简谐振动的能量要点

1 1 2 2 2 ) t ( soc Ak ) t ( nis A m 2 2
2 2
k m
2
1 1 2 2 2 E m A kA ～表明简谐振动 2 2 的机械能守恒。
能量平均值
2
1 1T 1 2 2 2 Ak t d ) 0 t( nis A m 0 KE 4 2 T
A A 2A 1
2A
2

A 1
O

1
1

2
x
x
x
X
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
讨论： (1)当相位差
)........ ,2 ,1 ,0 k(
k2 ) 1 2(
O
2A
1A
A A 2A 1
同相迭加，合振幅最大。
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 2 的简谐 函数。合振动可视为是角频率为 (1 2 ) 2 、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
X
(2)当相位差
)1 k2( ) 1 2(
O
2A
)........ ,来自百度文库 ,1 ,0 k(
2
1A
X
A 1A A
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于2A 1A 和 2A 1A 之间。
二、多个同方向同频率简谐振动的合成 设： N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等， 且依次间位相差恒为 ，N 个振动表达式可写成
OPQ N
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的 位移,角度 QOX 就是和振动的初相，得:
N A 2 R sin( ) 2
A0 2 R sin( ) 2
N A A0 sin( ) sin( ) 2 2
QOB POB POQ
t soc 1A 1x ) t(soc 2A 2x })1 N ( t{soc NA Nx
求：它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦 琐的三角函数运算。
......
根据矢量合成法则，N 个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
设 ： 2A 1A
0 2 1
两个简谐振动合成得：
2
x 1x x 2 A1 cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t)
2 1 2 1 x 2 A1 cos 2 t cos 2 t 2 2
因1
1 1 N 1 ( ) ( N ) 2 2 2
当 0 时(同相合成)，有
A NA0 , 0 。
三、两个同方向不同频率简谐振动的合成
拍
两个简谐振动的频率 1和 2 很接近，且 2 1
) 2 t2(soc 2A 2x ,) 1 t1(soc 1A 1x
P
R
Q


x A cos(t )
A1 A2 ...... AN A0
A
A2
O
A5
A4
A3

OPB
X
A1
B
PO PB ... PQ R
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图 中各个矢量的起点和终点都在以 P 为圆心的圆周上， 根据简单的几何关系，可得
2
1 1T 1 2 2 Ak t d ) 0 t( soc Ak 0 PE 4 2 T
～对任一谐振系统均成立。
2 E PE KE
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 1 2 E E kA
EP
2
O
Ek
t
x
O
x A cos t
t
简谐振动的机械能守恒 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
例1：一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为 S， 吃水深度为 h ，如不计水的阻力，求此船在竖直方向 的振动周期。 解: 船静止时，浮力与重力平衡
O
P P
y
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
船的位移为 y 时船所受合力为：
f (h y ) Sg mg ySg
合位移：
x x1 x2 A cos(t )
2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
nis 2A 1 nis 1A gt A 2 soc 2A 1 soc 1
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
旋转矢量图示法
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动 出现时强时弱的拍现象。 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。
2 1 2 1 2
x1
t
x2
t
x
t
四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
§14-3 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能
势能
1 2 1 ) t ( nis A m vm KE 2 2 1 2 1 2 2 ) t ( soc Ak xk PE 2 2
2 2 2
系统总的机械能：
P
E KE E
P
E KE E
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:

∵ ∴
Sg
m
m T 2 gS
2
m Sh,
h T 2 g
§15-5 同方向的简谐振动的合成
一、同方向同频率的两个简谐振动的合成 设：一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )