11 动量矩定理
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动量矩定理
第十一章动量矩定理§11-1 引言建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。
Pr ωε§11-2 动量矩一、质点动量矩Vm r V m M L o o r r r r r ×==)(的动量矩为则质点对固定点的速度为时作空间曲线运动，在瞬的作用下在力的质点设质量为O V t F M m ,r r 方向：右手螺旋法则大小：OAB o S d mV L ∆==2)(1、动量对点之矩V m r L o r r r ×=2、动量对轴之矩)(V m M L z z r =正负：右手规则是标量z L 质点对O 点的动量矩矢在通过O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
zz O L L =)(r OabS ∆±=2d v m ′′±=)(二、质点系动量矩各质点动量对某点O 的矩的矢量和（即质点系动量对O 点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。
n n n o V m r V m r V m r L r r L r r r r r ×++×+×=222111各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动量矩。
)()()(2211n n z z z z V m M V m M V m M L r L r r +++=∑=)(i i O V m M r r ∑×=i i i V m r r r ∑=)(i i z V m M rV m r L o r r r ×=由§11-3 质点的动量矩定理V m dt r d dt V m d r dt V m r d r r r r r r ×+×=×)()(得：V dt r d r r =∴dt V m r d )(r r ×∴O 点为固定点V m dt r d r r ×∴一、矢量形式0=V m V r r ×=F r r r ×=dt V m d r )(r r ×=oM F)()(F M dt L d F r dt V m r d o o r r r r r r r =×=×或质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。
11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
力学11-动量矩,动量矩定理,动量矩守恒定律
v
∴ ∑ miυi = 0 v
v
转动时， 转动时，
∴ ∑ miυi = 0
结论： 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——动量矩（角动量） 动量矩（ 必须引入新的物理量 动量矩 角动量）
A外 + A = mgs 内
∆Ek = 1 mυ 2 + 1 Jω 2 2 2 = 1 mR2ω 2 + 1 MR2ω 2 2 4 mgs 2 ω= 并非匀速） R 2m + M （并非匀速）
+
2mg 2 mg 1 ds dω = = β= (2m + M )R R 2m + M 2 s dt dt
L = rp = mrv
Lz = r × p = r × mv
2
Lz = rmυ = r mω = J zω
第六章 刚体力学基础 动量矩
10
质点作任何运动都可以用动量矩来描述其运动状态
例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 v v mυ1 L v v v mυ2 ov v r2 o r1 mυ r
三. 定轴转动的动能定理 ——力矩的持续作用规律 力矩的持续作用规律
作用下，角坐标由θ 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： 角速度 由刚体转动定理：
dω M = Jβ = J dt
Mdθ = Jωdω
对于整个运动过程
∫θ
θ2
理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
11动量矩定理-1
J ( F1 F2 ) R
( F1 F2 ) R J J 讨论 F1 F2 R
只有匀速转动，无外力偶时 或 转动惯量可忽略（不计质量）时， 拉力F1和F2才相等。
（3）研究m1
m1 g FT1 m1a1 m1r1 FT1 m1 ( g r1 )
（4）研究m2
FT2 m2 g m2 a 2 m2 r2
FT2 ห้องสมุดไป่ตู้ m2 ( g r2 )
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力：F1 , F2 , , Fn 约束力：FN , FN 1 2 d ( J z ) M z ( Fi ) M z ( FN )
v mv 0
d (mv ) F dt d M O (mv ) M O ( F ) ——质点的动量矩定理 dt
因此
质点的动量矩定理 d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用力对同一点的矩。 投影式
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
2.质点系的动量矩定理
d M O (mi vi ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt 由于内力成对出现 M O ( Fi (i ) ) 0 dLO d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) dt dt dt 得 dLO M ( F ( e ) ) O i dt
应用时，取投影式
注意： (1)上述动量矩定理的表达形式只适用于对定点或定轴。 (2)内力不会引起动量矩的改变。
动量矩定理
第十一章 动量矩定理
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
第11章 动量矩定理
2．质点的动量矩守恒
三．质点系的动量矩定理及守恒 1．质点系的动量矩定理
dLO dLz (e) (e) (e) M O (F ) M O 或 M z (F (e) ) M z dt dt
2．质点系的动量矩守恒 四．质点系相对质心的动量矩定理
dLC (e) MC dt
或
dLC z (e) MC z dt
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1．刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ) 或 J z M z ( F )
2．刚体平面运动微分方程
maCx Fx
maCy Fy
或
mC Fx x
mC Fy y
JC M C (F )
内力不能改变质点系的动量矩。
注意
１、质点系动量矩定理，适合惯性坐标系，故矩心Ｏ 点是固定点。 ２、内力不能使整个系统的动量矩发生变化。只有外
力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩
发生变化。 3、质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动 的一个量度。
3．动量矩守恒定理
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
R
2. 回转半径 定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，
其回转半径是相同的。
3．平行轴定理
J z J zC md
2
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
x
§11-2 动量矩定理
三．质点系的动量矩定理及守恒 1．质点系的动量矩定理
dLO dLz (e) (e) (e) M O (F ) M O 或 M z (F (e) ) M z dt dt
2．质点系的动量矩守恒 四．质点系相对质心的动量矩定理
dLC (e) MC dt
或
dLC z (e) MC z dt
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1．刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ) 或 J z M z ( F )
2．刚体平面运动微分方程
maCx Fx
maCy Fy
或
mC Fx x
mC Fy y
JC M C (F )
内力不能改变质点系的动量矩。
注意
１、质点系动量矩定理，适合惯性坐标系，故矩心Ｏ 点是固定点。 ２、内力不能使整个系统的动量矩发生变化。只有外
力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩
发生变化。 3、质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动 的一个量度。
3．动量矩守恒定理
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
R
2. 回转半径 定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，
其回转半径是相同的。
3．平行轴定理
J z J zC md
2
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
x
§11-2 动量矩定理
11 动量矩定理讲解
mO r
m2 m1
第十一章 动量矩定理
3、动量矩守恒定理
d dt
M
O
mv
M
O
F
0
ห้องสมุดไป่ตู้
d dt
M
z
mv
M
z
F
0
MO mv 恒矢量 Mz mv 恒量
质点系动量矩守恒定理
当外力对于某点（轴）的主矩等于零时，质点系 对于该点（轴）的动量矩保持不变
第十一章 动量矩定理
第十一章 动量矩定理
例题11-3 圆盘半径R、质量m1，一质量为 m2的人在盘
上由点B按规律 s at2 2 沿半径r的圆周行走，初始
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
Or v
R
B
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： Lz J z
Lz Mz mvC
第十一章 动量矩定理
2、定轴转动刚体
z
Lz Mz mivi miviri miiriri miri2
O1 ri mi
O
mivi 令： miri2 Jz ，称为刚体对于z轴的转动惯量
Lz Jz
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体 对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积
M
O
mv
M
O
F
动量矩定理 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
第11章 动量矩定理
·125·第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数·126·和等于零。
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
质点系的动量可以描述质点两个圆盘（圆盘Ⅰ不动，圆盘Ⅱ绕中心C２以角 速度ω转动）的动量都为零 质点系的动量不能描述质点系相对于质心的运动 状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律
动力学
一、质点的动量矩
11-1 质点和质点系的动量矩
质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶 导数=作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩
动力学
11-2 动量矩定理
二）质点系的动量矩定理 质点系由n个质点组成，第i个质点，作用于该质点 (i ) (e) F F 上的力分为内力 i 和外力 i 质点的动量矩定理
d LO MO (Fi (i ) ) MO (Fi ( e ) ) dt
d (i ) (e) L M ( F ) M ( F dt O O i O i )
内力总是等值反向地成对出现
(i ) M ( F O i )0
动力学
11-2 动量矩定理
d (e) LO M O ( Fi ) dt 质点系动量矩定理： 质点系对任一固定点(或轴) dLx (e) M x ( Fi ) 的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系上所有外 dt 力对同一点 ( 或轴 ) 之矩的矢 dLy M y ( Fi ( e ) ) 量和(或代数和) dt dLz (e) M z ( Fi ) dt
2 d 或 Jz M z ( Fi ) 2 dt
转动惯量是刚体转动时惯性的度量
对比
ma F
例题11-9，10
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
例题11 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承， A端用细绳悬挂，如图11-15所示，试求将细绳突然 剪断瞬时，铰链O的约束反力。 杆作定轴转动，在该瞬时， 角速度 0 角加速度
v1 / R v2 / r LO J O m1v1r1 m2v2 r2
( J O m r m r )
2 11 2 2 2
外力对O点的合力矩
M O ( F ) (m1r1 m2 r2 ) g
(e)
动量矩定理
dLO MO dt
动力学
2 1 1 2 2 2
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n maC 0 FOx
l maC m W FOy 2
FOx 0 l l 3g 1 FOy W m mg m mg 2 2 2l 4
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
J z mi rz2
刚体对轴z的转动惯量 质量连续分布时
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
二、质点系对固定点、轴的动量矩 质点系对点O的动量矩
LO MO (mi vi ) ri mi vi
质点系对坐标轴的动量矩
Lx M x (mi vi ) Ly M y (mi vi ) Lz M z (mi vi )
1）平动刚体的动量矩
动量矩 动量 时间 时间 质量 力 长度 长度 长度
2
1
国际单位制中动量矩的单位 对轴的动量矩是标量
kg m / s
2
M z (mv )
从Z轴正方向看，逆时针为正，顺时针为负 或右手螺旋法则
动力学
讲解例题11-6
11-2 动量矩定理
例题11-7轮轴质心位于O处，对轴O的转动惯量为 Jo。 在轮轴上系有两个质量分别为m1 和 m2的物体。若此 轮轴以顺时针转向转动，求：（1）轮轴的角加速度； （2）轴承O的附加动约束力；（3）绳索的张力。
动力学
11-2 动量矩定理
解：1）以整个系统为研究对象
Lz J z
dLz M z ( Fi ) dt d Jz M z ( Fi ) dt
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
刚体定轴转动微分方程 刚体对转轴的转动惯量与角 加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴之矩的 代数和
J z M z (Fi )
d 或 Jz M z ( Fi ) dt
Lz J z
刚体对Z轴的转动惯量
J z mi ri
2
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转 动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为 JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O 轴的动量矩。 物块A、B速度
R O r ω
动力学
11-2 动量矩定理
四）动量矩定理与动量矩守恒定律应用实例
滑冰运动员
动力学
11-2 动量矩定理
跳水运动员
动力学
11-2 动量矩定理
单旋翼直升机尾部都有尾桨，为什么？
动力学
11-2 动量矩定理
美国长弓阿帕奇AH64D飞行表演
动力学
11-2 动量矩定理
卡52“短吻鳄”武装直升机，共轴双浆， 俄罗斯独门利器
11-2 动量矩定理
d ( JO m r m r ) (m1r1 m2 r2 ) g dt
(m1r1 m2 r2 ) g d dt ( J O m1r12 m2 r22 )
（2）轴承O的附加动约束力 质心运动定理
FN (m m1 m2 ) g (m m1 m2 )aCy
动力学
三）动量矩守恒定律
11-2 动量矩定理
质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于 质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化
MO ( F ( e ) ) 0 M z (F (e) ) 0
→ Lo=常矢量
→ Lz=常量
质点系的动量矩守恒定律 外力系对某一固定点(或某固定轴)的主矩(或力矩 的代数和)等于零时，则质点系对该点(或该轴)的 动量矩保持不变
0
J O M O
突然解除约束问题
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
1 2 l ml ( ) W 3 2 1 2 l ml mg 3 2
3g 2l
再应用质心运动定理求O处的反力
1 2 a l 0 2
n C
ac ac l / 2
maC F e
dr d v ( mv ) 0 (mv ) F v dt dt
d LO r F M O (F ) dt
动力学
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
11-2 动量矩定理
d LO r F M O (F ) dt
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
11-2 动量矩定理
车轮，施加外力矩，车轮就会愈转愈快，动量矩不 断加大；施加反方向的阻力矩，车轮角速度就会愈 来愈小，动量矩不断减小 一）质点的动量矩定理
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
LO r mv
d d dr d LO r mv mv r (mv ) dt dt dt dt
J z r 2 dm
M
转动惯量的量纲:dim J＝ML2 国际单位制中，转动惯量的单位为kg· m2
大飞轮，质量大部分分布在 轮缘。转动惯量大，机器受 到冲击时，角加速度小，可 以保持比较平稳的运转状态
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
1）回转半径（或惯性半径）
z
Jz 或J z m z2 m
LO J mv R
动力学
11-2 动量矩定理
系统外力对轴O的矩为
(e) MO M mg sin R
质点系对轴O的动量矩定理
d [ J mvR] M mg sin R dt
v R
dv a dt
MR mgR 2 sin a J mR 2
ρz:刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)
2）转动惯量的平行轴定理 研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系
动力学
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
动力学
11 动量矩定理
动量定理：质点系动量的变化与外力系主矢之间的 关系 力系向任一点的简化的结果为力系的主矢和主矩 主矢影响质点系动量 外力系的主矩对质点系的运动有什么影响呢？ 1609-1619年，开普勒提出了行星运动三大定律， 其中开普勒的第二定律（面积定律）已经具有 了动量矩守恒定律的意义。
vA R
vB r
LA mA R2
B
LB mBr 2
θ
A
系统对O轴的动量矩
LO ( J O mA R2 mB r 2 )
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-3如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的 转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只 滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。 （2）当轮子又滚又滑时，若vA 、 已知，求轮子的动量和对地 面上B点的动量矩。 1）轮子只滚不滑时B点为速度瞬心
LO M O (mvC ) Lz M z (mvC )
vC
刚体质心的速度
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
2）定轴转动刚体的动量矩 质点mi对转轴z的动量矩 2 M z (mi vi ) ri mi vi ri mirz mi ri 整个刚体对轴z的动量矩