41 截面的几何参数

A
i 1
i
120015 (400) 20 =12.5cm 1200 (400)
3.积分法 适用于形状规则的物体。
y A R
解： 由对称性可知
dL
B
x 0
dL=Rdθ
y
θ α α
o
dθ
y=Rcosθ
R cos Rd y dL Rd
L L
I 2 dA
A
y
——图形对 O 点的极惯性矩
dA
A
O
ρ z
I dA
2 A
＞0
量纲[L4]-(m4)
例题4
y dA dρ ρ
C
已知：圆截面直径d,求：
解：取圆环微元面积
dA 2π d
I
d /2 0
z
dA
2
d

d /2
0
2 π d
2 A
IZ I
I
I
ZCI
3 80 20 AI (25) 20 80 625 12 8 4 105.33 10 m
2
80
I C
I I
II
Z
II
ZCII
AII (25)
2
20
ZCⅠ
Z 80
65
20 80 3 20 80 625 12
ZCⅡ
185.33 108 m4
10cm
A
20cm y
10cm
A
30cm
y
A
o
2
y y
10cm
x
A1 A2 10 30 300cm
A3 10 20 200cm2
y1=y2=15cm
y3 5cm
300 15 2 200 5 yc =12.5cm 300 2 200 A i
2
1 c
注意: C点必须为形心
I y z I y z abA
1 1 c c
Iy Iy b A
2
1 c
Iz Iz a A
2
1 c
I y z I y z abA
1 1 c c
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故 自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩 总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐 标，要注意二者的正负号；二者同号时abA 为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有 可能增加也可能减少。
x
ydL

例：已知圆弧AB半径R，圆 心角2α。求：AB圆弧段的 重心。
R
sin

例题
2

如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分 面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。
设： A1，A2对xc轴的静矩分别Sxc1和Sxc2
S xc S xc1 S xc2 S xc A y c A 0 0
A
I z1 y dA 2a ydA a dA
2 2 A A A
I y1z1 yzdA b ydA a zdA ab dA
A A A A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
A
I z1 y12 dA
A
y1=y＋a
z1=z＋b
dA
I y1z1 y1 z1dA
A
O
a O´ b
y
y1
z
I y1 z b dA
2 A
I z1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
A A
I y1 z 2 dA 2b zdA b2 dA


重点：面积矩和形心，惯性矩，形心主惯性矩。 难点：惯性矩的移轴公式 学时安排：2学时(44页后的讨论题由学生课后完成)
§ 4.1
一、静矩的概念
截面的形心位置和面积矩
S y zdA
A
y z dA
——图形对于 y 轴的静矩
y
O z
S z ydA
A
——图形对于 z 轴的静矩
可正、可负、也可为零 量纲[L3]-(m3)
2
3
dA h dz
I y z dA z 2 hdz hb
2 b 2 b 2
b 2 b 2
3
12
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
y
z
I yz yzdA
A
dA
A
O
ρ
——图形对 y z 轴的惯性积 z Iyz 可为正，可为负，亦可为0 如果 z 或 y 是对称轴，则Iyz =0
S z ydA
A
S yc z A

A
ydA A
zc
Sy A

A
zdA A
zc
Sy A

A
zdA A
Sz yc A

A
ydA A
当截面由若干简单图形组成(等厚均质板的重心与形心 重合。) n n
S y Ai z ci
i 1
S z Ai yci
[例7]确定形心轴Z的位置，并求 IZ， Iy
y 80 I
解（1）确定形心轴Z的位置：
取y为对称轴，形心必位于对 称轴上。
Z 80
C
20
Ay y
i c
i
A
yc
Ⅱ
Z1 20
20 80 90 20 80 40 65(mm) 20 80 2
（2)求IZ
I z y dA I zI I ZII
已知： Iy ，Iz ， Iyz ，y、z是形心轴。 y z1
z
求： Iy1，Iz1，Iy1z1 A dA
y
I y1 z12 dA
A
I z1 y12 dA
A
O a O´ b
y1
z
I y1z1 y1 z1 dA
A
y1=y＋a
z1=z＋b
y
z1
z
I y1 z12 dA
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0
Iy Iy b A
2
1 c
Iz Iz a A
由对称性可知
Iz I y
4
Iz Iy
1 d I 2 64
例题6
y
dA
dy
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz
解：取平行于x轴和y轴的微元面积 C z dz b h
dA
y
z
dA bdy
I z y dA
2 h 2 h 2
h 2 h 2
bh y bdy 12
2
πd 32
4
二、（轴）惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
y
z
I y z 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性矩
dA
A
O
r
I z y 2 dA
A
y
z
——图形对 z轴的惯性矩
大于零 量纲[L4]-(m4)
y
z
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
iபைடு நூலகம்1 3 i ci i 1
Ay
3
（2）负面积法 解：由对称性可知
10cm
20cm y
A
10cm
30cm
A y
y
xc 0
A1 40 30 1200 cm2
A2 20 20 400cm2
yc
10cm
o x
y1=15cm
y2 20cm
Ay
i 1 3 i
3
ci

0
R4 (sin ) 2 d 4

R4 1 1 ( sin 2 ) 4 2 4
2 0
D 4
64
圆对直径的惯性矩求法二：
y
I y z dA
2 A
I z y dA
2 A
z
dA
y
I

dA A
2
A

(y A
2
z ) dA
2
O
2 2 y dA z z dA I z I y A
i 1
Ai zci zc A y Ai yci c A
(正负面积法公式)
四. 确定匀质物体重心（形心）的几种方法 1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上
c
c
c
c
c
c
c c c
2.组合法
（1）分割法
适用于形状较复杂的物体 例1：试求匀质槽形钢板的 形心。 解：由对称性可知 xc 0
A
dA
A
O
ρ
y
I 2 dA
A
z
I I y Iz
例5、求圆对直径的惯性矩
dA dd
I y Z dA
2
D


z sin
( sin ) 2 dA