高中数学课件：212《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)
高二数学：《求曲线的方程》课件（新人教A版选修2-1）
(1)曲线上的点的坐标都是这个方 程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
引入
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题． 对于一个几何问题，在建立坐标系的基
础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质， 这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门 科学称为解析几何．
变式：若上题中条件改为到点 A(0,2)的距离和它到x轴的距离之 和是2，则应如何求？
练习：已知定线段AB，且 |AB|=4，动点C满足ACBC0， 求动点C的轨迹方程。
变式：若为直角△ABC中， 斜边AB=4，求直角顶点C的 轨迹？
例3：已知O为直角坐标系原点， M为圆(x-2)2+y2=3上的动点,试 求MO中点的轨迹方程。
求解曲线方程的大体步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例 如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合：
PMpM;
（3）用坐标表示条件P(M)列出方程
fx，y0；
（4）化方程 fx， y0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标 的点都是曲线上的点．
例2：已知一条直线L和它上方的一 个点F，点F到L的距离是2，一条 曲线在L的上方，它上面的每一点 到F的距离减去到L的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲 线的方程。
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我们，还在路上……
制作 06
2009年下学期
解析几何的两大基本问题就是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程． （2）通过方程，研究平面曲线的性质．
高中数学 2.1.2求曲线的方程(二)课件 新人教A版选修2-1
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 − 4) 2 + y12 = 9
化简整理得 ( x − 8) 2 + y 2 = 36 x 0 M C 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x − 8) + y = 36 . ( y ≠ 0 ) 这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法 相关点坐标分析法( 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 巧用图形性质, 法二 添辅助线 MA,巧用图形性质 妙极了 巧用图形性质 妙极了!
2 2
3 + 2k x = 1+ k 2 消去参数 k 得 x 2 + y 2 − 3x − 2 y = 0 ∴ y = k ⋅ 3 + 2k 1+ k 2
y = kx 由方程组 2 x + y 2 − 6 x − 4 y + 10 = 0 0 2 2 消去 y 得 (1 + k ) x − (6 + 4 k ) x + 9 = 0 6 + 4k 9 , x1 ⋅ x2 = x1 + x2 = 2 1+ k 1+ k2
2.1曲线和方程 曲线和方程
— 2.1.2
学习目标： 学习目标：
1、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 2、通过例题2，理解求曲线方程的一般步骤； 、通过例题 ，理解求曲线方程的一般步骤； 3、初步了解求动点轨迹方程的常用方法——直接法、 、初步了解求动点轨迹方程的常用方法 直接法、 直接法 相关点法（代入法）、消参法。 相关点法（代入法）、消参法。 ）、消参法
高中数学课件：2.1.2《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)
教师用书配套课性24 2求曲线的方程一、坐标法和解析几何1.__________________________ 坐标法:坐标法是指借助于_________________________________ ,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2.解析几何:解析几何是指数鬱臓的知识形成的研究几何图形学科.坐标法3.解析几何研究的主要问题：⑴曲线研究方程:根据已知条件,求出—(2)方程研究曲线:通过曲线的方程，研究思考:用坐标法研究解析几何问题的前提示:用坐标法研究解析几何面直问题时首先角坐标系，这样，点有了坐标，曲线也就有了宿覊胸艳费判断：(正确的打“V”，错误的打“X")⑴在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系.( )⑵化简方程“ IX冃y I"为“尸X”是恒等变形.()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志.⑵错误・|x| = |y|化简的形式为y二士X・(3)错误•一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解.化简过程中极易产生増解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确. 答案:⑴“ (2)x (3)x【知识点拨】1 •平面直角坐标系的选取原则(1) 以已知走点为原点.(2) 以已知走直线为坐标轴(x轴或y轴)•(3) 以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点・⑸如果曲线（或轨迹）有对称中心通常以对称中心为原点.（6）如果曲线（或轨迹）有对称轴,通常以对称轴为坐标轴（x轴或y轴）.（7）号可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.2•对求曲线方程的五个步骤的(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单• ⑵第二步是求方程的重要一环•要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式•此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标⑶在化简的过程电注意运算的合理性与准确性，尽量避免"失解〃或"增解〃•⑷第五步的说明可以省略不写如有特殊情况，可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上，可以通过限走方程中X（或y）的取值予以剔除3•对求曲线方程的三点说明(1) 求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同•(2) —般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(X"),而不设成(Xo"o)或(X]M).⑶化简方程眩一般将方程f(x,y)二0化成关于x"的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.类型-・直接法求曲线方程【典型例题】1.已知动点M到A(2, 0)的距离等于它到直线x=-l的距离的2倍, 则点M的轨迹方程为________ •2.(2013•珠海高二检测)已知点A(-2, 0),B(2, 0),直线AP与直线BP相交于点P,它们的斜率之积为-，求点P的轨迹方程.【解题探究】1•从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系?2•在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示：1•因题1中已知A(2,0)f故不需要建立平面直角坐标系. 2•—般地,当动点满足的条件非常明显，可以很容易地建立条件等式，这时一般可采用直接法求曲线的方程.【解析】1•设M(x,y)•由题鳶得花简得■ 3x2 ■ 12x+y2 二O f0Jy2 二3 答案:y2=3x2+12x2•设点P(x f y)f直线AP的斜率％二直线BP的斜率咯二(XH2),根据已知"有：y (x^±2)f化简得：+y2=l()cr^).yx-2x + 2 x-2 442•“轨迹方程"与〃轨迹"的辨析【变式训练】已知点M到X轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程.【解析】设动点M的坐标为（X f y）,则点M到X轴.y轴的距离分别为|y|」x|•由题意知|y| = 2|x|f^®gy=±2x.•点M的轨迹方程为y=±2x.类型二代入法求曲线的方程【典型例题】1. 设圆c： (x-l)2+y2=l,过原点0作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程是__________2•设定点M(-3, 4),动点N在x2+y2=4上运动，以OM, ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.【孵題球兖】丄•有匕知D（X1"1）十2（X2“2人则我段卩十2甲庶卩的坐标是什么？2•题2哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方徨，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？探究提示：1•据中鉅标公式知中点P的坐标为（）•2•从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知曲线的方程，可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标•22X1+X2 yi+y222 【解析】1•设OQ 为过O 的一条弦,P (x,y)为其中点,Q(X V Y I )>X ］二 2x ，又J(x 1-S)2+y^2=l -(2x-l)2+4y 2=l(0<x<l).答料列曲書(。
高中数学 2.1.2求曲线的方程(一)课件 新人教A版选修2-1
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
例3、求抛物线 y = x 2 + (2m + 1) x + m 2 − 1(m ∈ R ) 的顶 、 点的轨迹方程。 点的轨迹方程。
解：设顶点坐标为 (x, y)
2
y = x 2 + ( 2 m + 1) x 5 = (x + ) − (m + ) 2 4 2m + 1 5 顶点坐标（ ,−m + ） ——消参法：分析动点的变化 消参法： 消参法 2 4 规律及其特点，选取一个（几个） 2m + 1 5 规律及其特点，选取一个（几个） 设x = , y =− m+ ） （ 与动点变化相关的量作为参数， 2 4 与动点变化相关的量作为参数，用 消去m, 得： 参数表示动点的坐标（ ），然 参数表示动点的坐标（x , y），然 ）， 4x − 4 y − 3 = 0 后消去参数，得到关于x 的关系 后消去参数，得到关于 , y的关系
y
M
N 0 Q
x
思考:( 思考 P 练习第 3 题)
37
如图,已知点 的坐标是(2 如图 已知点 C 的坐标是 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 过点 的中点,求点 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点 求点 M 的 设点 轨迹方程. 轨迹方程
√
3.用坐标表示条件 3. √用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) = 0 ; 4.化简方程 为最简形式; ) 4. √化简方程 f ( x, y).= 0 为最简形式; 5.证明 查漏除杂). 证明( 5.证明(查漏除杂 √
高中数学(人教A)选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1
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类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
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二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件
第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1 知识点一 坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二 求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.解答类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.解答反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.反思与感悟跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答当堂训练1.曲线y＝与xy＝2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√答案解析x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.因为点M(x0，y)在直线2x－y＋3＝0上，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.1.2 求曲线的方程(共25张ppt)
超级记忆法-记忆 规律 第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆 呢？
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点 A(-2,0)，B(-4,0),则圆C的方程为_______. 答案：(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0）， （3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________.
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的 坐标系，求这条曲线的方程. 分析：在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
人教版选修2-1第二章2.1.2求曲线方程(共21张PPT)
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
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【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
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再 见！
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11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
人教A版高中数学选修2-1课件 求曲线的方程课件
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
→· → 已知两个定点 A、 B 的距离为 6， 动点 M 满足条件MA MB ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
[解析]
以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标
系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)， → → 设 M(x，y)，则由MA· MB＝－1 得，(－3－x，－y)· (3－x， －y)＝－1， ∴x2＋y2＝8 为所求．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
பைடு நூலகம்
课前自主预习
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出 表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
2．求曲线的方程的步骤
4x 4y 2 上，∴ 3 ＋ 3 2＝4.
[答案]
9 2 2 x ＋y ＝ 4
∵点 P 在⊙O
9 故所求轨迹方程为 x2＋y2＝4.
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
命题方向
定义法求曲线方程
[例 3]
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意
弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
解法二： 设 M(x， y)， 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0)， 1 (0,2y) ， 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 ， 所 以 |PM| ＝ |AB|. 而 |PM| ＝ 2 x－22＋y－42， |AB|＝ 2x2＋2y2， 所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2， 化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.2 求曲线的方程 课件
课堂小结
1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简.
2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形
3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢指导
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
M 1B M 1B x1 3x 21 3y12 7 y21 724 2y4 1 2 2y 1y12 7 y2172
5 y12 56yy11 2 1 63y1;13;
M1AM1B，点 M在线A段 B的垂直x 3 )2 (y 7 )2
o
x
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
⑴由求方程的过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x 2y 7 0 的解 即 x1 2 y1 7 0 ， 那么， x1 7 2 y1 .
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
（1）、根据已知条件，求曲线的方程;
（2）、通过方程研究曲线的性质.
探索新知、拓展思维
高中数学2.1曲线与方程课件新人教A版选修2-1
2.求轨迹方程
[典例] (12 分)在 Rt△ABC 中，斜边长是定长 2a(a＞0)，求直角 顶点 C 的轨迹方程．
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
()
解析：由 x2＋xy＝x，得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1＝0. 由此知方程 x2＋xy＝x 表示两条直线． 答案：C
曲线与方程的关系 [例 2] 下列方程分别表示什么曲线： (1)(x＋y－1) x－1＝0； (2)4x2－y2＋6x－3y＝0.
[解] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0，可得源自x－1≥0， x＋y－1＝0
或 x－1＝0，即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
故方程表示一条射线 x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线 x＝1.
(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即 2x－y＝0 或 2x＋y＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线 2x－y＝0 和 2x＋y＋3＝0.
求曲线的方程
[例 3] 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴 于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
[解] 法一：设点 M 的坐标为(x，y)． ∵M 为线段 AB 的中点． ∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y)． ∵l1，l2 均过点 P(2,4)，且 l1⊥l2， ∴PA⊥PB，当 x≠1 时，kPA·kPB＝－1. 而 kPA＝24－－20x＝1－2 x，kPB＝42－－20y＝2－1 y，∴1－2 x·2－1 y＝－1，
[导入新知]
高中数学2.1曲线与方程(第1课时)课件新人教A版选修2-1
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？
以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
O
x
C
思考6:曲线C上的点的坐标都是方程 x y的解吗？
以方程 x y的解为坐标的点都在曲线C上吗？
圆与方程的关系
设曲线C表示直角坐标系中以点 （1，2）为圆心，3为半径的圆.
y
说明:
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲 线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的
点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合
条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）
本节课设置了大量的讨论问题，让学生在合作讨论的过程 中逐渐体会方程与图像对应关系的严格性---纯粹性和完备性.
导入一： 11月７日８时３４分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动， 成功进入经过月球南北两极，轨道周期１２７分钟的圆轨道。 通过 ３次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约８４８米每秒，从近 月点高度２１２公里、远月点高度８６１７公里的椭圆轨道调整为 轨道高度约为２００公里的圆形轨道.
定义:
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: y
f(x,y)=0
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
0
x
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线ห้องสมุดไป่ตู้做方程的曲线.
最新高中数学人教a版选修(2-1)2-1-2《求曲线的方程》ppt课件
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨 迹方程是________．
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 答案：x＋y－1＝0
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点 (0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
解：设 M(x，y)，P(a，b)，则xy＝＝a2b，－2 1.
[点评] (1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系， 充分利用三角形外心的性质．易错处是用|BM|＝|CM| 列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因 是在求|BM|的长时已利用了|BM|＝|CM|这个等量关 系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC 边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线 作为x轴，此时方程将有所变化．
答案：B
2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l： x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的 距离相等，则点P的轨迹方程是( )
A．(y＋1)2＝8(x－1) B．(y－1)2＝8(x＋1) C．(y＋1)2＝－8(x－1) D．(y－1)2＝－8(x＋1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2 ＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选 D.
类型二 定义法求曲线方程 [例2] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考 虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中 点．
[解] 法一：(直接法) 如图 2，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠OQC＝90°. 设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
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M
因为曲线y 在18x轴x2 的上方，所以y＞4)化0,简所以曲线的方程B是
y 1 x2 (x 0) 8
16:13:32
5）审查
巩固提高练习：
例1、设圆C的方程为（x 1）2 y2 1, 过原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点M的轨迹方程。
y
M. .
oC
x
16:13:32
1234
=2x 2y
M
oC
பைடு நூலகம்
x
又 点P x0, y0 在圆C上， x0 12 y02 1
（代入法）
2x 12 2 y2 1 即：x2 x y2 00 x 1
16:13:32
练例习1、：设圆C的方程为（x 1）2 y2 1,过原点O做圆的任意弦，
求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
7 (1) 2 ,∴所求直线的斜率 k 3 (1)
AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7)
=1 2
即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程. 解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,
建立坐标系xOy设, 点M(x,y)是曲线上任意一点，
MB⊥x轴，垂足是B， 1）建系设点
MA MB 2
2)(限）列式
A(0, 2)
(x 0)2 ( y 2)2 y 2 3）代换
16:13:32
练例习1、：设圆C的方程为（x 1）2 y2 1,过原点O做圆的任意弦，
高中数学人教课标版选修2-1《求曲线的方程》课件
把M点坐标代入上式得：
平方得： ，化简得：
，
．
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0， 所以曲线的方程是
【思路点拨】先分析已知条件，建立合适的坐标系，然后建系，设点，
找关系式，进行化简和求解．
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: （1）建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(x,y); （2）列出适合条件P的几何点集： （3）用坐标表示条件P(M),列出方程放f(x,y)=0; （4）化简方程f(x,y)=0为最简形式; ;
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例3．已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线 也在直线 l的上方，它上面的每一点到 F的距离减去到直线 l的距离的差
都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程． 【解题过程】设直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建
立坐标系xOy．设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B， 那么 ．
求曲线的方程
知识回顾
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曲线的方程与方程的曲线的概念．
检测下预习效果：
点击“随堂训练” 选择“《求曲线的方程》预习自测”
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问题探究
课堂小结
随堂检测
由曲线的方程、方程的曲线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，
把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标
（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的 性质，间接地研究曲线的性质． 我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．
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