微积分31中值定理、洛必达法则与泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式都是数学中的重要定理，用于求解函数的极限问题。
它们的区别和联系如下：
1. 区别：
- 洛必达法则（L'Hôpital's rule）用于解决形如"0/0"或者"∞/∞"的不定式极限问题。
它利用了两个函数在某个点处的导数的极限与函数值的极限之间的关系，从而求解极限。
洛必达法则适用的情况有限，只能用于求解特定类型的不定式极限问题。
- 泰勒公式（Taylor series）是一种用多项式逼近函数的方法。
它将一个光滑的函数表示为无限多个项相加的形式，每个项都是函数在某个点处的导数与对应的阶乘之积，从而近似表示函数在这个点附近的行为。
泰勒公式适用的范围更广，可以用于近似计算各种函数的值。
2. 联系：
- 虽然洛必达法则和泰勒公式解决的问题类型不同，但它们的原理都基于导数的性质。
洛必达法则依赖于函数的导数极限，而泰勒公式则利用了函数在某个点处的导数来近似该点附近的函数值。
- 在某些情况下，洛必达法则和泰勒公式可以结合使用。
例如，当计算某个函数在某个点处的极限时，可以先利用洛必达法则求出该点的导数极限，再利用泰勒公式对函数进行近似，从而求得极限值。
总之，洛必达法则和泰勒公式是数学中常用的工具，它们在求解函数的极限问题中有各自的用途和优势。
微分中值定理与泰勒展开
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明中值定理泰勒公式罗必塔法则（MVTFLR）是在微积分领域具有重要意义的三个公式，它们通常被称为“三大定理”。
它们存在于数学中已有一段时间，并且被广泛用于解决各种数学问题，如求解微分方程等。
本文尝试用统一的方法来证明这三个定理，从而为这些定理的应用提供更有效的证明。
首先，我们考虑中值定理。
中值定理可以简单地说是：“如果一个函数在给定区间上连续，则必存在某一个点，其函数值与该区间的上、下限的平均值相等。
”为了证明这一定理，我们需要引入定义域的概念。
定义域是指函数的定义范围，它可以被定义为一个集合，即所有可以作为函数输入值的数。
在中值定理中，我们考虑由[a,b]作为定义域，其中a<b。
根据函数值的定义，我们可以得出：函数值=定义域点f(x)将函数值表示成f(x)后，我们可以将中值定理表示成：存在x∈[a,b],使得f(x)=(b-a)/2经过上述推理，中值定理就可以转化为证明存在定义域中某一点的函数值等于该定义域的上、下限的平均值，即证明函数值连续的定理。
其次，考虑泰勒公式。
泰勒公式可以简单地说是：“任何一个函数都可以在某一点附近用其一阶导数的无穷级数表示，而该无穷级数的和即为函数本身。
”为了证明泰勒公式，我们首先考虑一般函数在点上函数值的定义。
我们可以将函数值表示成f(x)，将函数在某一点p处的导数表示成f’(p)。
如果函数f(x)在点p处是连续的，那么存在一个正数T使得： |f(x)-f(p)|<T*|x-p|如果对于给定的T，我们可以将此式变换为f(x)=f(p)+T*(x-p)+O(|x-p|^2)接下来，我们将上述式子展开：f(x)=f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2其中q是[p,x]上的某一点。
同样的推理过程，我们也可以得出f(x)的三阶、四阶等等，即f(x)可以表示成f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2+...+f^(n)(p)*(x-p)^n+O(|x-p|^(n+1))，因此我们就可以证明函数f(x)可以用其一阶导数的无穷级数表示，即泰勒公式的证明。
3-1中值定理与洛必达法则
练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x
0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x
1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理
微积分中的微分中值定理和洛必达法则
微积分中的微分中值定理和洛必达法则微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的极限、导数和积分，以及它们之间的关系。
微分中值定理和洛必达法则是微积分学的两个重要的定理，它们在计算函数的极限值和导数时非常有用。
下面，我们将介绍微分中值定理和洛必达法则的定义和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它表述了函数在某个区间上的导数至少在一个点等于该区间两个端点的函数值之差除以区间的长度。
这个定理有两个不同的版本，分别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，它表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)至少存在一个点c，使得$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用罗尔中值定理，因为罗尔定理可以将f(x)的在a和b处的导数相等的情况排除掉。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的加强版，它表明，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一个点c，使得$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用拉格朗日中值定理，因为拉格朗日定理只能刻画单个函数的增量，而柯西定理刻画的是两个函数的比值所对应的增量。
二、洛必达法则洛必达法则是微积分学中的重要工具之一，它用于计算一些不定形式的极限，可以有效地避免不必要的推导和繁琐的计算。
它的基本思想是将一个复杂的极限转化为一个简单的比值的形式，然后计算这个比值的极限。
下面，我们介绍一下洛必达法则的具体应用方法：1. 分子分母都趋于无穷或者零如果一条极限式子的分子和分母都趋于正无穷或负无穷或者都趋于零，那么我们就可以利用洛必达法则计算它的极限。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
洛必达法则与泰勒公式
1
第二节
0 1.未定式： , 0
洛必达法则
两个函数 f ( x )与F ( x ) 都趋于零 若当 x a(或x )时，
1 n n f x 0 x x 0 （2） n! 泰勒中值定理 设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间 (a , b )
内具有直到(n+1)阶导数，则当 x (a, b) 时，f ( x ) 可表示为
( x x 0 ) 的一个n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和：
4.洛必达法则求极限举例： x sin x 0 例1 求 lim x 0 x3 0 解
例2
1 cos x x sinx lim lim 3 x 0 x 0 3x2 x
sin x 1 lim x 0 6 x 6
x3 3x 2 0 求 lim 3 x 1 x x 2 x 1 0
pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0 （1）
2 n
f 0 P 0, f 0 P0
来近似表达 f ( x ), 要求： n f ( x ) p ( x ) ( x x ) n 0 ①
f '( x) 0 仍属 若 型未定式， 且这时 f ' ( x ) 及 F ' x 能满足 F '( x) 0 定理中 f ( x ) 及 F ( x ) 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则，
4
即
3.3 泰勒公式
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则与泰勒公式一、洛必达法则 定义：若函数和满足下列条件： ⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞或），则适用对象：，型未定式。
（其它类型未定式：，，，，等，可通过简单变换而转化为，型未定式。
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Ces àrotheorem ）作为替代。
求极限. 1ln lim 1+--→x x x x x x求极限求极限求极限211)1(ln lim 111)1(ln lim 2211-=-++=--+=→→x xx x x xx x xx x x x 解：.1lim21100x x ex-→0!50lim 50lim lim lim ,1t t 49t 50t 50t 2=====+∞→=+∞→+∞→+∞→-+∞→t t t tee t e t e t x则原式可化为解：令.)4cos 2(sin lim x x xx +→∞2001)14cos 2(sin 010)1(2)4sin 42cos 2(lim 14cos 2sin lim lim )4cos 2(sin lim 13(,01e t tt t et t e u x t t t tt t t tt v u v ==-=-+=+==→=→→-+→→-故原式又因为原式种方法）得见求极限的则由公式解：令.cos sin 1lim 20x x xx -+→二、泰勒公式泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心注：对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小替34cos 24lim sin 24lim cos 12lim cos sin 1cos sin 1lim0022020=+=+=-+=-+++=→→→→x x x xx x x x x x x x x x x x x x ）（解：原式)0(→x )(!2)1(1)1()(!31!211)(3121)1ln()(31arctan )(61arcsin )(31tan )(!41!211cos )(61sin 2233233233333344233x o x x x x o x x x e x o x x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x+-++=+++++=++-=++-=++=++=++-=+-=αααα换式：如求极限 解：原式原式又即原式求极限. 解：等（，（同理有（，则如),061~arcsin )031~tan )061~sin )(61sin 33333→-→-→-+=-x x x x x x x x x x x x x o x x x .)1tan (lim 2n n nn →∞01,lim 1tanln 2→==∞→nt e nn n n 令3tan 21tan 2lim lim lim tan lnt t t t t teee n n t t tn --∞→∞→∞→===)(31tan 33t o t t t ++=31)(31lim tan lim 333=-++=-∞→∞→t tt o t t t t t n n 31=)]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→)()(21)1ln(2x o ax ax ax +-=+求极限 解令利用展开式可得故原式= 求极限 解：方法一；洛必达法则21)2121(lim ))]()(21)(1([lim )]1ln()1([lim 24302220220=-+=+---=+--=→→→x a a x a x o ax ax a x x a ax a x x a x x x 原式)(lim 656656x x x x x --++∞→故时，于是，当,0t x ,1+→+∞→=tx ])1()1[(t1)(6161656656t t x x x x --+=--+)(1)1(t o t t ++=+αα)(611)1(),(611)1(6161t o t t t o t t +-=-++=+31)(31lim ])1()1[(t 1lim 061610=+=--+==→→t t o t t t t t .)1ln(sin 1tan 1lim 20xx x xx x -++-+→方法二；泰勒公式2121lim )111(2lim ))1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 0020020-=-+=-+=-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→xx x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 原式21)(21(221lim))(21(221lim)(21)1ln())1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 222022202220020-=+-=-+-=+-=+-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→）原式得由原式x o x x x x o x x x x o x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x上篇练习题答案讲解1、求极限 解：方法一；洛必达法则方法二；利用公式求极限 解求极限.,,2,1i ,0,)(lim i 21n a na a a xnx nx x n =>+++∞→其中nx nx x nxn x x n xn x x n xn x nx xn a a a a a a a a a a a a n na a a x n n a a a 212122112121}ln ln ln lim exp{)}ln(lim exp{)(lim =++++++⋅=+++=+++→∞→∞→∞型）∞-=1}()1ex p{(v u u v nn xn x x n x nxx n xn xnxx n a a a a a a x na a a xnn a a a n a a a 2121212121}exp{ln }lim exp{)1(lim exp{)(lim ==-+++=-+++=+++∞→∞→∞→.)111(lim 2nn nn ++∞→.)}1n 1(lim exp{原式＝2en n n =+⋅∞→.,,,,lim 1均为正整数其中q p n m xx x x qpn mx --→解：)()(11111111lim lim lim 111111111111111p q mn m n pq qp n m xq x p xn x m x x x x x x x x q p n m x qpnm x q p n mx --=--=--=--=------→→→。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
微分中值定理与泰勒公式内容要点
微分中值定理与泰勒公式内容要点微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述函数在一些区间内的平均变化率与一些点处的瞬时变化率之间的关系。
泰勒公式是函数在一些点附近的局部展开式，它可以用来近似计算函数的值。
下面将详细介绍微分中值定理和泰勒公式的内容要点。
一、微分中值定理微分中值定理是由法国数学家Cauchy于1821年提出，并由德国数学家Rolle于1691年和法国数学家Lagrange于1797年分别独立给出证明。
微分中值定理主要有三个不同的版本：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的最简单形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的端点a和b处可导，并且在这两个端点处的函数值相等（f(a)=f(b)），那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数为零。
罗尔中值定理可以应用于证明其他定理，例如求函数零点的存在性、证明最大值和最小值的存在性等。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最常用形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数等于函数在区间两端点连线上的斜率。
拉格朗日中值定理可以应用于证明平均值定理、证明函数的单调性、证明函数的增减性等。
3.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的一般形式。
它表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
换句话说，在一定条件下，函数在区间内至少存在一点处的导数之比等于函数在区间两端点连线上函数值之差的比值。
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的应用十分广泛，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则和泰勒公式等。
首先，罗尔定理是导数的一个重要应用。
罗尔定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在区间的两个端点上取相同的函数值，那么在开区间内必然存在至少一点，使得该点处的导数值为零。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如利用罗尔定理可以证明函数在区间内取最大或最小值的存在性。
第二，拉格朗日中值定理是导数的另一个重要应用。
拉格朗日中值定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这两个点之间存在至少一点，使得该点处的导数等于函数在这两个端点处的斜率。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用拉格朗日中值定理证明函数的单调性、判断函数的凹凸性等。
第三，柯西中值定理是导数的又一个重要应用。
柯西中值定理断言，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且其中一个函数在开区间内不为零，那么在这两个函数之间存在至少一点，使得这两个函数在该点处的导数的比值等于这两个函数在该点处的函数值的比值。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用柯西中值定理来证明两个函数在其中一区间内是否相等。
第四，洛必达法则是导数的又一个重要应用。
洛必达法则通过求函数的极限可以帮助我们计算一些特殊函数在其中一点处的导数。
该法则是通过对函数的分子和分母同时求导，并比较它们在其中一点的极限值来求得函数在该点处的导数。
这一法则在求解一些特殊函数的导数时非常有用，例如在求解\((\sin x)/x\)的导数时就可以使用洛必达法则。
第五，泰勒公式是导数的又一个重要应用。
泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它将一个函数在其中一点处的值与它在该点处的导数、二阶导数、三阶导数等有关。
利用泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数通过多项式近似表示，从而简化计算。
高数上3.1 微分中值定理
证:只须令 F(x) f (x) kx, x [a,b]应用例1的结论.
此结论的意义在于区间上的导函数不论是否 连续,一定有介值性质。
反之由f (x)的介值性是推不出f (x)的连续性。
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x)在闭区间 [a,b] 上连 续，在开区间 (a,b)内可导，且在区间端点的函数值
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
相等，即 f (a) f (b), 则在 (a,b) 内至少有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
证 作辅助函数
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
显然 f (0) f ( / 2) 0, f ( x) 在 [0, / 2]上连
洛必达法则和泰勒展开的应用
洛必达法则和泰勒展开的应用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）和泰勒展开（Taylor Expansion）是微积分中两个重要的概念和工具，它们在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨洛必达法则和泰勒展开的应用，并介绍它们在实际问题中的具体运用。
一、洛必达法则的应用洛必达法则是解决极限计算中一类不定型形式的常用方法。
当一个函数的极限计算遇到$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$这样的不定型形式时，可以使用洛必达法则来简化计算过程。
例如，计算函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x\to0$时的极限。
直接代入$x=0$得到$\frac{0}{0}$，无法直接求解。
使用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导，得到$f'(x)=\frac{\cos(x)}{1}$。
再次代入$x=0$，得到$f'(0)=1$。
因此，原函数$f(x)$在$x\to0$时的极限为1。
洛必达法则的应用还包括解决幂函数的极限、指数函数的极限以及对数函数的极限等。
在实际问题中，通过使用洛必达法则，可以简化复杂函数的极限计算，提高求解效率。
二、泰勒展开的应用泰勒展开是将一个函数表示为多项式的形式，通过取多项式的有限项，可以近似地计算原函数在某点附近的取值。
泰勒展开的应用广泛，包括求解函数的近似值、确定函数的性质以及解决微分方程等。
例如，计算函数$f(x)=\sin(x)$在$x=0$处的近似值。
我们将$f(x)$在$x=0$处展开成泰勒级数：$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...$$由于$f(0)=0$，且$f'(x)=\cos(x)$，$f''(x)=-\sin(x)$，$f'''(x)=-\cos(x)$，可以得到：$$f(x)=\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...$$将$x=0.5$代入泰勒级数中，可以得到$\sin(0.5)$的近似值。
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理详解
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
3.1 微分中值定理,洛比达法则
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
思考与练习
1. 填空题 1) 函数
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
2
例4. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F(x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F(x) x
存在 (或为
)
证: 无妨假设 f (a) F(a) 0, 在指出的邻域内任取
则
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
西定理条件, 故
f (x) f (x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F (x) F (x) F (a) F( )
lim f ( ) 3) xa F( )
于是至少存在一点(a b) 使j ()0 即
由此得
j()f
()
f (b) f (a) ba
f(b)f(a)f ()(ba)
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
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f (1) f (2 ) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) . 即 f ( x) 0 至少有二个实根 .
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Q f ( x) 是三次多项式 , f ( x) 是二次多项式 ,
f ( x) 0 至多有二个实根 .
f ( x) 0 仅有二个实根
微积分31中值定理、洛 必达法则与泰勒公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月13日星期一
一、费马(Fermat)引理
y f (x) 在 ( x0 )有定义,
且 f (x) f (x0 ) , f (x0 ) 存在
(或 )
f (x0 ) 0
即：可导的极值点处，导数为零
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例如
f
(
x)
x, 0 ,
0 x1 x 1
y o
y
1x
y
f (x) x
f (x) x
x [1,1]
1 o
1x
x [0,1] o
1x
2) 定理条件只是充分条件
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1 f (x) x2 2x 3 验证它在区间[1，3]上满足罗尔定理.
证 Q f ( x) x2 2x 3,它是多项式，所以连续可导 且f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3),
F( x) C[a, b] , F( x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F (a) F (b) a2 f (b) b2 f (a)
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) 使得 F( ) 2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f ( ) 0
即 方程在 (a, b) 内至少有一根 .
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的
费马大定理 :
不存在满足 xn yn zn (n 2) 的正整数 x, y, z . 路漫漫其修远兮, 费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
吾将上下而求索
费马(Fermat)引理的证明
y f ( x)在 ( x0 ) 有定义 ,且 f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ) ),
f (x) (x a)(x b)(x c) ,
证明方程 f ( x) 0 仅有二个实根, 并指出根所在区间 .
证 f (x) C( [a, b],[b, c] ) ,又 f (a) f (b) f (c) 0 , f ( x) 是三次多项式, 故它在 ( , ) 内可微,
分别在 [a, b] ,[b, c] 上运用罗尔中值定理 , 得
(1) 若 M m
m min f (x) x[a, b]
m f (x) M x [a, b]
f (x) m x [a, b]
故 (a, b) , 均有 f ( ) 0 .
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(2) 若 m M (即 M m) f (x) C([a, b]) f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、 又 f (a) f (b) ,
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例4. 证明方程 x5 5x 1 0
有且仅有一个小于1 的正实根 .
证: 1) 存在性 . f ( x ) x 5 5 x 1 , f (0) 1, f (1) 3. x0 (0 ,1) , 使 f ( x0 ) 0,
即方程有小于 1 的正根 x0 .
故 f (x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) M 或 f ( ) m.
该点是极值点，由费马定理可知：
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f ( ) 0 (a, b) .
注意:
1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.
f (x0 ) 存在
f (x0 ) 0
证: 设 x0 x ( x0 ) , f ( x0 x) f ( x0 ) ,
则
f (x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0 ,
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
即
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( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)
推论 1 f ( x ) 0 f ( x ) C
推论 2
x1 x2 f (x2 ) f (x1) f ( ) x2 x1 =0
f (x2 ) f (x1) f (x) C
证 令 f (x) ln(1 x) , g(x) x , x [0, ) . 1 x
则 f (x), g(x) 在 (0, ) 内可导, f (0) g(0) 0 .
则至少存在一点 (a, b), 使
f ( ) f (b) f (a)
ba
几 何 意 义
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y
o a
y f (x)
bx
f ( ) f (b) f (a)
ba
证法1:
问题转化为证
f ( )
f (b) f (a) 0 ba
作辅助函数
(x)
f (x)
f (b) f (a) 勇功于的开路始b，才a能找到成x
例3 设 f (x)C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 证明 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 . 证 令 F (x) x2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x) 则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
x 1 ln x ln1.
令 f (t) ln t t [1, x], 则由拉格朗日中值定理
得 ln x ln1 1 (x 1) x 1, (1 x).
故当 x 1时, ex ex.
证2 令 f x = e x ex， f x = ex e 0 x 1
f x在1, 上单调增加
取 x x
arccos
2 x
x (1, 1) .
2
由 (arcsin x arccos x) C( [1, 1] ) , 可得
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arcsin x arccos x x [1, 1].
2
例8 证明：x 0 时 , x ln(1 x) .
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罗
y
尔
定
理
y f (x)
的
几
何 意
A
B
义
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Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f (x) C([a, b])
f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、
最小值至少各一次.
令 M max f (x) , x[a, b]
f (x) 0 f (x) 0
x I , 则 f (x2 ) f (x1) , x I , 则 f (x2 ) f (x1) ,
例5
证明：当0 a b 时 , b a ln b b a .
b
aa
证 即要证 1 (b a) ln b ln a 1 (b a)
b
a
令 f (x) ln x , x [a, b] ,
拉格朗日有限增量公式 f (x x) f (x) f (x x)x (0 1)
y f ( )x ( 在 x 与 x x 之间)
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证法2
y
切线与弦线 AB 平行
y f (x) B
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
显然 , ( x ) C [a , b] D a , b
且 (a) b f (a) a f (b) (b) ,
ba
由罗尔定理知至少存在一点 (a , b ) ,
使 ( ) 0 , 即定理结论成立 .
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不论 a b 还是 a b 定理中的公式均可写成 f (b) f (a) f ( )(b a) ( 在 a, b 之间)
f (x0 ) 0 ,
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f (x0 ) 0
二. 罗尔中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点
(a, b) , 使得 f ( ) 0 .
证1 令 f (x) x ln(1 x) , x [0, ) ,
则 f (x) C( [0, ) ) , f (0) 0 ,
又 f (x) 1 1 0 , (x 0 时) , 1 x
故 f (x) [0, ) , 从而 f (x) f (0) 0 ,
(x 0) ,
即 x 0 时 , x ln(1 x) .
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
f 1 = 0 x 1时,f x f 1 = 0
例7
证明：arcsin x arccos x , x [1, 1].
2
证 当 x [1, 1] 时 ,
(arcsin x arccos x) 1 ( 1 ) 0 ,
1 x2
1 x2
故 arcsin x arccos x C x (1, 1)
2) 唯一性 .
假设另有 x1 (0 , 1) , x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0 ,