统计概率分布列期望方差复数梳理
人教版高中数学知识框架思维导图(04)-按章节整理(含目录高清版)
公式的变形、逆用、
“1”的替换
cos
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
和角、差角公式，辅助角公式（sin ± cos）
二倍角公式，降幂公式（cos2 α =
1+cos2α
2
, sin2 α =
1−cos2α
2
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
和角、差角公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式
⑴sin( ± ) = sincos ± cossin；⑵cos( ± ) = coscos ∓ sinsin；⑶tan( ± ) =
⑴sin2 = 2sincos；⑵cos2 = cos2 − sin2 = 2cos2 − 1 = 1 − 2sin2 ；⑶tan2 =
1
1+cos2α
2
2
⑴sincos = sin2；⑵cos2 α =
⑴sin ± cos =
√2
+ 2 sin(
；⑶sin2 α =
互逆
原命题：若 p 则 q
关系
命题
互否
简易逻辑
互否
等价关系
否命题：若p 则q
充分条件、必要条件、充要条件
复合命题
逆命题：若 q
若 ⇒ ，则是的充分条件，是的必要条件
或：p q
一真便真
否定： p q
且：p q
一假则假
否定： p q
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
函数图象
及其变换
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
概率论及统计学的重要公式和解题思路
一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=P(AB)P(B);或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...), 事件X=x k 的概率为： P{X=x k }=P k , k=1,2,3...; --- 既 X 的分布律；X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P(X ≤x ), -∞<x <+∞ ; 是概率的累积！ P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X ≤x}=∑p k x k <x ;(把X<x 的概率累加） 连续型rvX ；F(x)=∫f (x )dx x−∞, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F(∞)=1; F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n 次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=(n k)p k (1−p)n−k，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p); ②离散：泊松分布：X ～Π(λ) P{X=k}=λk e −λk!,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;③连续型：均匀分布：X 在(a,b)上均匀分布，X ～U(a,b),则：密度函数：f(x)={1b−a,a <x <b 0,其它分布函数F(x)=∫f (x )dx x−∞={0, x <a x−ab−a1,x ≥b,a <x <b④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)= {1θe −xθ,0<x 0,其它F(x)={1−e−x θ,x >0 ;⑤连续型：正态分布：X ～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)= σ2; 当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
数学统计知识点归纳总结
数学统计知识点归纳总结一、概率论1.1 事件与概率在概率论中，我们首先要了解事件的概念。
事件是指某种结果的集合，通常用大写字母A、B等表示。
概率是用来描述事件发生的可能性大小的概念，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
1.2 随机变量与概率分布随机变量是指一个随机试验结果的实数函数，它描述了试验的结果可能会取得的所有值。
概率分布描述了随机变量的取值与其概率之间的关系，通常用概率密度函数或累积分布函数表示。
1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，它可以看作是随机变量的中心位置。
方差是随机变量取值偏离期望值的程度的平均值，它描述了随机变量的离散性。
期望与方差是描述随机变量特征的重要指标。
二、抽样分布2.1 样本与总体在统计学中，样本是指从总体中抽取的部分数据，总体则是指我们所研究的对象的全部数据。
样本和总体之间的关系是非常重要的，我们需要通过对样本的研究来推断总体的特征。
2.2 抽样分布抽样分布是指样本统计量的分布。
样本统计量是描述样本特征的指标，比如样本均值、样本标准差等。
抽样分布可以帮助我们研究样本统计量的分布规律，从而推断总体参数的分布。
2.3 中心极限定理中心极限定理是统计学中的一个重要理论，它告诉我们当样本容量足够大时，样本均值的分布趋于正态分布。
中心极限定理是很多统计推断方法的基础，对于理解抽样分布及其应用非常重要。
三、参数估计3.1 点估计点估计是通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
点估计的核心是样本统计量与总体参数之间的关系，比如样本均值可以用来估计总体均值，样本标准差可以用来估计总体标准差等。
3.2 区间估计区间估计是对总体参数进行估计时用的一种方法。
它不单单给出一个点估计值，而是给出一个区间，这个区间内有一定的概率包含了总体参数的真值。
区间估计可以帮助我们对点估计结果进行验证。
四、假设检验4.1 假设检验的基本概念假设检验是统计学中的一种重要推断方法，它用来检验某个关于总体参数的假设。
高三概率与统计知识点总结高三网
高三概率与统计知识点总结高三网高三概率与统计知识点总结概率与统计是高三数学中的一个重要内容，它涉及到生活中各种随机事件的概率及统计分析。
在高三学习中，我们需要对概率与统计的相关概念和技巧进行总结和掌握。
下面是对高三概率与统计知识点的总结：一、概率的基本概念1. 事件与样本空间：事件是指我们关心的一个具体结果，而样本空间是一个随机事件所有可能结果的集合。
2. 定义域与频率：事件发生的频率与概率有联系，频率是指某个事件在样本空间中出现的次数占样本的比例。
3. 可能性与概率：概率是对事件发生的可能性的度量，它是一个介于0和1之间的实数。
二、概率的计算方法1. 古典概型：当随机事件有限且等可能发生时，我们可以直接使用古典概率计算公式来计算概率。
2. 几何概型：当样本空间为连续区间时，我们可以使用几何概率计算公式来计算概率。
3. 组合分析：当事件具有多个条件时，我们可以使用组合分析的方法来计算概率。
4. 条件概率：当事件A的发生与另一个事件B的发生有关时，我们可以使用条件概率计算公式来计算概率。
5. 独立事件：当两个事件发生与对方无关时，我们可以使用独立事件的概率计算公式来计算概率。
6. 事件的互斥与对立：当两个事件无相同结果时，我们可以使用互斥与对立事件的概率计算公式来计算概率。
7. 贝叶斯定理：当事件A和事件B之间发生依赖关系时，我们可以使用贝叶斯定理计算概率。
三、统计分析方法1. 随机变量：随机变量是指一个随机试验的结果所对应的某个数值。
2. 离散型随机变量：当随机变量只能取有限个或可数个数值时，我们称其为离散型随机变量。
3. 连续型随机变量：当随机变量可以取到某个区间范围内的任意一个值时，我们称其为连续型随机变量。
4. 离散型随机变量的分布：离散型随机变量的分布可以用概率分布列或概率质量函数来表示。
5. 连续型随机变量的分布：连续型随机变量的分布可以用概率密度函数来表示。
6. 期望：期望是对随机变量的平均值进行度量，可以用数学期望的定义来计算。
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算与应用概率与统计是高中数学中的重要分支，它是数学与现实生活相结合的一门学科。
在概率与统计中，期望与方差是举足轻重的两个概念。
本文将为您总结概率与统计的基本概念、公式以及期望和方差的计算与应用。
一、基本概念1. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的范围在0和1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
2. 随机变量：将样本空间中每一个样本赋予一个实数值的函数，通常用大写字母X表示。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况的函数。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布。
二、常用公式1. 期望：用来描述随机变量平均取值的大小。
对于离散随机变量X，期望的计算公式为E(X) = Σ(x·P(X=x))，其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值的概率。
对于连续随机变量X，期望的计算公式为E(X) = ∫(x·f(x))dx，其中f(x)为概率密度函数。
2. 方差：用来描述随机变量取值的离散程度。
对于离散随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = Σ((x-E(X))^2·P(X=x))；对于连续随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = ∫((x-E(X))^2·f(x))dx。
三、期望与方差的计算1. 期望的计算方法：a. 对于离散随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率乘以相应取值的结果，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率密度函数乘以相应取值的结果，然后对这些结果进行积分即可。
2. 方差的计算方法：a. 对于离散随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率密度函数，然后对这些结果进行积分即可。
高中数学概率统计知识点全归纳
高中数学《概率与统计》知识点总结一、统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn 。
2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++= 321；取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：212)(1∑=−=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=−=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧−⎪⎪=⎪⎨−⎪⎪=−⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
二、概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示； ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象规律性的数学学科，主要研究随机变量的分布、参数估计、假设检验、方差分析等内容。
下面是对概率统计中的一些重要知识点的总结：1. 随机事件与概率：随机事件是指试验中可能发生也可能不发生的结果，概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率由经典概率、几何概率和统计概率三类组成。
2. 随机变量与概率分布：随机变量是一个能随机变化的量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
概率分布指的是随机变量各个取值及其相应的概率。
3. 期望与方差：期望是统计量中的一个重要概念，描述了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
方差则是描述随机变量取值分散程度的一个指标。
4. 大数定律与中心极限定理：大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值会趋近于理论期望。
中心极限定理则是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。
5. 参数估计与假设检验：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，可以分为点估计和区间估计。
假设检验则是通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立。
6. 方差分析与回归分析：方差分析是根据不同因素对总体均值的影响进行推断的一种方法。
回归分析则是研究因变量与自变量之间关系的一种方法，可以进行线性回归和非线性回归。
7. 相关分析与统计推断：相关分析是研究两个变量之间关系的一种方法，可以通过计算相关系数来确定两个变量之间的线性关系强度和方向。
统计推断是利用样本数据对总体进行推断的一种方法，可以由样本推断出总体特征。
8. 非参数统计方法：非参数统计方法是在对总体分布形态不做假设的情况下，利用样本统计量进行推断的方法。
它包括了秩和检验、符号检验、分布自由检验等方法。
以上只是概率统计中的一部分重要知识点总结，概率统计的内容非常广泛，应用领域也十分广泛。
希望能够通过学习以上知识点，对概率统计有一个初步的了解。
高二数学《概率与统计》知识点梳理
高二数学《概率与统计》知识点梳理概率与统计是数学中一个重要的分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。
在高二数学学习中，学生将接触到概率与统计的一些基本概念、计算方法和应用技巧。
本文将对高二数学《概率与统计》中的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、概率的基本概念与计算1.试验与样本空间试验是概率问题研究的基本单位，它指的是具有明确结构且可重复的现象。
样本空间是试验中所有可能结果的集合，用S表示。
例如，一个掷骰子的试验，其样本空间为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2.事件与概率事件是样本空间的子集，表示试验的某一结果或若干结果的组合。
概率是事件发生的可能性大小，介于0和1之间。
用P(A)表示事件A发生的概率，其中0≤P(A)≤1。
例如，掷骰子出现奇数的事件为A={1, 3, 5}，其概率为P(A)=3/6=1/2。
3.概率的计算根据概率的定义，可利用数学方法计算概率。
对于有限样本空间，可以采用经典概型计算概率，即P(A)=m/n，其中m为事件A中有利结果的个数，n为样本空间中所有可能结果的个数。
对于等可能事件，概率可以通过计算事件包含的基本事件的个数来计算。
4.事件的运算与性质事件的运算包括并、交、余等操作。
并集表示两个或多个事件中至少有一个发生，用符号∪表示；交集表示两个或多个事件同时发生，用符号∩表示；余集表示不发生某个事件，用符号'表示。
事件的运算具有交换律、结合律、分配律等性质。
二、条件概率与独立性1.条件概率条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
对于事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率记为P(A|B)，读作“A在B的条件下发生的概率”。
根据定义，条件概率可通过计算P(A∩B)/P(B)来获得。
2.乘法定理与全概率定理乘法定理是用来计算两个事件同时发生的概率的，它表示为P(A∩B)=P(A|B)P(B)。
全概率定理是用来计算事件A的概率的，它表示为P(A)=∑P(A|B)P(B)，其中∑代表对所有可能的事件B求和。
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全统计概率是数学中的一个重要分支，它是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科。
在我们的日常生活中，统计概率也是不可避免的。
在我们购买彩票、浏览社交媒体的统计数据、选举、医学实验中的分析等方面，统计学都在起着重要的作用。
下面我们就来对统计概率的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 概率是指某一事件发生的可能性大小，通常表示为P。
2. 样本空间是指所有可能的结果构成的集合，一般用S表示。
3. 事件是指样本空间S的子集，即可能发生的结果的集合。
4. 随机变量是指样本空间S中的元素与实数集之间的一个函数。
5. 概率分布是指随机变量每个可能取值的概率。
二、概率公式1. 概率加法规则：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)，其中A 且B是指A和B同时发生的概率。
2. 概率乘法规则：P(A且B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)是指在A发生的前提下，B发生的概率。
3. 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(A|B)是指在B发生的前提下，A发生的概率。
4. 全概率公式：P(A) = ∑ P(A|B_k) × P(B_k)，其中B_k是划分样本空间的一组事件。
三、概率分布1. 离散型随机变量的概率分布：P(X=x_i) = p_i，其中X为随机变量，x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
2. 离散型随机变量的期望：E(X) = ∑ x_i × p_i，其中x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
3. 连续型随机变量的概率密度函数：f(x)，其中f(x)为概率密度函数的值，表示X落在一个x到(x+dx)的范围内的概率为f(x) × dx。
4. 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫ x × f(x)dx。
5. 方差： Var(X) = E(X²) - [E(X)]²。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
高考数学统计学知识点总结
高考数学统计学知识点总结统计学是高考数学考试中的一项重要内容，涉及到频数、频率、概率、平均数、方差等概念和计算方法。
它不仅是数学学科的一部分，也是应用数学的实际问题解决工具。
以下是高考数学统计学知识点的总结，帮助考生更好地备考和应对考试。
一、频数和频率1. 频数（f）：指某个数或属性在样本或总体中出现的次数，用来描述某个数或属性的出现次数。
2. 频率（f）：是频数和样本或总体容量的比值，用来描述某个数或属性的出现概率。
频率 = 频数 / 样本容量或总体容量3. 分组数据的频数和频率计算：- 首先，将数据进行分组，每一组称为一个“组距”，组内的数据称为“组中数”；- 然后，统计每个组的频数；- 最后，计算每个组的频率。
二、概率概率是描述随机事件发生可能性的数学指标，也是统计学的重要概念之一。
常见的概率计算方法有以下几种。
1. 经典概型：适用于所有基本事件的可能性相等的情况，计算方法为事件出现的次数除以总的基本事件个数。
2. 几何概型：适用于一些几何问题，比如求面积、长度等。
3. 相对频数：通过大量的实验或观察获得事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
三、平均数平均数是用来描述一组数据集中趋势的数值指标，它包括算术平均数、几何平均数和调和平均数。
1. 算术平均数（mean）：是一组数据中所有数值之和除以数据的个数。
2. 几何平均数（geometric mean）：是一组数据中所有数值的连乘积开n次方根，其中n为数据的个数。
3. 调和平均数（harmonic mean）：是一组数据中全部数值的倒数的算术平均数的倒数。
四、方差与标准差方差和标准差是描述数据分散程度的统计指标，反映了数据与平均数的偏差程度。
1. 方差（variance）：是一组数据的每个数值与算术平均数之差的平方和再除以数据个数。
2. 标准差（standard deviation）：是方差的正平方根，用来描述数据的离散程度。
在高考数学统计学知识点总结中，以上提到的是基本概念和计算方法，考生需要掌握它们的定义和应用。
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算概率与统计是高中数学的重要内容之一，其中期望与方差的计算是概率与统计中的基本概念。
本文将对高中数学中的概率与统计知识进行总结，并给出相关公式的大全，特别是期望与方差的计算方法。
一、概率与统计的基本概念概率与统计是研究随机事件规律性的数学课程。
概率是指某一随机事件在所有可能发生的事件中占据的比例，统计是通过对随机事件进行观察和实验来得到一些可靠的结论。
在概率与统计中，常用的基本概念包括样本空间、随机变量、事件和概率等。
样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合，而随机变量是将样本空间中的元素与对应的实数相联系的函数。
事件是指样本空间的一个子集，概率则是事件发生的可能性大小。
二、期望的计算公式期望是描述随机变量平均取值的指标，表示随机变量平均取值的大小。
下面是一些常见的期望计算公式。
1. 离散型随机变量的期望计算公式：设离散型随机变量X的概率函数为P(X=k)，其期望E(X)的计算公式为：E(X) = Σk·P(X=k)2. 连续型随机变量的期望计算公式：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，其期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫x·f(x)dx三、方差的计算公式方差是用来衡量随机变量的离散程度，表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
下面是一些常见的方差计算公式。
1. 离散型随机变量的方差计算公式：设离散型随机变量X的概率函数为P(X=k)，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ[(X-k)^2·P(X=k)]2. 连续型随机变量的方差计算公式：设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(X-μ)^2·f(x)]dx其中，μ代表随机变量X的期望。
四、概率与统计公式大全除了期望与方差的计算公式外，概率与统计领域还有一些其他重要的公式，如下所示：1. 加法公式：对于两个事件A和B，加法公式表示两个事件同时发生的概率为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)2. 乘法公式：对于两个相互独立的事件A和B，乘法公式表示两个事件同时发生的概率为：P(A ∩ B) = P(A) · P(B)3. 条件概率公式：对于事件A和B，条件概率公式表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)4. 贝叶斯公式：贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)5. 期望与方差的计算公式，在前面已经详细介绍。
分布列、期望和方差
①pi≥0，i＝1,2，?n； ②p1＋p2＋p3＋?pn＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
（3）E(X)＝x1p1+x2p2+?+xnpn为随机变量 X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（4）D(X)＝?[xi－E(X)]2pi＝(x1?E?)
i＝1n2p1+(x2?E?)2p2+?+(xn?E?)2pn
为随机变量X的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D(X)的算术平方根D?X?叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．
高三第一轮复习 离散型随机变量及其概率分布 知识归纳
1．随机变量
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X随试验结果的不同而变化，那么变量X叫做随机变量．
(2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型
随机变量． Leabharlann 2．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X所有可能取的不同值为x1、x2、?、xi、?、xn，X取每个值xi(i＝1,2，?n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X的分布列也可简记为：
P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、?、n.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
概率分布知识点归纳总结
概率分布知识点归纳总结一、概率分布的基本概念1. 随机变量随机变量是指对随机现象的结果进行数量化时，所得的变量。
它反映了随机现象的数量特征，可以是离散变量或连续变量。
离散变量是只能取有限个或可数多个数值的变量，如掷骰子所得点数；连续变量是在某个区间内可以取任意值的变量，如身高、体重等。
2. 概率函数概率函数描述了随机变量取值的概率情况，它可以分为离散型概率函数和连续型概率函数。
离散型概率函数通常用概率质量函数（PMF）表示，它表示了随机变量取各个可能值的概率；连续型概率函数通常用概率密度函数（PDF）表示，它表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
3. 概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，连续概率分布可以通过概率密度函数来描述。
概率分布具有一些重要的性质，如和为1、非负性等。
二、常见的概率分布1. 离散概率分布（1）① 二项分布二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
（2）② 泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数，k为事件发生的实际次数。
（3）③ 几何分布几何分布描述了第一次成功发生的概率分布，即在多次独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中k为首次成功所需的试验次数，p为成功的概率。
2. 连续概率分布（1）① 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，它在自然界和人类社会中都有广泛的应用。
它的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2 * σ^2))，其中μ为期望值，σ为标准差。
统计概率知识点总结公式
统计概率知识点总结公式统计概率是统计学中的一个重要分支，用来描述和分析随机现象和随机变量的概率分布规律。
在实际应用中，概率可以用来评估风险、预测未来、制定决策等方面。
本文将对统计概率的基本概念、常见分布、概率的性质以及相关公式进行总结。
一、基本概念1.1 随机变量随机变量是指在一次试验中所能观察到的结果。
随机变量可以是离散型的，比如扔一枚硬币得到正反面，也可以是连续型的，比如测量一群学生的身高。
1.2 概率分布概率分布是描述随机变量的取值和概率之间的关系的数学模型。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数（PMF）描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数（PDF）描述。
1.3 期望随机变量的期望是指这个随机变量所有可能取值的加权平均值。
对于离散型随机变量，期望可以用下面的公式计算：E(X) = Σx * P(x)对于连续型随机变量，期望可以用下面的公式计算：E(X) = ∫x * f(x) dx1.4 方差方差是衡量随机变量波动性的指标。
对于离散型随机变量，方差可以用下面的公式计算：Va r(X) = Σ(x - μ)² * P(x)对于连续型随机变量，方差可以用下面的公式计算：Var(X) = ∫(x - μ)² * f(x) dx1.5 协方差随机变量X和Y的协方差表示它们之间的线性关系。
协方差可以用下面的公式计算：Cov(X,Y) = E((X - μX) * (Y - μY))1.6 相关系数相关系数是协方差的标准化形式，用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
相关系数的计算公式如下：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (√Var(X) * √Var(Y))二、常见分布2.1 二项分布二项分布描述了进行n次独立的重复试验，每次试验成功的概率为p，求得成功次数的概率分布。
二项分布的PMF如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差
概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差绪论：概率论中有六大常用的基本分布，大致可分成两类：离散型（0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。
补充：在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别：期望和均值都具有平均的概念，但期望是指的随机变量总体的平均值，而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值，即前者是理想的均值，而后者则是实际观测出来的数据的均值。
例如：对于一个六面的骰子，其期望E = （1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5。
然后掷5次骰子，每次掷的点数分别为1,3,5,5,1，则平均值为（1+3+5+5+1）/ 5 = 3。
可以发现两者并不相等。
方差（variance）：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差度量了随机变量与期望（也可说均值）之间的偏离程度。
标准差为方差的开根号。
协方差（Covariance）：用于衡量两个变量之间的误差，而方差是协方差的特殊情况，即当两个变量相同的情况。
其公式如下：，表示含义为：E（∑（“X与其均值之差” * “Y与其均值之差”））当协方差为正时：表示两变量正相关（即同时变大变下）。
当协方差为负时：表示两变量负相关（即你变大，我变小，反之亦然）。
当协方差为0时：两变量相互独立。
相关系数：其公式如下，表示的含义为用X和Y的协方差除以X 和Y的标准差。
所以相关系数也可以看成协方差，一种剔除两个变量量纲影响，标准化后的特殊协方差。
正文：1、0-1分布已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中 0 < p< 1，则成X服从参数为p的0-1分布。
其中期望为E（X） = p 方差D（X） = p（1-p）；2、二项分布n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。
其中期望E（X） = np 方差D（X） = np（1-p）；3、泊松分布表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率，其公式为其中方差和期望均为，详细了解请☞戳4、均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布其中期望E（X） = （a+b）/ 2 ，方差D（X） = （b-a）^2 / 12。
高中数学常考题型答题技巧与方法及顺口溜
高中数学常考题型答题技巧与方法及顺口溜高中数学重点知识全在这个顺口溜里，轻松掌握!数学思想方法总结中学数学一线牵，代数几何两珠连;三个基本记心间，四种能力非等闲。
常规五法天天练，策略六项时时变，精研数学七思想，诱思导学乐无边。
一线：函数一条主线(贯穿教材始终)二珠：代数、几何珠联璧合(注重知识交汇)三基：方法(熟)知识(牢) 技能(巧)四能力：概念运算(准确)、逻辑推理(严谨)、空间想象(丰富)、分解问题(灵活)五法：换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法。
六策略：以简驭繁，正难则反，以退为进，化异为同，移花接木，以静思动。
七思想：函数方程最重要，分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了;有限自将无限描，或然终被必然表，特殊一般多辨证，知识交汇步步高。
数学知识方法口诀集合与函数内容子交并补集，还有幂指对函数。
性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。
底数非1的正数，1两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。
三角函数三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
《概率计算》必背概念知识点整理
《概率计算》必背概念知识点整理概率计算必背概念知识点整理
1. 随机变量与概率
- 随机变量：随机试验的结果用变量表示，称为随机变量。
- 概率：描述事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。
2. 概率分布
- 离散型随机变量：随机变量取有限个或可列个值的情况下的概率分布。
- 连续型随机变量：随机变量的取值是一个区间内任意实数值的情况下的概率分布。
3. 期望与方差
- 期望：随机变量的平均值，表示随机变量的长期平均水平。
- 方差：衡量随机变量相对于其期望值的离散程度。
4. 条件概率与独立性
- 条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生
的可能性。
- 独立事件：两个事件之间的发生没有相互关系。
5. 联合分布与边缘分布
- 联合分布：描述多个随机变量同时发生的情况下的概率分布。
- 边缘分布：从联合分布中得到某个随机变量单独的概率分布。
6. 条件分布与条件期望
- 条件分布：在给定某个条件下的随机变量的概率分布。
- 条件期望：在给定某个条件下的随机变量的期望值。
7. 大数定律与中心极限定理
- 大数定律：随着试验次数增加，试验的平均结果会趋近于其期望值。
- 中心极限定理：当随机变量的样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
以上是《概率计算》中的一些必背概念知识点的整理。
这些知识点可以帮助理解概率计算的基本原理和方法。
请根据自己的需要进行深入学习和理解。
概率分布期望方差汇总
概率分布期望方差汇总概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。
期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。
在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。
一、期望期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。
对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。
对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。
二、方差方差是对随机变量取值分散程度的度量。
方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。
方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。
方差的平方根称为标准差。
三、常见概率分布的期望和方差1.二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。
设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。
期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。
设X为单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布记作X~P(λ)。
期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.均匀分布均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值的概率。
设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作X~U(a,b)。
期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/124.正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟型曲线。
设X服从参数为μ和σ^2的正态分布记作X~N(μ,σ^2)。
期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^25.指数分布指数分布描述连续随机事件发生的时间间隔的概率。
统计概率分布列期望方差复数梳理
统计1为了使样本具有很好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是2用简单随机抽样抽取n个个体的样本，应每次抽个，抽次，抽后（放回或不放回）.3随机数表由数字组成，且每个数字在表中各个位置出现的机会都.4用随机数表法抽取样本时，先对总体编号，若总体为100个，则编号为，，， (99)5系统抽样中，分段间隔为12，第一段所抽个体编号为4，则所抽样本编号由小到大构成数列的通项公式为.6当总体是由组成时，往往运用分层抽样的方法.7三种抽样方法的共同点是.8频率分布直方图的纵轴表示，各小长方形的面积的和为.9连接频率分布直方图中各，就得到频率分布折线图.10在频率分布直方图中，众数的估计值为，怎样估计中位数，平均数的估计值为.11在“平均数，中位数，众数”中，任何一个样本数据的改变都会引起的改变.12标准差考查样本数据的的大小.一组数据的方差是否一定为正 .13将一组数据中每个数据都加上或减去同一个常数后，方差变化为，平均数.14茎叶图从上往下数据依次，右侧数据从左向右依次.15 如果散点图中点的分布从整体上看，我们就称两个变量之间具有线性相关关系.16相关系数r=0时，两个变量的关系为；相关系数r=1时，所有样本点和回归直线的关系为；若所有样本点都在回归直线上，则相关系数r= ;相关系数-0.95与0.8哪一个相关性更强.R17回归直线一定经过点，残差平方和，模型的拟合效果越好；相关指数2，回归的效果越好；残差平方和为0，则所有样本点和回归直线关系为.18 回归模型y=bx+a中，b>0，若解释变量每增加一个单位，则预报变量平均增加个单位.K的观测值k≥6.635的概率为0.010，则19在独立性检验中，|ad-bc| ，两个分类变量关系越弱；2有的把握认为两个分类变量有关系.20对分类变量X与Y，它们的随机变量K²的观测值为k，若k越大，则“X与Y有关系”的把握程度.概率期望方差1 叫做相对于条件S的不可能事件.若事件A发生的概率为0，则A为事件.2抛掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，则抛掷10次硬币有次正面向上.3事件A或事件B发生记做，事件A 且事件B发生记做.4 若A⋂B为，A⋃B为，那么称事件A与事件B对立.5若A与B互斥，则P（A）+P（B）和1的关系为，P（AB）= .6“两事件对立”是“两事件互斥”的条件.A与B对立，则P（A）+P（B）= .7古典概型的两个特点是.8 （理）若事件A与事件B满足时，称事件A与事件B相互独立，若A与B相互独立，则A与B的关系为，A与B的关系为.9（理）一次试验中事件A发生的概率为p，n次独立重复试验A恰好发生k次的概率为.10（理）10件产品中有2件次品，逐一取出测试不放回，则第四次检测到所有次品概率的运算式子为 .11（理）三个开关串联，断开的概率分别为p,q,r ，且相互独立，则整个电路断开的概率为 .12（理）数学期望反映了离散型随机变量取值的 .方差刻画了随机变量与 的平均偏离程度. 13（理）正态分布中，P （a<x ≤b ）≈ .正态曲线关于 对称，正态曲线与x 轴之间的面积为 ，正态曲线的单调性为 .14（理）若E(X)=a,D(X)=b,则E(mx+n)= ,D(mx+n)= .排列 组合 二项式定理1（理）若y n x nC C =，（n y n x N y N x ≤≤∈∈,,,），则x 与y 的关系为 . 2（理）0n C +1n C +2n C +……+n n C = ， +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = ，=+-1m n m n C C ，=++++-++r n r r r r r r C C C C 121 .3(理)()n x a 2+展开式的前三项与()na x +2展开式的前三项是否相等 . 4（理）612⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式所有项系数和为 ，奇数项系数和与偶数项系数和的差为 ，所有项系数绝对值的和为 ,二项式系数的和为 .5（理）二项式系数中，n 为偶数时， 最大，n 为奇数时 最大.6（理）求402除以15的余数，只需把402写为 并展开. 7（理） 集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个.8（理）4个不同的球分给3个人，每人至少一个共有 中方法；4个不同的球均分为两组有 方法.复 数1 复数z=a+bi(a,b ∈R)的实部为 ，虚部为 ，z 满足 时为虚数，z 满足 时为纯虚数，a+bi 的模为 （用a,b 表示）,a+bi 的共轭复数为 .2 =n i4 ，=+14n i ，=+24n i ，=+34n i ，（n ∈N ）.3 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32321i ，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32321i ，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++232321n i ，n ∈N.4=-+i i 11 ，=+-i i 11 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1011i i .5 z 为复数，则2z 与2z 的关系为 .。
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统计
1为了使样本具有很好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是
2用简单随机抽样抽取n个个体的样本，应每次抽个，抽次，抽后（放回或不放回）.
3随机数表由数字组成，且每个数字在表中各个位置出现的机会都.
4用随机数表法抽取样本时，先对总体编号，若总体为100个，则编号为，，， (99)
5系统抽样中，分段间隔为12，第一段所抽个体编号为4，则所抽样本编号由小到大构成数列的通项公式为.
6当总体是由组成时，往往运用分层抽样的方法.
7三种抽样方法的共同点是.
8频率分布直方图的纵轴表示，各小长方形的面积的和为.
9连接频率分布直方图中各，就得到频率分布折线图.
10在频率分布直方图中，众数的估计值为，怎样估计中位数
，平均数的估计值为.
11在“平均数，中位数，众数”中，任何一个样本数据的改变都会引起的改变.
12标准差考查样本数据的的大小.一组数据的方差是否一定为正 .
13将一组数据中每个数据都加上或减去同一个常数后，方差变化为，平均数.
14茎叶图从上往下数据依次，右侧数据从左向右依次.
15 如果散点图中点的分布从整体上看，我们就称两个变量之间具有线性相关关系.
16相关系数r=0时，两个变量的关系为；相关系数r=1时，所有样本点和回归直线的关系为；若所有样本点都在回归直线上，则相关系数r= ;
相关系数-0.95与0.8哪一个相关性更强.
R
17回归直线一定经过点，残差平方和，模型的拟合效果越好；相关指数2
，回归的效果越好；残差平方和为0，则所有样本点和回归直线关系为.
18 回归模型y=bx+a中，b>0，若解释变量每增加一个单位，则预报变量平均增加个单位.
K的观测值k≥6.635的概率为0.010，则19在独立性检验中，|ad-bc| ，两个分类变量关系越弱；2
有的把握认为两个分类变量有关系.
20对分类变量X与Y，它们的随机变量K²的观测值为k，若k越大，则“X与Y有关系”的把握程度.
概率期望方差
1 叫做相对于条件S的不可能事件.若事件A发生的概率为0，则A为事件.
2抛掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，则抛掷10次硬币有次正面向上.
3事件A或事件B发生记做，事件A 且事件B发生记做.
4 若A⋂B为，A⋃B为，那么称事件A与事件B对立.
5若A与B互斥，则P（A）+P（B）和1的关系为，P（AB）= .
6“两事件对立”是“两事件互斥”的条件.A与B对立，则P（A）+P（B）= .
7古典概型的两个特点是.
8 （理）若事件A与事件B满足时，称事件A与事件B相互独立，若A与B相互独立，则A与B的关系为，A与B的关系为.
9（理）一次试验中事件A发生的概率为p，n次独立重复试验A恰好发生k次的概率为.
10（理）10件产品中有2件次品，逐一取出测试不放回，则第四次检测到所有次品概率的运算式子
为 .
11（理）三个开关串联，断开的概率分别为p,q,r ，且相互独立，则整个电路断开的概率为 .
12（理）数学期望反映了离散型随机变量取值的 .方差刻画了随机变量与 的平均偏离程度. 13（理）正态分布中，P （a<x ≤b ）≈ .正态曲线关于 对称，正态曲线与x 轴之间的面积为 ，正态曲线的单调性为 .
14（理）若E(X)=a,D(X)=b,则E(mx+n)= ,D(mx+n)= .
排列 组合 二项式定理
1（理）若y n x n
C C =，（n y n x N y N x ≤≤∈∈,,,），则x 与y 的关系为 . 2（理）0n C +1n C +2n C +……+n n C = ， +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = ，=+-1m n m n C C ，=++++-++r n r r r r r r C C C C 121 .
3(理)()n x a 2+展开式的前三项与()n
a x +2展开式的前三项是否相等 . 4（理）612⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式所有项系数和为 ，奇数项系数和与偶数项系数和的差为 ，所
有项系数绝对值的和为 ,二项式系数的和为 .
5（理）二项式系数中，n 为偶数时， 最大，n 为奇数时 最大.
6（理）求402除以15的余数，只需把40
2写为 并展开. 7（理） 集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个.
8（理）4个不同的球分给3个人，每人至少一个共有 中方法；4个不同的球均分为两组有 方法.
复 数
1 复数z=a+bi(a,b ∈R)的实部为 ，虚部为 ，z 满足 时为虚数，z 满足 时为纯虚数，a+bi 的模为 （用a,b 表示）,a+bi 的共轭复数为 .
2 =n i
4 ，=+14n i ，=+24n i ，=+34n i ，（n ∈N ）.
3 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32321i ，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32321i ，=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++232321n i ，n ∈N.
4
=-+i i 11 ，=+-i i 11 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1011i i .
5 z 为复数，则2z 与2z 的关系为 .。