第四章 电路定理

第四章 电路定理电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。

因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。

应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。

需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。

4-1 应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。

解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a ）和（b ）所示。

对（a ）图应用结点电压法可得1sin 5)121311(1t u n =+++ 解得 15sin 3sin 53n t u t V== (1)111113sin sin 2133n ab n u u u t t V=⨯==⨯=+对（b ）图，应用电阻的分流公式有1132111135t t e i e A--+=⨯=++所以 (2)110.25t t ab u i e e V--=⨯==故由叠加定理得(1)(2)sin 0.2t ab ab ab u u u t e V -=+=+4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。

解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。

对（a ）图应用结点电压法有105028136)101401281(1++=+++n u解得(1)113.650.10.0250.1n u u +==++ 18.624882.6670.2253V===对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得10402(8)32161040331040183(8)21040si u V ⨯⨯++=⨯=⨯=⨯+++ (2)16182323si u u V-==-⨯=-所以，由叠加定理得原电路的u 为(1)(2)24888033u u u V =+=-=4-3 应用叠加定理求图示电路中电压2u 。

解：根据叠加定理，作出2V电压源和3A电流源单独作用时的分电路如题解图（a）和（b）。

受控源均保留在分电路中。

（a）图中(1)120.54i A==所以根据KVL有(1)(1)21322320.521u i V=-⨯+=-⨯⨯+=-由（b）图，得0)2(1=i(2)2339u V=⨯=故原电路中的电压(1)(2)2228u u u V=+=4-4应用叠加定理求图示电路中电压U。

解：按叠加定理，作出5V和10V电压源单独作用时的分电路如题解4-4图（a）和（b）所示，受控电压源均保留在分电路中。

应用电源等效变换把图（a）等效为图（c），图（b）等效为图（d）。

由图（c），得311)1(32)1()1(5212152-=⨯++-=UUU从中解得(1)3U V=-由图（d）得(2)(2)(2)2020223312112133U UU++=⨯=++从中解得(2)20341113U V==-故原电路的电压(1)(2)341U U U V=+=-+=注：叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应，而不能用来计算功率。

这是因为线性电路中的电压和电流都与激励(独立源)呈线性关系，而功率与激励不再是线性关系。

题4-1至题4-4的求解过程告诉我们：应用叠加定理求解电路的基本思想是“化整为零”，即将多个独立源作用的较复杂的电路分解为一个一个（或一组一组）独立源作用的较简单的电路，在分电路中分别计算所求量，最后代数和相加求出结果。

需要特别注意：（1）当一个独立源作用时，其它独立源都应等于零，即独立电压源短路，独立电流源开路（2）最后电压、电流是代数量的叠加，若分电路计算的响应与原电路这一响应的参考方向一致取正号，反之取负号。

（3）电路中的受控源不要单独作用，应保留在各分电路中，受控源的数值随每一分电路中控制量数值的变化而变化。

（4）叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源作用，也可以一次让多个独立源同时作用（如4－2解），方式的选择以有利于简化分析计算。

学习应用叠加定理，还应认识到，叠加定理的重要性不仅在于可用叠加法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。

4－5 试求图示梯形电路中各支路电流，结点电压和sou u 。

其中s u ＝10V 。

解：由齐性定理可知，当电路中只有一个独立源时，其任意支路的响应与该独立源成正比。

用齐性定理分析本题的梯形电路特别有效。

现设支路电流如图所示，若给定'551i i A == 则可计算出各支路电压电流分别为''5''225''442'''3345'''1132'''1123'''112012020(420)12424/1224/12221353524391344443955o o n n n n n n s s n u u i V u u i V i i u Ai i i i Au u i u V i i i i Au u i u V ==⨯=⨯===⨯+=⨯=======+=+===⨯+=⨯+===+=+===⨯+=⨯+=即当激励's s u u =V 55=时，各电压、电流如以上计算数值，现给定 =s u 10 V ，相当于将以上激励'su 缩小了5510倍，即 1125510==K故电路各支路的电流和结点电压应同时缩小112倍，有'11'22'33'44'55'11'22'2840.72711112211111263111124211112211111278391111248241111240201111n n n n o o i Ki A i Ki Ai Ki Ai Ki Ai Ki Au Ku V u Ku V u Ku V==⨯====⨯===⨯===⨯===⨯===⨯===⨯===⨯=输出电压和激励的比值为 404110.3641011o s u u ===注：本题的计算采用“倒退法”，即先从梯形电路最远离电源的一端开始，对电压或电流设一便于计算的值，倒退算至激励处，最后再按齐性定理予以修正。

4－6 图示电路中，当电流源1s i 和电压源1s u 反向时（2s u 不变），电压ab u 是原来的0.5倍；当1s i 和2s u 反向时（1s u 不变），电压ab u 是原来的0.3倍。

问：仅1s i 反向（1s u ，2s u 均不变），电压ab u 应为原来的几倍？解：根据叠加定理，设响应 ①231211s s s ab u K u K i K u ++=式中1K ，2K ，3K 为未知的比例常数，将已知条件代入上式，得②1121320.5ab s s s u K i K u K u =--+③2312113.0s s s ab u K u K i K u -+-= ④231211s s s ab u K u K i K xu ++-= 将式①，②，③相加，得⑤2312118.1s s s ab u K u K i K u ++-=显然⑤式等号右边的式子恰等于式④等号右边的式子。

因此得所求倍数。

1.8x =注：本题实际给出了应用叠加定理研究一个线性电路激励与响应关系的实验方法。

4－7 图示电路中110s U V =，215s U V =，当开关S 在位置1时，毫安表的读数为'40I mA =；当开关S 合向位置2时，毫安表的读数为''60I mA =-。

如果把开关S 合向位置3，毫安表的读数为多少？解：设流过电流表的电流为I ，根据叠加定理12s s I K I K U =+当开关S 在位置1时，相当于0=s U ，当开关S 在位置2时，相当于1s s U U =， 当开关S 在位置3时，相当于2s s U U =-，把上述条件代入以上方程式中，可 得关系式1040604021211⨯+=+=-=K U K I K I K s s s从中解出 10101002-=-=K所以当S 在位置 3 时，有122()40(10)(15)190s s I K I K U mA =+=+-⨯-=4－8 求图示电路的戴维宁和诺顿等效电路。

解：求开路电压oc u 。

设oc u 参考方向如图所示，由KVL 列方程0)1(23)42(=-+++I I解得AI 81-= VI u oc 5.0)81(44-=-⨯=⨯=求等效内阻eqR 。

将原图中电压源短路，电流源开路，电路变为题解4－8（a ）图，应用电阻串并联等效，求得eqR =(2+2)//4=2Ω画出戴维宁等效电路如图（b ）所示，应用电源等效变换得诺顿等效电路如图（c ）所示。

其中A R u I eq oc sc 25.025.0-=-==注意画等效电路时不要将开路电压oc u 的极性画错，本题设a 端为oc u 的“＋”极性端，求得的oc u 为负值，故（b ）图中的b 端为开路电压的实际“＋”极性端。

4－9 求图示电路的戴维宁等效电路。

解：本题电路为梯形电路，根据齐性定理，应用“倒退法”求开路电压oc u 。

设'10oc oc u u V ==，各支路电流如图示，计算得'55'22''244'''3345''1132'122''123''1110110(210)112122.4552.413.477 3.41235.835.85.967665.967 3.49.367999.36735.8120.1n n n n n n n s s n i i A u u Vu i i Ai i i i Au u i u Vu i i A i i i Au u i u =====+⨯=======+=+===⨯+=⨯+======+=+===⨯+=⨯+=V 故当5s u V =时，开路电压oc u 为'5100.41612.1oc oc u Ku V ==⨯=将电路中的电压源短路，应用电阻串并联等效，求得等效内阻eqR 为[(9//67)//52]//10 3.505eq R =++=Ω画出戴维宁等效电路如题解4－9图所示。

4－10 求图中各电路在ab 端口的戴维宁等效电路或诺顿等效电路。

解（a ）：先求开路电压oc u 。

应用结点电压法，结点编号如图（a ）所示。

结点方程为1212111110()222221111()02223n n n n u u u u ⎧++-=⎪⎨⎪-+++=⎩ 把以上方程加以整理有{1212310380n n n n u u u u -=-+=应用消去法，解得 2107n u V =故开路电压21012121n oc u u V =⨯=+再把电压源短路应用电阻串并联等效求内阻eqR16[(2//22)//22]//121eq R =++=Ω画出戴维宁等效电路如题解图（a1）所示。