第12课命题与四种命题
四种命题及其关系
四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。
需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。
命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。
类型二：四种命题及其关系本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。
需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。
因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。
本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。
命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。
需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p 为命题的条件，q为命题的结论。
四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。
需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。
因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。
判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。
1) 末位是5的整数能被5整除。
2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。
3) 两直线平行，则斜率相等。
4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。
5) 余弦函数是周期函数吗？举一反三：变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。
1) x>1；2) 当x=1时，x>1；3) 你是男生吗？4) 求证：π是无理数。
变式2】下列语句中是命题的是（）A。
|x+a|B。
{0}∈NC。
元素与集合D。
真子集变式3】判断下列语句是否是命题。
1) 这是一棵大树。
2) sin30°=1/2.3) x+1>0；4) 梯形是平行四边形。
命题及四种命题
§1.1.1 命题及四种命题学习目标1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.26复习1：什么是陈述句？.复习2：什么是定理?什么是公理?1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的.※典型例题例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有.例2 指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.解：（1）条件p：结论q：（2）条件p：结论q：变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等.※动手试试1.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.3.四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”练习：下列四个命题：（1）若()f x是正弦函数，则()f x是周期函数；（2）若()f x是周期函数，则()f x是正弦函数；（3）若()f x不是正弦函数，则()f x不是周期函数；（4）若()f x不是周期函数，则()f x不是正弦函数.（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例 3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子,a b c d==，则a c b d+=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a b+是无理数，则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.※动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称.三、总结提升：※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列语名中不是命题的是（）.A.20x> B.正弦函数是周期函数C.{1,2,3,4,5}x∈ D.125>2.设M、N是两个集合，则下列命题是真命题的是（）.A.如果M N⊆，那么M N M⋂=B.如果M N N⋂=，那么M N⊆C.如果M N⊆，那么M N M⋃=D.M N N⋃=，那么N M⊆3.下面命题已写成“若p，则q”的形式的是（）.A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径4.下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是5.将“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式，则p：，q：课后作业1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若,a b都是偶数，则a b+是偶数；（2）若0m>，则方程20x x m+-=有实数根.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等.§1.1.2 四种命题间的相互关系学习目标1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化.68复习2：判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 ※ 学习探究1：分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；（4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.系：（1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；（2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题；（4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？练习：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例 2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()(f a f b f a f b +≥-+-.”(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.※ 动手试试1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ）A.如果22x a b <+，那么2x ab <B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+C.如果2x ab <，那么22x a b <+D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤ 2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）. A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题 3.正确的是（ ）.A.B.C.D.4. 若1x >，则21x >的逆命题是 否命题是5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为课后作业1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.§1.2.1 充分条件与必要条件学习目标1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系.8 P 10，找出疑惑之处）复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学※ 学习探究探究任务：充分条件和必要条件的概念问题：1. 命题“若22x a b >+，则2x ab >”（1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ：q ：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着：2. 1.命题“若0ab =,则0a =” （1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ：q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q的 ,q 是p 的试试：用符号“⇒”与“”填空： （1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4） ac bc = a b =. ※ 典型例题例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=； （2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.小结：判断命题的真假是解题的关键. ※ 动手试试练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q：1x -= （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q：3x -=（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是x A ∈的 条件.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂ 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.课后作业1. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||ab >”是“22a b >”的必要条件.2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?§1.2.2 充要条件学习目标1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.11~ P12，找出疑惑之处）复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?二、新课导学※学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件?新知：如果p q⇔,那么p与q互为试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（1）若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行，则直线a与平面α平行；（2）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. ※典型例题例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1) p: 0b=,q:函数2()f x ax bx c=++是偶函数；(2) p: 0,0,x y>>q:0xy>(3) p: a b>，q:a c b c+>+变式：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件?(1) p: 0b=,q:函数2()f x ax bx c=++是偶函数；(2) p: 0,0,x y>>q:0xy>(3) p: a b>，q:a c b c+>+小结：判断是否充要条件两种方法（1）p q⇒且q p⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p是q的充要条件?(1) p:234x x=+,q:x(2) p: 30x-=, q:(3)(4)0x x--=(3) p: 240(0)b ac a-≥≠,q:20(0)ax bx c a++=≠(4) p: 1x=是方程20ax bx c++=的根q:0a b c++=例2 已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:d r=是直线l与O相切的充要条件.变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，证明:(1)若d r =，则直线l 与O 相切. (2)若直线l 与O 相切,则d r =小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q：1x -= （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；（3）p ：2x =，q：3x -=；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为 件.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈ ”是“x M N ∈ ”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）.A.132x -<<B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<<5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的课后作业1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c a b a c b c ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.§1.3简单的逻辑联结词学习目标1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断；3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；4. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.14~ P16，找出疑惑之处）复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|A x x=满足条件}p,{|B x x=满足条件}q(1)如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断. 探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（31=-反思：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.小结：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q∨为真命题，那么p q∧一定是真命题吗？小结：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集.小结：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算“交”“并”“补”的关系. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC∆中，C B∠>∠是sin sinC B>的充要条件；命题q：a b>是22ac bc>的充分不必要条件，则（）.A.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6x x-≥，q：,,x Z p q q∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集合为课后作业1. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.2.判断下列命题的真假：（1）52>且73>（2）78≥（3）34>或34<§1.4 全称量词与存在量词学习目标1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.21~ P 23，找出疑惑之处）复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假： （1（2）5不是15的约数（3）8715+≠ （4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q ∨，这里p ：π是无理数，q ：π是实数；（2）p q ∧，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； (3) p q ∨，这里p ：23>，q ：8715+≠； (4) p q ∧，这里p ：23>，q ：8715+≠.二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：全称量词的意义 问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x >；（2）21x +是整数； （3）对所有的,3x R x ∈>； （4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数. 2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ (1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”“ 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ” 表示，含有 的命题，叫做全称命题.其 基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作： 2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题. 其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作： 试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题 如果是,用量词符号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海； （2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式. ※ 典型例题例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）2,11x R x ∀∈+≥； （3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假： （1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=； （2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假： (1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题. ※ 动手试试练1. 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.练2. 判定下列特称命题的真假： （1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。
高中数学—命题和充要条件—学生版
命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。
4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。
二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。
如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作α、β。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。
叫做的必要条件。
2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。
例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。
四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1． 1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考 1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．思考 2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案有．梳理思考 1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案互逆．思考 2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理(1) 四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点三逆否证法思考由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法叫做逆否证法．譬如，求证：“若m>0 ，则方程x1 2＋x－m＝0 有实根”为真命题．证明把要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0.”21 若方程x ＋x－m＝0 无实根，则Δ＝4m＋1<0，所以m< －4<0. 所以命题“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0”为真．所以“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题．逆命题：若 a 的平方根不等于0，则 a 是正数．否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则 a 不是正数．类型一四种命题的写法例 1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1) 正数的平方根不等于0；2(2) 当x＝2 时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若 a 是正数，则 a 的平方根不等于0.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠ 0，则x≠2.(3) 原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1) 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．类型二等价命题的应用例 2 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，a，b∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0 ，则f(a)＋f(b)< f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－ a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴ f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．方法二假设a＋b<0，则a<－b，b<－ a.又∵f（x）在（－∞，＋∞ ）上是增函数，∴f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）．∴ f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）．这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.反思与感悟因原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．跟踪训练 2 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“ 若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠ 2b＋1” 的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0” ．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“ 若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．类型三反证法的应用π π π例 3 若a、b、 c 均为实数，且a＝x2－2y＋2，b＝y2－2z＋3，c＝z2－2x＋6.求证：a、b、c 中至少有一个大于0.证明（反证法）假设a、b、c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋2π＋y2－2z＋3π＋z2－2x＋6π236＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.∵π－3＞0，且（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2≥0∴ a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0 矛盾，因此a、b、 c 中至少有一个大于0.反思与感悟（1）求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明．用反证法证明命题的一般步骤：① 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③ 由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确．（2）常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：证：AD<23BC.1．命题若“ a?A，则b∈B”的否命题是( )A ．若a?A，则b?BB ．若a∈A，则b?B证明假设AD ≥12BC.1(1) 若AD ＝2BC，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角” ，知1 ∠BAC＝90°，与题设矛盾．∴AD ≠2BC.11(2) 若AD>2BC，由题意知BD ＝DC＝2BC，∴在△ABD 中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；同理∠C>∠CAD.∴∠ B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C>∠BAC.∵∠ B＋∠C＝180°－∠BAC，∴ 180°－∠ BAC>∠ BAC，则∠BAC<90°，与题设矛盾．1由(1)(2) 知AD<2BC.2D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_______________ ，逆否命题是 ________________ 答案若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤14．在原命题“若A∪ B≠B，则A∩ B≠ A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_______ ．答案4解析逆命题为“若A∩B≠ A，则A∪B≠B”；否命题为“ 若A∪ B＝B，则A∩ B＝A”；逆否命题为“若A∩ B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0 无解”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．C．若b∈B，则a?AD ．若b?B，则a?A答案B解析命题“若p，则q”的否命题是“若? p，则? q”，“∈”与“?”互为否定形式．2．下列命题为真命题的是( )A ．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题解(1)命题p 的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0 有解”．(2)命题p 的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0? Δ＝b2－4ac>0? 二次方程ax2＋bx＋c＝0 有实根? ax2＋bx＋c>0 有解，所以该命题是真命题．一、选择题1．与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 3 整除”等价的命题是( )A．能被3整除的整数，一定能被 6 整除B．不能被 3 整除的整数，一定不能被 6 整除C．不能被 6 整除的整数，一定不能被 3 整除D ．不能被 6 整除的整数，能被 3 整除答案B解析即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被 3 整除”的逆否命题．2．若命题p 的否命题为q，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确答案A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若?A，则?B”，r为“若?B，则?A”．故q与r 为互逆命题．3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A．a，b，c 都是奇数B．a，b， c 都是偶数C．a，b， c 中至少有两个偶数D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数答案D解析用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数．故选 D.4．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0 的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A．(－2，2) B．(－2,0)C．(－2,1) D．(0,1)答案D解析由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，∵ 两个实根一个小于－1，另一个大于1，∴f(－1)<0，f(1)<0，∴ 0<m<1.5．已知a，b，c 均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与 a 垂直的直线；②a∥β，β内必存在与 a 相交的直线；③α∥β，a? α，b? β，必存在与a，b 都垂直的直线；④α⊥β，α∩β＝c，a? α，b? β，若 a 不垂直c，则 a 不垂直 b. 其中真命题的个数为( )A．1 B． 2C．3 D． 4答案B解析① ，③正确；对于②：当a∥b，且a，b? α，c∥α时，可得②错误；对于④：若b⊥c ? b⊥α? b⊥ a，故④错误．故正确命题的个数为 2 个．故选 B.6．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y 互为相反数”的否命题；②“若x≥y，则x2≥y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B． 1 C．2 D．3答案B解析① 否命题是“若x＋y≠0，则x、y 不互为相反数”．真命题．②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．③否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”．假命题．④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．二、填空题7．命题：“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为 ________________________________________ ．答案若|x|≠1，则x≠ 18．已知命题“若m－1< x< m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是___ ．答案[1,2]解析由已知得，若1<x<2 成立，则m－1<x<m＋ 1 也成立．m－1≤1，∴∴ 1≤m≤ 2.m＋1≥2，9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④ ______________________ 圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有 _________________ ；互为否命题的有_______________ ；互为逆否命题的有___ ．答案②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补” ；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．10．设x，y，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥ z，且y⊥ z，则x∥y”为真命题的有________ ．①x 为直线，y，z为平面；② x，y，z均为平面；③ x，y 为直线，z为平面；④ x，y 为平面，z 为直线；⑤ x，y，z 均为直线．答案①③④解析①x 为直线，y，z 是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；②x，y，z 均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x 与y 可能相交，为假命题；③ x，y为直线，z 为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；④x，y 为平面，z 为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题．三、解答题11．同住一房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：(1) A 不在修剪指甲，也不在看书；(2) B 不在听音乐，也不在修剪指甲；(3) 若 C 在修剪指甲，则 A 在听音乐；(4) D 既不在看书，也不在修剪指甲；(5) C 不在看书，也不在听音乐．若上面的都是真命题，则她们各自在干什么？解由于以上五个命题都是真命题，所以我们可以列表如下：由表格看出： C 在修剪指甲， B 在看书．又由命题(3)：若 C 在修剪指甲，则A在听音乐，可知 A 在听音乐，最后我们确定出 D 在梳头发．12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1) 当m>1时，mx2－x＋1＝0 无实根；4(2) 当abc＝0时，a＝0或b＝0 或c＝0.1解(1)逆命题：当mx2－x＋1＝0 无实根时，m>41；真命题；否命题：当m≤1时，mx2－x＋1＝0 有实根；真命题；41逆否命题：当mx2－x＋1＝0 有实根时，m≤41；真命题．(2) 逆命题：当a＝0 或b＝0 或c＝0 时，abc＝0；真命题；否命题：当abc≠0 时，a≠0 且b≠0 且c≠ 0；真命题；逆否命题：当a≠ 0 且b≠ 0 且c≠0 时，abc≠0；真命题．1 ＋x 1＋y13．证明：已知x>0，y>0，若x＋y>2，则y与x至少有一个小于2. 证明证明原命题的逆否命题．1＋x 1＋y将要证的命题“已知x>0，y>0，若x＋y>2，则1＋y x与1＋x y至少有一个小于2”视为原命题，只需证明其逆否命题，即证明：已知x>0，y>0，若1＋y x与1＋x y都不小于2，则x＋y≤2.若1＋y x ≥2，1＋y≥2，则1＋x≥2y，x1＋y≥2x，所以1＋x＋1＋y≥2y＋2x，所以x＋y≤2，这就证明了逆否命题的正确性，所以原命题得证．学习目标 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．知识点一充分条件与必要条件思考用恰当的语言表述下列语句的意义①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有同心协力，才能把事情办好．答案①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件．②同心协力是办好事情的必要条件．梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p? q，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)若p? q，但q p，称p 是q 的充分而不必要条件，若q? p，但p q，称p 是q 的必要而不充分条件．知识点二充要条件思考在△ ABC中，角A、B、C 为它的三个内角，则“ A、B、C 成等差数列”是“ B＝60°” 的什么条件？答案因为A、B、C 成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“ A、B、C 成等差数列”是“ B＝60°”的充分必要条件．梳理(1) 一般地，如果既有p? q，又有q? p，就记作p? q，此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p? q ，那么p 与q 互为充要条件．知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系．(1) 从逻辑关系上看．①若p? q，但q p，则p 是q 的充分不必要条件；②若q? p，但p q，则p 是q 的必要不充分条件；③若p? q，且q? p，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件；④若p q，且q p，则p 是q 的既不充分也不必要条件．(2) 从集合与集合之间的关系上看．如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q 之间的关系可以借助集合知识来判断．①若A? B，则p 是q 的充分条件；②若A? B，则p 是q 的必要条件；③若A＝B，则p 是q 的充要条件；④若 A B，且 B A，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，即p 是q 的既不充分也不必要条件．(3) 从传递性角度看．由于逻辑联结符号“ ? ”“?”“ ? ”具有传递性， 因此可根据几个条件之间的关系， 干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．(4) 从等价命题角度看． 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来 判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．类型一 充分条件、必要条件和充要条件的判断 例 1 下列各题中， p 是 q 的什么条件？ (1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是矩形；(3) p ：x ＝1 或 x ＝ 2，q ：x －1＝ x － 1；(4) p ：m ＜－1， q ：x 2－ x －m ＝0 无实根；(5) p ：ab ≠0，q ：直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 与两坐标轴都相交． 解 (1)∵a ＋b ＝ 0D? /a 2＋b 2＝ 0； a 2＋b 2＝0? a ＋ b ＝0， ∴ p 是 q 的必要不充分条件．(2)∵ 四边形的对角线相等 四边形是矩形； 四边形是矩形 ? 四边形的对角线相等，∴ p 是 q 的必要不充分条件．(3) ∵x ＝1或x ＝2? x －1＝ x －1；x －1＝ x －1? x ＝1 或 x ＝2，∴p 是 q 的充要条件．(4) 若方程 x 2－ x －m ＝ 0 无实根，则 Δ＝ 1＋ 4m ＜0，11 1即 m ＜－ .∵ m ＜－1? m ＜－ ；m ＜－ m ＜－ 1，4 4 4 ∴ p 是 q 的充分不必要条件．(5) 由 ab ≠0，即 a ≠0 且 b ≠0，此时直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 与两坐标轴都相交；又当 ＝0 与两坐标轴都相交时， a ≠0 且 b ≠0，即 ab ≠ 0，故 p 是 q 的充要条件．反思与感悟 对于两个命题： p 与 q.跟踪训练 1 设a ，b 是实数，则“ a>b ”是“ a 2>b 2”的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 可采用特殊值法进行判断， 令a ＝1，b ＝－ 1，满足 a>b ，但不满足 a 2>b 2，即条件经过若ax ＋by ＋c (1)若有 p? q ，但 q p ”，则称 p 是 q 成立的充分不必要条件． (2)若有 q? p ，但 p q ，则称 p 是 q 成立的必要不充分条件．(3)若有 p? q ，且 q? p ” ，则称 p 是 q 成立的充要条件．(4)若有 p q ，且 q p ” ，则称 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件．“a>b” 不能推出结论“a2> b2” ；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结论“a2>b2” 不能推出条件“a>b”．故选 D.类型二递推法判断命题间的关系例 2 已知p，q都是r 的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解方法一(1)∵q 是s 的充分条件，∴q? s.∵q 是r 的必要条件，∴r? q.∵s是r 的充分条件，∴s? r，∴s? r? q.即s 是q 的充要条件．(2)由r? q，q? s? r，知r 是q 的充要条件．(3)∵p是r 的必要条件，∴r? p，∴q? r? p.∴ p 是q 的必要不充分条件．方法二如图所示．(1)由图可知q? s，s? r? q，所以s是q 的充要条件．(2)因为r? q，q? s? r，所以r 是q 的充要条件．(3) 因为q? s? r? p，而p q，所以p是q 的必要不充分条件．反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．跟踪训练 2 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析如图所示，∵ 甲是乙的必要条件，∴ 乙? 甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙? 乙，但乙丙．综上，有丙? 乙? 甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．类型三充要条件的证明例 3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c 是常数且a≠ 0）有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正实根和一负实根，2c∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，a∴ac<0.充分性：由ac<0 可推出Δ＝b2－4ac>0 及x1x2＝c<0 ，a2∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）有一正一负两实根．因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.反思与感悟根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”? “结论”，必要性是证明“结论”? “条件”．跟踪训练 3 已知ab≠ 0，求证：a＋b＝1 的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2＋b2－ab）＝（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0. 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，22∴（a＋b－1）（a －ab＋ b ）＝0，又∵ab≠ 0，∴ a ≠ 0 且 b ≠ 0，∴a2＋b2－ab＝（a－2b）2＋43b2>0，∴a＋b－1＝0.∴a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1 的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 类型四利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例 4 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数 a 的取值范围．解设p对应的集合为A，q对应的集合为 B.解不等式x2－8x－20>0，得A＝｛x|x>10或x<－2｝．解不等式x2－2x＋1－a2>0，得B＝｛x|x>1＋a或x<1－a，a>0｝．依题意知p? q，q p，a>0，说明 A B.于是有1＋a≤10，(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取1－a≥－2，到)解得0<a≤ 3.∴ 正实数 a 的取值范围是0<a≤ 3.反思与感悟充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练 4 已知p：|1－x－31|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p 是q 的充分不必要条3件，求实数m 的取值范围．x－ 1 x － 1解由题意知p：|1－x－31|≤2? －2≤x－31－1≤2?33x－ 1－1≤≤3? －2≤x≤10.32－2x＋1－m2≤0?q：x[x－(1－m)] [·x－(1＋m)] ≤0.(*)∵ p 是q 的充分不必要条件，x－ 1∴ 不等式|1－3 |≤ 2 的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0) 的解集的真子集．3∵m>0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m} ，且1－m＝－ 2 与1＋m＝10 不同时成立．1－m≤－2，m≥3，∴ ? ∴ m≥9.1＋m≥10 m≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).1．人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )A ．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄．逆否命题为：若受禄，则有功．显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄．2．设命题 p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x－1≤0，则 p 是 q 的( ) x －2 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题 p ：1<x<2；命题 q ：1≤x<2，故 p 是 q 的充分不必要条件． 3．“x 2－4x －5＝0”是“ x ＝5”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 根据方程得 x 2－ 4x － 5＝0，解得 x ＝－ 1 或 x ＝5，故“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5” 的必 要不充分条件，故选 B.4．记不等式 x 2＋x －6<0 的解集为集合 A ，函数 y ＝lg(x －a)的定义域为集合 B.若“ x ∈A ”是 “x ∈B ”的充分条件，则实数 a 的取值范围为 _______ ．答案 (－∞，－ 3]解析 由于 A ＝ { x|x 2＋ x － 6<0} ＝ { x|－ 3<x<2} ， B ＝ { x|y ＝ lg(x － a)} ＝{ x|x>a} ，而“ x ∈ A ”是 “x ∈B ”的充分条件，则有 A B ，则有 a ≤ －3.5．试说明 0<m<13是方程 mx 2－2x ＋3＝0 有两个同号且不等实根的什么条件．3解 (1)若方程 mx 2－ 2x ＋3＝0 有两个同号且不等的实根，1 反之，若 0<m<13，23则m >0，m >0，－ 4<－ 12m<0,0<4－ 12m<4 ，12因此 0<m<3是方程 mx 2－2x ＋ 3＝ 0 有两个同号且不等实根的充要条件．3充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法： (1)定义法：分清条件 p 和结论 q ，然后判断 “p? q ”及“q? p ”的真假，根据定义下结论．Δ＝4－12m>0，m ≠ 0， m 3 >0，∴0<m<13. 2 即 Δ>0，且m 2>0， >0.p 和结论即直线与圆相切．A ．x ＋y ＝2B ． x ＋y>222C ．x ＋y >2D ． xy>1答案 B解析 若x ≤1且y ≤1时，可得 x ＋y ≤2，反之不成立 (用特殊值即可判定 )；故 x ≤1且 y ≤1 是x ＋y ≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得 x ＋y>2是“当 x 、y 中至少 有一个数大于 1” 的充分不必要条件．m 为平面 α内的一条直线， 则“ α⊥β”是“ m ⊥β”的 ( )B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合 A ＝{x|p(x)} 及集合 B ＝{x|q(x)} ，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ k 2＝1”是“ k ＝－ 1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 k 2＝1 可得 k ＝±1，k ＝－ 1 一定有 k 2＝ 1.∴“ k 2＝1”是“k ＝－ 1”的必要不充分条件．故选 B.2．已知向量 a ， b 为非零向量，则“ a ⊥b ”是“ |a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2? a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋ b 2－2a ·b ? a ·b ＝0.3．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，直线 l ：ax ＋by ＋c ＝0，则 a 2＋b 2＝c 2是圆 O 与直线 l 相切的 ( ) A ．充分不必要条件 C ．充要条件 答案 CB ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 由直线与圆相切得 |c| a 2＋b 2＝ 1，即 a 2＋ b 2＝ c 2； a 2＋b 2＝c 2 时也有 ＝1 成立，4．设 x ，y 是两个实数， 命题“ x ，y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 ( 5．已知 α，β表示两个不同的平面， A ．充分不必要条件 C ．充要条件 |c|答案B解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m⊥ β，则α⊥β，反过来则不一定，以“ α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．6．设a∈R，则“ a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0 与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0 平行，若“直线l1：axa2＋2y－1＝0 与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”，∴ ＝，解得a＝－ 2 或a＝1，∴“ a2 1 a＋ 1 ＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件．7．“ 0≤m≤1”是“函数f(x) ＝sin x＋m－1 有零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)＝sin x＋m－1有零点? 方程sin x＝1－m有根? －1≤1－m≤1? 0≤m≤2，所以“0≤m≤1”是“ 函数f(x)＝sin x＋m－1 有零点”的充分不必要条件．二、填空题8．若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则k＝2是函数f(x)为奇函数的 _______ 条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ) 答案充分不必要解析当k＝2时，f(x)＝2x－(k2－3)2－x＝2x－2－x，此时函数f(x)为奇函数；反之，当函数f(x) 为奇函数时，有f(x)＋f(－x)＝2x－(k2－3)2－x＋2－x－(k2－3)2x＝(4－k2)(2x－2－x)＝0，则有k2 ＝4，即k ＝±2；故k＝2 是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．9．“ sin α＝cos α”是“ cos 2α＝0”的 ____ 条件．答案充分不必要解析由cos 2α＝cos2α－sin2α知，当sin α＝cos α时，有cos 2 α＝0，反之，由cos2α＝sin2α 不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A. 10．给出下列三个命题：①“ a>b”是“ 3a>3b”的充分不必要条件；②“ α>β”是“ cos α<cos β”的必要不充分条件；③_______________________ “ a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R )为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为___ ．答案③解析①∵ 函数y＝3x是R 上的增函数，∴“ a>b”是“3a>3b”的充分必要条件，故①错误；π π π π②∵2>0，则cos2<cos 0；∵cos2<cos 2 015 π，则2<2 015π，∴“ α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a＝0”是“函数f（x）32＝x3＋ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．正确．三、解答题11．已知条件p：A＝｛x|2a≤x≤a2＋1｝，条件q：B＝｛x|x2－3（a＋1）x＋2（3a＋1）≤0｝，若p 是q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．解化简B＝｛x|（x－2）［x－（3a＋1）］≤0｝，①当a≥13时，B＝｛ x|2≤x≤3a＋1｝；31②当a<3时，B＝｛x|3a＋1≤x≤2｝．3因为p是q 的充分条件，a≥31，a<31，所以A? B，于是有2＋1≤3a＋1，或a2＋1≤2，a＋≤＋，aa解得1≤a≤3 或a＝－ 1.＋≤，2a≥2，2a≥3a＋1，综上， a 的取值范围是｛ a|1≤a≤3 或a＝－1｝．12．已知函数f（x）＝3－x＋2 2－x 的定义域为A，g（x）＝lg［（ x－a－1）（2a－x）］（a<1）的定义域为 B.（1）求A；（2）记p：x∈A，q：x∈B，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．解（1）要使f（x）有意义，则3－（x＋2）（2－x）≥0，化简整理得（x＋1）（x－1）≥0，解得x≤－ 1 或x≥1，∴A＝｛x|x≤－1或x≥1｝．（2）要使g（x）有意义，则（x－a－1）（2 a－x）>0，即（x－a－1）（x－2a）<0 ，又∵ a<1，∴ a＋1>2a，∴B＝｛x|2a<x<a＋1｝．∵ p 是q 的必要不充分条件，∴ B A，∴2a≥1 或a＋1≤－1，1 解得≤a<1 或a≤－ 2.21∴a 的取值范围为 （－∞，－2]∪[2，1）．13．设 a ， b ， c 是△ ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边．求证： a 2＝b （b ＋c ）的充要条件是 A ＝2B.证明 充分性： ∵ A ＝ 2B ，∴ A － B ＝B ，则 sin （A － B ）＝ sin B ，则 sin Acos B －cos AsinB ＝sin B ， 2＋ c 2－ b 2 2＋c 2－a 2a ·a ＋c －b －b ·b ＋c －a ＝ b ，化简整理得 a 2＝b （b ＋c ） ；2ac 2bca 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，且 a 2＝b （b ＋c ），得 b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bccos A ， ∴1＋2cos A ＝b c ＝s s i in n B b sin B即 sin B ＋ 2sin Bcos A ＝sin C ＝sin （A ＋B ）＝sin Acos B ＋cos Asin B ， ∴ sin B ＝sin Acos B －cosAsin B ＝sin （A －B ），由于 A 、B 均为三角形的内角，故必有 B ＝A －B ，即 A ＝2B. 综上，知 a 2＝b （b ＋c ）的充要条件是 A ＝ 2B.2 B ．命题“若 x ＝ 1，则 x 2>1”的否命题C ．命题“若 x ＝ 1，则 x 2＋x － 2＝ 0”的否命题1．由原命题写出其他三种命题， 关键要分清原命题的条件和结论， 将条件与结论互换即得逆 命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命 题． 2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题 中的大前提不变．3．反证法与逆否证法的区别 (1)反证法与逆否证法的目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论 的目的是推出否定条件．(2)反证法与逆否证法的本质不同，逆否证法本质是证明一个新命题 (逆否命题 )成立，而反证 法把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题 的结论． 结合正弦、余弦定理得 必要性：由余弦定理。
四种命题教案
题
教学 方法
讲述，启发
课型
新授
教学 过程 设计 要求
体现层次分明原则，符合学生认知规律。拟出教学基本流程；有简略的设计意图表述， 能反映教学内容、师生互动和可能出现的问题及对策。注重形成性评价，能够合理地设计出
衡量学生是否达到教学目标的教学评价方法和手段。强调提升学生自主学习水平的学法指导。 不同年级、不同层次或文理分科后的备课或教学，应贯彻分层教学的原则。
2. 命题（2）的条件和结论，分别是命题（1）的结论和条件，称这两个命题为
；
命题（3）的条件和结论，分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，称两个命题为
；
命题（4）的条件和结论，分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，称两个命题互为
；
3．“如果……，那么……”形式的命题可记为“若 p 则 q”，p 是命题的条件，q 是命题的结论，非 p、非 q 分别表示 p 和 q 的否定:
(1) 负数的平方是正数；
(2 )平行四边形对角线相等
（3）末位是 0 的整数可以被 5 整除
(4) 斜率相等的两条直线平行
10．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，判断它的真假 并说明理由
11．已知 a、b、c 为实数，设 A=a 2 －2b+ ，B= a 2 －2c+ ，C=c 2 －2a+ ，
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
即互为逆否命题的两个命题同真假，这两个命题等价。
6． 反证法的理论依据：在直接证明原命题有困难时，可转化为证明它的逆否命题成立。
反证法步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
新疆 王新敞
奎屯
四种命题与充要条件(高三复习课)
四种命题与充要条件【教学目标】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件与冲要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
【重点难点】1．注重四种命题之间的相互关系，命题间关系的互相转化。
2．充要条件的判断方法： ⑴定义法： ⑵等价法： ⑶集合法； 一、知识梳理 1．（1）四种命题原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p . （2）四种命题之间的相互关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.2．充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件。
必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件。
充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的。
二.基础自测：1．22bc ac >是b a >成立的 .2．已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则甲是乙的 条件．3．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 条件． 4．若条件p ：a ＞4，q ：5＜a ＜6，则p 是q 的_____________5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的6．给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_________． 7．“若15≤ab ，则a ≤3或b ≤5”是_______命题．(填“真”或“假”)8．已知a 、b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么⌝a 是⌝b 的_____条件．三、典型例题[例1 ] 求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一根为1的充分必要条件是0=++c b a变式训练：求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．方法提炼： [例2 ]已知325:>-x p ； 0541:2>-+x x q ，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？[例3 ] 已知{}44|:+<<-=a x a x A p ，=B q :21|0.43x x x ⎧⎫≥⎨⎬-+⎩⎭若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．[例4] 若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件？变式训练：已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是方法提炼：四、课堂反馈1．命题“若函数()()1,0log ≠>=a a x x f a 在其定义域内是减函数，则02log <a 的逆否命题是_______．2．已知d c b a ,,,为实数，且d c >,则“b a >”是“d b c a ->-”的__________条件．3．若命题p 的逆命题是q ,命题p 的逆否命题是x ,则q 与x 的关系是________．4．已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的_______条件．5． “22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的________条件．6．在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 条件．7． 条件1:>x p ，条件2:-<x q ，则p ⌝是q ⌝的 条件。
【高中数学】命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是()A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是()A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P |x ＝k ＋12，k ∈Z|x ＝k2，k ∈Zx ∈P ，则x ∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝|x ＝k ＋12，k ∈Z＝|x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝|x ＝k2，k ∈Z 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由|x －12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“|x －12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x －12|≥12，即“x 3＜1”“|x －12|＜12”．所以“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x ∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，1＋m＝10，解得{m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且S P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．－m≤－2，＋m>10－m<－2，＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。
四种命题及其关系
否命题:已知x ∈R,若x ≤1, 则x ≤2;
逆否命题:已知x ∈R,若x ≤2, 则x ≤1;
原命题为 假 ; 逆命题为 真 ;
否命题为 真 ; 逆否命题为 假 .
9
【典例演练】
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，
并判断真假：
(1)若a＜b,则a2＜b2；
(2)已知x ∈R,若x ＞1, 则x ＞2； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为0；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
3
【问题引入】
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条 件和结论之间分别有什么关系？ (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数p，则f(x)是正弦函数；q
否命题为 真 ; 逆否命题为 真 .10【 Nhomakorabea例演练】
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，
并判断真假：
(1)若a＜b,则a2＜b2；
(2)已知x ∈R,若x ＞1, 则x ＞2；
(3)若a2 + b2=0，则a 、b都为0；
(4)正方形的四条边相等．
析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
┐p
┐q
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个
高一数学四种命题的真假
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
四种命题的关系 及真假
1.四种命题的关系：
原命题
互逆
逆命题
若p则q
若q则p
互否 互为
逆否 互否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q）命题。
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
(真)
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
）个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
《四种命题的概念》课件
总结与提高
命题是推理的基础，对于 逻辑思维的培养非常重要。
学习命题需要掌握分类、 逻辑运算、等价和蕴含等 概念。
通过练习，不断提高命题 推理的能力。
命题的分类
按照真值的不同分类
分为真命题、假命题和不确定命 题。
按照语法结构的不同分类
分为简单命题、复合命题和开放 命题。
分类时需要注意哪些问题？
注意排除歧义和重复，以及分类 的合理性。
命题的逻辑运算
1
命题有哪些逻辑运算符？
非、与、或、异或、蕴含和等价。
2
逻辑运算符的运算规则是什么？
按照真值表和优先级进行计算。
四种命题的概念
在这个PPT课件中，我们将探讨命题的定义、分类、逻辑运算以及等价和蕴含。 掌握这些概念非常重要，它们为逻辑思维提供了基础。
命题的定义
什么是命题？
命题是可以判断真假的陈述句。
命题的特点有哪些？
命题具有真假性、确定性和稳定性。
命题与语句的关系是什么？
命题是语句的一种，但不是所有语句都是命题。
3
逻辑运算符的真值表是怎样的？
根据运算规则，可以列出运算符的真值表。
命题的等价和蕴含
什么是等价命题？
两个命题在任何情况下的真假值均相同。
什么是蕴含命题？
如果一个命题的真，则另一个命题一定为真。
Байду номын сангаас
等价命题的特点有哪些？
其中一个命题可以替换为另一个命题，而不影响 命题间的逻辑关系。
蕴含命题的特点有哪些？
高考数学总复习 12充分条件与必要条件课件 北师大版
[解析] 本题主要考查充要条件的判定． 由“x<－1”可得“x2－1>0”，但“x2－1>0”时，x>1 或 x<－ 1，所以“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件， 选 A.
(理)(2011·湖南理，2)设集合 M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝ 1”是“N⊆M”的( )
[解析] (1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它 的三个内角相等”．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是 正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不 全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个 三角形 不是正三角形 (或写成：三个内角不全相 等的三角形不 是 正三角形)．
判断命题的等价命题的真假(当命题 间接法
以否定形式给出时常用此法)
充分条件与必要条件的判定
[例 2] 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：a＋b＝2，q：直线 x＋y＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2 相切； (2)p： |x|＝ x， q： x2＋ x≥ 0；
(3)设 l，m 均为直线，α 为平面，其中 l α，m α，
逆命题：“若 q，则 p”；否命题：“若綈 p，则綈 q”；
逆否命题：“若綈 q，则綈 p”，对写出的命题也可简洁
表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不 要动．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断它们的真假．
(1)若 q≤1，则方程 x2＋2x＋q＝0 有实根； (2)设 a、b 为实数，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0； (3)若 x2＋y2＝0，则 x、y 全为零．
四种命题ppt课件
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21
说明：在通常情况下， 复合命题“p或q”否定为“非p且非 q”， “p且q”否定为“非p或非q”， “全为”否定为“不全为”， “都为”否定为“不都为”
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22
命题的否定形式与否命题
写出下列各命题的否定形式及命题的否命题， 并分别判断它们的真假： （1）面积相等的三角形是全等三角形； （2）有些质数是奇数； （3）所有的方程都不是不等式； （4）末位数字是0或5的整数，能被5整除；
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练习4:已知a，b，c，d是实数， 若a=b，c=d，则a+c=b+d。
原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.
逆 命 题 : 已 知 a , b , c , d 是 实 数 , 若 a + c = b + d , 则 a = b , c = d .
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4
学生活动
原命题：
1.如果两个三角形全等，那么它们的面积相等.
相
互
条件
结论
逆
逆命题：
同
命
题
2.如果两个三角形的面积相等 ,那么它们全等.
条件
完整版ppLeabharlann 课件结论5学生活动 (1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.
(3)如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.
完整版ppt课件
(3)如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.
(4)如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等. 观
命题2,3,4与命题1有何关系？
考
察 与
思
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2
部编版九年级语文下册第12课《人生》课后练习题(附答案解析)
部编版九年级语文下册第12课《人生》课后练习题（附答案解析）一、知识点拨与学法引导（一）整体感知课文描写了人类攀登高塔的共同情景，以及几种人在各自不同的领域中奋斗、劳作的情景，其实“高塔”、“地洞”、“广阔领域”和“工场”是为说理而设置的四种虚拟的情景，作者从不同的角度、视野，描述人的生命旅程的不同境况，表达了对人的生命本质、对人类社会生活的深刻理解，表达了他对生命的珍爱的情感，以及让一生过得更有意义的信念和志向。
课文寓深刻的道理于一系列形象之中，写得含蓄蕴藉，耐人寻味，给人以启迪和鼓舞。
（二）学法引导由于课文寓深刻的道理于一系列形象之中，写得含蓄蕴藉，所以，学习时，首先应该读懂作品的内涵，精神实质。
其次注意联系自己的生活体验，启迪自己的人生。
对本文运用形象的比喻揭示深刻道理的写法，也应注意学习。
（三）审美鉴赏含蓄蕴藉的意象美。
本文要表达的是作者对人的生命本质的认识，文中“高塔”“地洞”“广阔领域”“工场”显然都是为说理而设置的虚拟形象。
这些虚拟的意象，含蓄蕴藉，耐人寻味。
如“高塔”这一意象，借人类攀登高塔的形象特点，揭示了人类生命表现形式的千变万化和人类命运总体的相似性、一致性之间的对立统一规律；揭示了人的生命历程有攀登就必然有摔落的对立统一规律这一人类生命存在和表现的客观规律。
将两个抽象的“对立统一”的道理解说得形象、生动、可感。
（四）重点难点突破1、文中所写的挖掘坑道、征服广阔领域、在工场劳作的三种人群各是什么样的人?试从实际生活中各举一个例子说明。
[析]本题意在考查对课文的整体感知能力。
[参考答案]：挖掘坑道的人：指从事研究工作，进行较为抽象的脑力劳动，也就是像阿基米德那样的科学家。
征服广阔领域的人：指军事家、政治家，像秦始皇等。
在工场劳作的人：指技术工人、工艺师、设计师、发明家，像爱迪生等。
2、作者描述这些人群，想表达什么意念，要肯定或赞扬什么精神?[析]本题主旨仍在考查对课文的整体感知、深入分析能力。
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第12课 命题与四种命题
【课前自主学习】
本节课的内容包括：1.了解命题的概念，会化为“若p 则q ”的形式；2.会判断命题的真假；3. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念。
请同学们阅读课本P2—P6 ，完成以下练习:
1.命题的概念：一般的，我们把用语言、符号或式子表示的，可以 的 叫做命题其中判断为 的语句叫做真命题，判断为 的语句叫假命题。
2.通常，我们把“若p 则q ”形式的命题中的p 叫做 ，q 叫做
3.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念：
①如果一个命题为“若p 则q ”，把命题的 互换，变为 ，就可以得到一个新的命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
②如果一个命题为“若p 则q ”，把命题的 同时否定，变为 ，就可以得到一个新的命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
③如果一个命题为“若p 则q ”，把命题的 互换，再把 同时否定，变为 ，就可以得到一个新的命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
【课堂主体参与】
例1.阅读下列语句，它们的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
（1）矩形的对角线相等； （2）312>；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）8是24的约数；
（5）两个全等三角形的面积相等； （6）若21x =，则1x =；
（7） 3是偶数吗？ （8）张亮同学将考上大学.
探究：判断语句是命题的方法？
变式：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a 是素数（质数），则a 是奇数；
（3）对数函数是增函数吗？； （4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；
（5）22≤； （6）5x <
例2指出下列命题中的条件p 和结论q ：
（1）若整数a 能被2整除，则a 是偶数；
（2）若四边形是菱形，则它们的对角线互相垂直且平分.
变式：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假。
（1）垂直与同一条直线的两条直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等；
（4）偶函数的图象关于y 轴对称；
（5）等腰三角形两腰的中线相等；
（6）垂直于同一个平面的两个平面平行；
（7）矩形的对角线互相垂直且平分。
小结：判断真命题，要由条件经过严格的逻辑推理得到结论，判断假命题，只需举一个反例！
例3.命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间有什么关系？
（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数；
（2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数；
（3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；
（4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数；
探究：在四种命题中，原命题是固定的吗？
变式：写出下列命题的、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
先将原命题改写： 逆命题： 否命题： 逆否命题：
（2）正弦函数不是周期函数；
先将原命题改写： 逆命题： 否命题： 逆否命题：
（3）奇函数的图象关于原点对称.
先将原命题改写： 逆命题： 否命题： 逆否命题：
【拓展深化】
1. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是： A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④
2.若“[]5,2∈x 和{1<∈x x x 或}4>x ”都是真命题，则x 的范围是 。
3.分别写出命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假。