方程与方程组PPT课件
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二元一次方程组课件(共42张PPT)
设篮球队胜了x场，负了y场
胜 负 合计 场数 x y 10 得分 2x y 16
x＋y=10 2x＋y=16
小组讨论
观察：
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
在未知数的个数和含有未知数的项的 次数与方程
x+(10-x)=16 有什么不一样？
定义1
含有两个未知数，并且 含有未知数的项的次数 都是1的整式方程叫做二 元一次方程．
• 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的 ___叫
做二元一次方程组的解 • 方程3x-y=1有_____对解
巩固练习
已知二元一次方程组
5x+4y=5 ① 3x+2y=9 ②
下列说
法正确的是（Ａ）
A.同时适合方程①和②的x、y的值是方程组的解
B.适合方程①的x、y的值是方程组的解
C.适合方程②的x、y的值是方程组的解
知识树
在NBA篮球联赛中，比赛规则是：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 姚 明所在的火箭队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
设这个队设胜x场，根据题意得：
2x+(10－x)=16
设这个队胜x场，负y场；你能根据题意列出方程吗？
用方程表示为：
x y 10 2xy16
从中你体会到二元一次方程有＿ 对解解，叫做二元一次方程组的解．
x+(10-x)=16
会检验二元一次方程的解
设2x这+(1个0队－胜x（)=x1场6，2负）y场；举例说明二元一次方程、二元一次方程组的
已知二元一次方程组
下列说
解的概念. 同时适合①、②的x、ｙ值不一定是方程组的解
北师大版八年级上册数学《二元一次方程与一次函数》二元一次方程组PPT课件
平均数 众数 中位数
课堂小测
1.如下图所示的是某市5月份某一周的最高气温统计图，则这 组数据(最高气温)的众数与中位数分别是( A )
A.28 ℃,29 ℃ C.28 ℃,30 ℃
B.28 ℃,29.5 ℃ D.29 ℃,29 ℃
天数
最高气温/℃
课堂小测
2．如图是某射击选手5次射击成绩的折线图，根据图示信息，这5
八年级数学北师版·上册
第六章 数据的分析
从统计图分析数据的集中趋势
新课引入
如何确定一组数 据的平均数？
平均数
x
1 n
( x1 x 2 ... x n )
新知探究
如何确定中位数？
确定中位数，应先把这组数据按大小顺 序排列，最中间位置的一个数据或最中 间两个数据的平均数即为中位数.
新知探究
什么时候中位数取最中间位 置的一个数据,什么时候取最
课堂小测
(3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(以元为单位)一一记录 下来，则在这组数据中，众数是多少？
(3)因为初中生最多， 所以众数为10元．
新知探究
(3)在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你 还能求平均数吗？如果把算式中的小括号去掉，你 有什么发现？
约去20后可以写成 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%，其中的百 分比就是扇形统计图中各项对应的百分比.事实上，这些百 分比就是“权”，所以平均数也可以直接这样算： 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57(元).
(1)变函数：把方程组 k1 x y b1
k2 x y b2
第6讲 一次方程与方程组
值为( A ) A．8 B．4 C．－4 D．－8
4 ． (2014·襄 阳 ) 若 方 程
mx ＋ ny＝ 6
的
两
个
解
是
x＝1， y＝1，
xy＝ ＝－2，1，则 m，n 的值为( A )
A．4，2
B．2，4
C．－4，－2
D．－2，－4
5．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有 一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有 2
两个方法 (1)代入消元法；(2)加减消元法．
1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )
A．2
B．－2
C．6
D．－6
2．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2
元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，
圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设
个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的 1 个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则 被移动的玻璃球的质量为( A )
A．10 克 B．15 克 C．20 克 D．25 克
一元一次方程的解法
【例 1】 解下列方程： (1)12x－45＝170；
解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3
x＝3 9＝0，x＝3，∴y＝－1 解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，
x＋y－2＝0，
x＝3
∴x－2y－5＝0，解得y＝－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 3.3 二元一次方程组及其解法(第2课时)课件
A．－1
B．3
C．－3
D．－32
第五页，共十五页。
3x－5
4．在二元一次方程 3x－2y＝5 中，用含 x 的式子表示 y，得 y＝ 2 ；
5＋2y
用含 y 的式子表示 x，得 x＝ 3
.
5．1在4方程组m2m－＋n＝ n＝6① 8② 中，由①，得 n＝ m－6 ____3_____.
，代入②，求得 m＝
.请求出 A、B、C 的值．
x＝2
2A＋B＝7
x＝8
解：把y＝1 代入方程组，得C＝1
，又∵y＝－3 是方程 Ax＋By
＝7 的解，∴8A－3B＝7，∴A＝2，B＝3，C＝1.
第十二页，共十五页。
2x＋5y＝3 ① 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组4x＋11y＝5② 时，采用了一种 “整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即 2(2x＋5y)＋y＝5③ 把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝－1
x－2y＝4 (3)2x＋y－3＝0
；
x＋2y＝1 (4)3x－2y＝11 .
解：(1)xy＝＝11
x＝3 (2)y＝2
x＝2 (3)y＝－1
x＝3 (4)y＝－1
第十一页，共十五页。
Ax＋By＝7 17．小马虎和姐姐一同解方程组Cx－3y＝－1 ，姐姐正确地解出＝－8 3
13．二元一次方程组x3＋x－22y＝y＝111 的解是 y＝－1 .
14．若|a－b＋2|＋(b－3)2＝0，那么 ab＝ 3 .
15．如果12a3xby 与－a2ybx＋1 是同类项，则 x＝ 2 ，y＝ 3 .
第十页，共十五页。
16．用代入法解下列方程组：
2x＋y＝3
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
《认识方程》ppt课件
利润问题
其他问题
利用二元一次方程组表示进价、售价和利润 之间的关系，求解最大利润等问题。
如浓度问题、配套问题等，都可以通过设立 二元一次方程组进行求解。
04
一元二次方程
一元二次方程形式
一般形式
01
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$
标准形式
02
$(x-p)^2 = q$
含有绝对值的情况
需要根据绝对值的性质，分别讨论绝对值内部表达式的正负情况， 从而转化为常规的无理方程进行求解。
含有参数的情况
需要根据参数的不同取值范围，分别讨论方程的解的情况，从而 得到参数对方程解的影响。
06
方程在实际问题中应用
行程问题建模与求解
路程、速度和时间关系建模
通过方程表达路程、速度和时间之间的数学关系，如s=vt（s为路 程，v为速度，t为时间）。
标准形式
$x + a = b$，通过移项可将一般 形式转化为标准形式。
解一元一次方程方法
等式性质法
利用等式性质（等式两边 同时加上或减去同一个数， 等式仍成立）来解方程。
移项法
将方程中的未知数项移到 等式的一边，常数项移到 等式的另一边，从而解出 未知数。
合并同类项法
将方程中的同类项合并， 简化方程后求解。
不等式
用不等号连接的式子称为不等式，表示左右两边不 相等。
不等式性质
不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式性质 不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不 等式性质不变；不等式两边同时乘以或除以同一个 负数，不等式反向。
02
一元一次方程
一元一次方程形式
一般形式
九年及数学中考专题(数与代数) 第八讲《方程与方程组(2)》课件(北师大版)
二.复习目标
3.了解方程组及其解的的概念， 3.了解方程组及其解的的概念，理解二元一 了解方程组及其解的的概念 次方程组的概念并掌握解二元一次方程组的 两种基本解法——代入法和加减法， ——代入法和加减法 两种基本解法——代入法和加减法，并依此 能解简单的三元一次方程组. 能解简单的三元一次方程组. 4.能够正确运用整式方程 能够正确运用整式方程、 4.能够正确运用整式方程、分式方程和方程 组解决与方程有关的问题. 组解决与方程有关的问题.
三.知识要点
2.方程组的有关概念： 2.方程组的有关概念： 方程组的有关概念 的概念： 二元一次方程组的概念 ②二元一次方程组的概念： 含有两个未知数的两个一次方程方程所 组成的一组方程叫做二元一次方程组. 组成的一组方程叫做二元一次方程组. A.二元一方程组的解 二元一方程组的解： A.二元一方程组的解：二元一次方程组中的 每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. 每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. B.解的情况 一般情况下， 解的情况： B.解的情况：一般情况下，二元一次方程有 一个、无数个解或无解. 一个、无数个解或无解.
x = cy + d
三.知识要点
3.二元一次方程组的解法： 3.二元一次方程组的解法： 二元一次方程组的解法 代入消元法的一般步骤： ②代入消元法的一般步骤： C.解 解这个一元一次方程，求出x（ ） C.解：解这个一元一次方程，求出 （或y） 的值； 的值； D.同代 同代： 的值代入 求出y的 D.同代：把x的值代入 ，求出 的 y = ax + b 求出 值）； 或把y的值代入 值（或把 的值代入 ，求出x值 x= E.联 把出x、 的值用 cy {”联立起来 的值用“ + d 联立起来， E.联：把出 、y的值用“{”联立起来，即 是方程组的解. 是方程组的解.
第6讲 一次方程与方程组
一次方程(组)的应用 例 4(2014· 遂宁)我市某超市举行店庆活动，对甲、 乙两种商品实行打折销售．打折前，购买 3 件甲商品 和 1 件乙商品需要 190 元；购买 2 件甲商品和 3 件乙 商品需要 220 元．而店庆期间，购买 10 件甲商品和 10 件乙商品仅需 735 元，这比不打折前少花多少钱？ 【点拨】本题考查实际问题中的打折销售问题， 可列出方程组解答．
解：设打折前 1 件甲商品需要 x 元，1 件乙商品需
3x＋y＝190， x＝50， 要 y 元，得 解得 2x＋3y＝220. y＝40.
打折前购买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要： 10× (50＋40)＝900(元 )， 少花：900－735＝165(元)． 答：店庆期间，购买 10 件甲商品和 10 件乙商品 比不打折前少花 165 元．
1．如果方程 2x
2 k－1
－3＝1 是关于 x 的一元一次方
程，那么 k 的值是 1 . 解析：根据题意，得 2k －1＝1，解得 k ＝1.
y－1 y ＋2 2．解方程 y－ ＝2－ 2 3
考点三
二元一次方程组及其解法
1．二元一次方程组 (1)二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a， b，c是常数，且a≠0，b≠0)． (2)两个含有相同未知数的二元一次方程合在一 起，构成二元一次方程组． 2．解二元一次方程组的基本思路：消元．
)
3 5 x ＋ y＝1.2， 60 60 x ＋y＝16
C.
3x ＋5y ＝1.2， x ＋y ＝16
3 5 x＋ y＝1 200， 60 D. 60 x ＋y＝16
3 解析：1 200 米＝ 1.2 千米，3 千米 /时＝ 千米 /分， 60 5 5 千米 /时＝ 千米 /分，由小颖所走的路程为 1.2 千米， 60 3 5 可列方程 x＋ y＝ 1.2，由小颖所用的时间为 16 分 60 60 钟 ， 可 列 方 程 x ＋ y ＝ 16 ， 故 可 列 方 程 组 3 5 60x＋ 60 y＝ 1.2， 故选 B. x＋ y＝16. 答案： B
方程课件ppt课件ppt
方程的种类
总结词
列举方程的不同类型
详细描述
一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程等。每种类型的方 程都有其特定的形式和特点。
方程的解法概述
总结词
概括方程的解法流程
详细描述
解方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和化简等。根据不同类型的方程，解法会有所不同。
02 一元一次方程
数学建模与方程的关系
01
方程是数学建模的重要工具之一，用于描述实际问题中 变量之间的关系。
02
通过方程，可以建立实际问题的数学模型，进而求解和 分析。
03
不同类型的实际问题可能需要建立不同类型的方程，如 代数方程、微分方程、积分方程等。
1.谢谢聆 听
基于泰勒级数展开，通过迭代逐 步逼近非线性方程组的解。
拟牛顿法
改进牛顿法，使用拟牛顿矩阵代 替海森矩阵，提高迭代效率。
梯度下降法
基于函数梯度的负方向搜索最优 解，适用于大规模非线性优化问
题。
06 数学建模与方程的应用
数学建模的基本概念
数学建模
运用数学语言和方法，通过抽象、简 化建立能近似刻画并解决实际问题的 一种强有力的数学工具。
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程的基本定义
详细描述
一元一次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的方程。它的一般形式是 ax + b = 0，其 中 a 和 b 是常数，x 是未知数。
一元一次方程的解法
总结词
一元一次方程的解法
详细描述
一元一次方程的解法包括移项、 合并同类项和系数化为1等步骤。 解一元一次方程的目的是求出未 知数的值。
多元一次方程组
方程与方程组1
0
(4) 一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
韦达定理的逆定理
（5）一元二次方程的定性理论 不解方程，直接对方程根的情况进行讨 论，称之为方程的定性理论.
二次方程的定性理论主要应用二次方 程的根判别式、韦达定理等内容.
二次方程，二次不等式，二次函数等 性质称为“三个二次”的理论.
二次方程的定性理论典型题： 常规类：
⑶ 传递性 若方程A与方程B同解，方 程B与方程C同解，则方程A与方程C同解.
3. 导出方程 定义5 将一个方程的两边通过恒等变 形或某种数学运算得出的新方程，叫做原 方程的导出方程. 导出方程与原方程的关系可能有三种：
⑴ 导出方程与原方程同解.
⑵ 导出方程是原方程的结果.（可能产 生曾根） ⑶ 导出方程不是原方程的结果.（可能 曾根，亦可能失根）
定义2 设方程
f ( x , y , , z ) g ( x , y , z )
①
的定义域为M，如果有序数组 (a, b, „, c) ∈M，且有
f (a , b, , c ) g (a , b, c )
成立，则称数组 (a, b, „, c) 为方程①的解． 相关概念： 方程的解集、解方程． 同一个方程在不同的数集里的解集可 能不同． 例如，方程
x 3x 4 2x 1 1 .
(3) 实数系数一元二次方程的根的判别式
如果一元二次方程
ax bx c 0 且 a , b , c R , a 0,
2
这个方程叫做实系数一元二次方程. 判别式
(i ) 0 b 4 ac
2
( ii )
0
( iii )
二、方程同解概念和同解定理
第7讲 一次方程与方程组
【点拨】(1)题考查解一元一次方程的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合 并同类项；⑤未知数的系数化为 1.解一元一次方程就是通过这些步骤，将其逐步化为 x＝a 的形式． (2)题考查解方程组的基本思想是：消元； 基本方法是：二元一次方程组 ― → 一元一次方程． ― 转化
代入或加减法
【解答】(1)去分母，得 2(2x＋1)－(10x＋1)＝6 得 4x－10x＝6－2＋1 合并同类项，得－6x＝5 系数化为 1，得 x＝－
x＝1 【解析】把 代入 2x－ay＝3，得 2×1－a×(－1)＝3，解得 a＝1. y＝－1
【答案】A
)
3．(2011 中考预测题)小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张．设所用的 1 元纸币为 x 张，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48
的位置是( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
y＝－x＋2 【解析】由 y＝x－1
【答案】A
x＝3 2 得 1 y＝ 2
3 1 ，∴( ， )在第一象限． 2 2
6．(2010· 嘉兴)根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是(
)
A．0.8 元/支，2.6 元/本 C．1.2 元/支，2.6 元/本
2．方程的有关概念 (1)含有未知数的等式，叫做方程． (2)使方程左、 右两边的值相等的未知数的值， 叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的 解，也叫做根)． (3)求方程解的过程，叫做解方程． (4)方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.
考点二 一元一次方程 1．一元一次方程 在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的方程，叫 做一元一次方程．ax＋b＝0(a≠0)是一元一次方程的标准形式． 2．解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
代入或加减法
【解答】(1)去分母，得 2(2x＋1)－(10x＋1)＝6 得 4x－10x＝6－2＋1 合并同类项，得－6x＝5 系数化为 1，得 x＝－
x＝1 【解析】把 代入 2x－ay＝3，得 2×1－a×(－1)＝3，解得 a＝1. y＝－1
【答案】A
)
3．(2011 中考预测题)小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张．设所用的 1 元纸币为 x 张，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48
的位置是( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
y＝－x＋2 【解析】由 y＝x－1
【答案】A
x＝3 2 得 1 y＝ 2
3 1 ，∴( ， )在第一象限． 2 2
6．(2010· 嘉兴)根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是(
)
A．0.8 元/支，2.6 元/本 C．1.2 元/支，2.6 元/本
2．方程的有关概念 (1)含有未知数的等式，叫做方程． (2)使方程左、 右两边的值相等的未知数的值， 叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的 解，也叫做根)． (3)求方程解的过程，叫做解方程． (4)方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.
考点二 一元一次方程 1．一元一次方程 在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的方程，叫 做一元一次方程．ax＋b＝0(a≠0)是一元一次方程的标准形式． 2．解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
方程与方程组课件1
即若 ，则 等式其aห้องสมุดไป่ตู้ b性质：a若m bm
或
a b n 0 .
，n n ，
则
（传递性a ）b． b c
③等式a 的 b基本性质是等式变形和解方程的根 据.
三.知识要点
2.方程的有关概念： ①方程的概念：含有未知数的等式叫做方程. ②方程的解：使方程左右两边的值相等的未 知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的 方程的解，也叫做根)． ③解方程：求方程解的过程叫解方程.
三.知识要点
2.方程的有关概念： ④方程的分类：
三.知识要点
2.方程的有关概念： ⑤整式方程：方程两边都是关于未知数的整 式，这样的方程叫整式方程. ⑥分式方程：分母里含有未知数的方程叫做 分式方程.
三.知识要点
1.等式的基本性质：
①等式概念：用“=”表示相等关系的式子叫
等式.
②等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个
数或同一个代数式，所得结果仍是等式．
即若 ，则
.
ab
ambm
三.知识要点
1.等式的基本性质：
性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以
同一个不为0的数）所得结果仍是等式；
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打开思路，尽量从自己经历中或自己熟悉的材料中寻找素材。要写出自己对生活真实的感悟，切忌随意编造虚假的故事。 33.阅读下面材料，根据要求作文。 世界上有很多东西看得见，也有很多东西看不见。它们的关系很奇妙：花草树木看得 见，春天看不见；水果蔬菜看得见，营养看 不见；嫁妆婚礼看得见，爱情看不见；书信问候看得见，思念看不见；文凭看得见，水平看不见…… 看得见的东西往往不可少，而看不见的东西更重要。我们离
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
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17
24
一元二次方程
一元二次方程 只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的整式方程。
它的一般形式为： ax2 bx c 0(a 0)
25
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 求根公式 x b b2 4ac
2a
判别式 =b2 4ac
26
当△>0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根。
例如：3x+5y=7,x+12y-6=0。 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的
值相等的两个未知数的值。二元一次方程 一般有无穷多解。
16
二元一次方程组 具有相同未知数的两个二 元一次方程组成的方程组。
例如：
4x 3y 8 x 2y 0 ,
6xxyy19。
17
13
例题解析
例 解方程 4(x+2)=5-(2-x)
解： 4x 8 5 2 x 4x x 5 28 3x 5 x5 3
14
学生课堂演板
解下列各方程
（1）3x 4 6
(2)5 x 3 8 x 2 4
15
二元一次方程组
二元一次方程 含有两个未知数，并且含有 未知数的项的次数都是1的整式方程。
③
把③代入②，得 5
3(4 2y) 4y 8
解得 y 26 5
7
20
把 y 26 代入③，得 x 16
7
7
所以，原方程组的解为
x
16 7
y
26 7
21
解法二（加减消元法）
由①×3，②×5，得
15x 6 y 12
③
15x 20 y 40
(x 3)2 1 24
x3 1 22
x1 2, x2 1
29
解法二（因式分解法） (x 1)(x 2) 0
x1 2, x2 1 解法三（公式法）
(3)2 41 2 1
x 3 1 31
2
2
x1 2, x2 1
30
课堂学生演板
P16 1、解方程：
1 x2 5x 6 0 2 x2 16x 9 0
2、若一元二次方程 9x2 2mx 16 0 有两个 相等的实数根，那么 m
3、若一元二次方程 8x2 k 1 x k 7 0 的
一个根是0，则 k ，另一个根是
31
数学（第五版 上册）
MATHS 全国中等职业技术学校通用教材
1
第一章 方程与Байду номын сангаас等式
九年义务教育阶段所学习的数学知识和技 能，是中等职业技术学校学习数学的基础。 为了便于同学们做好数学知识的衔接工作， 我们精选了一些必备的数学基础知识，作 为本套数学教材的预备知识，组成本章的 学习内容。
2
教学要求
二元一次方程组的解 二元一次方程组的两 个方程的公共解。求方程组的解的过程叫 做解方程组。
二元一次方程组的解法 代入消元法和加减 消元法
18
例题解析
例 分别用代入消元法和加减消元法解方程组
5x 2y 4
①
3x 4y 8
②
19
解法一（代入消元法）
由①，得 x 4 2 y
组。
4
教学重点 1、一元一次方程和二元一次方程组解法。 2、一元二次方程和简单的二元二次方程组解
法。
5
教学难点 1、一元一次方程和二元一次方程组解法。 2、一元二次方程和简单的二元二次方程组解
法。
6
教学内容 1、一元一次方程 2、二元一次方程组 3、一元二次方程 4、简单的二元二次方程组
7
教学时间 2学时
8
1.2方程与方程组
一元一次方程 方程 含有未知数的等式。 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未
知数的值。
9
等式的基本性质 ① 等式两边加（或减）同一个数（或式子），
结果仍相等， 即 如果a=b，那么a±c=b±c
10
②等式两边乘同一个数，或同除以同一个不 为0的数，结果仍相等，即
如果a=b，那么ac=bc， a b (d 0)
dd
11
一元一次方程 只含有一个未知数（元），并且未知数的次
数为1的整式方程。它的一般形式为：
ax b 0(a 0)
12
一元一次方程的解法 利用等式的基本性质将方程 ax b 0(a 0) 化为 x b 的形式。 基本步骤：a去括号，移项，合并同列项，将
系数化为1。
27
一元二次方程的解法 ① 配方法 ② 因式分解法 ③ 公式法 根和系数的关系
如果ax2 bx c 0(a 0)的两根是x1, x2,
那么，x1
+x2
=-
b a
且x1
x2
=
c a
28
例题解析
例 解方程 x2 3x 2 0 解法一（配方法）
原方程配方得： x2 3x ( 3)2 1 0 24
④
③-④得 y 26
7
22
把 y 26 代入①，得 x 16
7
7
所以，原方程组的解为
x
16 7
y
26 7
23
学生课堂演板
分别用代入消元法和加减消元法解方程组：
3x y 5 (1) 2x 3y 4
(2)
3x 5x
7 4
1 y
1、理解有理数、无理数、实数、倒数、相反 数、绝对值的概念，会进行相关的运算。
2、会进行数的乘方和开方运算以及正式和分 式的运算。
3、会解一元一次方程和二元一次方程组。 4、会解一元二次方程和简单的二元二次方程
组。 5、会解一元一次不等式和一元一次不等式组。
3
1.2 方程与方程组
教学要求及目标 1、会解一元一次方程和二元一次方程组。 2、会解一元二次方程和简单的二元二次方程
简单的二元二次方程组
二元二次方程 含有两个未知数，并且含有 未知数的项的最高次数是2的整式方程。
例如： 3x2 2xy y2 4x 7 y 12 0 二元二次方程组 由具有相同未知数的两个
而原方程组成的方程组，其中至少有一个 二元二次方程，另一个是不高于二次的二
元整式方程。
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二元二次方程组的解法 由一个二元一次方 程和一个二元二次方程组成的二元二次方 程组，一般可用代入消元法来解。其目的 是把二元方程化为一元方程。
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