微分方程模型及差分模型

• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
2012-3-17
Anna
3
微分方程模型
• 高等数学课程里的微分方程应用题：大多 是物理或几何方面的典型问题，假设条件 已经给出，只需用数学符号将已知规律表 示出来，即可列出方程，求解的结果就是 问题的答案，并且答案是唯一确定的. • 这里讨论的动态模型：要分析具体情况或 进行类比才能给出假设条件；作出不同的 假设，就会得到不同的方程（模型）；结 论也不是确定的、唯一的，求解的结果还 要用来解释实际现象并接受检验.
3
的 实 根 x x0 , y y0称 为 方 程 3 的 平 衡 点 ， 记 作 P0 x 0 , y 0 也 是 方 程 3 的 解 。
如果从一定范围内的初 x t , y t 都满足：
始条件出发，方程
3 的解
x t x 0 y t y 0
实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法： 间接方法和直接方法。
间接方法（又称定义法）：先求出方程的解 x x ( t )， 利 用 定 义 lim x ( t ) x 0 来 判 断 。
t
直接方法：不用求方程的解直接研究其稳定性。 当不易由定义判别平衡点是否稳定或解不易求 出时用这种方法。 方法如下：
年
人口
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 2012-3-17 1780 1800
1950
150.7
1960
179.3
1970
204.0
1980
226.5
450 400 350 300 250 200 150 100 50
1990
251.4
2000
281.4
1790-2000年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
微分方程模型及差分模型
洛阳理工学院数理部
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Anna
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微分方程模型
• 人口增长的预测 • 传染病模型 • 种群模型
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Anna
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动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
• 分析对象特征的变化规律.
• 预报对象特征的未来性态.
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
x ( t ) x 0 ( e ) x 0 (1 r )
t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
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美国人口统计数据
年 人口 年 人口 1790 3.9 1870 38.6 1800 5.3 1880 50.2 1810 7.2 1890 62.9 1820 9.6 1900 76.0 1830 12.9 1910 92.0 1840 17.1 1920 106.5 1850 23.2 1930 123.2 1860 31.4 1940 131.7
x k x 0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x (t t ) x (t ) x (t )
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx , x ( 0 ) x 0
r t
x (t ) x 0 e
r
rt
x Ce
f ( x0 ) t
x t ce
f x 0 t
x0
关于常微分方程组的平 论右端不显含自变量
衡点及其稳定性，也仅 t 的微分方程组：
讨
dx f x, y dt dy g x, y dt
代数方程组 f x, y 0 g x, y 0

r r t
(r , t ) (r )
r
( s ) ds ,0t r p 0 (r t )e p (r , t) ( s ) ds f (t r )e , t r
r 0
tr
p0 (r )
tr tr
F (r , t ) N (t )
p (r Байду номын сангаас t)
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F r
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人口发展方程
t , 年龄 [ r , r dr ]人数
( r , t ) ~ 死亡率
( t , t dt )内
t dt , 年龄 [ r dr1 , r dr1 dr ]人数
dt dr1 死亡人数
p ( r , t ) dr p ( r dr1 , t dt ) dr ( r , t ) p ( r , t ) drdt
rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
x xm
x xm
)
xm/2
0
x0 xm/2 xm x
0
t
x (t ) 1 (
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xm xm x0
Anna
1) e
rt
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
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阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性
• 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
人口 发展 方程
F ( r , t ) ~ 人口分布函数
( 年龄 r 的人口） N (t ) ~ 人口总数
p ( r , t ) ~ 人口密度函数 rm ( ) ~ 最高年龄
F ( 0 , t ) 0 , F ( rm , t ) N ( t )
1790-1900年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
1820
1840
1860
1880
1900 Anna
0 1750
1800
1850
1900
1950
162000
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
x ( 2000 ) 274 . 5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
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• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
r=0.2557, xm=392.1
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Anna
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1790-1990年 阻 滞 增 长 模 型 拟 合 图 形 300
y
g
p0
x
g
p0
y
p p0 则当 p 0 且 q 0 时， 是稳定的，当 0 或 q 0 时平衡点 p 0 是不稳定的。
人口增长的预测
背景
年 人口(亿)
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 5 10 20 30 40 50 60
r ( x ) r sx ( r , s 0 ) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
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s
r xm
Anna
r ( x ) r (1
x xm
)
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阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt
dx/dt
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据
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人口增长率r不是常数(逐渐下降)
Anna 17
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
中国人口增长概况
年 人口(亿) 1901 1929 1953 1965 1982 1990 1995 2000 4.26 5.48 6.02 7.25 10.32 11.30 12.00 12.95
研究人口变化规律
2012-3-17 Anna
控制人口过快增长
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常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
(r , t ) p (r , t )
Anna
p p 人口发展方程 r t (r , t ) p (r , t ) p ( r , 0 ) p 0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p ( 0 , t ) f ( t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
首 先 ， 在 x0处 将 f
x 作 一 阶 T a ylo r 展 开 ，
即方程可以近似表示为
dx
dt 易 知 xo是 方 程 2 的 平 衡 点 ， 则 2 的 通 解
为：
f x 0 x x 0
2
x t ce
f x 0 t
x0
250
200
150
100
50
0 1750
1800
1850
1900
1950
2000
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阻滞增长模型(Logistic模型) 模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x ( 2000 ) x (1990 ) x x (1990 ) rx (1990 )[1 x (1990 ) / x m ]
常数变易，设
x C (t ) e
f ( x0 ) t
对应齐次
C t x 0 f ( x 0 ) e
f x0 t
1 x
dx f x 0 dt
C t x0 e
f x0 t
C
ln x f x 0 t ln C
微分方程平衡点问题
1．微分方程的平衡点及其稳定性
为了简化，一阶微分方程我们主要讨 论右端不显含自变量t 的
dx dt
f
x
(1)
我 们 称 代 数 方 程 f x 0 的 实 根 x x 0为 方 程 的 平 衡 点 （ 奇 点 ） ， 它 也 是 方 程 1 的 解 。
t
则 称 平 衡 点 p 0是 稳 定 的 , 否 则 不 稳 定 。
下面给出判断平衡点
p q
p 0 是否稳定的判别准则，
f p0 g p0 y x f
设
p0
x
f
p0
[ p ( r dr1 , t dt ) p ( r , t dt )] [ p ( r , t dt ) p ( r , t )] ( r , t ) p ( r , t ) dt ,
p r
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dt dr1
一阶偏微分方程
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p t
关于 x 0 是否稳定有以下结论：
1 若 f x0 0 , 则 平 衡 点 x0是 稳 定 的 。 2 若 f x0 0 , 则 平 衡 点 x0是 不 稳 定 的 。
dx dt dx dt
f x 0 x x 0 f x0 x x0 f x0 dx dt f x0 x
t
Anna
p ( s , t ) ds
0 rm 0
r
p ( s , t ) ds
在实际问题中，我们不仅要得到问题的解， 有 时 还 要 得 到 t （ 均 指 t ） 时 问 题 的 解的变化趋势，如果从一定范围内的初始条 件 出 发 ， 方 程 （1 ） 的 解 x t 都 满 足 :
x (t ) x0
t

则 称 平 衡 点 x 0 是 稳 定 的 ,否 则 是 不 稳 定 的 。
2012-3-17 Anna 4
对微分方程的研究方法
dx dt f t, x , f : I D R R R
n n
• 解在很广泛的条件下存在，但能用有限解 析式表达者很少. • 另辟它径： • 1、求数值解（近似解）； • 2、定性方法分析.
2012-3-17 Anna 5