n维向量

合集下载

3.2 n维向量空间

2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示；有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量，维向量写成一行，行向量，
3．向量的相等．如果n维向量如果维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等，的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等，则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量．零向量：分量全为零的向量称为零向量零向量，零向量分量全为零的向量称为零向量，记作 0．即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量，维向量还可以写成一列，维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行列的矩阵； × n 的矩阵维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是行一列的矩阵 n × 1 的矩阵维列向量就是n行列的矩阵.
为向量α 与 β 的和；称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积．为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量

α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；

(完整版)2.3n维向量的概念

第三章第一讲
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何既有大小又有方向的量
几何形象：可随意平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐有次序的实数组成的数组
标代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．

第二章 n维向量

2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关的充要条件是它们的各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,

2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果设存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕

n维向量空间

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向量
a1 Hale Waihona Puke 空间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向量
若 L, L, 则 L;
空间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第三
有问题可通过Email询问:
章
n
维向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量空间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1

第四章 n维向量

§4.2
向量组的线性相关性
可写成
( a1 a 2
x1 x2 an ) =b xn
即
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b ,
T
其中a j = (a1 j , a2 j ,, amj ) ( j = 1,2,, n)
b = (b1, b2 ,, bm )T
§4.2
向量组的线性相关性
给定向量组T：a1,a2, …,am和向量b, 如果存在一组实数 k1 , k2 , … , km , 使 b = k1a1+k2a2+…+kmam 则称向量 b 是向量组T的线性组合或称向量 b 可由向量组 T 线性表示例4.5 若记 e1=(1,0, …,0),e2=(0,1, …,0)，…，en=(0,0, …,1)
分量全是实数的向量叫做实向量，
分量是复数的向量叫做复向量。
§4.1 n 维向量及其线性运算
注： 1.a = ( x1 ,x2 , … ,xn) ——n维行向量；
x1
a=
x2
——n维列向量;
xn
2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向量，在不引起混淆的情况下，简记为0.
§4.1 n 维向量及其线性运算
的n+s维向量组b1,b2, …,bm仍线性无关。
§4.3 向量组的秩
§4.3
向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义4.5 设向量组T的一个部分组 {a1 , a 2 , , a r } T，若满足 (1) a1 , a 2 , , a r 线性无关；
(2)向量组T 中每一个向量均可由 {a1 , a 2 , , a r } 线性表示则称 {a1 , a 2 , , a r } 是向量组T的一个极大

第4章 n维向量空间

T
# 实向量 a : 向量 a的分量都是实数 ; # 复向量 b : 向量 b的分量都是复数。定义 4 . 1 所有 n维实向量 ( r e a l v e c t o r )的集合称为 , n维实向量空间，记为，即
例 4.1 判断向量 β = -3, 2, 0, 5 是否可由向量 ,
T
e 1 (1, 0, 0, 0 ) , e 2 ( 0, 1, 0, 0 ) ,
T T
e 3 ( 0, 0, 1, 0 ) , e 4 ( 0, 0, 0, 1 )
T
T
线性表示。解因 = - 3 e 1 2 e 2 0 e 3 5 e 4，所以 β 可由 e 1 , e 2 , e 3 , e 4

T
a1 a2 a n

复习若干概念： # 向量 α a1 , a 2 , , a n

T
和 β b1 , b 2 , , b n

T
相等
对应分量都相等 a i bi 1 i n # 向量 α , β的和 : α β a 1 b2 , a 2 b2 , , a n bn # 向量 0 ,0 , , 0 称为零向量，用 O 表示。
即： x1 α1 x 2 α 2 x m α m β
定理 4.1 ( 1 ) 向量 β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 线性表示的充要条件是： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) ( 2 ) 向量 β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 惟一线性表示的充要条件是： ra n k ( α 1 , α 2 , , α m ) ra n k ( α 1 , α 2 , , α m , β ) m 。证 (1 ) β 可由向量 α 1 , α 2 , , α m 线性表示 x1 α1 x 2 α 2 x m α m 方程组 A X β 有解其中A 存在 m 个数 x 1 , x 2 , , x m ，使得

第二三节n维向量

第二三节n维向量线性方程第二节线性方程一,向量的概念定义n个数组成的有序数组α=(a1,a2,,an)称为维向量.一个n维向量.的分量或坐标.a1,a2,,an称为向量α的分量或坐标.行向量α=(a1,a2,,an)a1a2α=an列向量或α=(a1,a2,,an)T线性方程维向量.一般用希腊字母α,β,γ等表示n维向量.分量全部为零的向量称为零向量,分量全部为零的向量称为零向量,记为θ.向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等加减法,相等,向量可视为特殊的矩阵因此向量的相等,加减法,数乘等概念完全与矩阵相同等概念完全与矩阵相同.数乘等概念完全与矩阵相同设α=(a1,a2,,an),β=(b1,b2,,bn),则α+β=(a1+b1,a2+b2,,an+bn),kα=(ka1,ka2,,kan).线性方程向量的线性运算满足以下八条运算律:向量的线性运算满足以下八条运算律:(1)α+β=β+α(2)α+(β+γ)=(α+β)+γ(3)α+θ=α(4)α+(α)=θ(5 )(k+l)α=kα+lα(6)k(α+β)=kα+kβ(7)(kl)α=k(lα)(8)1α=α维向量,为实数.其中α,β,γ都是n维向量k,l为实数4线性方程除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:(1')0α=θ,kθ=θ(其中0为数零,k为任意数);(2')若kα=θ,则或者k=0,或者α=θ;(3')向量方程α+某=β有唯一解某=βα.移项规则例1设3(α1α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1),α2=(10,1,5),α3=(4,1,1),求α.解3α13α+2α2+2α=5α3+5α,6α=3α1+2α25α3,1α=(3α1+2α25α3)=(1,2,3).6线性方程练习:练习:P141习题三线性方程第三节线性方程一,向量组的线性组合定义给定n维向量α1,,α和β,若存在个数k1,,k,使β=k1α1++kα,则称β是向量的一个线性组合组α1,,α的一个线性组合,或称β能被向量组α1,,α线性表示(线性表出).线性表示(线性表出)如果向量组(如果向量组(Ⅰ)α1,,α中每个向量均可由向量组(量组(Ⅱ)β1,,线性表出,则称向量组(βt线性表出,则称向量组(Ⅰ)可由向量组(线性表出;向量组(Ⅱ)线性表出;如果两个向量组可以互相表出,则称等价.如果两个向量组可以互相表出则称等价.则称等价8线性方程例如,例如β=(2,1,1),α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),因为β=2α1α2+α3,的线性组合,即β是α1,α2,α3的线性组合线性表示.或者说β可由α1,α2,α3线性表示零向量能被任何向量组α1,,α线性表示:线性表示:θ=0α1++0α.中每个向量可被该向量组线性表示:向量组α1,,α中每个向量可被该向量组线性表示:αj=0α1++1αj++0α.9线性方程称ε1=(1,0,,0),ε2=(0,1,,0),,εn=(0,0,,1)为n维基本单位向量组.维基本单位向量组.任意一个n维向量α=(a1,a2,,an)都能被向量线性表示:组ε1,ε2,,εn线性表示:α=a1ε1+a2ε2++anεn.线性方程某1b1某2b2对线性方程组A某=b,某=,b=,某bnn将系数矩阵A分裂成列向量A=(α1,α2,,αn),则方程组改写为某1α1+某2α2++某nαn=b,解的问题,线性方程组A某=b解的问题,等价于常数列b被A的列向量组线性表示的问题.列向量组线性表示的问题.线性表示的问题线性方程1122例1设α1=0,α2=2,α3=1,β=5,1104线性表示β能否由α1,α2,α3线性表示11221122解(α1,α2,α3,β)=0215→0215,11040022某1=1某2=3,∴β=α1+3α2α3.某=1312线性方程例2设向量组α1=(1,4,0,2),2=(2,7,1,3),αTTα3=(0,1,1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问:a,b满足什么条件时,(1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示法唯一;线性表出,且表示法唯一;(2)β不能由α1,α2,α3线性表出;线性表出;(3)β可由α1,α2,α3线性表出,但表示法不唯一,线性表出,但表示法不唯一,并求一般表达式.并求一般表达式.解1402122030371100112→011b11b01a23a4线性方程1212030301120112→→00a01b2,0011b01a200a01b20(1)b≠2时,β不能由α1,α2,α3线性表出;线性表出;(2)b=2且a≠1时,β可由α1,α2,α3唯一表出;唯一表出;(3)b=2且a=1时,β可由α1,α2,α3线性表出;线性表出;但表示法不唯一.但表示法不唯一.线性方程二,向量组的线性相关性定义设向量组α1不全为零的,,α,若存在个不全为零的数k1,,k,使k1α1+k2α2++kα=θ,线性相关,则称向量组α1,,α线性相关,线性无关.否则称向量组α1,,α线性无关.线性方程242121例3设α1=,α2=,α3=,354141有3α1α2α3=θ,于是α1,α2,α3线性相关.线性相关相关.包含零向量的向量组一定线性相关:包含零向量的向量组一定线性相关0α1++1θ++0α=θ.单个向量线性相关当且仅当它为零向量:单个向量线性相关当且仅当它为零向量kα=θ,k≠0α=θ.16线性方程定理在≥2情况下,向量组α1,,α线性相关的充分情况下,必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示.必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示.其余向量线性表示证若α1,,α线性相关,即存在不全为零的数k1,,k,线性相关,k1α1+k2α2++kα=θ,k2k不妨设k1≠0,则α1=α2α,k1k1线性表示;即α1可由α2,,α线性表示;使反过来,线性表示,反过来,不妨设α1可由α2,,α线性表示,即α1=k2α2++kα,于是1α1+k2α2++kα=θ,17线性相关.故α1,,α线性相关.线性方程线性无关的含义的含义:向量组α1,,α线性无关的含义:由k1α1+k2α2++kα=θk1=k2==k=0定理设α1,,α为列向量,则向量组线性相关为列向量,(线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组线性无关非零解,有(无)非零解无非零解A某=θ其中A=(α1,,α).这又取决于r(A)<或r(A)=.18线性方程例4判断下列向量组的线性相关性:判断下列向量组的线性相关性103130(1)α1=,α2=1,α3=7,24214(2)解α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6),10310103130→033→010******* 00022421431,0019线性相关.r(A)=2<3,线性相关.。

线性代数2.2n维向量

06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且该向量组可以生成整个向量空间，则该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵形式，便于求解。

第二章n维向量

解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2

第二章 n维向量

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由但线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.

线性代数-3n维向量

α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量分量的个数称为向量的维数其中 ai (i=1,2…n)是实数称为分量分量的个数称为向量的维数是实数称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算可参看矩阵的运算维向量的线性运算可参看矩阵的运算设 1.相等相等 2.加法加法 3.数乘数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量必含有相同个数的向量; 推论两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关维向量组必然线性相关. 推论任意个维向量组必然线性相关二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组设一个向量组的某一部分组是线性无关的并且从该向量组中的其余向量中任取一个添进去所得的新的向量组线性相关所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关则称该部分组为一个极大线性无关组则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组

n维向量

n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a , 称为n 维行向量．i a –– 称为向量的第i 个分量 R i a –– 称为实向量 C i a –– 称为复向量零向量：)0,,0,0(负向量：),,,()(21n a a a列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作n a a a 21 , 或者T21),,,(n a a a , 称为n 维列向量．零向量：000 负向量： n a a a 21)( 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a aL 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a L 。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T Tn n a a a b b b L L ，，若,1,2,,i i a b i n L 则。

向量运算规律：①② ()()③ 0 （0是零向量，不是数零）④ ()0 ⑤ 1⑥ ()()() ⑦ () ⑧ ()满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

1．内积的概念定义1：n 维实向量n n b b b a a a 2121, ，称n n b a b a b a 2211),(T n n b b b a a a2121,,,为和的内积。

n维向量

n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量零向量：)0,,0,0( =θ负向量：),,,()(21n a a a ---=- α列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α, 或者T21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．零向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 θ 负向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a a αα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。

向量运算规律：① αββα+=+② ()()αβγαβγ++=++③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

n维向量

三、向量的线性运算
定义2 如果和对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n 就称这两个向量相等，记为定义3 向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）。
称为
与
的和，记为
。称向量
（ka1,ka2,…,kan）
为
与k的数量乘积，简称数乘，记为
。
定义4 分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1） =（-a1,-a2,…,-an）。
称为的负向量，记为向量的减法定义为
向量的加法与数乘具有下列性质：
满足（1）—（8）的运算称为线性运算。
例 3 称1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,,0,1) 为n维单位坐标向量组, 求a11 a2 2 an n.
§1 n维向量

n 维向量的概念 n 维向量的表示方法 n维向量的线性运算小结思考
一
定义1
n 维向量的概念
n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
组称为n维向量，这n个数称为该向量的个分量， n
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a 用小写的粗黑体字母来表示向量。 a n
注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

线性代数课件-3.2 n维向量

定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系

线性代数第二章 n维向量

可得r(P) = r, 因此, |P| 0
第二章 n维向量
§2.5 向量空间
定理:(教材P.74)设1, 2, …, r和1, 2, …, r是 V 的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为
x, y, 则
x = P y , y = P1x
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)Py
推论3. 若向量组 1, 2, …, s 和 1, 2, …, t
均线性无关, 并且这两个向量组等价,
则 s = t.
例. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 21 + 3.
证明: 1, 2, 3 线性无关 1, 2, 3 线性
无关.
第二章 n维向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
3. n维向量的线性运算满足的性质
4. 线性组合, 线性表示
n维向量: 1, 2, …, s
数: k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
n维向量:
若存在数 k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss 则称能由向量组1, 2, …, s 线性表示
关, 证明任何一个n维向量都能由
1, 2, …, n 线性表示.
第二章 n维向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
§2.4 向量组的极大线性无关组
定义 :
如果向量组 1, 2, …, s 的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关, (2) 1, 2, …, s 中任一向量都可由

第2章向量

类似数的运算性质

说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量称为向量的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定向量组 A : 1 , 2 , k1，k2，，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个线性组合， k1，k2，，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2，，ks，使 , s，和向量对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以向量组

n维向量

4.1 n维向量
4.1.2 n维向量的运算
对于 n维行向量 T ( x1 , x2 , , xn ),有
x1
T
x2
xn
x1
,
x2
, , xn x1
为
n阶矩阵，
T
x1 , x2 , , xn
x2
xn
为一个数.
4.1 n维向量
4.1.2 n维向量的运算
例4.1.1 设n维向量 T 1 ,0,, 0, 1 , 矩
4.1 n维向量
4.1.2 n维向量的运算
向量的运算是按照矩阵的运算法则进行运算 , 即 α + β = (a1 + b1 , a2 + b2 ,, an + bn )T 称为 α与β的和向量 .
α - β = α + (- β) = (a1 - b1 , a2 - b2 ,, an - bn )T 称为α与β的差.
4.1 n维向量
4.1.1 n维向量的概念
例如 (1,2,3,, n)
n维实向量
(1 2i,2 3i,, n (n 1)i)
n维复向量
第2个分量第n个分量
第1个分量
4.1 n维向量
4.1.1 n维向量的概念
n 维向量的实际意义：
确定飞机的状态，需要以下6个参数：
机身的仰角
( )
0, a2 ,, an T V1 .
4.1 n维向量
4.1.3 向量空间及其子空间
例4.1.3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 = {x = (1, ) x2 , , xn T | x2 , , xn ∈ R}
解 V2不是向量空间 . V2 对加法与数乘都不封闭.