电路定理

第四章 电路定理

本章内容：

1．叠加定理 替代定理 2．戴维南定理和诺顿定理

3．特勒根定理 互易定理 对偶定理

本章重点： 叠加定理, 戴维南定理 诺顿定理 本章难点：特勒根定理和互易定理的应用

§4-1 叠加定理

一、

叠加定理

在线性电阻电路中，当有两个或两个以上的独立电源作用时，则任一电流或电压，都是电路中各个电源单独作用（其它电源不起作用），在该处产生的电流或电压的叠加（代数和）。

即： Λ++=)2()1(u u u Λ++=)2()1(i i i

(a) (b) (c)

二、

叠加定理求解电路的步骤 分析(如图a)

对（a ）图，由KCL 、KVL 得

由上式解得：

可见i 2、u 1分别是i s 、u s 的线性组合，写成：

式中：

对应图（b ）(c)可见电路中的i 2

（1）

、u 1

（1）

和i 2

（2）

、u 1

（2）

分别是激励（电流源

和电压源）单独作用产生的响应.

电压源单独作用，电流源为0相当于开路，如图b 所示。设产生的电流、电压为i 2（1）、u 1（1），则

i 2（1）=

21R R u S + u 1（1）=

S u R R R 2

11

+ 得到的式子与前面一致。 电流源单独作用，电压源为0相当于短路，如图c 所示。设产生的电流、电压为i 2（2）、u 1（2）则 i 2（2）=

S i R R R 211+ u 1（2）=S i R R R

R 2

121+ 得到的式子与前面一致。

以上分析对多个电源的电路也适用。 *总结步骤：

? 将电路分解成电源单独作用

?求分解后电路的响应

?将各响应叠加

*应用叠加定理时应注意的几个问题

1．只适用于线性电路。

2．叠加时，注意电流电压的参考方向，求代数和。分电路中电流、电压的参考方向与原电路相同取“+”号；分电路中电流、电压的参考方向与原电路相反取“-”号

3．在叠加的各个分电路中，不作用的电源为0，电压源为0，看成短路；电流源为0，看成开路。

4．功率不能叠加。（因功率与电流或电压的平方成正比，非线性）

5．受控源保留在电路中。

*举例

例4-1如图所示，求U和I 电阻电流及电流源两端的电压。

(a) (b) (c)

解：电压源单独作用的电路如图b所示，产生的电流、电压为

电流源单独作用的电路如图c所示

U（2）=-4?12

4 )

2 6

3

6

3 (

2

6

3

6

3

?

+

+

+

?

+

+

?

=-24V

I（

2）=12

4

)2

6

3

6

3

(

4

)

6

3

3

(?

+

+

+

?

+

=2A

原电路的电流、电压为

U=U

1

（1）+U

1

（2）=-4V

I=I

2

（1）+I

2

（2）=17A

例：4-2电路如图，求u

3

(a) (b) (C) 解：此电路含有受控源，在分析时保留在电路中

10v电压源单独作用时，如图（b）

4A电流源单独作用时，如图（c）

所以，原电路的电压为：

例4-3 在例4-2图a(下图a)中串入6v 的电压源，求u 3

（a ） (b) (c) (d) 解：由4-3计算知：c 图中u 3(1)=19.6v 由c 图知：i 1(2)= i 2(2)=4

66

+-=-0.6A

u 3(2)=-10 i 1(2)+6 i 1(2)=9.6A

原电路电压 u 3= u 3(1)+ u 3(2)=29.2A 三、 齐性定理及梯形电路

1．齐性定理:在线性电路中，当所有的激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K 倍时，相应（电压和电流）也将同样增大或缩小K 倍。

当电路只有一个激励时，响应与激励成正比。若上题（d ）中电压源从6V 上升到8V ，则响应s u '为

6：8=29.2：s u '可求s u '

2．应用：用齐性定理分析梯形电路

采用倒退法，即在梯形的最远端设一个电流或电压，在推至激励。

例4-4 求梯形电路的支路电流。

解：设最末一条支路的电流

5

i'=1A

则在假设条件下，各支路的电流电压分别为：

已知给定电压为u

S =120V 增加的倍数K=u

S

/

s

u'=120/33.02=3.63,故各支路的

电流、电压同时增加K倍，有

§4-2 替代定理一、替代定理

在线性电阻电路中，若第k条支路的电压u

k 和电流i

k

为已知，那么此支路可

以用一个电压等于u

k 的电压源u

s

或一个电流等于i

k

的电流源i

s

替代，替代后电路

中全部电压和电流均将保持原值。（第k条支路可以是电阻、电压源支路、电流源支路，受控源支路不能替代）即下面a图可以用b图或c图替代。

解释：

1． 对于电路中任何一条支路，如果已知它的端电压，则可以把这条支路拿掉，用一个电压源替代，这个电压源的电压的量值和极性应和原支路的端电压相同。这样替代不会影响电路中其它部分的电流和电压。

2． 对于电路中任何一条支路，如果已知它的电流，则可以把这条支路拿掉，用一个电流源替代，这个电流源的电流的量值和方向应和原支路的电流相同。这样替代不会影响电路中其它部分的电流和电压。

二、

证明： （自学）

如下图a 所示。应用结点电压法可求出u 3=8V ，i 3=1A ， 4

4

620)418161(3+=++u u 3=8V u 3=4 i 3+4 i 3=1A

i 2=8/8=1A

u 3=-6i 1+20

i 1=2A

若把第三条支路拿掉用电压源u S =u 3=8V 或用电流源i s =i 3=1A 来替代；其电路如图b 、c 所示。i 2=8/8=1A ，i 1=2A ，可见其它支路的电流电压不变。

§4-3 戴维宁定理和诺顿定理(等效发电机定理) 第二章第7节学习了不含源（独立电源）的一端口网络（二端网络），其等效电路为一个等效电阻。那么一个含源的二端网络的等效电路如何呢？这就是戴维宁定理要学习的内容。

一、二端网络及其等效电路（复习）

1．二端网络（一端口网络）：在电路分析中，可以把互连的一组元件作为一个整体来看待，当这个整体只有两个端钮用以与外部电路相连时，则不管

它的内部结构如何，称它为二端网络。用方块来表示。

2．特点：流入端口的电流等于流出端口的电流。故也称一端口网络。

3．分类：有源网络、无源网络

）。

1）线性无源网络的等效电路是一个线性电阻（等效电阻、输入电阻R

0（电阻的串并联）

2）线性有源网络的等效电路是一个等效电源支路。可以用电压源串联电阻支路来表示，也可以用电流源并联电阻支路来表示。（戴维南定理和

诺顿定理）

二、戴维南定理

1．定理：一个含源（含有独立电源、线性电阻和受控源的）一端口，对外电路来说，可以用电压源和电阻串联组合来等效置换，此电压源的电压等于

）；电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输一端口的开路电压（u

OC

)。

入电阻(R

eq

为含源一端口。1-1‘的等效电路为b,其等效电阻和开路*图示如下a，设N

S

电压可由c、d求出。

(a) (b) (c) (d)

2． 证明：

设N S 含源一端口，端口的电流为i ，外电路的电阻为R O ，如图a ，由于R O 中的电流为已知，可用电流源i s =i 来替代R O 支路，如图b

（a ） (b) (c) (d) (e)

对图b 求端口电压u ，应用叠加定理得到图c 、d ，则有u=u (1)+u (2)=u oc + R eq i 这一方程对应的等效电路为图e 。故定理成立。左面的电路称为戴维宁等效电路。

应用戴维宁定理关键在于求出开路电压和等效电阻 3． 求输入电阻（有三种求法）

1） 当网络中不含有受控源时，设网络内所有电源为零时，求等效电阻。 2） 当网络中含有受控源时，设网络内所有独立电源为零时，在端口外加一个电压u s ，计算端口的电流i ，则R eq =

i

u s

3） 试验的方法，测出或计算出端口的开路电压u OC 和短路电流i SC

R eq =

SC

OC

i u

三、

诺顿定理

1. 定理：一个含有独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可

以用电流源和电导并联组合来等效置换，此电流源的电流等于一端口的短路电流（i sC ）；电导等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电阻(G eq ) 2. 证明：由一端口图（a ）应用戴维宁定理得到图(b)，再应用电压源和电流源

的等效变换得到图(c)，其左部分称为诺顿等效电路

（a ） (b) (c)

)2()1(i i i +==u G i eq sc - 其等效电路如图（c ）

戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称等效发电机电路，相应的定理称为等效发电机定理。 四、

举例

1．例4-5已知如图a 中每个电阻和电压源的数值，求电阻R 3的电流

（a ） (b) (c)

(d) (e) (f) 解：电路的左边如图b ，可求出等效电路c

R=R 1//R 2 u s =-R 1i+u s1

电路的右边如图d ，求出R cd ，可等效成c 。 由最后的等效电路f 可求电流i 3。 2．例4-7求下图a 的一端口的等效发电机

解：由电路知，求短路电流方便。

R eq =

20

14012011

++=8Ω

故等效电路如图b 所示。

3． 例4-8如下图a 所示，含有受控源i c =0.75i 1，求戴维南等效电路和诺顿等效电路。

（a ） (b) (c) (d) 解：对（a ）图，求出i 1、i 2就可以求出开路电压，

由KCL 得

i 2=i 1+i c =1.75i 1 由KVL 得

5310??i 1+202310i ?=40

解上面两个方程得：i 1=10mA u oc =20?103?i 2=35V

对图（b),求短路电流

端口短路，i 2=0 i 1=40/5=8A i sc = i 1+i c =1.75 i 1=14 mA

等效电阻为R eq = u oc / i sc =2.5k Ω 故得到等效电路（b ）(d)

*说明：通常两个等效电路同时存在，但对含受控源电路，等效电阻可能为0，∞或负电阻,若为R eq =0，等效成一个电压源，诺顿等效电路不存在；若R eq =∞，等效成一个电流源，戴维宁等效电路不存在；这种情况下，两个等效电路不同时存在。

当仅对电路中某个元件分析时应用该定理非常方便。（适用于单一元件的分

析） 五、

最大功率传输、匹配的概念

电阻R 吸收的功率为：p=i 2

R=2

2

)

(R R R

u eq oc + 用数学的手段求功率的极值

dR

dp =0 dR dp =4

2

2)(])()(2[R R R R R R R u eq eq eq oc ++-+=O 当R=R eq 时R 获得最大功率，这时，负载电阻与一端口的输入电阻匹配

最大功率 p max =eq

oc

R u 42

例4-9，求电路外接可调电阻等于多少时，从电路获得的功率最大。

(a) (b)

解：由戴维宁定理化简a 电路，得到戴维宁等效电路如图b

开路电压u oc =-

320520

52052010?+?+?+=4V

等效电阻R eq =16+5

205

20+?=20k Ω

可求得R=R eq =20k Ω时R 获得最大功率，p max =eq

oc

R u 42=0.2W

结论：对于下图示的含源一端口网络，外加负载电阻的大小可以变动，当满足负载电阻等于一端口网络的输入电阻（R=R eq ）时，负载获得最大功率

（p max =eq

oc

R u 42），称负载电阻与一端口的输入电阻匹配（负载与电源内阻匹配）。

（a ） (b)

注意：若实际电路为b 图，则功率传输效率为50%，若实际电路为b 图（电源为等效电源），则效率不一定为50%。

1） 在电信工程中，信号一般很弱，要驱动扬声器，就要获得较大的功率，则要使负载电阻与电源的内阻匹配。

2） 在电力系统中，输送功率很大，要获得较大的传输效率，要使电源的内阻很小。

§4-4 特勒根定理

是关于功率关系的定理

一、

特勒根定理

1． 定理1：对于一个具有n 个结点和b 条支路的电路假设各支路电流和各支路电压取关联参考方向，并令（i 1、i 2、…i b ）、（u 1、u 2、…u b ）分别为b 条支路的电流和电压，则对任何时间t ，有

01

=∑=b

k k

k i

u

*证明：设结点①②③的电压分别为u n1、u n2、u n3，由KVL 得各支路的电压为：

对结点①②③应用KCL ，得

又因为

整理得：

=0

写成：

∑==6

10k k

k i

u

推广到n 个结点b 条支路有

01

=∑=b

k k

k i

u

上式表明：任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。特勒根定理适用于任何线性、非线性、时变、时不变的集总电路（因它与支路本身的内容无关）。

2． 定理2（拟功率定理）：如果有两个具有n 个结点和b 条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的的支路构成。设各支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用（i 1、i 2、…i b ）、（u 1、u 2、…u b ）和（1∧

i 、2∧

i 、…

b i ∧

）

、（1∧u 、2∧u 、…b u ∧

）表示两个电路中b 条支路的电流和电压，则在任何时间t ，有

01

=∑=∧b

k k k

i u

01

=∑=∧

b

k k k

i u

*证明：以上两个电路的图是相同的，对a 图应用KVL 有

对b 图应用KCL 有：

1∧

i +2∧i -4∧

i =0

2∧

-i +3∧

i +5∧

i =0 3∧

-i +4∧

i +6∧

i =0

可证得 ∑=∧b

k k k

i u

1

=0

§4-5 互易定理

互易定理

对于一个仅含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，在激励和响应互换位置时，其比值保持不变。（理解为：对于一个仅含线性电阻的电路，当激励和响应互换位置时，在单一激励下产生的响应与激励的比保持不变） 一、

互易定理的第一种形式

设a 图电路的方块内仅含有线性电阻，不含独立电源和受控源，接在1-1'端口的是电压源u s （它是电路中唯一的激励），接在2-2'端口的支路短路，短路电流为i 2(它是激励所产生的响应)；若将激励和响应互换得到b 图，接在2-2'端口的

是电压源s u ∧（它是电路中唯一的激励），接在1-1'端口的支路短路，短路电流为1∧

i (它是激励所产生的响应)；

可见，在激励和响应互换前后，若把电压源置0，则电路保持不变（图c ）。则，它们电路的图相同。

（a ） (b) (c)

应用特勒根定理得：

式中：和号代表方块内所有支路，由于是电阻电路，则

比较上面两个式子得

将a 图中S u u =1 02=u b 图中01=∧

u 、s u u ∧

∧

=2带入上式得

上式表明：如果 s u ∧

=S u 则 12∧

=i i 二、互易定理的第二种形式

接在1-1'端口的是电流源i s （它是电路中唯一的激励），接在2-2'端口的支路

开路，开路电压为u 2(它是激励所产生的响应)；若将激励和响应互换得到b 图，接在2-2'端口的是电流源s i ∧

（它是电路中唯一的激励），接在1-1'端口的支路开路，开路电压为1∧

u (它是激励所产生的响应)；

可见，在激励和响应互换前后，若把电流源置0，则电路保持不变（图c ）。

则，它们电路的图相同。

同样，由特勒根定理可求出

将a 图中i 1=-i s i 2=0 b 图中1∧

i =0、2∧

i =-s i ∧

带入上式得

上式表明：如果i s =s i ∧

则u 2=1∧

u 三、互易定理的第三种形式（如下图）

同样，由特勒根定理可求出

将a 图中i 1=-i s u 2=0 b 图中1∧

i =0、2∧u =s u ∧

带入上式得

上式表明：在数值上如果i s =s u ∧

则i 2=1∧

u

§4-5 对偶原理

两个关系式或两组方程通过对偶元素互换后，两个关系式或两组方程能彼此转换，这两个关系式或两组方程就互为对偶。（就如用面料花色不同的布料做成的两套样式完全相同的服装） 一、

对偶元素：将关系式中的元素（变量），若有对应关系可以彼此互换，这

些互换元素称为对偶元素。

如u=Ri i=Gu ，中电阻和电导、电压和电流就是对偶元素。 又如：串联和并联

R=∑=n

k k R 1

G=∑=n

k k G 1

i=u/R u=i/G

u k =

u R R k i k =i G

G k 上式表明：电压和电流、电阻和电导、串联和并联都是对偶元素。 再如：结点电压和网孔电流

122121)(s m m u i R i R R =-+ 122121)(s n n i u G u G G =-+

223212)(s m m u i R R i R =++- 223212)(s n n i u G G u G =++-

上式表明：结点电压和网孔电流、电阻和电导互换，两个方程可以互换。故结点电压和网孔电流、电阻和电导都是对偶元素。这两个电路为对偶电路。 二、对偶原理

电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应地置换后，所得的关系（或方程）也一定成立，后者和前者互为对偶。这就是对偶原理。 在实际中，对偶电路很多，可以应用对偶原理进行分析。

本章小结： 1．叠加定理

2．戴维宁定理和诺顿定理 3．特勒根定理和互易定理