等差数列知识点总结
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结引言等差数列是数学中常见的一个概念，它在数值模式的分析和问题解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和求解等相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
它由首项 a1和公差 d 决定，可以表示为a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …，其中 a1 是首项，d 是公差。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的值。
设首项为 a1，公差为d，第 n 项的值为 an，则等差数列的通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1) * d。
三、等差数列的前 n 项和等差数列的前 n 项和是指数列中前 n 项的和。
根据等差数列的特点，可以通过求平均值的方式快速计算出前 n 项和的值。
设首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为Sn，则等差数列的前 n 项和公式可以表示为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
四、等差数列的性质总结1.等差数列的公差是相邻两项之间的固定差值，可以用来判断一个数列是否是等差数列。
2.等差数列的第 n 项可以通过通项公式求解，也可以通过逐项相加得到。
3.等差数列的前 n 项和公式可以通过求平均值的方式快速计算，可以简化问题求解的过程。
4.等差数列的性质可以应用于一些实际问题，如数值模式的预测和分析等。
五、等差数列的求解示例示例 1已知等差数列的首项 a1 = 3，公差 d = 5，求该等差数列的前 10 项和。
根据前 n 项和公式，代入已知的数值进行计算：Sn = 10 * (3 + a10) / 2= 10 * (3 + (3 + (10 - 1) * 5)) / 2= 10 * (3 + 3 + 45) / 2= 10 * 51 / 2= 255所以该等差数列的前 10 项和为 255。
示例 2已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = -4，且第 5 项的值为 -18，求该等差数列的第 n 项。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。
一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。
等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。
第一，等差数列的定义。
等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。
第二，等差数列的特点。
等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。
第三，等差数列的公式。
等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。
第四，等差数列的求和计算。
等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。
求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。
构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。
第五，等差数列的应用。
等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。
综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特
点、公式、求和计算、应用等。
它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。
等差数列知识点总结归纳
等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。
本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。
一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。
二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。
2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。
3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。
4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。
三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。
2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。
3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。
四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。
等差数列知识点归纳总结公式小学
等差数列知识点归纳总结公式小学等差数列是数学中的一个重要概念，它在小学的数学教学中就开始了解并应用。
下面，我将对小学等差数列的知识点进行归纳总结，包括公式和相关概念，希望对你有所帮助。
1. 知识点一：等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数与它的前后两个数的差值相等。
这个差值称为公差，用字母d表示。
比如，数列1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
2. 知识点二：等差数列的通项公式等差数列可以使用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速找到数列中任意一项的数值。
对于公差为d的等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列中第n个数，a1表示数列的第一个数。
比如，对于公差为2的等差数列1、3、5、7、9，其通项公式就是an=1+(n-1)2。
3. 知识点三：等差数列的前n项和公式除了通项公式，等差数列还有一个重要的公式，即前n项和公式。
前n项和公式可以帮助我们求得等差数列的前n项之和，这在实际问题中很常见。
对于公差为d的等差数列，其前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中Sn表示数列的前n项和。
比如，对于公差为2的等差数列1、3、5、7、9，其前n项和公式就是Sn=(1+1+(n-1)2)*n/2。
4. 知识点四：等差数列的性质等差数列有一些重要的性质，有助于我们更深入地理解和应用等差数列。
其中一些性质包括：- 等差数列的任意三项成等差数列；- 等差数列中，如果已知数列的前几项和公式，则可以求得该等差数列的通项公式；- 等差数列中，如果已知数列的前几项，并且知道其中两项之和以及之差，则可以求得该等差数列的通项公式。
5. 知识点五：等差数列的应用等差数列不仅仅是理论上的概念，它在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，等差数列的知识可以帮助我们优化循环操作；在经济学中，等差数列的知识可以帮助我们计算投资收益；在物理学中，等差数列的知识可以帮助我们描述连续变化的物理量等。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
等差数列知识点总结和题型总结
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
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也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
等差数列的知识点总结
等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。
如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列，其中 a1 为首项，a2 - a1 为公差。
例如，3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列，其中首项为3，公差为3。
二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项，d 为公差。
2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项。
3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k（i < j < k），有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。
4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导，我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
如果我们将这个数列反向写，即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1，那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质，我们知道其中每一对括号内的和都是相等的，所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中，等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题，比如计算前 n 项的和。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。
本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。
用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。
假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。
2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。
3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。
4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。
2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。
3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。
4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。
六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。
2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。
总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。
了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。
希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。
知识点归纳总结等差数列
知识点归纳总结1．等差数列2. 等比数列【例题精讲】【1】在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该列前11项和=11S （ ）A.58B.88C.143D.176答案：B【2】已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A.21-B.23-C.21 D.23 答案：B【3】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ,则=168S S （ ） A.81B.31 C.91 D.103 答案：C【4】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2211=S ,则2113a a +等于（ ）A.2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差数列}{n a 中，8,242==a a ，若13-=n a n b ，则2013b 等于（ ）A.2011B.2012C.2013D.2014答案：D【6】已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18答案：B【7】已知}{n a 为等差数列，若167-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为 答案：11【8】设n S 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）A.若0<d ，则数列}{n S 有最大项B.若数列}{n S 有最大项，则0<dC.若数列}{n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D.若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则有数列}{n S 是递增数列答案：C【10】公比为q 的等比数列}{n a 的各项为正数，且7log ,1610122==a a a q ，则公比=q 答案：2【11】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20103,201032011201220122013+=+=S a S a ，则公比=q （ ）A.4B.41或C.2D.21或答案：A【12】在等比数列}{n a 中，已知24,21,64a a 成等比数列且6453=⋅a a ，则}{n a 的前8项和为 . 答案：85255或【13】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A.2B.37 C.38D.3答案：B【14】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A.1631 B.51631或 C.5815或 D.815 答案：A【15】公比不为1的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,,3a a a --成等差数列，若11=a ，则=4S （ ） A.20- B.0C.7D.40答案：A【16】各项都是正数的等比数列}{n a ，若132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（ ） A.215+ B.215-C.251- D.215+或215- 答案：B【17】已知正项等比数列}{n a 满足12011201220134,2a a a a a a n m =⋅+=且，则)11(6nm +的最小值为 . 答案：4递推数列：数列}{n a 的任一项n a 与它前一项1-n a （或它的前几项）间关系用一个公式表示.专题：数列通项公式及求和一. 常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1. 等差数列：<1>通项公式：*1(1)(),,n m a a n d a n m d n m N =+-=+-∈<2>求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 2. 等比数列：<1>通项公式：11,0n n mn m a a q a q q --=⋅=⋅≠<2>求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3. 一些常见的数列求和公式222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑【例1】已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3232,7,n a b T T =+=求.【例2】已知{}n a 是等比数列，12,a =且134,1,a a a +成等差数列. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .二． 非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1：累加法适用于1()n n a a f n +=+型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.【例3】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例4】已知数列{}n a 满足*11221,2,,2n n n a a a a a n N +++===∈ （1） 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； （2） 求{}n a 通项公式.求法2：累乘法适用于1()n n a a f n +=⋅型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商()f n 是可求数列.【例6】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a .求法3：公式法现象：题目中出现n a 与n S 的关系式. 解决：利用1n n n a S S -=-求解.【例7】已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.求n a .【同类演练】例15第一问求法4：构造法类型1：构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比. 现象1：1,(,)n n a pa q p q +=+为常数【例8】已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.【同类演练】例18第一问现象2：1(,nn n a pa q p q +=+为常数)【例9】已知数列{}n a 中，111511,()632n n n a a a ++==+，求n a .【同类演练】例17第一问现象3：1(),n n a pa f n p +=+为常数【例10】已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.现象4：21,(,)n n n a pa qa p q ++=+为常数【例11】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求n a .类型2：构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差. 解决办法：取倒数【例12】已知在数列{}n a 中*111,()21nn n a a a n N a +==∈+.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 若13521211,(1)(1)(1)(1)n n n nP b b b b b a -=+=++++，求证：n P >三． 非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种： 方法1：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：（1）111)1(1+-=+n n n n ；（2）1111()()n n k k n n k =-++（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n（4（5）!)!1(!n n n n -+=⋅ （6）11log log log n n n na a a a ++=- 、【例13】（2011新课标）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和【例14】等差数列{}n a 中211a =，32624a a a =+-，其前n 项和为n S .（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3()4n T n N <∈.【例15】已知数列{}n a 的前n 项和*1,1,(1)()n n n S a S na n n n N ==--∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前前n 项和为n T .方法2：错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.即{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b S +++等差等比求的和 解题步骤：（1）1122n n n S a b a b a b =+++，将式子两边同时乘以{}n b 的公比q ，得到n qS .（2）用n n qS S -（3）利用等比数列求和公式求解.【例16】（2011辽宁理）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 求数列1{}2nn a -的前n 项和.【例17】已知数列{}n a 满足*1112,2()2n n n a a a n N +==-∈（1） 求证：数列{}2nn a 是等差数列；（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S .【例18】已知数列{}n a 的前n 项和2*4()n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2） 设(3)(1)4n n n a b c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ..方法3：分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，形如：{},{}{}n n n n a b a b +其中为等差数列，为等比数列【例19】已知数列等差数列{}n a 满足：5269,14a a a =+=.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ..方法4：倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.【例20】已知a xy =lg ，n n n n n y y x y x x S lg lg lg lg 221++++=-- （0>x 、0>y ）求n S已知递增等比数列}{n a ，公比为q ，满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.（1） 求数列}{n a 的通项公式；（2） 若n n n n n b b b b S a a b ++++== 32121,log ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.已知数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且13a =，11b =，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =（1）求n a ，n b ；（2）求证：1211134+++<n S S S在数列}{n a 中，n n n n a n a a 21)11(,111+++==+ （1）设na b n n =，求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和nS已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一个概念。
在数列中，如果相邻的两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列有很多应用，例如在数学、物理、工程等领域中都能见到它的身影。
本文将对等差数列的定义、常见知识点以及一些定理进行总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设数列A的公差为d，首项为a₁，则数列A的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为数列A的第n项，n为项数。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指数列前n项的和。
设数列A的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有如下公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，n为项数，aₙ为数列A的第n项。
3. 等差数列的性质(1) 通项公式的推导：设数列A的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到递推公式：aₙ = aₙ₋₁ + d。
通过数学归纳法可以证明等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1) * d。
(2) 首项与末项求和：等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + aₙ = Sn/2。
(3) 任意三项求和：对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，其和满足如下关系：aᵢ + aₙ + aₙ = 3a〈(i+j+k)/3〉，其中，a〈(i+j+k)/3〉表示等差数列中下标为⌈(i+j+k)/3⌉的项。
(4) 项数与公差求和：对于等差数列，项数与公差的乘积等于数列中所有项的和与项数之积减去首项，即n * d = Sn - a₁。
4. 等差数列的常见定理(1) 等差中项定理：在等差数列中，任意三项构成的两个连续子列之和相等。
即对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，有aᵢ + aₙ =2a〈(i+j)/2〉。
(2) 等差数列的均值定理：等差数列的任意k项的和与这k项的平均值之积等于这k项中间项的平方，即aᵢ + aᵢ₊₁ + ... + aₙ = (j-i+1)a〈(i+j)/2〉。
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的项之间的差值相等，这个相等的差值就称为等差数列的公差。
如果一个数列满足这个条件，那么它就是等差数列。
等差数列通常用字母a表示首项，用d表示公差，那么等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，……，a+nd。
在等差数列中，第n项可以用通项公式来表示，通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。
其中，an表示等差数列的第n项。
通过通项公式，我们就可以计算出等差数列中任意一项的值。
二、等差数列的性质1. 等差数列的性质非常特殊，其中最重要的性质是每一个相邻项之间的差值都相等，这个差值就是等差数列的公差。
这个性质对于理解等差数列非常重要，通过这个性质，我们能够确定等差数列的公差，从而得知数列中任意一项的值。
2. 等差数列的首项和公差决定了整个数列的特征，因此在解题中需要对首项和公差进行准确的把握。
3. 等差数列是数学中非常常见的一种数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、化学、经济学等领域也有着重要的作用。
因此掌握等差数列的性质对于学生来说是非常重要的。
三、等差数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是解决等差数列问题的重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
等差数列的前n项和公式的一般形式为：Sn = (a1+an) * n / 2。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是解决等差数列问题的另一个重要公式，它可以用来计算等差数列中任意一项的值。
等差数列的通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。
通过通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的公式变形在解题过程中，有时候需要对等差数列的公式进行变形，比如把通项公式化简为递推公式等。
对于掌握等差数列的解题技巧非常重要。
四、等差数列的解题技巧1. 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的基础，因此要熟练掌握这两个公式的应用。
总结等差数列知识点归纳
总结等差数列知识点归纳等差数列是数学中常见且重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
通过对等差数列的学习和理解，我们可以更好地掌握数列的性质和特点，进一步深入研究数学问题。
下面将总结等差数列的知识点，归纳为以下几个方面。
一、等差数列的定义和性质1. 等差数列的定义：等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2。
二、求等差数列的项数和公差1. 已知首项和末项求项数：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，项数为n，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
2. 已知首项和项数求末项：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则末项aₙ可由公式aₙ=a₁+(n-1)d求得。
3. 已知首项和公差求项数：设等差数列的首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
4. 已知首项和末项求公差：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，公差为d，则公差d可由公式d=(aₙ-a₁)/(n-1)求得。
三、常见问题实例分析1. 求等差数列的和：根据前n项和的公式Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2，即可求得等差数列的前n项和。
2. 求等差数列中某一项的值：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，将对应的n值代入，即可求得所需项的值。
3. 求等差数列中第一次出现满足某条件的项数：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，代入满足条件的项的值，解方程即可求得。
四、应用领域实例展示1. 数学中的应用：等差数列广泛应用于数学中的数列求和、方程求解、数值推测等问题，帮助我们更好地理解和解决数学难题。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如：数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
通项公式的推导：第 2 项：a2 ＝ a1 ＋ d第 3 项：a3 ＝ a2 ＋ d ＝（a1 ＋ d) ＋ d ＝ a1 ＋ 2d第 4 项：a4 ＝ a3 ＋ d ＝（a1 ＋ 2d) ＋ d ＝ a1 ＋ 3d第 n 项：an ＝ a1 ＋（n 1)d通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。
三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。
例如：在等差数列中，若 a3 ＋ a8 ＝ 10 ，a5 ＋ a6 也等于 10 。
2、若数列{an}是等差数列，公差为 d ，则 ak，ak ＋ m，ak ＋ 2m，（k，m ∈ N+ ）仍为等差数列，且公差为 md 。
3、若数列{an}是等差数列，Sn 表示前 n 项和，则 Sk，S2k Sk，S3k S2k ，仍为等差数列。
4、若数列{an}，｛bn}均为等差数列，公差分别为 d1 ，d2 ，则数列{pan ＋ qbn}（p，q 为常数）仍为等差数列，且公差为 pd1 ＋ qd2 。
四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。
前 n 项和公式的推导：Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an将通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 代入上式：Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d将上式倒序相加：Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a12Sn ＝ 2a1 ＋（n 1)d ＋ 2a1 ＋（n 1)d ＋＋ 2a1 ＋（n 1)d（共 n 个）2Sn ＝ n2a1 ＋（n 1)dSn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2又因为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，所以 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
等差数列知识点总结和题型分析
一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法：② 定义法：对于数列a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列③ 等差中项：对于数列a .，若2am a . a . 2，则数列a .是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式：④ 如果等差数列a .的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为 知识点4、等差数列的前门项和：⑤S .听1冇）⑥S .2对于公式2整理后是关于门的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项： ⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 即：A 专或 2A a b在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它 的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项 的等差中项 知识点6等差数列的性质⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a .是等差数列的第门项，a m 是等差数列的 第m 项，且m 门，公差为d ，则有a . a m （门m ）d⑧ 对于等差数列a .，若门 m p q ，则a . a m a p a q也就是： a 1 a . a 2 a . 1 a 3 a . 2⑨ 若数列a .是等差数列，&是其前门项的和，k N *，那么S k ，S 2k S k ， S 3k S 2k 成等差数列如下图所示：等差数列a . a ! (n 1)d该公式整理后是关于门的一次函数ha t二、题型选析：题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，贝U a 等于() A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2 , 2a n+1=2a n +1，则 a 101 的值为 ()A . 49B . 50C . 51D . 523 .等差数列1，- -1，— 3，…，- -89的项数是( )A . 92B . 47C . 46D . 454、已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16忌 1,则的值是()( ) A 15 B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列， 从第10项起开始为正数， 则公差的取值范围是 ( )A.d > 8B.d v 3 8C.38 D.2 v d <3 33 36、.在数列｛ a n ｝中，a 1 3，且对任意大于 1的正整数n ,点(：a n , ； a n 1 )在直x y 73 0 上，贝卩 a n = _______________7、 在等差数列｛a n ｝中，a 5 = 3，a 6= — 2，贝U a 4 + a 5+・・・+ a 10= ___ .8、 等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2 1忌3,则Sp ()(A ) 12( B ) 10(C ) 8( D ) 69、 设数列a n 的首项a 1 7,且满足a n 1 a n 2 (n N),则a 1 a 2 a 仃 _______ ,10、已知｛a n ｝为等差数列，a 3 + a 8 = 22， a 6 = 7，贝U a 5 =__________11、 ________________________________________________________ 已知数列的通项 a n = -5n+2,则其前n 项和为S n = ____________________________________________S 3ka1a2a3a2k a 2k 1a3kS kS 2k S kS 3k S 2k10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为 2n n,则S 2nn4an 1•②若项数为2n 1 n na n，S 偶，则 S 2n 1 2n 1 a n ,且且Si S 奇nd ,& (其中S 奇a na n 112、设S n 为等差数列 a n 的前n 项和，S 4 = 14, S io S 7 30，则S 9=题型二、等差数列性质1、 已知｛ a n ｝为等差数列，a 2+a 8=l2,则a 5等于()(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、 设S n 是等差数列 a n 的前n 项和，若S 735，则a 4()A. 8 B . 7 C . 6D . 53、 若等差数列a n 中，a s a 7 術 8,an4,则a ? _____________________ . 4、 记等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若S 2 4 , S 420 ,则该数列的公差d=()A . 7 B. 6C. 3D. 215、 等差数列｛a n ｝中，已知a 1, a 2a 5 4, a n 33，则门为(3(A ) 48 ( B ) 49 (C ) 50( D ) 516. 、等差数列｛a n ｝中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前 n 项和 S n =100,则 n=( )(A)9 (B)10 (C)11(D)125,则 S97、设 S n 是等差数列 a n的前n 项和, a 5右()a 39 S 5A . 1B . - 1C . 2D .128、 已知等差数列｛a n ｝满足 a+ a+ a +…+ a 101 = 0则有()A . a 1 + a 01> 0B . a+ a 。
等差数列知识点总结
例1：求等差数列首项为2，公差为3的前10项的和。
解析：根据列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，代入已知条件，得到Sn = (2 + (2 + 3*(10-1))) * 10 / 2 = 55。
例2：已知等差数列的首项为4，末项为49，公差为5，求该数列共有多少项。
解析：根据项数公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到49 = 4 + (n-1)*5，解方程可得n = 10。
例3：已知等差数列的首项为-1，公差为2，求该数列的第15项的值。
解析：根据通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到a15 = -1 + (15-1)*2 = 27。
通过以上例题解析，我们可以看到等差数列的定义、性质和应用方法。等差数列在数学中有着广泛的应用，例如在几何题、物理问题等方面。掌握等差数列的知识，对于理解数学的思维方式和解决实际问题都具有重要意义。
等差数列知识点总结
等差数列在数学中占据着重要的地位，它不仅是数学学科自身的基础概念，也在实际生活和其他学科中具有广泛应用。本文将总结等差数列的定义、性质和常见问题，并提供相关例题进行解析，帮助读者深入理解和掌握等差数列的知识。
一、等差数列的定义
等差数列是指数列中任意两项之间的差恒定的一种数列。它的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
2.求项数：当已知等差数列的首项、末项和公差时，可以通过项数公式an = a1 + (n-1)d来计算项数。
3.求前n项和：对于已知等差数列的首项、末项和项数时，可以利用列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2来求解前n项的和。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛应用。
了解等差数列的性质和运算规律对于理解数学问题和解题非常有帮助。
本文将对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及常见问题进行总结。
一、等差数列的定义等差数列由一系列有规律的数构成，这些数之间的差值保持不变。
等差数列的全体数可以用以下表示形式来描述：an = a1 + (n - 1)d其中an表示等差数列的第n个数，a1表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
二、等差数列的性质1. 公差等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正、零或负。
当公差为正时，数列递增；当公差为负时，数列递减。
2. 通项公式等差数列的通项公式用来表示数列中任意一项与首项之间的关系。
通项公式可表示为：an = a1 + (n - 1)d3. 前n项和等差数列前n项和表示数列的前n项之和，通常用Sn表示。
前n 项和公式可表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
三、等差数列的运算规律1. 求任意项的值根据通项公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。
已知首项a1、公差d和项数n，可以使用以下公式求得第n项的值：an = a1 + (n - 1)d2. 求前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
具体计算步骤如下：（1）求得第n项an的值；（2）代入前n项和公式，得到Sn的值。
3. 求公差如果已知等差数列的两个相邻项或任意两项的值，可以通过求差的方式计算出公差。
公式如下：d = an - an-1四、等差数列的常见问题1. 求等差数列的第n项的值已知首项a1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算等差数列的第n项的值。
具体计算步骤如下：an = a1 + (n - 1)d2. 求等差数列的前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
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等差数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列的性质总结
1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=；
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=1(1)2
n n na d -=+
特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．
（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
(K=d ，b=a1-d)
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.
8. 等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，
等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和211(1)()222
n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列
（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列
（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和
1.当项数为偶数n 2时， ()121135212
n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212
n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇
11
n n n n S na a S na a ++==奇偶 2、当项数为奇数12+n 时，则
21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩
n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶
等差数列练习：
一、选择题
1.已知为等差数列，
135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )
A ．13
B ．35
C ．49
D ． 63
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于( )
A ．1 B. 53
C. - 2
D. 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝( )
A.－2
B.－12
C.12
5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） （因为Sn 是等差数列 所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等差数列）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。
A ．72
B ．60
C ．48
D ．36
1、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S
A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
2、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )
A. 130
B. 170
C. 210
D. 260
二、填空题
1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .
2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .
3．设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项和为100，后2n 项和是200，则该数列的中间n 项和等于 ．
1、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1|+|a 2|+|a 3|+……+|an| 求Tn
答案：
=6。