频率域变换
IIR数字滤波器的频率变换
IIR数字滤波器可以分为低通、高 通、带通和带阻滤波器，根据其 频率响应特性进行划分。
滤波器参数
01
02
03
截止频率
滤波器的频率响应在截止 频率处下降到指定的分贝 数。
阶数
滤波器的系统函数中极点 数量，决定了滤波器的动 态特性。
阻带衰减
阻带内最小衰减量，影响 滤波器的噪声抑制能力展，未来研究可以针对特定领域的信号处理需求，开发具有定制化功能 的IIR数字滤波器，以满足不同领域的实际需求。同时，还需要关注滤波器在实际应用中的可靠性和稳 定性，提高其在实际应用中的表现。
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总结词
通过频率变换，低通滤波器能够滤除信号中的高频噪声，保留低频信号。
详细描述
在频率变换过程中，低通滤波器的传递函数会发生变化，使得信号中的高频成 分被滤除，而低频成分得以保留。这种滤波器在信号处理中广泛应用于降噪和 提取有用信号。
实例二：高通滤波器频率变换
总结词
高通滤波器通过频率变换能够滤除信号中的低频噪声，保留高频信号。
详细描述
在频率变换过程中，高通滤波器的传递函数发生变化，使得信号中的低频成分被 滤除，而高频成分得以保留。这种滤波器在信号处理中广泛应用于提取高频特征 和消除背景噪声。
实例三：带通滤波器频率变换
总结词
带通滤波器通过频率变换能够选择性地 保留某一频段的信号，滤除其他频段噪 声。
VS
详细描述
在频率变换过程中，带通滤波器的传递函 数会发生变化，使得某一特定频段的信号 得以通过，而其他频段的噪声被滤除。这 种滤波器在信号处理中广泛应用于频带选 择和信号分离。
04
IIR数字滤波器的频率变换
滤波器频率响应
频率域小波变换分频处理在川西地震勘探中的应用
第¨巷第5期㈤…ⅫM P吾H熟‰篡M F㈤LE uM v。
140．N oj轴n，2010频率域小波变换分频处理在川西地震勘探中的应用李曙光，徐天吉，甘其刚．李显贵f中国i油化I艘静有限。
目Ⅲ南油气舟女目勘探开发研兜院德阳舟院，四川德阳618000摘l：gf《率域十*Ⅱ换m R杠颉年域构建r台Ⅲ∞m硅№＆≈．实现r种对地震资料进行升壤々前构址Ⅱ∞A*．地震台墟f d日∞H％1'亟构尘验袅M．谚A镕能够耵散Ⅸ丹水耐额率¨地震信号，E有较高的分*《自精晡＆针目Ⅲ口m m*届衙客河m致g日月#*热气％层埋茸轻深、地震资料i糖氍，分#$十H#m ∞H g应Ⅲ叛章域小泼变接竹额璃拇赴目^法对诚K的地茬资料进}r了*理．获取r不同额$段∞j№地《散据，将辩成Ⅲf帅震杯窟减m执&漓Ⅻ地震碱性竹析等方Ⅲ．取梆了月想的处理被粜。
美t目：分期；小波}频牢域川W坳玷；丹辨牢：深层地震勘撵D[M-l n0969“脚k J∞口¨47抑“^疏ⅢJ中圈分粪号：IⅥ”4女■#*日：A在地震舫罐中．不{r d频率的地震反射波特征反映了不同的地层岩性、物性及含流体性质’。
州此．町以根据不同地质目标体的反射频率特征对地震资料进行分频处理．提取相应频率段的特{i I=信息．更好地解释目标地质体。
选择一种☆适的打法是宴现对地震资料快速、准确的分频处理的关键。
小渡理论继承和发展r 短时傅里叶变换的局部化思恕，克服了窗n大小水随频率变化和殃乏离散正空赫的缺点，存时间域和频率域具有较好的硒部性和较高的分辨牢等特性2，能准确刻咄地球物理信号在指定时间内的频率，振幅和帕佗等屉件特征。
小渡理论往信号分析、模式识别、图像处理、奇异性检测和讲估计等方面得到丁广泛的应州，利用小波变换的时酬手¨频率特性，可以实现地震资料舯分频赴厦～。
H舸田内学者已做过这力面的研究上作-井将n广泛廊用j二提高地震贷料分辨率、薄培预测、气水识别，储层描述等方面，取得了较好的效果4”1；但是，时州域小波变换分辨率有限．其分频结聚达不到理想的精度．且计算速度较慢、费时费力．不便于大数据培的实际应用，为此．我们基于频率域小渡变换的研究．提出丫一种利用频率域小渡变换实现地震资料分频处理的方i土，井将其应用于川两坳陷地震资料的处理和解释。
什么是信号的时域和频域？
什么是信号的时域和频域？什么是信号的时域和频域？转⾃银河电⽓，详情请点击：https:///NewsDetail-2556.aspx 时域和频域是信号的基本性质，⽤来分析信号的不同⾓度称为域，⼀般来说，时域的表⽰较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和⽅便。
⽬前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。
然⽽，它们是互相联系，缺⼀不可，相辅相成的。
⼀、什么是信号的时域和频域？ 时域即时间域，⾃变量是时间，即横轴是时间，纵轴是信号的变化。
其动态信号是描述信号在不同时刻取值的函数。
时域分析是以时间轴为坐标表⽰动态信号的关系。
频域即频率域，⾃变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图。
频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
频域是把时域波形的表达式作傅⽴叶变化得到复频域的表达式，所画出的波形就是频谱图。
⼆、时频域的关系是什么？ 时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察⾯。
对信号进⾏时域分析时，有时⼀些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。
因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进⼀步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进⾏描述。
动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅⽴叶级数和傅⽴叶变换实现。
周期信号的变换采⽤傅⽴叶级数，⾮周期信号的变换采⽤傅⽴叶变换。
⼀般来说，时域的表⽰较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和⽅便。
⽬前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。
然⽽，它们是互相联系，缺⼀不可，相辅相成的。
三、信号的时域和频域表达⽅式各有什么特点？ 我们描述信号的⽅式有时域和频域两种⽅式，时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系，⽽频域是描述信号在频率⽅⾯特性时⽤到的⼀种坐标系，简单来说，横坐标⼀个是时间，⼀个是频率。
时域表达的特点是简单、直观，也是我们最常⽤的⼀种⽅式，如信号的实时波形，⼀般正弦信号可由幅值、频率、相位三个基本特征值就可以唯⼀确定。
傅里叶变换和逆变换
傅里叶变换和逆变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学工具，用于将一个函数（或信号）从时域（时间域）转换到频域（频率域）表示。
它将一个函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦波的和。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛应用。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx其中，F(k)是频域表示的函数，f(x)是时域的函数，e是自然对数的底，i是虚数单位，k是频率。
逆傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）则是将频域表示的函数转换回时域表示的过程。
它可以通过傅里叶变换的逆运算来实现，将频域函数重新合成为原始的时域函数。
逆傅里叶变换的数学表达式如下：f(x) = (1/N) * Σ[F(k) * e^(2πikx)]其中，f(x)是逆变换后得到的时域函数，F(k)是频域函数，N是函数的长度或采样点数。
傅里叶变换和逆傅里叶变换是一对互为逆运算的数学变换。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以提供信号的频谱信息；逆傅里叶变换则将频域函数转换回时域函数，恢复原始信号的信息。
这对变换在信号处理中广泛应用，帮助我们理解信号的频率特性和进行频域处理。
当我们应用傅里叶变换时，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和离散逆傅里叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）。
离散傅里叶变换将离散的时域序列转换为离散的频域序列，而离散逆傅里叶变换则将离散的频域序列转换回离散的时域序列。
离散傅里叶变换（DFT）的数学表达式如下：X(k) = Σ[x(n) * e^(-2πikn/N)]其中，X(k)是频域表示的序列，x(n)是时域的序列，e是自然对数的底，i是虚数单位，k是频率，N是序列的长度。
离散逆傅里叶变换（IDFT）的数学表达式如下：x(n) = (1/N) * Σ[X(k) * e^(2πikn/N)]其中，x(n)是逆变换后得到的时域序列，X(k)是频域序列，N是序列的长度。
时域滤波器和频域滤波器的变换
时域滤波器和频域滤波器的变换卷积定理函数空间域的卷积的傅⾥叶变换是函数傅⾥叶变换的乘积。
对应地，频率域的卷积与空间域的乘积存在对应关系。
由卷积定理可知所有频域的滤波理论上都可以转化为空域的卷积操作。
给定频率域滤波器，可对其进⾏傅⾥叶逆变换得到对应的空域滤波器；滤波在频域更为直观，但空域适合使⽤更⼩的滤波模板以提⾼滤波速度。
因为相同尺⼨下，频域滤波器效率⾼于空域滤波器，故空域滤波需要⼀个更⼩尺⼨的模板近似得到需要的滤波结果。
空域卷积将模板在图像中逐像素移动，将卷积核的每个元素分别和图像矩阵对应位置元素相乘并将结果累加，累加和作为模板中⼼对应像素点的卷积结果。
通俗的讲，卷积就是对整幅图像进⾏加权平均的过程，每⼀个像素点的值，都由其本⾝和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。
在像素的处理上，是先将结果暂存在于⼀个副本，最后统⼀拷贝，故不会出现处理顺序不同⽽结果不同的情况。
⼆维连续卷积的数学定义：离散形式：频域滤波频率域是由傅⾥叶变换和频率变量 (u,v)定义的空间，频域滤波处理过程：先对图像进⾏傅⾥叶变换，转换⾄频率域，在频域使⽤滤波函数进⾏滤波，最后将结果反变换⾄空间域。
即：⾼斯函数公式：形状：空域⾼斯平滑滤波⾼斯模板的⽣成因为图像是离散存储的，故我们需要⼀个⾼斯函数的离散近似。
具体地，对⾼斯函数进⾏离散化，以离散点上的⾼斯函数值作为权值，组成⼀定尺⼨的模板，⽤此模板对图像进⾏卷积。
由于⾼斯分布在任意点处都⾮零，故理论上需要⼀个⽆穷⼤的模板，但根据" 准则"，即数据分布在的概率是0.9974，距离函数中⼼超过数据所占权重可以忽略,因此只需要计算的矩阵就可以保证对⾼斯函数的近似了。
假设⼆维模板⼤⼩,则模板上元素处的值为：前⾯的系数在实际应⽤中常被忽略，因为是离散取样，不能使取样和为1，最后还要做归⼀化操作。
程序：function filt=mygaussian(varargin)%参数初始化，使⽤varargin处理可变参数情况siz=varargin{1};%模板尺⼨if(numel(siz)==1)siz=[siz,siz];endstd=varargin{2};%⽅差centa = (siz(1)+1)/2;%此处不要取整centb = (siz(1)+1)/2;filt = zeros(siz(1),siz(2));summ=0;for i=1:siz(1)for j=1:siz(2)radius = ((i-centa)^2+(j-centb)^2);filt(i,j) = exp(-(radius/(2*std^2)));summ=summ+filt(i,j);endendfilt=filt/summ;%归⼀化测试：执⾏mygaussian(4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181执⾏fspecial('gaussian',4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181可以看出与Matlab结果相同。
频率域正演公式推导
频率域密度分界面正演公式推导设在直角坐标系中，z 坐标向下为正。
在直角坐标系中有一区域为V 的密度体，其上下z 坐标分别为()ηξ，u h 和()ηξ，l h ，密度为()ςηξρ，,，该密度体在其上部空间产生的重力异常为()z y x g ,,∆为()()()()()[]ςηξςηξςςηξρd d d z y x zG z y x g V⎰⎰⎰-+-+--=∆23222，,,,（1）上式可写为()()[]()()()[]ςςπςςηξρπηξηξd z y x z G z y x g hl hu ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-*=∆⎰23222，，12，,2,,（2）对()z y x g ,,∆进行傅里叶变换可得其频谱表达式为[]()[]()()()()()()()()()ςηξςηξρπςηξςπςηξςηξρπςςπςςηξρπςπηξπηξπηξηξηξπηξηξd d d e e G d d d e z y x z d d e G d z y x z F G F g F z v u i v u i Vv u i hl hu v u i hl hu -+++∞+∞+∞+∞⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-⋅=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222-)(2-)(2--23222，，)(2--23222，，，,212，,212，,2（3） 这里u 和v 分别为x 和y 方向的频率。
在（3）式中只要已知密度函数的具体形式，就可以计算重力场的频谱，后做反变换就可以得到重力场()z y x g ,,∆的值。
为了讨论方便，在这先不妨假设密度函数()ηξρ,只沿横向变化，带入（3）式可得[]()()()()()()()()()ηξπηξρπηξςηξρπςηξηξρπηξπηξπηξπηξηξςπηξπςπηξπd d e e v u i e G d d d e e G d d d e e G g F z hu v u i z hl v u i v u i hl hu z v u i v u i z v u i v u i V⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=∆-+--+-+-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)，(2)，(222)(2-，，2-)(2-2-)(2-2222222221,2,2,2（4）在（4）式中由于指数函数含有自变量()ηξ，的函数，因此很难进行积分，为了能用（4）式表示重力场频谱，必须将指数函数展成级数形式。
傅里叶变换简表
傅里叶变换简表
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学方法。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
下面是傅里叶变换的简表：
傅里叶变换函数：
傅里叶变换F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx
反变换函数：
反傅里叶变换f(x) = ∫[F(k) * e^(2πikx)] dk
常见信号的傅里叶变换：
1. 矩形函数（方波）的傅里叶变换：
F(k) = T * sin(πkT) / (πk)
2. 三角波的傅里叶变换：
F(k) = 2AT * sinc(2πATk)
3. 周期函数的傅里叶级数展开：
f(x) = a0 + Σ(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))
4. 高斯函数的傅里叶变换：
F(k) = σ * sqrt(2π) * e^(-π^2σ^2k^2)
5. 常见频率域运算的傅里叶变换：
a. 时移：f(x - x0) 的傅里叶变换F(k) * e^(2πikx0)
b. 频移：e^(2πik0x) 的傅里叶变换 F(k - k0)
c. 放大：f(ax) 的傅里叶变换 F(k/a) / a
d. 缩小：f(bx) 的傅里叶变换 F(k/b) * b
这只是一些傅里叶变换的简单例子，实际上傅里叶变换的应用十分广泛，还有很多复杂的数学关系和公式。
需要根据具体的问题和需求来进行深入研究和学习。
dft计算公式(一)
dft计算公式(一)DFT相关计算公式1. 离散傅里叶变换(DFT)公式离散傅里叶变换(DFT)是一种将离散时间序列信号转换到频率域的变换方法。
DFT通过以下公式计算得到：X[k]=∑xN−1n=0[n]e−j2πN kn•X[k]表示频域中第k个频率分量的幅度和相位•x[n]表示时域中第n个采样点的数值•N表示离散采样点的总数•j表示虚数单位，即j2=−12. DFT逆变换公式DFT逆变换用于将频域信号转换回时域信号，其计算公式为：x[n]=1N∑XN−1k=0[k]e j2πN kn•X[k]为频域中第k个频率分量的幅度和相位•x[n]为时域中第n个采样点的数值•N为离散采样点的总数•j表示虚数单位，即j2=−13. DFT快速计算算法为了加快DFT的计算速度，常使用快速傅里叶变换(FFT)算法，FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)。
FFT算法的具体步骤包括以下几个部分：1.将离散序列补零至N的整数幂次，使得序列长度为2k，便于分治计算。
2.利用蝶形运算，将序列分为两个子序列，分别进行递归计算。
3.合并子序列结果，得到整个序列的DFT。
例子解释假设有一个长度为N的离散时间序列x[n]，我们想要计算其DFT。
1.通过DFT公式，可以计算每个频率分量的幅度和相位。
2.若要将频域信号转换回时域信号，可以使用DFT逆变换公式进行计算。
3.若想加快计算速度，可以采用FFT算法进行计算。
因此，DFT是一种常用的信号处理方法，通过将时域信号转换为频域信号，可以方便地进行频谱分析、滤波等操作。
快速傅里叶变换(FFT)算法则可以有效地降低计算复杂度，提高计算效率。
以上就是关于DFT及相关计算公式的介绍。
第五章 频率域方法
j2n
37
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A ( )
2 n
(
2 n
2 )2
(2 n
)2
1
1
n
2 2
2
2
n
2
( ) arctan
n
2
1
n
38
谐振频率
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
1 2
图5－13
39
图5－14 振荡环节的 幅相特性
图5－15 振荡环节的对数 幅频渐进特性
统）。 • 由图5－20看出，一阶不稳定环节的幅频与
惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一
样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又 称非最小相位环节。
47
九、延迟环节
延迟环节输入输出关系为 ctrt
Gs
Cs Rs
es
A1
Gj
L0
48
49
5－4 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
58
例5－2 G ( s )1( s 0 2 )0 1 1 0 1 1( 0 .5 s 1 ) s ( s 1 )s (2 )0ss 1 0 .0 s 5 1 五个基本环节 1 10 1 2 s 1 3 s1 1 4 0.05 s 1 5 (0.5s 1)
59
绘制开环系统的波特图
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
傅里叶和拉普拉斯和z变换之间的关系公式
傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号与系统领域中重要的数学工具，它们在信号处理、通信系统、控制系统等方面有着广泛的应用。
这三种变换都是将时域信号转换到频域或复域中，以便对信号进行分析和处理。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间的关系公式，以及它们之间的联系和区别。
1. 傅里叶变换让我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个连续时间域的信号转换到连续频率域的变换。
对于一个时域信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为：X(Ω) = ∫[from -∞ to +∞] x(t)e^(-jΩt) dt其中，X(Ω)表示信号x(t)在频率域的表示，Ω表示频率，e^(-jΩt)是复指数函数。
2. 拉普拉斯变换接下来，我们来介绍拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是将一个连续时间域的信号转换到复频域的变换。
对于一个时域信号x(t)，其拉普拉斯变换可以表示为：X(s) = ∫[from 0 to +∞] x(t)e^(-st) dt其中，X(s)表示信号x(t)在复频域的表示，s = σ + jΩ 是复频率，σ和Ω分别表示实部和虚部。
3. Z变换我们再介绍Z变换。
Z变换是将一个离散时间域的信号转换到复频域的变换。
对于一个离散时间域信号x[n]，其Z变换可以表示为：X(z) = ∑[from 0 to +∞] x[n]z^(-n)其中，X(z)表示信号x[n]在复频域的表示，z = re^(jΩ) 是复频率，r和Ω分别表示幅度和相位。
联系和区别通过以上介绍，我们可以发现，傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换本质上都是将信号在不同域之间进行转换的数学工具。
它们之间的关系可以通过一些特殊的变换或极限情况来表示。
在离散时间信号中，当采样周期趋于无穷大时，Z变换可以近似为拉普拉斯变换。
而在连续时间信号中，当采样周期趋于零时，Z变换可以近似为傅里叶变换。
这些关系公式为我们在不同领域之间进行信号分析和处理提供了便利。
结论傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间存在着密切的联系和区别。
时域与频域
导读：最近在上数字图像处理，时域和频域的概念我没有直观的概念，搜索一下，归纳如下：1.最简单的解释频域就是频率域，平常我们用的是时域，是和时间有关的，这里只和频率有关，是时间域的倒数。
时域中，X轴是时间，频域中是频率。
频域分析就是分析它的频率特性！2. 图像处理中：空间域，频域，变换域，压缩域等概念！只是说要将图像变换到另一种域中，然后有利于进行处理和计算比如说：图像经过一定的变换（Fourier变换，离散yuxua DCT 变换），图像的频谱函数统计特性：图在像的大部分能量集中低，中频，高频部分的分量很弱，仅仅体现了图像的某些细节。
2.离散傅立叶变换一般有离散傅立叶变换和其逆变换3.DCT变换示波器用来看时域内容，频普仪用来看频域内容！！！时域是信号在时间轴随时间变化的总体概括。
频域是把时域波形的表达式做傅立叶变化得到复频域的表达式，所画出的波形就是频谱图。
是描述频率变化和幅度变化的关系。
时域做频谱分析变换到频域;空间域做频谱分析变换到波数域;信号通过系统，在时域中表现为卷积，而在频域中表现为相乘。
无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分析。
由于信号往往在频域比有在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。
音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。
从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。
时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
其动态信号x （t）是描述信号在不同时刻取值的函数。
频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。
频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。
变换及频率域设计
2 T
1
Tw 2
(k nm)
● w'传递函数是w'的有理分式函数，故G(jv)是虚拟频率v的有
理分式函数。
● 分子分母一般是同阶的。
● 变换前后稳态增益不变。
(4) s域和w‘域传递函数的关系
● 当采样周期T减小时，复变量w‘近似等于复变量s；
lim w
T 0
2 lim T 0 T
z z
1 1
●单位速度输入时 m 2
Ge (z) (1 z1)2
(z) 1 (1 z 1)2 2z 1 z 2
E(z) Ge (z)R(z) (1 z 1)2
Tz 1 (1 z 1)2
Tz 1
0 • z0 T • z1 0 • z2 ...
Y
(
z)
Байду номын сангаас
(
z)R(
z)
(2
z
1
z
2
)
(1
Tz 1 z 1
R(t) u(t),
R(
z)
1
1 z
1
R(t) t,
R(z)
Tz 1 (1 z1)2
⑶单位加速度输入
R(t) 1 t2 , 2
T 2 z1(1 z1) R(z) 2(1 z1)3
可得出调节器输入共同的z变换形式
R(z)
A( z ) (1 z1)m
其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多项式，根据终值定理，系统的稳态误差
(T
2
(T
2
)2 )2
|z| Z平面与 W 平面映射关系
w 0 z 1; w 0 z 1; w 0 z 1;
映射
数字图像处理——图像频域变换
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换的频谱分布
程序：DCTFFT.m DCTspectrum.m
离散余弦变换之后的图像左上角对应于频谱的低频成分，最亮。
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换总结
（1）离散余弦变换相对于傅立叶变换而言，只有实数运算，没有复数运算，计 算量大大降低。 （2）离散余弦变换是可分离的变换，其变换核为余弦函数，且正反变换核相同。
u 0 v 0 M 1 N 1
2 x 1 u cos 2 y 1 v
2M 2N 2M 2N
2 x 1 u cos 2 y 1 v
式中：
u, x 0,1, 2, v, y 0,1, 2,
1 M a u 2 M
根据二维离散余弦变换核可以分离性，一般将二维DCT变换可以分成两个一维 DCT变换来完成：
f x, y F行 f x, y F x, v
T T T 转置 F x, v F列 f x, v F u, v 转置 F u, v
f t e j2t dt
j2 t
f t t k T e
dt
f t t k T e j2t dt
f k T e j2 k T
周期为 1 T
图像频域变换_傅里叶变换
f t e j t dt
o
t
F
1
t e j t dt f 0 1
单位冲激串
-
o
sT
sT t
数字图像的频域变换
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数字图像处理
本章包含的主要内容
傅立叶变换 卷积和卷积定理 频率域低通滤波 频率域高通滤波
2
问题1：傅立叶变换
•
空间域/灰度
•
频率域/幅值与频率
4
• 傅立叶变换的预备知识
¾ 点源和狄拉克函数
一幅图像可以看成由无穷多像素组成，每个像素可以看成 一个点源， 点源可以用狄拉克函数δ表示：
⎧∞ δ ( x, y ) = ⎨ ⎩0
∞
x = 0, y = 0 其他
ε
满足
−∞
∫ ∫ δ ( x, y ) dxdy = ∫ ∫ ε δ ( x, y ) dxdy = 1
−
ε为任意小的正数
5
• 狄拉克函数δ具性有的性质
9 δ函数为偶函数
δ ( − x, − y ) = δ ( x, y )
∞ ∞
9
位移性 或
f ( x, y ) =
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β ) d α d β
f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y )
9 9
可分性 筛选性
δ ( x, y ) = δ ( x)δ ( y )
f (α , β ) =
∞ ∞ −∞ −∞ ∞ ∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x − α , y − β )dxdy
当α=β=0时
f (0, 0) =
−∞ −∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x, y )dxdy
6
¾ 二维线性不变系统
满足线性和齐次性条件的系统称为二维线性系统 9 9 线性
T[ f1(x, y) + f2 (x, y)] = T[ f1(x, y)] +T[ f2 (x, y)]
齐次性
T [ af ( x, y )] = aT [ f ( x, y )]
9
二维线性系统
T[a1 f1(x, y) +a2 f2(x, y)] = aT 1 [ f1(x, y)] + a2T[ f2 (x, y)]
7
点扩散函数 当输入为单位脉冲δ(x,y),系统的输出为脉冲响应， 用h(x,y)表示，在图像处理中用作对点源的响应， 称为点扩散函数 位移不变系统 当输入的脉冲响应延迟了α，β单位，即δ(x- α,yβ)，如果输出为h(x- α,y- β)，称此系统为位移不 变系统 对于位移不变系统，系统的输出仅和输入函数的性 态有关，和作用的起点无关
8
• 二维线性位移不变系统输入，输出关系图
f (x, y) g(x,y)=f (x, y)* h ( x, y ) T
∞ ∞
g ( x , y ) = T [ f ( x , y )] = T
−∞ −∞ ∞ ∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β ) d α d β
线性 位移不变
= =
−∞ −∞ ∞ ∞
∫∫ ∫∫
f (α , β )T [δ ( x − α , y − β )]d α d β f (α , β ) h ( x − α , y − β ) d α d β
−∞ −∞
线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响 应（点扩散函数）的卷积
9
¾
傅立叶积分的定义 • 调谐信号：
e
jω t
= cos( ω t ) + j sin( ω t )
其中j2=-1 变换因子
• 傅立叶积分：
H ( f ) =
∫
∞ −∞
h ( t )e
− j 2 π ft
dt
其中t代表时间，f代表频率
10
振幅图形
傅立叶变换为：
)
,00v v u u −−)]//00N vy M ux +把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到
∑∑−−=11)
,(1
),(N N y x f y x f 8、平均值
问题2：卷积和卷积定理
¾
g（x－α）
32
¾相关的几何解释
g(x1+α)g(2x1+α)g(3x1+α)
g(+α)
g(4x1+α) g(-x1+α)
g(5x1+α)
37
38
9相关描述的是两个函数图像的形似程度，当完全相同时，相关函数就会出现一个相关峰值。
9
二维连续图像相关定理表示成：
)
,(),(),(),(*
v u G v u F y x g y x f ⋅⇔o 9
二维离散图像相关定理：
)
,(*),(),(),(*
v u G v u F y x g y x f ⇔⋅)
,(),(),(),(*
v u G v u F y x g y x f e e e e ⋅⇔o )
,(*),(),(),(*
v u G v u F y x g y x f e e e e ⇔⋅
z卷积的应用
9平滑性质
－－是指两个函数卷积的结构使得每个函数的精细结构都会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑有定义的函数卷积
9扩散性质
－－指的是卷积结果的区域性扩大：两个只在有限区间，卷积结果的区间线度等于两个函数区间线度之和。
若结果表示光能量分布的话，分布范围的增加求意味着能量分布的扩散。
9去卷积
－－我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷积。
即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影响。
一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。
9去除噪声
－－即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。
9特征增强
－－以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征（如边、点）的对比度。
9相关的重要应用在于匹配，确定是否有感兴趣的物体区域。
f(x,y)是原始图像
h(x,y)作为感兴趣的物体或区域(模板)如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应
点的位置上达到最大值
45
问题3：频率域低通滤波器
46
常用的频率域低通滤波器
¾理想低通滤波器(ILPF)
00
01(,)(,)0(,)(,)(,)D u v D H u v D u v D D D u v u v ≤⎧=⎨>⎩－－截止频率
－－到原点的距离
半径内的频率分量无损通
过，半径外的频率分量会被滤除
n
截止频率处的值
为其最大值的1/2。