数学物理方法 (上)

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数学物理方法第一章

存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变函数。
则
x cos y sin

z (cos i sin )
z e
i

指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角，则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e

数学物理方法论文

数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算（一）复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。

如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。

复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=ρ，()x /y arctg =θ。

共轭复数的概念如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

（二）无限远点复球面无限远点：复平面上ρ为无限大的点．复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．（三）复数的运算已知两个复数：211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z3.除法运算[])(i 212121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r rr r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z nn+=5.复数的方根)sin (cosni n z nnθθρ+=（四）典型例题计算下列数值（其中θ为常数）1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++1.2复变函数（一）复变函数的定义对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。

则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。

数学物理方法1-137页PPT文档

u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等，高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课课上记笔记，做标记独立完成作业
4
主要内容
第一章数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简

梁昆淼数学物理方法第1和2章

为
1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4
例：计算 W
解：令
a ib
z a 2 b2
1/ 2
z a ib z (cos i sin )
W a ib [ z (cos i sin )]
z
1/ 2
sin cos
所定义的函数分别叫做反正弦函数及反余弦函数记为22柯西定理23不定积分24柯西公式21复变函数积分21复变函数积分idydxzdzreixdyxdxzdzre由此可见对于有些被积函数而言积分与路径有关ixdyxdxzdzreixdyxdxixdyxdxzdzreixdyxdxxydydxbaxyxydydx由此可见对于有些被积函数而言积分与路径无关一单连通区域qdypdx22柯西定理cddz为区域内境界线积分沿境界线正向进行内外境界线逆时针积分相等23不定积分单连通区域中解析函数reid
（二）、区域概念（1）、邻域由
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的—邻域
（2）、内点定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点（3）、外点定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点（4）、边界点
定点z0的—邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。
y1 y2 y1 y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角关系：
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2

数学物理方法第一章课件

§1.2 复平面区域与边界的定义在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满足一定条件的点集，称为区域。

z0的邻域 : 点集 z z z0
称为z0的邻域 z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0 U z0 , ˆ z , U 0 称为z0的去心邻域内点 : G是一个平面点集, z0 G.如果有z0的一个邻域该邻域内的所有点都属于G, 则z0 称为G的内点. 显然，孤立点集没有内点
开集：如果G的每一点都是其内点,则G称为开集区域：平面点集D称为区域，则有 1. D是开集 (开集性 2. D是连通的 (连通性如 0 arg z 就是一个区域 D 的边界点：设 D 为一区域，点 P 不属于 D ，但在 P 的任何邻域内，有区域D 中的点，则称点P为D的边界点。

D的所有边界点组成D的边界。

如区域0 arg z ，其边界为实轴闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域，记为 D
单连通区域与多连通区域： D是平面一个区域，如果在其中任意作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D则称D是单连通的。

否则，称D是多连通的。

单
连通边界线的取向：多连通若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边，那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的负向。

数学物理方法第一章

2 2
x1 iy 1 x 2 iy 2

x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈，角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而不绕原点转一圈，角不变。一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周）时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为整数）都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么（1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示出（1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别相等时这两个复数才相等。复数加减：
2

2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。

数学物理方法第一章第一节

练习：证明：e iθz 是将复向量 z 向逆时针方向旋转θ 度。
ur u 从原点 (0,0) 出发指向点 P (x,y) 矢量 — o 复矢量。 p
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标
表示
(
：z 的模，
：z 的辐角)
注：用极坐标表示一个复数 z 时，. 复球面
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则平行四边形法则 2. 减法
z=z −z =(x+ 1) ( 2+ 2) ( 1- 2) i y −y ) 1 2 1 iy - x iy = x x +( 1 2
3. 乘法
z=z ×z =(x +iy )⋅(x +iy ) ( 1 2 −yy ) i xy +x y ) 1 2 1 1 2 2 = xx 1 2 +( 1 2 2 1
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
(模相除，辐角相减)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即棣摩弗公式:
6. 开方: 令已知，且设，求：，。
由
有
(k：整数)
即 w 的模与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐角不是一一对应。仅有 n 个不同不同的值满足不同，即
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 ∞ 的四则运算若α≠∞，则
设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立 (加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)

《数学物理方法》第一章.ppt

一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节复数第二节复变函数的基本概念第三节复球面与无穷远点
第一节复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示）虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin

2
n

wn ?
注意根式函数是多值函数
例如记
z
r

cos

2k
2
i sin

2k

数学物理方法第一章

数学物理方法第一章微积分是研究函数的性质和变化规律的重要工具。

在物理学中，微积分被广泛应用于描述物理量的变化、求解微分方程、求解极限和积分等问题。

微积分的基本概念包括导数和积分。

导数用于描述函数的变化率，求解导数可以得到函数的极值和最速下降方向等信息，而积分则可以求解曲线下面积、求解定积分等。

这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如力学中的运动学、电磁学中的电场和磁场分布等。

线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科。

在物理学中，线性代数被广泛应用于描述物理系统的状态、模拟物理过程、求解线性方程组等问题。

物理学中的许多量都可以用向量来表示，而向量之间的运算和变换则可以通过线性代数的方法来描述和求解。

线性代数的基本概念包括向量、矩阵、行列式和特征值等。

这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如量子力学中的波函数、电路分析中的电压和电流关系等。

除了微积分和线性代数，本章还介绍了常微分方程和偏微分方程的基本概念和应用。

常微分方程用于描述只涉及一个自变量和一个未知函数的物理问题，而偏微分方程用于描述涉及多个自变量和多个未知函数的物理问题。

在物理学中，常微分方程和偏微分方程被广泛应用于描述物理系统的演化、求解边值问题和稳态问题等。

这些方程可以通过数值方法和解析方法来求解，从而得到物理系统的行为和性质。

总之，数学物理方法在物理学中起着举足轻重的作用。

本章介绍的微积分、线性代数和常偏微分方程等方法是物理学家研究和解决实际问题的重要工具。

熟练掌握这些数学物理方法对于深入理解物理学的理论和实验现象，提升科研能力和解决实际问题的能力都具有重要意义。

因此，学习和应用数学物理方法是每位物理学家都需要掌握的基本技能。

数学物理方法-第一章

用指数形式求解
1、复数的幂： zn = (reiθ )n = rneinθ = rn (cos nθ + i sin nθ) . n 是正整数.特例特例：特例当 z = r = 1 ,即 z = cosϑ + i sinϑ 时,由上式得
(cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ （De.Moivre 公式）
补充内容
y y arctg ,当x > 0, y > （z在第一象限）;y = 0,arctg = 0 0 x x θ＝argz= arctg y 或者arctg y ＋2π，当x > 0, y < 0(z在第四象限） x π x ± ,当x = 0, y >, < （在坐标轴上） 0 2 y
arctg +π,当 < 0, y > （第象） x 0 z在二限 x 当 < 0, y < （第象） x 0 z在三限 π,当x < 0, y = 0 其中 − π < argtg y < π
定义 :
z = x + iy = (x, y)
here, i = −1 显 i2 = −1, i−1 = i3 = −i ，然可表示表示二维平面上的一个点，该平面被称为复平面，一般用C表示
实 Re(z) = x 虚部 Im(z) = y 部
复数相等：实部和虚部分别相等
模： |z |= r = x2 + y2 = zz 辐角： Arg z = θ + 2kπ 辐角的主值： arg z =θ 复数其它表示： = r(cosθ + i sinθ ) = reiθ z

数学物理方法1课件——第六章拉普拉斯变换

f1(x) ∗ f2 (x) =
∞
−∞ f1(x −η) f2 (η)dη
简单的证明过程要掌握
¾ δ函数有两个重要的特征
（1） δ(x)函数在x=0处为无穷大，在其它处为0；
（2）
δ(x)是归一化的分布函数，即
∫∞ δ (x)dx −∞
=1
¾ δ(x)函数具有挑选性
∫∞ −∞
f
(x)δ (x −
x0 )dx
0
0
p −α
eαt U 1
p −α
其中要求Rep>Reα
例3 求函数f(t)=tn的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ F ( p) = ∞ tn ⋅ e− ptdt 0
当n=1时，
∫ ∫ ∫ 方法1
F( p) =
∞
t
⋅ e− pt dt
=
d2 dp2
∞ e− pt dt
0
=
d2 dp2
⎛ ⎜ ⎝
1⎞
p
⎟ ⎠
=
2 p3
类推，有
tn
U
n! p n +1
例4 求函数f(t)=teαt的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ ∫ F ( p) = ∞ teαt ⋅ e− pt dt = ∞ te−( p−α )tdt
∫ F( p) =
∞
1⋅
e−
pt
dt
=
−
1
e− pt
∞
=
1
0
p 0p
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0

《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数

成绩：
平时考勤：5%；平时作业：10%；期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9

北京大学数学物理方法(上)课件_8 Gama函数

∞ 1 ∞
略−t tz−1 畤t 甽
0 0
略−t tz−1 畤t 甫
1
略−t tz−1 畤t
其中第二部分积分
∞ −t z −1 略 t 畤t 1
对任意的 z 收敛甬并且在 z 的全平面解析甮对于第一部分甬有
1
略−t tz−1 畤t 甽
0
用−由甩n n甡 n=0
∞
∞
1
tn+z−1 畤t
0
甽
用−由甩n 由 n甡 n 甫 z n=0
用由甶甩
男甮
n→∞
畬畩畭畛ψ 用z 甫 n甩 − 畬畮 n畝甽田.
用由男甩
由性质甲和性质男甬得
n→∞
畬畩畭
ψ 用z 甩甫
由由由甫甫 ··· 甫 − 畬畮 n 甽田 z z甫由 z甫n−由由由由甫甫 ··· 甫 z z甫由 z甫n−由由由甫 ··· 甫甲 n
即 ψ 用z 甩甽畬畩畭例如甬令 z 甽由甬可得 ψ 用由甩甽畬畩畭
甀函数的无穷乘积表示由甮考虑函数甀用z 甩由推论申甬函数在全平面解析甮函数的零点就是甀用z 甩的极点甬即田甬 −由甬 −甲甬甮甮甮由
由 <∞ n2 n=1 所以甬由的无穷乘积展开甀用z 甩由 z −z/n 略甽略g(z) z 由甫甀用z 甩 n n=1 可以求出 g 用z 甩甽 γz γ 甽畬畩畭于是甬甀函数的无穷乘积表示则为
用畒略z > 田甩
等式中甬左端积分表达式仅在畒略z > 田时甬即在 z 的右半平面存在甬解析甮而右端函数级数则在 z 甽田, −由, −甲, . . . 的全平面收敛甬解析用不证甩甮在公共部分畒略z > 田相等甮所以右端函数级数就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓甮于是就完成了甀函数的解析延拓甬重新定义的甀函数为

数学物理方法 (上)

数学物理方法第一章

数学物理方法论文

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梁昆淼 数学物理方法第1和2章

数学物理方法第一章课件

数学物理方法第一章

数学物理方法第一章第一节

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数学物理方法第一章

数学物理方法-第一章

数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换

《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数

北京大学数学物理方法(上)课件_8 Gama函数

梁昆淼数学物理方法第1和2章

数学物理方法1课件——第六章拉普拉斯变换