第四章参数的最小二乘法估计
《计量经济学》第四章知识
《计量经济学》第四章知识第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。
这是一个标准的古典线性回归模型。
假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970 751.6 672.11971 779.2 696.81972 810.3 737.11973 864.7 767.91974 857.5 762.81975 847.9 779.41976 906.8 823.11977 942.9 864.31978 988.8 903.21979 1015.7 927.6 来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。
（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。
这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。
在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。
构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。
σ是一个常数。
3. 同方差性：对所有i，有：Var[εi]=σ2，且24. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。
5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。
6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。
模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。
[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
第四章-最小二乘参数辨识方法及原理
脉冲传递函数描述：
Y ( z ) b0 b1 z 1 bn z n B( z 1 ) G( z) = 1 n 1 U ( z ) 1 a1 z an z A( z )
2.随机模型
v(k )
u(k )
G (k )
x(k )
y(k )
观测值可表示为：
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
回
顾
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。 Input
Process 目 的
Output
工程实践
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N N N N ˆ Ri 2 R a 702ti.762i ti ti i 1 i 1 a i 1 i 1 ˆ 2 N N ˆ N. t i2 t i b 3 4344 i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ R 943 .1682 N N 2 N ti ti i 1 i 1
上述N个方程可写成下列向量－矩阵形式
y (n) y (1) u (n 1) y (n 1) y (n 2) y (n 1) y (2) u ( n 2) y (n N ) y (n N 1) y ( N ) u (n N )
第4章 需求回归分析
25 35 -75 65 -35 -65 15 -15 75 -25
625 1225 5625 4225 1225 4225 225 225 5625 625
Y
=175；X =125；∑ (Xi∑(Yi- Y )2=8650；
)( Yi- Y )=10350, X )2=23850；∑(Xi- X
试给出销售量的估计方程。
log Qd log B log b p P log bi I log b0 P0 log bt T
23
幂函数方程的特点：
可以求出相应自变量的边际变化使需求量变化的绝对 数量。但是，这一绝对数量的变化不是既定的常数，而 是受其他自变量数值大小影响。例如： Qd b 1 b0 bt b p aP p I bi P T 0 P 每个系数是相关变量的弹性。例如：
Y
Xi-
X
(Xi-
X
)2
(Xi-
X) ( Yi- Y)
-375 1575 2625 975 1575 975 375 375 2625 -375
(Yi- Y)2 225 2025 1225 225 2025 225 625 625 1225 225
-15 45 -35 15 -45 -15 25 -25 35 15
线性方程 自变量边际变 化引发的因 变量变化的 绝对值 相对比率 不变 变 幂函数 变 不变
25
第三节 需求回归分析 步骤
4. 估计结果及解释
可决系数的 值表示模型的 总解释能力
26
ˆ ±tn-k-1Sb b
如果自变量和因变量之间没有关系，参数b将为零。 因此，应检查在95%的置信区间内是否包括零值。若 不是，则 b ˆ 所度量的X和Y之间的关系在统计上显著 ˆ 不显著 significant；如果包括零，则 b 12 nonsignificant 。
第四章参数的最小二乘法估计
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第四章参数的最小二乘法估计第四章参数的最小二乘法估计第四章最小二乘法与组合测量 1 概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了 200 多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
2 最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量 x 测量一组数据 x1, x2, , xn，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏1 / 22差依次为：1, 2, n 记最可信赖值为，相应的残差 vi xi 。
测值落入(xi, xi dx) 的概率。
vi21Pi exp( 2) dx 2 i i2 根据概率乘法定理，测量x1, x2, , xn 同时出现的概率为 P Pi vi211n exp[ () ](dx) n2ii i() 显然，最可信赖值应使出现的概率 P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即ivi22 i Min 2 o1 权因子：wi 2 即权因子 wi2，则i i 2[wvv] wvii Min 再用微分法，得最可信赖值wxi 1 nii 即加权算术平均值w i 1i 这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它的原理是通过最小化残差平方和来确定模型的参数，从而找到最优的参数估计值。
在统计学和经济学等领域，最小二乘估计被广泛应用于回归分析和时间序列分析等计量经济学问题中。
最小二乘估计的基本原理是基于最小化误差平方和来确定参数的方法。
在回归分析中，我们通常有一组自变量和一个因变量，目标是通过自变量来准确预测因变量。
我们假设因变量与自变量之间存在一种线性关系，并用参数来刻画这种关系。
在最小二乘估计中，我们根据给定的一组样本数据拟合一个线性模型，形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y代表因变量，X1, X2, ..., Xk代表自变量，β0, β1, β2, ..., βk 代表参数，ε表示误差项，即因变量Y的观测值与拟合值之间的差异。
我们的目标是找到最优的参数估计值，即使得误差平方和最小化的参数组合。
为了实现这一目标，我们需要制定一个误差平方和的损失函数。
而在最小二乘估计中，我们选择平方误差和作为损失函数，即损失函数为：L(β0, β1, β2, ..., βk) = Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki))^2其中，i代表样本数据的索引，Yi代表第i个样本数据的因变量值，X1i, X2i, ..., Xki代表第i个样本数据的自变量值。
我们的目标是通过最小化损失函数来找到最优的参数估计值。
为了实现这一目标，我们需要对损失函数进行求导，并令其等于零，求得使损失函数最小化的参数。
对损失函数L(β0, β1, β2, ..., βk)进行偏导数求解，得到以下方程组：∂L/∂β0 = -2Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0∂L/∂β1 = -2ΣX1i(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0...∂L/∂βk = -2ΣXki(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0通过解以上方程组，我们可以得到最优的参数估计值，从而得到最小二乘估计。
最小二乘估计方法
最小二乘估计方法最小二乘估计方法数学中的最小二乘估计方法广泛应用于数据分析、统计学和经济学等领域，为研究问题提供了一个可靠的数学手段。
最小二乘估计方法的基本思想是基于数据的统计分布特性，使用最小化误差平方和的方法对数据进行拟合估计。
一、基本概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它通过拟合方程与观测值之间的残差平方和，来评估拟合程度。
在进行最小二乘法时，首先需要建立合适的函数模型，然后将实际观测值代入模型，获得拟合值。
最后，将残差平方和最小化，确定拟合值。
二、实际应用最小二乘法在实际应用中非常广泛，例如我们可以通过最小二乘法来解决以下问题：1. 数据拟合问题：通过最小化残差平方和来拟合一组数据，可以得到最优解，同时可以帮助我们探索数据之间的关系。
2. 函数拟合问题：对于一些复杂的函数，我们可以使用最小二乘法来确定其参数，从而得到最优的函数拟合。
3. 数据处理问题：在处理实际数据时，我们可以使用最小二乘法来去除数据中的误差，从而得到更准确的结果。
三、特点优势最小二乘法有着广泛的应用和优势，其中一些重要的特点包括：1. 精度高：通过最小二乘法，我们可以在一定程度上排除测量误差，从而得到更精确的估计结果。
2. 建模灵活：最小二乘法的建模过程相对较灵活，可以适应不同的数据分布和模型建立。
3. 稳定性好：对于数据分布存在小波动情况的数据，最小二乘估计方法也有较好的稳定性。
四、总结在科学研究和实际应用中，最小二乘法是一种强大的工具，可以用来拟合数据、解决函数拟合问题以及处理数据中的误差。
它具有精度高、建模灵活和稳定性好等优点，成为了数据科学领域的重要方法之一。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展，人类的活动开始进入了太空，对航天器（包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等）的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下，各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性，它的原理不复杂，数学模型和计算方法也比较简单，编制程序不难，所以它颇受人们的重视，应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据，最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明，在没有粗差的情况下，大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法，用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值，即所谓的批处理算法定轨。
长期以来，在整个天体力学领域之中，各种天体的定轨问题，几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型，通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态X0和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值X。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为P。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程y二Hx0•；，得x =（H T PH）JH T py卫星的参考状态为X； = X0 x0在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
关于指数分布的参数的最小二乘方估计
关于指数分布的参数的最小二乘方估计指数分布（Exponential Distribution）属于连续概率分布，由卡尔古德（Kolmogorov）提出，被广泛应用于数学统计。
它的概率密度函数为f(x;λ)，其中λ > 0是形态参数。
指数分布的最小二乘法（Least Squares Estimation，LSE）可以帮助我们估计出概率密度函数的形态参数λ。
最小二乘法是一种用来估计概率模型参数的统计方法，它将所有模型给定时观测误差的平方和最小化，从而实现参数估计。
式(1)是最小二乘估计求解模型参数的一般迭代形式，其中n是观测数据中的样本数，x_i和y_i分别是第i个样本的输入向量和输出向量。
LSE(λ) = min λ {∑_(i=1)^n (y_i -f(x_i; λ))^2} (1)用最小二乘估计法来估计指数分布的形态参数λ，首先要测量观测数据中的样本量，与之相配置的输入向量和输出向量，进而根据(1)式计算出形态参数λ。
关于求解模型参数的具体步骤可以参照：（1）根据实验数据集计算出指数分布定义域中的样本点；（2）根据指数分布的定义和实验数据，将x和y分别作为样本的输入向量和输出向量，分别令x_i表示实验数据中的i个样本（i = 1,2… n），将模型中的形态参数令为λ；（3）根据指数分布概率密度函数，构造模型容器f(x; λ)，通过最小二乘估计求出模型参数λ，即可得出LSE(λ)的值；（4）检验模型的结果，查看实验数据是否符合指数分布的概率密度函数f(x;λ)，确定是否满意估计结果。
最小二乘方法是一种常用的参数估计方法，用来估计指数分布的形态参数λ，可以很好地有效识别出模型的参数，通过求解式(1)可以估计出概率密度函数最优参数，帮助我们更好地分析数据。
最小二乘法求解参数
最小二乘法求解参数
最小二乘法来估计参数，就是使得实际值与估计值的差距的平方最小。
β可以被已知的未知数计算得到是无偏估计的值。
但是用最小二乘法可以得到最好的线性无偏估计量，因为变异比较小。
所以这种方法就是最稳定的最通用的方法。
如果只有一个β1，也就是只有y与x1，则使用两样本t检验和回归分析是一样的。
因为两样本t检验就可以计算β的置信区间，因此也可以在该回归方程中。
另一种估计参数方法是最大似然函数，用此法估计参数值是一样的，但是仅对于y是连续值情况。
采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何。
在工程物理、化学工程、生物医学、统计学、经济学、信号处理、自动化、测绘学等领域中，许多问题都可归结为求解矩阵方程Ax=b 的问题。
通过计算机仿真说明了在模型中所有变量均具有不可忽略的误差时，全最小二乘法得到的参数估计更接近。
除了线性均方估计外，最小二乘估计是另一种不需要任何先验知识的参数估计方法，最小二乘估计不需要先验统计特性，适用范围更广。
、、。
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
大地四边形 t 2*44 4
中心多边形 t 2*7 4 10
扇形 t 2*5 4 6
r 84 4
r 18 10 8
r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
计量经济学第四章作业参考答案
4.3（1）由题知，对数回归模型为：123ln ln ln t t t i Y G D P C PI u βββ=+++ 用最小二乘法对参数进行估计得：ˆl n 3.6491.796l n 1.208l nt tt Y G D P C P I =-+- （0.322） （0.181） （0.354）t=-11.32129 9.931363 -3.41496120.990R = 20.988R = S.E.=0.112388 F=770.602（2）存在多重共线性。
居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且其简单相关系数为0.985811，说明lnGDP 和lnCPI 存在正相关的关系。
（3）根据题目要求进行如下回归： ○1模型为：121ln ln t t i Y A A G D P v =++ 用最小二乘法对参数进行估计得： l n 3.7451.187l nt t Y G D P =-+ （0.410） （0.039） t= -9.143326 30.65940 20.982R = 20.981R = S.E.=0.143363 F=939.999 ○2模型为：122ln ln t t i Y B B C PI v =++用最小二乘法对参数进行估计得： l n 3.392.254l n t t Y CPI =-+（0.834） （0.154） t= -4.064199 14.62649 20.926R = 20.922R = S.E.=0.291842 F=213.934○3模型为：122ln ln tt i Y B B C PI v =++用最小二乘法对参数进行估计得：l n 0.1441.927l n t t GDP CPI =+ （0.431） （0.080）t= 0.334092 24.2143920.972R = 20.970R = S.E.=0.150715 F=586.337单方程拟合效果都很好，回归系数显著，判定系数较高，GDP 和CPI 对进口的显著的单一影响，在这两个变量同时引入模型引起了多重共线性。
《过程控制与自动化仪表(第3版)》第4章 思考题与习题
第4章思考题与习题1．基本练习题（1）什么是被控过程的特性？什么是被控过程的数学模型？为什么要研究过程的数学模型？目前研究过程数学模型的主要方法有哪几种？答：1）过程控制特性指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。
2）被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。
3）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数；○2指导生产工艺及其设备的设计与操作；○3对被控过程进行仿真研究；○4培训运行操作人员；○5工业过程的故障检测与诊断。
4）机理演绎法和实验辨识法。
（2）响应曲线法辨识过程数学模型时，一般应注意哪些问题？答：1）合理地选择阶跃输入信号的幅度，幅值不能过大以免对生产的正常进行产生不利影响。
但也不能太小，以防其他干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。
一般取正常输入信号最大幅值的10%；2）试验时被控过程应处于相对稳定的工况；3）在相同条件下进行多次测试，消除非线性；4）分别做正、反方向的阶跃输入信号试验，并将两次结果进行比较，以衡量过程的非线性程度；5）每完成一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间再做第二次试验。
（3）怎样用最小二乘法估计模型参数，最小二乘的一次完成算法与递推算法有何区别？答：1）最小二乘法可以将待辨识过程看作“黑箱”。
利用输入输出数据来确定多项式的系数利用)hke=θ来确定模型参数。
k T+)((y k()2）区别：一次完成要知道所有的输入输出数据才能辨识参数，即只能离线辨识。
递推算法可以只知道一部分数据即进行辨识，可用于在线辨识。
（4）图4-1所示液位过程的输入量为1q ，流出量为2q 、3q ，液位为h 被控参数，C 为容量系数，并设1R 、2R 、3R 均为线性液阻。
要求：1）列写过程的微分方程组； 2）画出过程的方框图；3）求过程的传递函数01()()/()G s H s Q s =。
参数的最小二乘法估计
最小二乘法的应用领域
回归分析
在统计学中，最小二乘法被广泛应用 于线性回归分析，用于估计回归模型 的参数。
01
工程领域
最小二乘法在工程领域也有广泛应用， 例如用于参数估计、系统辨识、控制 设计等任务。
05
02
曲线拟合
最小二乘法可用于拟合曲线，例如多 项式曲线、指数曲线等，以描述数据 之间的关系。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量具有最小的方差，因此是有效的。
有效性意味着在同样的样本量下，最小二乘法估计量能够提供更精确的参数估计，减少估计误差。
05
最小二乘法估计的优缺点
优点
无偏性
一致性
在满足一定的假设条件下，最小二乘法估 计量是参数的真实值的无偏估计，即估计 量的期望值等于参数的真实值。
最小二乘法估计量是样本数据的线性 组合，其期望值等于总体参数的真实 值，因此具有无偏性。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计 过程中，估计量的平均值将接近参数 的真实值。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计 量的值将逐渐接近参数的真实值，具 有一致性。
VS
一致性保证了在大样本情况下，最小 二乘法估计量能够给出相对准确的参 数估计。
对于非线性模型，可以通过变量变换 或引入非线性项，将其转化为线性模 型，再利用最小二乘法进行参数估计 。
在时间序列分析中的应用
趋势分析
通过最小二乘法拟合时间序列的趋势项，揭示时间序列的长期趋势和变化规律。
季节调整
对于具有季节性特征的时间序列，可以利用最小二乘法估计季节因子，进而对 原始序列进行季节调整。
第四章参数的最小二乘法估计分解
第四章参数的最小二乘法估计分解在这种方法中，我们假设有一个已知的数学模型，该模型包含一些未知参数。
我们的目标是根据已有的观测值，找到最优的参数值，使得模型给出的理论预测值与实际观测值之间的误差最小。
最小二乘法的核心思想是根据实际观测值和模型的预测值之间的差异，定义一个误差函数，并通过最小化该误差函数，确定最优的参数值。
常用的误差函数是残差平方和，也称为平方误差和。
在最小二乘法中，我们假设有一组实际观测值y(y)，y=1,2,…,y，以及一个数学模型y(y)=y(y;y1,y2,...,yy)，其中y是自变量，yyyy(y)为因变量，y1,y2,...,yy为未知参数。
我们的目标是找到最优的参数值y1^*,y2^*,...,yy^*，使得误差函数ℒ(y1,y2,...,yy)最小化。
误差函数的定义为：ℒ(y1,y2,...,yy)=Σ(y(y)-y(y(y);y1,y2,...,yy))^2其中y(y)为实际观测值，y(y(y);y1,y2,...,yy)为模型的理论预测值。
为了找到最优参数值，我们需要对误差函数进行最小化，即求解参数值使得误差函数的导数为零。
这可以通过求解误差函数的偏导数，并解一个线性方程组得到最优参数值。
最小二乘法估计分解的关键步骤如下：1.根据已有的观测值和数学模型，定义误差函数。
2.对误差函数进行偏导数求解，得到一组方程。
3.将方程转化为矩阵形式，并求解线性方程组，得到最优参数值。
4.将最优参数值代入数学模型，得到对观测值的理论预测值。
5.检验预测值与实际观测值之间的差异，评估参数估计的好坏。
最小二乘法估计分解是一种非常常用的参数估计方法，广泛应用于各个领域，包括统计学、经济学、物理学、工程学等。
它的优点是计算简单，对异常值的影响较小。
然而，最小二乘法也有一些局限性，例如对于非线性模型，其参数估计可能无法得到最优解。
在实际应用中，最小二乘法估计分解可以结合其他方法一起使用，例如正则化方法、加权最小二乘法等，以提高参数估计的准确性和稳定性。
参数的最小二乘估计量 协方差
参数的最小二乘估计量协方差
【原创版】
目录
1.参数的最小二乘估计量
2.协方差
正文
一、参数的最小二乘估计量
在统计学中，最小二乘法是一种用于估计数据集的参数的方法。
最小二乘法通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合函数，这个函数可以表示数据的关系。
参数的最小二乘估计量，是指用最小二乘法估计出的参数值。
例如，我们用直线拟合数据点，那么直线的斜率和截距就是参数。
我们通过最小化误差的平方和，来求解斜率和截距，这两个值就是我们的最小二乘估计量。
二、协方差
协方差是一个衡量两个变量之间相关性的统计量。
协方差的值等于两个变量的平均值之积减去两个变量的标准差之积。
如果协方差的值为正，表示两个变量正相关；如果协方差的值为负，表示两个变量负相关；如果协方差的值为零，表示两个变量之间没有线性关系。
例如，我们研究两个股票的收益率，我们可以通过计算它们的协方差，来看它们之间的相关性。
如果协方差的值为正，表示两个股票的收益率正相关，即一个股票涨，另一个股票也会涨。
如果协方差的值为负，表示两个股票的收益率负相关，即一个股票涨，另一个股票会跌。
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最小二乘法计算公式推导
最小二乘法计算公式推导最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于拟合数据和求解线性回归模型的参数。
下面我将给出最小二乘法的计算公式推导过程。
假设我们有m个数据点，每个数据点有一个自变量x和一个因变量y，我们的目标是找到一个模型来描述x和y之间的关系。
常用的线性模型形式为：y=β0+β1*x+ε其中，β0和β1是我们需要估计的参数，ε表示模型的误差项。
最小二乘法的目标是通过最小化所有数据点与模型的差距来估计参数。
首先，我们定义残差ri为第i个观测点的观测值yi与模型预测值yi~的差：ri=yiyi~我们希望最小化所有残差的平方和来求解参数。
因此，最小二乘法的目标是使得残差平方和函数S最小：S=Σ(ri^2)其中，Σ表示对所有m个数据点求和。
我们将S对参数β0和β1分别求偏导数，并令偏导数为0，可以得到参数的估计值。
首先，对β0求偏导数：∂S/∂β0=2Σ(ri*(1))令∂S/∂β0=0，得到：Σ(ri*(1))=0这个等式的意义是残差的总和等于0。
接下来，对β1求偏导数：∂S/∂β1=2Σ(ri*(1)*xi)令∂S/∂β1=0，得到：Σ(ri*(1)*xi)=0这个等式的意义是残差与自变量的乘积的总和等于0。
利用这两个等式，我们可以求解出β0和β1的估计值。
首先，利用第一个等式，我们可以得到：Σ(ri*(1))=Σ(yiyi~)=0进一步展开得到：ΣyiΣyi~=0因此，β0的估计值可以表示为：β0=(1/m)*Σyi(1/m)*Σyi~其中，(1/m)*Σyi表示观测值y的平均值，(1/m)*Σyi~表示模型预测值yi~的平均值。
接下来，利用第二个等式可以得到：Σ(ri*(1)*xi)=Σ(yiyi~)*xi=0展开后得到：Σyi*xiΣyi~*xi=0因此，β1的估计值可以表示为：β1=(Σyi*xiΣyi~*xi)/Σxi^2其中，Σyi*xi表示观测值y与自变量x的乘积的总和，Σyi~*xi表示模型预测值yi~与自变量x的乘积的总和，Σxi^2表示自变量x的平方的总和。
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精心整理
第四章最小二乘法与组合测量
§1概述
最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据
其后在
x
x,
,
2
1
n
2
1
显然，最可信赖值应使出现的概率P为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即
权因子：
2
2
o
i
i
w
即权因子
i
w∝
2
1
i
，则
再用微分法，得最可信赖值x
11
n
i i
i n
i
i w x
x w
即加权算术平均值
这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。
特别是等权测量条件下，有：
以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法
1x +3x =0.5
2x +3x =-0.3
这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为4321,,,v v v v ，按最小二乘法原理
Min v
i 2
分别对321,,x x x 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程组。
(1x -0.3)+(1x +3x -0.5)=0 (2x +0.4)+(2x +3x +0.3)=0 (1x +3x -0.5)+(2x +3x +0.3)=0
可求出唯一解1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150这组解称之为原超定方程组的最小二乘解。
以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。
即
x j
][][][][2211y a x a a x a a x a a t t t t t t 式中，j a ，y 分别为如下列向量
][k l a a 和][y a j 分别为如下两列向量的内积： ][k l a a =nk nl k l k l a a a a a a 2211 ][y a j =n nj j j y a y a y a 2211
正规方程组有如下特点：
（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。
（2）其它系数关于主对角线对称
（3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。
由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。
和n 令
x
1.矩阵的导数
设n t 阶矩阵。
1112121222122
()()
t i t ij t ni n nt a a a A a a a a A A A a a a
L L L L )
n 阶列向量（n+1阶矩阵）V 和t 阶列向量X
V 与X 的转置（行向量）记为T V 与T X . 关于向量X 的标量函数。
定义如下几个导数。
（1）矩阵对标量x 的导数
阵。
（3）行（列）向量对列（行）向量的导数
行向量T V 对列向量X 的导数等于行向量各组成元素，对列向量各组成元素分别求得
1111
2221n n i n n t
t v v x x v v v v v x x x x x x
v v x x
L
L
M L M L
T
V
(E-4) 1
11
t v v x x L （1（2（3（4()2 T T T T V V V V X X
(E-10) （5）关于常数矩阵与向量乘积的导数
()
T X A A X (E-11) () T T
T
A X =A X
(E-12)
() T T
V V AV =2AV X X
(E-13) () T T
T T
V AV =2V A X X
(E-14) 利用（E-1）、（E-4）、和（E-5）三个定义式，容易证明式（E-6）、（E-7）、（E-8）、和（E-11）、（E-11）成立。
①以下证明式（E-9）
由于1211121121212()()n n i i i T n i in n n nn i i i v v v a a a x x x V v v v x v v v a
a a x x x
L L L L
L AV
1111
1111n n i i n n n nn n i i v v a v a v x x v v a v a v x ax L L L L ＝11111111n n i i n n n nn n i n v v a v a v x x v v a v a v x x
L L L
L L 所以式（E-13）左()+2i i i AV x x x 右T T T V V AV V AV 2.正规方程
2,n l L 均令
g T T A A X =A L (E-18)
当T A A 满秩的情形，可求出
1() T T X A A A L (E-19)
一般地，可从式（E-15）出发，用稳定的数值解法，计算A 的广义逆阵1A 得
1A X L (E-20)
要进一步去研究此问题，可参阅有关近代矩阵分析及其数值方法的专着3．待求量X的协方差矩阵。
已知测量向量L协方差矩阵。
()()T D E E E
L L L L L=
11121
21222
12
n
n
n n nn Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl
L
L
L L
L
ij
Dl
所以
2 .无偏性
对X的估计式（E-19）求数学期望。
3 .有效性
设另有X的无偏估计
则有
故G I A
又
而12()D T X A A 引入单位向量
其中第i 行为1，其它为0
*
X 的y 的。
二是1对t 个未知量的线性测量方程组 AX Y 进行n 次独立的等精度测量，得12,,,n l l l K 其残余误差
12,,,n v v v K 标准偏差 。
如果i v 服从正态分布，那么2][ vv 服从2 分布，其自由度n-t ，有2 变量
的数学期望t n vv E }/]{[2 ，以S 代 。
即有t
n vv S
]
[
令t=1，由上式又导出了Bessel 公式。
2．待求量的精度估计
按照误差传播的观点，估计量12,,,t x x x K 的精度取决于直接测量数据12,,,n l l l K 的精度以及建立它们之间联系的测量方程组。
可求待求量的协方差（见二·3） 矩阵
测量。
测得1号电容值1C =0.3，2号电容值2C =-0.4，1号和3号并联电容值3C =0.5，2号和3号并联电容值4C =-0.3。
试用最小二乘法求123,,x x x 及其标准差。
解：
①列出残差方程组
为计算方便，将数据列表如下：
②按上表计算正规方程组各系数和常数项后，列出正规方程组 解出1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150 ③由 Y AX V 求得V (14)i v i ～
④t
n v i
2
⑤由1() T D A A ，jj d 可得112233,,d d d ⑥ jj xj d
⑦写出结果。
§4非线性参数的最小二乘法
在例5-1中，除了进行4次测量外，又对1号和2号电容器的串联电容)/(2121x x x x 进行测量，测得5y ，方差仍为2 ，那么如何处理呢？简单的办法是把它线性化。
所谓线性化，就是在未知量的附近，按泰勒级数展开取一次项，然后按线性参数最小二乘法进行迭代求解。
则有4-3），式（例5-2在例5-1的基础上，再增加一次测量串联电容)/(2121x x x x ，测得5y =0.14。
试用最小二乘法求123,,x x x 及其标准差
解：先列出测量方程组
1x =0.32x =-0.4 1x +3x =0.52x +3x =-0.3
对前4个线性测量方程组，按例5-1求出解，作为初次近似解
在(0.325,-0.425,0.150)附近，取泰勒展开的一阶近似，
写出线性化残差方程组
整理得正规方程组
解出
例4-3如图所示，要求检定线纹尺0,1,2,3刻线间的距离x1,x2,x3。
已知用组全测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。
L1=1.01,L2=0.98,L3=1.02
L4=2.02,L5=1.98,L6=3.03
解：按前述方法，可以解得
x 1=1.028(0.011)，x 2=0.983(0.011)，x 3=1.013(0.011) 这里，着重说明组合测量方法的优点。
本例对刻度间隔x 1,x 2与x 3分别测了3次，总共测量6次。
若不采用组合测量，按每刻度间隔重复测量3次计，共需作9次测量，比组合测量法多测3次。
如果待检定的刻度间隔远多于3个。
那么可以类似分析得出，采用组合测量法可以大大减少测
t n v 2
有2S jj 相近，
A=48.0933,w 1=1 B=60.4233,w 2=2 A+B=109.298,w 3=3
按下表运算，写出不等权的正规方程组
4A+3B=375.9873
3A+5B=448.7406 解出A=48.5195,B=60.6364。