−∞ −∞
线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响 应（点扩散函数）的卷积
9

¾
傅立叶积分的定义 • 调谐信号：
e
jω t
= cos( ω t ) + j sin( ω t )
其中j2=-1 变换因子
• 傅立叶积分：
H ( f ) =
∫
∞ −∞
h ( t )e
− j 2 π ft
dt
其中t代表时间，f代表频率
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振幅图形

傅立叶变换为：

)

,00v v u u −−)]//00N vy M ux +把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到

∑∑−−=11)

,(1

),(N N y x f y x f 8、平均值

问题2：卷积和卷积定理

¾

g（x－α）

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¾相关的几何解释

g(x1+α)g(2x1+α)g(3x1+α)

g(+α)

g(4x1+α) g(-x1+α)

g(5x1+α)

37

38

9相关描述的是两个函数图像的形似程度，当完全相同时，相关函数就会出现一个相关峰值。9

二维连续图像相关定理表示成：

)

,(),(),(),(*

v u G v u F y x g y x f ⋅⇔o 9

二维离散图像相关定理：

)

,(*),(),(),(*

v u G v u F y x g y x f ⇔⋅)

,(),(),(),(*

v u G v u F y x g y x f e e e e ⋅⇔o )

,(*),(),(),(*

v u G v u F y x g y x f e e e e ⇔⋅

z卷积的应用

9平滑性质

－－是指两个函数卷积的结构使得每个函数的精细结构都会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑有定义的函数卷积

9扩散性质

－－指的是卷积结果的区域性扩大：两个只在有限区间，卷积结果的区间线度等于两个函数区间线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增加求意味着能量分布的扩散。