11 动量矩定理
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aCy mi yi m1a1 m2 a2 (m1r1 m2 r2 ) yC mi m m1 m2 m m1 m2
动力学
（3）绳索的张力
11-2 动量矩定理
FN (m m1 m2 ) g (m1r1 m2 r2 )
分别对物体m1和 m2为研究对象
m1 g FT1 m1a1 m1r1 FT1 m1 ( g r1 ) FT2 m2 g m2 a2 m2 r2
FT2 m2 ( g r2 )
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
定轴转动刚体，主动力F1， F2，…，Fn；轴承的约束力FN1， FN2，角速度ω和角加速度α绕z 轴转动 刚体对z轴的动量矩
2 2
2）轮子又滚又滑时
vC vA vCA vA e p mvC m(vA e)
LB mvC BC J C m (vA e) ( R e) ( J A me2 ) mvA ( R e) ( J A mR e)
动力学
2 d 或 Jz M z ( Fi ) 2 dt
转动惯量是刚体转动时惯性的度量
对比
ma F
例题11-9，10
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
例题11 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承， A端用细绳悬挂，如图11-15所示，试求将细绳突然 剪断瞬时，铰链O的约束反力。 杆作定轴转动，在该瞬时， 角速度 0 角加速度
Lz J z
刚体对Z轴的转动惯量
J z mi ri
2
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转 动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为 JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O 轴的动量矩。 物块A、B速度
R O r ω
vA R
vB r
LA mA R2
B
LB mBr 2
θ
A
系统对O轴的动量矩
LO ( J O mA R2 mB r 2 )
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-3如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的 转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只 滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。 （2）当轮子又滚又滑时，若vA 、 已知，求轮子的动量和对地 面上B点的动量矩。 1）轮子只滚不滑时B点为速度瞬心
J z r 2 dm
M
转动惯量的量纲:dim J＝ML2 国际单位制中，转动惯量的单位为kg· m2
大飞轮，质量大部分分布在 轮缘。转动惯量大，机器受 到冲击时，角加速度小，可 以保持比较平稳的运转状态
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
1）回转半径（或惯性半径）
z
Jz 或J z m z2 m
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
质点系的动量可以描述质点系运动的特征之一，但不 能全面描述质点系的运动状态。
两个圆盘（圆盘Ⅰ不动，圆盘Ⅱ绕中心C２以角 速度ω转动）的动量都为零 质点系的动量不能描述质点系相对于质心的运动 状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律
动力学
一、质点的动量矩
11-1 质点和质点系的动量矩
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n maC 0 FOx
l maC m W FOy 2
FOx 0 l l 3g 1 FOy W m mg m mg 2 2 2l 4
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
J z mi rz2
刚体对轴z的转动惯量 质量连续分布时
Lz J z
dLz M z ( Fi ) dt d Jz M z ( Fi ) dt
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
刚体定轴转动微分方程 刚体对转轴的转动惯量与角 加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴之矩的 代数和
J z M z (Fi )
d 或 Jz M z ( Fi ) dt
11-2 动量矩定理
车轮，施加外力矩，车轮就会愈转愈快，动量矩不 断加大；施加反方向的阻力矩，车轮角速度就会愈 来愈小，动量矩不断减小 一）质点的动量矩定理
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
LO r mv
d d dr d LO r mv mv r (mv ) dt dt dt dt
LO J mv R
动力学
11-2 动量矩定理
系统外力对轴O的矩为
(e) MO M mg sin R
质点系对轴O的动量矩定理
d [ J mvR] M mg sin R dt
v R
dv a dt
MR mgR 2 sin a J mR 2
LO M O (mvC ) Lz M z (mvC )
vC
刚体质心的速度
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
2）定轴转动刚体的动量矩 质点mi对转轴z的动量矩 2 M z (mi vi ) ri mi vi ri mirz mi ri 整个刚体对轴z的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi ri 2 mi ri 2
dr d v ( mv ) 0 (mv ) F v dt dt
d LO r F M O (F ) dt
动力学
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
11-2 动量矩定理
d LO r F M O (F ) dt
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
动力学
11 动量矩定理
动量定理：质点系动量的变化与外力系主矢之间的 关系 力系向任一点的简化的结果为力系的主矢和主矩 主矢影响质点系动量 外力系的主矩对质点系的运动有什么影响呢？ 1609-1619年，开普勒提出了行星运动三大定律， 其中开普勒的第二定律（面积定律）已经具有 了动量矩守恒定律的意义。
v1 / R v2 / r LO J O m1v1r1 m2v2 r2
( J O m r m r )
2 11 2 2 2
外力对O点的合力矩
M O ( F ) (m1r1 m2 r2 ) g
(e)
动量矩定理
dLO MO dt
动力学
2 1 1 2 2 2
动力学
11-2 动量矩定理
四）动量矩定理与动量矩守恒定律应用实例
滑冰运动员
动力学
11-2 动量矩定理
跳水运动员
动力学
11-2 动量矩定理
单旋翼直升机尾部都有尾桨，为什么？
动力学
11-2 动量矩定理
美国长弓阿帕奇AH64D飞行表演
动力学
11-2 动量矩定理
卡52“短吻鳄”武装直升机，共轴双浆， 俄罗斯独门利器
质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶 导数=作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩
动力学
11-2 动量矩定理
二）质点系的动量矩定理 质点系由n个质点组成，第i个质点，作用于该质点 (i ) (e) F F 上的力分为内力 i 和外力 i 质点的动量矩定理
d LO MO (Fi (i ) ) MO (Fi ( e ) ) dt
11-2 动量矩定理
d ( JO m r m r ) (m1r1 m2 r2 ) g dt
来自百度文库
(m1r1 m2 r2 ) g d dt ( J O m1r12 m2 r22 )
（2）轴承O的附加动约束力 质心运动定理
FN (m m1 m2 ) g (m m1 m2 )aCy
ρz:刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)
2）转动惯量的平行轴定理 研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系
动力学
动力学
讲解例题11-6
11-2 动量矩定理
例题11-7轮轴质心位于O处，对轴O的转动惯量为 Jo。 在轮轴上系有两个质量分别为m1 和 m2的物体。若此 轮轴以顺时针转向转动，求：（1）轮轴的角加速度； （2）轴承O的附加动约束力；（3）绳索的张力。
动力学
11-2 动量矩定理
解：1）以整个系统为研究对象
vA R
轮子的动量
vA vC BC ( R e) R
Re p mvC mvA R
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
LB J B
J B JC m ( R e)2 J A me2 m ( R e)2
vA LB J A me m ( R e) R
d (i ) (e) L M ( F ) M ( F dt O O i O i )
内力总是等值反向地成对出现
(i ) M ( F O i )0
动力学
11-2 动量矩定理
d (e) LO M O ( Fi ) dt 质点系动量矩定理： 质点系对任一固定点(或轴) dLx (e) M x ( Fi ) 的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系上所有外 dt 力对同一点 ( 或轴 ) 之矩的矢 dLy M y ( Fi ( e ) ) 量和(或代数和) dt dLz (e) M z ( Fi ) dt
MO (mv ) r mv
对照
MO ( F ) r F
投影到各坐标轴—对轴 的动量矩
M x (mv ) ymv z zmv y M y (mv ) zmv x xmv z M z (mv ) xmv y ymv x
动力学
动量矩的量纲
11-1 质点和质点系的动量矩
0
J O M O
突然解除约束问题
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
1 2 l ml ( ) W 3 2 1 2 l ml mg 3 2
3g 2l
再应用质心运动定理求O处的反力
1 2 a l 0 2
n C
ac ac l / 2
maC F e
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
二、质点系对固定点、轴的动量矩 质点系对点O的动量矩
LO MO (mi vi ) ri mi vi
质点系对坐标轴的动量矩
Lx M x (mi vi ) Ly M y (mi vi ) Lz M z (mi vi )
1）平动刚体的动量矩
动力学
三）动量矩守恒定律
11-2 动量矩定理
质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于 质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化
MO ( F ( e ) ) 0 M z (F (e) ) 0
→ Lo=常矢量
→ Lz=常量
质点系的动量矩守恒定律 外力系对某一固定点(或某固定轴)的主矩(或力矩 的代数和)等于零时，则质点系对该点(或该轴)的 动量矩保持不变
动力学
11-2 动量矩定理
动力学
讲解例题11-4
11-2 动量矩定理
例题11-5高炉运送矿石用得卷扬机如图 所示，已知鼓 轮的半径为R，转动惯量为 J，作用在鼓轮上的力偶 矩为 M。小车和矿石总质量为m ，轨道倾角为θ 。设 绳的质量和各处摩擦忽略不计，求小车的加速度 。
解：取小车与鼓轮组成质点系， 视小车为质点。此质点系对轴O 的动量矩为：
动量矩 动量 时间 时间 质量 力 长度 长度 长度
2
1
国际单位制中动量矩的单位 对轴的动量矩是标量
kg m / s
2
M z (mv )
从Z轴正方向看，逆时针为正，顺时针为负 或右手螺旋法则
动力学
（3）绳索的张力
11-2 动量矩定理
FN (m m1 m2 ) g (m1r1 m2 r2 )
分别对物体m1和 m2为研究对象
m1 g FT1 m1a1 m1r1 FT1 m1 ( g r1 ) FT2 m2 g m2 a2 m2 r2
FT2 m2 ( g r2 )
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
定轴转动刚体，主动力F1， F2，…，Fn；轴承的约束力FN1， FN2，角速度ω和角加速度α绕z 轴转动 刚体对z轴的动量矩
2 2
2）轮子又滚又滑时
vC vA vCA vA e p mvC m(vA e)
LB mvC BC J C m (vA e) ( R e) ( J A me2 ) mvA ( R e) ( J A mR e)
动力学
2 d 或 Jz M z ( Fi ) 2 dt
转动惯量是刚体转动时惯性的度量
对比
ma F
例题11-9，10
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
例题11 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承， A端用细绳悬挂，如图11-15所示，试求将细绳突然 剪断瞬时，铰链O的约束反力。 杆作定轴转动，在该瞬时， 角速度 0 角加速度
Lz J z
刚体对Z轴的转动惯量
J z mi ri
2
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转 动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为 JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O 轴的动量矩。 物块A、B速度
R O r ω
vA R
vB r
LA mA R2
B
LB mBr 2
θ
A
系统对O轴的动量矩
LO ( J O mA R2 mB r 2 )
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
例 11-3如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的 转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只 滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。 （2）当轮子又滚又滑时，若vA 、 已知，求轮子的动量和对地 面上B点的动量矩。 1）轮子只滚不滑时B点为速度瞬心
J z r 2 dm
M
转动惯量的量纲:dim J＝ML2 国际单位制中，转动惯量的单位为kg· m2
大飞轮，质量大部分分布在 轮缘。转动惯量大，机器受 到冲击时，角加速度小，可 以保持比较平稳的运转状态
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
1）回转半径（或惯性半径）
z
Jz 或J z m z2 m
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
质点系的动量可以描述质点系运动的特征之一，但不 能全面描述质点系的运动状态。
两个圆盘（圆盘Ⅰ不动，圆盘Ⅱ绕中心C２以角 速度ω转动）的动量都为零 质点系的动量不能描述质点系相对于质心的运动 状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律
动力学
一、质点的动量矩
11-1 质点和质点系的动量矩
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n maC 0 FOx
l maC m W FOy 2
FOx 0 l l 3g 1 FOy W m mg m mg 2 2 2l 4
动力学
11-4 刚体对轴的转动惯量
J z mi rz2
刚体对轴z的转动惯量 质量连续分布时
Lz J z
dLz M z ( Fi ) dt d Jz M z ( Fi ) dt
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
刚体定轴转动微分方程 刚体对转轴的转动惯量与角 加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴之矩的 代数和
J z M z (Fi )
d 或 Jz M z ( Fi ) dt
11-2 动量矩定理
车轮，施加外力矩，车轮就会愈转愈快，动量矩不 断加大；施加反方向的阻力矩，车轮角速度就会愈 来愈小，动量矩不断减小 一）质点的动量矩定理
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
LO r mv
d d dr d LO r mv mv r (mv ) dt dt dt dt
LO J mv R
动力学
11-2 动量矩定理
系统外力对轴O的矩为
(e) MO M mg sin R
质点系对轴O的动量矩定理
d [ J mvR] M mg sin R dt
v R
dv a dt
MR mgR 2 sin a J mR 2
LO M O (mvC ) Lz M z (mvC )
vC
刚体质心的速度
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
2）定轴转动刚体的动量矩 质点mi对转轴z的动量矩 2 M z (mi vi ) ri mi vi ri mirz mi ri 整个刚体对轴z的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi ri 2 mi ri 2
dr d v ( mv ) 0 (mv ) F v dt dt
d LO r F M O (F ) dt
动力学
z Lo Mo(F) O x r v M y A mv
11-2 动量矩定理
d LO r F M O (F ) dt
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
动力学
11 动量矩定理
动量定理：质点系动量的变化与外力系主矢之间的 关系 力系向任一点的简化的结果为力系的主矢和主矩 主矢影响质点系动量 外力系的主矩对质点系的运动有什么影响呢？ 1609-1619年，开普勒提出了行星运动三大定律， 其中开普勒的第二定律（面积定律）已经具有 了动量矩守恒定律的意义。
v1 / R v2 / r LO J O m1v1r1 m2v2 r2
( J O m r m r )
2 11 2 2 2
外力对O点的合力矩
M O ( F ) (m1r1 m2 r2 ) g
(e)
动量矩定理
dLO MO dt
动力学
2 1 1 2 2 2
动力学
11-2 动量矩定理
四）动量矩定理与动量矩守恒定律应用实例
滑冰运动员
动力学
11-2 动量矩定理
跳水运动员
动力学
11-2 动量矩定理
单旋翼直升机尾部都有尾桨，为什么？
动力学
11-2 动量矩定理
美国长弓阿帕奇AH64D飞行表演
动力学
11-2 动量矩定理
卡52“短吻鳄”武装直升机，共轴双浆， 俄罗斯独门利器
质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶 导数=作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩
动力学
11-2 动量矩定理
二）质点系的动量矩定理 质点系由n个质点组成，第i个质点，作用于该质点 (i ) (e) F F 上的力分为内力 i 和外力 i 质点的动量矩定理
d LO MO (Fi (i ) ) MO (Fi ( e ) ) dt
11-2 动量矩定理
d ( JO m r m r ) (m1r1 m2 r2 ) g dt
来自百度文库
(m1r1 m2 r2 ) g d dt ( J O m1r12 m2 r22 )
（2）轴承O的附加动约束力 质心运动定理
FN (m m1 m2 ) g (m m1 m2 )aCy
ρz:刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)
2）转动惯量的平行轴定理 研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系
动力学
动力学
讲解例题11-6
11-2 动量矩定理
例题11-7轮轴质心位于O处，对轴O的转动惯量为 Jo。 在轮轴上系有两个质量分别为m1 和 m2的物体。若此 轮轴以顺时针转向转动，求：（1）轮轴的角加速度； （2）轴承O的附加动约束力；（3）绳索的张力。
动力学
11-2 动量矩定理
解：1）以整个系统为研究对象
vA R
轮子的动量
vA vC BC ( R e) R
Re p mvC mvA R
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
LB J B
J B JC m ( R e)2 J A me2 m ( R e)2
vA LB J A me m ( R e) R
d (i ) (e) L M ( F ) M ( F dt O O i O i )
内力总是等值反向地成对出现
(i ) M ( F O i )0
动力学
11-2 动量矩定理
d (e) LO M O ( Fi ) dt 质点系动量矩定理： 质点系对任一固定点(或轴) dLx (e) M x ( Fi ) 的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系上所有外 dt 力对同一点 ( 或轴 ) 之矩的矢 dLy M y ( Fi ( e ) ) 量和(或代数和) dt dLz (e) M z ( Fi ) dt
MO (mv ) r mv
对照
MO ( F ) r F
投影到各坐标轴—对轴 的动量矩
M x (mv ) ymv z zmv y M y (mv ) zmv x xmv z M z (mv ) xmv y ymv x
动力学
动量矩的量纲
11-1 质点和质点系的动量矩
0
J O M O
突然解除约束问题
动力学
11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
1 2 l ml ( ) W 3 2 1 2 l ml mg 3 2
3g 2l
再应用质心运动定理求O处的反力
1 2 a l 0 2
n C
ac ac l / 2
maC F e
动力学
11-1 质点和质点系的动量矩
二、质点系对固定点、轴的动量矩 质点系对点O的动量矩
LO MO (mi vi ) ri mi vi
质点系对坐标轴的动量矩
Lx M x (mi vi ) Ly M y (mi vi ) Lz M z (mi vi )
1）平动刚体的动量矩
动力学
三）动量矩守恒定律
11-2 动量矩定理
质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于 质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化
MO ( F ( e ) ) 0 M z (F (e) ) 0
→ Lo=常矢量
→ Lz=常量
质点系的动量矩守恒定律 外力系对某一固定点(或某固定轴)的主矩(或力矩 的代数和)等于零时，则质点系对该点(或该轴)的 动量矩保持不变
动力学
11-2 动量矩定理
动力学
讲解例题11-4
11-2 动量矩定理
例题11-5高炉运送矿石用得卷扬机如图 所示，已知鼓 轮的半径为R，转动惯量为 J，作用在鼓轮上的力偶 矩为 M。小车和矿石总质量为m ，轨道倾角为θ 。设 绳的质量和各处摩擦忽略不计，求小车的加速度 。
解：取小车与鼓轮组成质点系， 视小车为质点。此质点系对轴O 的动量矩为：
动量矩 动量 时间 时间 质量 力 长度 长度 长度
2
1
国际单位制中动量矩的单位 对轴的动量矩是标量
kg m / s
2
M z (mv )
从Z轴正方向看，逆时针为正，顺时针为负 或右手螺旋法则