Convex Analysis and Nonlinear Optimization 第三章习题解答
convex optimization中译本
一、导论随着科技的发展和应用,凸优化在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
其在工程、金融、计算机科学等领域的应用不断扩展和深化。
对于凸优化的理论和方法的研究,以及文献的翻译与传播变得尤为重要。
本文旨在对凸优化中的一些重要主题和内容进行介绍和讨论,希望能够为相关领域的研究者和读者提供一些参考和帮助。
二、凸优化基本概念1. 凸集与凸函数凸集和凸函数是凸优化中非常基础且重要的概念。
凸集是指集合中任意两个点的线段都在该集合内部的集合。
凸函数则是定义在凸集上的实值函数,其函数图像上的任意两点组成的线段都在函数图像上方。
凸集和凸函数的性质为凸优化问题的理论和方法提供了基础。
2. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为:minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1,2,...,mh_j(x) = 0, j = 1,2,...,p其中,f(x)是要优化的目标函数,g_i(x)和h_j(x)分别为不等式约束和等式约束。
凸优化问题通常要求目标函数和约束函数都是凸的。
三、凸优化中的常见算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法,尤其适用于凸优化问题。
其基本思想是通过计算目标函数的梯度方向,并沿着梯度的负方向进行迭代,以逐步逼近最优解。
2. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法主要用于处理约束优化问题,通过构建拉格朗日函数并对其进行优化,得到原始优化问题的最优解。
拉格朗日乘子法在凸优化问题中得到了广泛的应用。
3. 内点法内点法是一类迭代法,主要用于求解线性规划和二次规划等凸优化问题。
其优点在于可以较快地收敛到最优解,尤其适用于大规模的凸优化问题。
四、凸优化在科学与工程中的应用凸优化在科学与工程中有着广泛的应用,如在信号处理中的最小二乘问题、在机器学习中的支持向量机、在通信系统中的功率分配问题等。
这些应用不仅推动了凸优化理论的发展,也为实际问题的解决提供了有效的工具和方法。
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案习题二1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,,1,,x y d x y x y =⎧=⎨-+≠⎩证明:1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.证明:显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =,显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+; 若x y ≠,则当,x z z y ≠≠时,111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+; 当,x z z y =≠时,1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+; 当,x z z y ≠=时,1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+; 因此,1(,)d x y 满足距离公理3).但10,,(,)1,,x d x x x θθθ=⎧=⎨+≠⎩显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=,因此1d 不是由范数诱导的距离.2.在l ∞中,按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n nx ξ=,证明l ∞是一个赋范空间.证明:显然这是一个范数.3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.证明:令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323n x x n n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则显然我们有n x M ∈,且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ⎛⎫-==→→∞ ⎪+++⎝⎭ ,但0x M ∉,因此M 不是l ∞得闭子空间.4.试举例说明,在赋范空间中,由1n n x ∞=<∞∑,一般地不能推出1n n x ∞=∑收敛.例:5. 设(,)X 是赋范空间,0X 是X 中的稠密子集,证明:对于每一x X ∈,存在{}0n x X ⊂,使得1n n x x ∞==∑,并且1n n x ∞=<∞∑.证明:取10x X ∈,使得112x x -<,则112x x ≤+;0X X = ,∴可取20x X ∈,使得12212x x x --<,则2121211122x x x x x x ≤--+-<+<;同理可取30x X ∈,使得123312x x x x ---<,则31231223111222x x x x x x x x ≤---+--<+<;继续此法,可得{}0n x X ⊂,使得112ni ni x x =-<∑,且21(2,3,)2nn x n -<= ,由此知1n n x x ∞==∑,并且1n n x ∞=<∞∑11112n n x ∞-=⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∑.6. 设(,)X 是赋范空间,{}0X ≠,证明:X 是Banach 空间,当且仅当,X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.证明:必要性是显然的(S 为X 中闭集),下证充分性.若S 是完备的,设{}n x 为X 中的Cauchy 列,由于m n m n x x x x -≤-,从而lim n n x →∞存在,不妨设lim n n x a →∞=. 若0a =,则显然0()n x n →→∞.若0a ≠,不妨设0n x ≠,则n n x S x ⎧⎫⎪⎪⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭,因为11()0m n n m m n n m n m nn m nm nm nx xx x x x x x x x x x x x x x x x -=-≤-+-→也即n n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为S 中的Cauchy 列,由S 的完备性,lim n n n x x →∞存在,不妨设limn n n x x S x →∞=∈,从而有1lim0n n n nn n x a ax ax x x x x x x a →∞-=-→-=,故 lim 0n n x ax →∞-=,即{}n x 收敛,从而证得X 是Banach 空间.7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明:分以下三步来证明:1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界,从而显然0c l ∞∈,且设()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈ ,则()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++ ,由于lim 0n x y αβ→∞+=,从而我们有0x y c αβ+∈,即0c 是l ∞的线性子空间.2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上,设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ= ,并且()(0)0sup 0()k k n n nx x k ξξ-=-→→∞,因此0ε∀>,1N ∃,使得当1k N >时,()(0)0sup 2k k n n nx x εξξ-=-<. 由于(0)()()(0)()1()2k k k n n n n n k N εξξξξξ≤+-<+>,又因0k x c ∈,()0()k n n ξ→→∞,故存在()1N N ≥,使得当n N >时恒有()2k n εξ<,从而(0)n ξε<,n N ∀>,即00x c ∈,由此知0c 是l ∞的闭子空间.3). 由于l ∞为Banach 空间,而0c 是l ∞的闭子空间,从而0c 是Banach 空间,下证0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体,即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈⇔ 全为有理数,且存在x N ,使得当x n N >时,0n ξ=. 显然1n n M Q ∞= ,可知M 可数.()1200,,,,,n y c εηηη∀>=∈ ,由于0n η→,故存在N ,使得当n N >时,n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈ ,存在()12,,,N N Q ξξξ∈ ,使得1sup n n n Nηξε≤≤-<,从而存在()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈ ,使得0y x ε-<,即M 在0c 中稠密. 综上可知0c 是可分的Banach 空间.8. 设(,)n n X 是一列赋范空间,{}(),1,2,n n n x x x X n =∈= 且满足条件1pkk x ∞=<∞∑,用X 表示所有x 的全体,按坐标定义线性运算构成的线性空间,在X 中定义11(1)ppkk x x p ∞=⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭∑,证明(,)X 是一个赋范空间.证明:只需证明 是一个范数即可. 事实上,显然0x ≥,且0x =,即10pkk x ∞==∑,从而有0(1,2,)kkx k == ,又k X 是赋范空间,故(1,2,k x k θ== ,从而可得x θ=,即证明了范数公理的条件1)成立,而条件2)显然成立,下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈= ,由离散情形的Minkowski 不等式,我们有111111ppppp p kk kk k k k x y x yx y x y ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而证得 是一个范数,从而(,)X 是一个赋范空间.9. 证明:1) 离散情形的Hölder 不等式与Minkowski 不等式;2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.证明:1). 首先证明离散情形的Hölder 不等式,即证明下列不等式成立:11111pqp q k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,其中111,1p p q ≥+=. 令11,pqp q k kk k A B ξη∞∞====∑∑,由不等式pqa b ab p q ≤+可得11p qk k k k AB p A q Bξηξη≤+ 从而有1111111111pqpq pqk kk kkk k k k k k A B AB p A q Bpqp qξηξηξη--∞∞∞∞∞=====≤+=+=+=∑∑∑∑∑,所以11111pqp q k k k k k k k AB ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由离散情形的Hölder 不等式,我们可以推导相应的Minkowski 不等式:111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑事实上,由Hölder 不等式,我们得到111111111(1)(1)1111111111,pp p k k k k kk k kk k k pqpqp q p p q p k k k k k k k k k k qp p p p p k k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞∞∞--===∞∞∞∞--====∞∞∞===+≤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此即可得到111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.2). 首先,由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈= 为n R 中全体有理点集,它是n R 中稠密的可数集,因此n R 是可分空间.令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈= ,易知M 为p l 的可数子集,下证p M l =. 事实上,设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈∀> 存在()N ε,使得12ppi i N εξ∞=+<∑,从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈ ,使得111122p ppNpp p i i i pi i N x yr εεξξε∞==+⎛⎫⎛⎫-=-+<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑,因此p M l =,即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.证明:设E 是线性空间X 中的线性无关集,令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体,在M 上定义偏序关系为''''⊂,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集),由Zorn 引理,M 有极大元,不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基,如若不然,则存在y X ∈,但y B ∉,即y 与B 中任何元素都线性无关,从而{}y B M ∈ ,这与B 的极大性矛盾.11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明:111():,01.nn n k k k k Co A x x X n x A αααα=⎧⎫=++∈∈≥=⎨⎬⎩⎭∑ 是任意自然数,且证明:若令S 表示上式右端,则A S ⊂而且S 是凸集,从而()Co A S ⊂. 反之,设F 是包含A 的任一凸集,那么(1,2,,)i x F i n ∈= ,从而1ni i i x F α=∈∑,即得S F ⊂,从而()S Co A ⊂.12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集,且mE <∞,用p 表示()(1)p L E p ≥的范数,∞ 表示()L E ∞的范数. 证明:对于每一()x L E ∞∈,lim pp xx ∞→∞=.证明:设x M ∞=,若0mE =或0M =,显然成立,下设0,0mE M ≠≠:i). 根据本性上确界的可达性,即存在0E E ⊂,使得00mE =,并且0\sup ()E E M x t =,所以0\\()d ()d d ppp pEE E E E x t t x t t M t M mE =≤=*⎰⎰⎰,所以()1ppx M mE ≤*. 因为当p →∞时,()11pmE →,即lim pp xM x ∞→∞≤=;ii). 对任意的0ε>,令{}1:()E t E x t M ε=∈>-,由上确界定义易知10mE >,从而11()d ()d ()p pp EE x t t x t t M mE ε≥≥-*⎰⎰,令p →∞,则lim pp xM ω→∞≥-,由ε的任意性,知lim pp xM →∞≥.从而lim pp xM x ∞→∞==.13. 设()11,X ,()22,X 是赋范空间,在乘积线性空间12X X ⨯中定义()1212112212,max ,z x x zx x =+=,其中()1212,,z X X z x x ∈⨯=.证明1z ,2z 是12X X ⨯上的等价范数.证明:显然2122z z z ≤≤,从而它们是等价范数.14.设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间,对于x X ∈定义1sup ();()d ba a t bx x t x x t t ≤≤==⎰.证明: 和1 是X 上两个不等价的范数.证明:显然 和1 是X 上的两个范数,且1()x b a x ≤-,要证两个范数不等价,则只需证明不存在0c >,使得1x c x ≥,即证明存在[]C ,n x a b ∈,使得1n n x x →∞.令()()(),,2()2,,20,,n b aa n t a a t a nb a nbb ax t a b a t a b a n nb a a t b n-⎧+-≤≤+⎪⎪--⎪=--++≤≤+⎨-⎪⎪-+≤≤⎪⎩则()()12,,2n n b a b a x x b n-+==()()122n nx nx b b a b a =→∞-+.15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ,用M 表示所有使得1k k k e ξ∞=∑在X中收敛的数列{}k ξ的全体,按通常方式定义线性运算构成的线性空间,对于每一{}k x M ξ=∈,定义11supnk knk x eξ==∑,证明(,)M 是Banach 空间.证明:首先易知1 是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列,()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=16. 设(,)X 是赋范空间,Y 是X 的子空间,对于x X ∈,令(),inf y Yd x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈,使得0x y δ-=,称0y 是x 的最佳逼近.1) 证明:如果Y 是X 的有穷维子空间,则对每一x X ∈,存在最佳逼近. 2) 试举例说明,当Y 不是有穷维空间时,1)的结论不成立. 3) 试举例说明,一般地,最佳逼近不惟一.4) 证明对于每一点x X ∈,x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.证明:1).有下确界定义,0,n y Y ε∀>∃∈,使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间,从而存在子列{}{}k n n y y ⊂,使得0k n y y →,将上面不等式中的n 改为k n ,并令k →∞,便有0x y δδε≤-<+,由ε的任意性即可得到0x y δ-=,即0y 就是x 的最佳逼近元.2).例:在0c 空间中,令{}011:02n n nn n M x c ξξ∞∞==⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭∑,则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x = ,下面说明对此0x ,M 中不存在最佳逼近元. 事实上,N m ∀∈,令()111,1,,1,0,0,2m m m x M -⎛⎫⎪=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭个,则()00111(,)12m m m x x d x M →∞--=+⇒≤.下证0,1y M x y ∀∈->.用反证法.假设存在()12,,,,k y M ξξξ=∈ ,使得01x y -≤,则()0122,,,,k x y ξξξ-=--- ,011,2,12 1.k k x y ξξ⎧≤≥-≤⇒⎨-≤⎩又由()12211,21222kkk kkk k k ξξξξ∞∞==≤≥⇒≤<⇒<∑∑.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ∀∈->.两边取下确界,得到0(,)1d x M ≥,从而我们可以得到0(,)1d x M =,即在M 上找不到一点,使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例:在2R 中,对()212,x x x R ∀=∈,定义范数12max(,)x x x =,并设()00,1x =,()11,0e =,a R ∈,则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=,从而01min 1a Rx ae ∈-=,但最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集,则对[]12,,0,1y y M λ∀∈∈,12(,)x y x y d x Y -=-=,从而()()()121212(1)(1)(1)(,)x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥,从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=,即12(1)y y M λ+-∈,所以M 是凸集.17. 设(,)X 是赋范空间,如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有2x y +<,称(,)X 是严格凸赋范空间.1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的,当且仅当,对任意,x y X ∈,x y x y +=+必有(0)x y αα=>.2) 证明在严格凸赋范空间中,对于每一个x X ∈,x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.证明:1). 必要性. 设x y x y +=+,则11x y x y xy x y x y x x yy +=⇒+=+++,由严格凸性,x yc x y=,即c x x y y=,令c x yα=,即可得到x y α=.充分性.用反证法,如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==,使得(1)1x y ββ+-=,即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-,由假设,必存在α,使得(1)x y βαβ=-,又因为1x y ==,从而可得x y =,矛盾.2).用反证法.事实上,若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=,则对[]0,1α∀∈,由严格凸性有()()()12121211(1)(1)(,)(,)(1)1(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--⎛⎫⎛⎫--=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<,这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =,12,y y 是相应的最佳逼近元,则必有12y x y ==,从而最佳逼近元必是惟一的. 18.设(,)X 是赋范空间,如果对任意0ε>,存在0δ>,当x y ε-≥,1x y ==时必有2x y δ-≤-,称(,)X 是一致凸的. 证明: 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.证明:设X 是一致凸的赋范空间,,,x y X x y ∈≠且1x y ==,则必存在00ε>,使得0x y ε-≥(若不然,对0ε∀>,都有x y x y ε-<⇒=,矛盾). 由一致凸性,对此00ε>,必存在0δ>,使得22x y δ-≤-<,从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==,但2x y +=.从而不是严格凸的.3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=,都满足1x y ==,但2x y +=.从而不是严格凸的.习题三1. 设1sup n n α≥<∞,在1l 上定义算子:T y Tx =,其中{}{},k k x y ξη==,k k k ηαξ=(1,2,)k = . 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1sup n n T α≥=.证明:111,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞≥====≤∑∑ ,()112,,,,,k x l ξξξ∀=∈()112,,,,k y l ηηη∴=∈ ,且1sup k k Tx x α≥≤ ,1sup k k T α≥∴≤.另一方面,由上确界定义,对任意的n ,存在k n ,使得11sup k n k k n αα≥>-. 取()010,0,,1,0,k n x = 第项为,则显然01x =,且00k n Tx T x T α=≤=,从而11sup k k T nα≥-<. 令n →∞,则有1sup k k T α≥≤. 所以1sup k k T α≥=.3. 证明Banach 空间X 是自反的,当且仅当*X 是自反的.证明:必要性. 设X 是自反的,:**()J X X J X →=为典型映射,现证*X 也自反. 任取****:x x J X =→ k ,显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==,及X 的自反性得()**R J X =,因此对任意的****x X ∈,()*******(*)x x x x =,由此知1****J x x =,其中1:****J X X →为典型映射,且()1***R J X =,从而*X 是自反的.充分性. 设*X 自反,假设X 不是自反的,即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是X 到0X 上的等距同构映射,且X 完备),由Hann —Banach 定理,存在0******x X ∈,满足0***1x =,且()**x J X ∀∈,()0*****0x x =. 因为()1****J X X =,故存在*0*x X ∈,使得********001001,()x x J x x ===,********001001,()x x J x x ===,因而对任意的****x X ∈,()****00(**)**x x x x =,但()()*****000()0,x x x x Jx x X ===∀∈,因此*0*x X θ=∈,这与*01x =矛盾,从而设X 是自反的. 20. 设X 是一致凸赋范空间,()0,1,2,n x x X n ∈= . 证明如果()0Wn x x n −−→→∞且()0n x x n →→∞,则()0n x x n →→∞.证明:不妨设00,n x x θ≠≠,用反证法. 为简单起见,设01n x x ==,且n x 不按范数收敛于0,那么可设00ε∃>,使得00n x x ε-≥,由空间的一致凸性,0δ∃>,使得02n x x δ+≤-. 由于0Wn x x −−→,故*f X ∀∈,且1f =有()()0n f x f x →,从而有()()002n f x x f x +→. 由于()002n n f x x f x x δ+≤+≤-及()()0001112sup sup lim22n n f fx f x f x x δ→∞==-==+≤知01x <,这与01x =矛盾,从而必有()0n x x n →→∞.22. 证明空间(1)pl p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1k kk f x αξ∞==∑,其中{}pk x l ξ=∈,{}111qk y l p q α⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭并且11q k k f q α∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,()*p q l l =.证明:令()0,,0,1,0,n e = ,显然()12,,,,pn x l ξξξ∀=∈ ,有1i ii x eξ∞==∑. 设()1i i i f x ξη∞==∑,其中()12,,,,qn y l ηηη=∈ ,则由Hölder 不等式,我们可以得到 ()11111qpqpi i i i i i i f x y x ξηηξ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而可知()*pf l ∈,且f y ≤.反之,对任一()*p f l ∈,()()1,2,i i f e i η== ,()12,,,,n y ηηη= ,下证q y l ∈且()1i i i f x ξη∞==∑及f y =. 事实上,令11sgn nq p n ii i i x e l ηη-==∈∑,则()()111sgn nnq qn ii i i n i i f x f e f x ηηη-====≤∑∑. 由于()11111nnppp q q n ii i i x ηη-==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑,因此()111,2,nqq i i fn η=⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑ ,令n →∞得11nqq i i y fη=⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑,令(),:*p q Tf y T l l =→,则y T f f =≤,从而y T f f ==. 又显然T 是线性算子,且为满射,故为()*p l 到q l 上的等距同构映射,从而()*p q l l =.习题四1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间,令{}21:,.n n n nn H x x H x ∞=⎧⎫=∈<∞⎨⎬⎩⎭∑对于{}{},n n x y H ∈,定义{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ,{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞==∑.证明H 是内积空间,并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时,H 是Hilbert 空间. 证明:先证H 是内积空间. 因为()()11222211111,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫≤≤≤<∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑,故定义{}{}(),nnx y ()1,nnn x y ∞==∑是有意义的. 又由{}{}{}()()()(){}{}(){}{}()111,,,,,,nnnnn n n n n n n n n n n n n x y z xy z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞∞∞===+=+=+=+∑∑∑及{}{}()()()(){}{}()111,,,,,nnnnnnnnnnn n n x y x y y x y x y x ∞∞∞=======∑∑∑,而且{}{}()()1,,0nnnnn x x x x ∞==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =⇔==⇔(){}1,2,n n x n x θθ==⇔= ,由内积定义可知H 是内积空间.再证H 是完备的. 设{}()1i i x ∞=是H 中的Cauchy 列,其中()()()()()12,,,,i i i i n x x x x = .由定义00,i ε∀>∃,使得当0,i j i >时,有()()i j x x ε-<,即122()()1i jn nn x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑,于是()()i j n n x x ε-<,所以{}()1i n n x ∞=是n H 中的Cauchy 列(n 固定),设()(0)i n n x x →,并令()(0)(0)(0)12,,,,n x x x x = ,由前证122()()1i j n n n x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑,0,i j i ∀>,故对固定的k 使得2()()21ki j n nn x x ε=-<∑. 令j →∞,则2()(0)21ki n nn x x ε=-≤∑,再令k →∞,就有2()(0)21i n nn x x ε∞=-≤<∞∑,即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间,于是有()()()i i x x x x H =--∈,故点列()()1,2,i x i = 按H 中范数收敛于x ,于是H 是完备的,即是Hilbert 空间.2. 设H 是Hilbert 空间,M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间,当且仅当M ⊥是一维子空间.证明:必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间,由Riesz 表示定理知存在f y H ∈,使得()(),,f f x x y x H =∀∈,于是()(){}{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥===∈=,由本节题4知.{}(){}span f f M y y ⊥⊥⊥==是一维子空间.充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间,,x H ∀∈令()(),f x x y =,则显然有()0f x x y =⇔⊥,即()x M M ⊥⊥∈=,所以M 是非零连续线性泛函f 的零空间.4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集,证明()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.证明:记span Y M =,则Y 是包含M 的最小闭子空间,故只需证()M Y ⊥⊥=.事实上,x Y ∀∈,有s p a n n x M ∈,使得n x x →. y M ⊥∀∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞==,故()x M ⊥⊥∈,即有()Y M ⊥⊥⊂. 又因为Y 是闭子空间,故有()Y Y ⊥⊥=(证明见指南P63例5). 于是由M Y ⊂可得Y M ⊥⊥⊂,进而可得()()M Y Y ⊥⊥⊥⊥⊂=,所以可得()span M Y M ⊥⊥==.5. 设H 是内积空间,M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈,它在M 上的正交投影存在,则M 必是闭子空间.证明:x M ∀∈,存在{}n x M ⊂,使得lim n n x x →∞=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈, 于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈,故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞=-=即1x θ=,从而0x x M =∈,从而M 是闭子空间.6. 证明在可分内积空间中,任一标准正交系最多为一可数集.证明:设H 为可分的内积空间,{}1n n x ∞=为H 的可数稠密子集,又设{}:e λλ∈Λ为H 中任意一簇标准正交系,则,n x λ∀∈Λ∃,使得2n x e λ-<. 若Λ不可数,则必有{}1k n n x x ∞=∈以及,','λλλλ∈Λ≠,使得',22k k x e x e λλ-<-<,于是''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<但由勾股定理,有222''2e e e e λλλλ-=+=,即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈,x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.证明:记{}:F e I αα=∈,由Bessel 不等式, x X ∀∈,若取n 个F 中元素e λ排成一列,不妨设为12,,,n e e e ,则有()221,ni i x e x =≤∑,于是在F 中使(),x e λ≥得e λ只能为有限个,记():,,n F e x e λλλ⎧=∈Λ≥⎨⎩及1ˆnn F F ∞== . 显然ˆF 为可数集,且当ˆe F F λ∈-时,(),0x e λ=,即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.8. 设H 为Hilbert 空间,()0,1,2,n x x H n ∈= .当n →∞时,0Wn x x −−→,且0n x x →,证明()0n x x n →→∞.证明:由()()()()()2,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+,故当n →∞时,()2222,0n x x x x x -→-=,即()0n x x n →→∞.11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈,()(),,Tx y x Ty =.证明T 是有界算子.证明:只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈,且满足00,n n x x Tx y →→,则y H ∀∈,由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞,则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==,故00y Tx =,即T 是闭线性算子,从而由闭图像定理可知T 有界.13. 设H 是Hilbert 空间,(),x y ϕ是定义在H H ⨯上的泛函且关于x 是线性的,关于y 是共轭线性的并且存在常数C ,使得()(),,x y C x y x y H ϕ≤∈.证明:存在惟一算子()A B H ∈,使得对所有,x y H ∈,()(),,x y Ax y ϕ=且A ϕ=,其中()11sup ,x y x y ϕϕ===.证明:因(),x y ϕ关于y 是共轭线性的,故(),x y ϕ关于y 是线性的,固定x H ∈,则(),x y ϕ为H 上的有界线性泛函,由Riesz 表示定理,存在惟一*x H ∈,使得()(),,*x y y x ϕ=,即()(),*,x y x y ϕ=. 作映射:*A x x ,有()()(),*,,x y x y Ax y ϕ==由于()()()()()()()()1212121212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβϕαβαϕβϕαβαβ+=+=+=+=+,即()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+又因为()()2,,Ax Ax Ax x Ax x y ϕϕ==≤,即A ϕ≤,所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式,有()(),,x y Ax y Ax y A x y ϕ=≤≤,故A ϕ≤,于是 A ϕ=. 若设()T B H ∈,且满足()(),,x y Tx y ϕ=,则()(),,,,A xy T x y xy H =∀∈,即()(),0,,A T x y x y H -=∀∈. 特别地,令()y A T x =-,得()20A T x -=,因此(),A T x x H θ-=∀∈,故0A T -=,所以A T =.14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明T 也是自共轭的.证明:由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞,即可得**n T T →,由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.2011年博士研究生第二次公开招考报考须知发布时间:2011-02-24 08:37 来源:本站点击量:303一、报名2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间:2011年3月4日-13日,网址:/hityzb/zs.jsp?cla=2。
Composite splitting algorithms for convex optimization
⇑ Corresponding author.
E-mail address: jzhuang@ (J. Huang).
The operator-splitting algorithm searches for an x to make that the sum of the maximal-monotone operators equal to zero. Forward–Backward schemes are widely used in operator-splitting algorithms [4–6]. These algorithms have been applied in sparse learning [7] and compressive MR imaging [2]. The Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm (ISTA) and Fast ISTA (FISTA) [8] are two important Forward–Backward methods. They have been successfully used in signal processing [8,9], matrix completion [10] and multi-task learning [11]. To handle the case of m > 1, Spingarn [12] reduces the sum of multiple maximal monotone operators to the sum of two maximal monotone operators by defining new subspaces and operators, and then applies a Douglas-Rachford splitting algorithm to solve the new problem. The general projective splitting methods are used to search for a point in the extended solution set [13].
优化收敛问题
虽然二者有联系,但实际上是两个相对独立的问题,要分开回答。
这里提供的只是解决方案,所有的方法都用上了还是不收敛得情况也是有的。
首先要分清scf不收敛和几何构型优化不收敛:scf不收敛指的是自洽场叠代不收敛(什么?没听说过什么叫自洽场?那还是回去学习些量化基础知识再开展计算吧!),可以认为是对指定结构的波函数不断优化的过程,是为了找到这个某个指定结构下能量最低的波函数,而几何构型优化是对结构的优化的过程,是为了找到某个指定的组分下能量极小结构(注意,不一定是能量最小结构)。
在量子化学计算的几何构型优化中,每一步的几何构型优化都包含的很多次的scf计算。
1、scf不收敛的解决方案。
(1) 可以加大scf的循环次数,默认的循环次数是128次,通过scf=(maxcycle=n)来设置最大循环次数n。
建议不要超过512,更多的循换没有必要。
(2) 如果加大循环次数不管用,在分子有对称性的情况下,使用scf=dsymm关键词来强制密度对称,有时可以收敛。
另外,此关键词很多时候对"scf is confused”这种错误很管用。
(3) 使用scf=symm关键词,使用的前提同上,有时可以收敛。
(4) 如果(2)(3)两步都不行,可以将对称的分子中的某几个原子的位置微调,使分子丧失对称性。
这等效于nosymm关键词,但个人经验,这种方式比nosymm好用的多。
(5) 如果还不行,只能拿出杀手锏了,就是使用qc,但不建议直接使用,而是使用xqc关键词,比如scf=(maxcycle=80,xqc),意思是如果scf正常计算(dc)在80个循环之内不收敛才进行昂贵的qc计算,因为scf不收敛多数在几个优化的过程中出现,无法判断哪一步优化的时候会出现scf不收敛,所以用xqc比纯粹使用qc要省时的多。
(6) 中级用户可以在输入文件的井号“#”开头那一行井号后面加上字母"p"来输出更多的信息,其中就有自洽场叠代的信息,分析原因可能会对采用什么方法提供指导。
cma-es和粒子群算法 -回复
cma-es和粒子群算法-回复"CMA-ES and Particle Swarm Optimization: A Comparative Study"Introduction:In the field of optimization, different algorithms have been devised to solve complex problems efficiently. Two such algorithms are Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy (CMA-ES) and Particle Swarm Optimization (PSO). Both algorithms are widely used in various domains due to their ability to find near-optimal solutions. In this article, we will explore the key concepts and working principles of CMA-ES and PSO, followed by a comparative analysis of their strengths and weaknesses.CMA-ES:CMA-ES is an evolutionary algorithm that utilizes a strategy called Covariance Matrix Adaptation to optimize the objective function. The main idea behind CMA-ES is to estimate the covariance matrix of a multivariate Gaussian distribution, which models the parameter search space. The algorithm maintains a population of candidate solutions that evolve over generations. At each iteration,CMA-ES updates the distribution mean and covariance matrix based on the successful candidates.The core steps of CMA-ES can be summarized as follows:1. Initialization: Select an initial mean vector and covariance matrix.2. Generating offspring: Sample candidate solutions from the estimated distribution.3. Evaluating fitness: Evaluate the fitness of each candidate solution.4. Updating distribution: Update the mean and covariance matrix using the fitness information.5. Termination condition: Repeat steps 2-4 until the termination condition is met.CMA-ES is particularly suitable for continuous optimization problems with a large number of variables. It adapts the search distribution over generations, enabling efficient exploration and exploitation of the search space. However, CMA-ES may struggle with optimization problems that contain deceptive landscapes or multiple local optima.Particle Swarm Optimization:PSO is a population-based optimization algorithm inspired by the social behavior of bird flocking or fish schooling. In PSO, a group of particles moves through the search space in search of the optimal solution. Each particle maintains its current position and velocity and updates them based on its own experience and the experiences of its neighboring particles.The key steps of PSO can be summarized as follows:1. Initialization: Select an initial position and velocity for each particle.2. Evaluating fitness: Evaluate the fitness of each particle.3. Updating velocity and position: Update the velocity and position of each particle based on its own experience and the global best position found so far.4. Termination condition: Repeat steps 2-3 until the termination condition is met.PSO is well-suited for both continuous and discrete optimization problems. It has been widely used in various domains due to itssimplicity and ease of implementation. However, PSO may suffer from premature convergence, especially in high-dimensional search spaces with complex landscapes.Comparative Analysis:Both CMA-ES and PSO have their strengths and weaknesses, and their performance can vary depending on the optimization problem at hand.CMA-ES excels in high-dimensional continuous optimization problems where the objective function is non-linear andnon-convex. Its ability to adapt the search distribution over generations enables efficient exploration and exploitation. However, CMA-ES may struggle with optimization problems that contain deceptive landscapes or multiple local optima. It also requires a considerable number of function evaluations to converge to the optimal solution.On the other hand, PSO is particularly suitable for optimization problems with a large number of variables, both continuous and discrete. Its population-based approach allows for globalexploration of the search space, which can be beneficial in finding the global optimum. However, PSO may suffer from premature convergence, especially in high-dimensional search spaces with complex landscapes. It also requires fine-tuning of several parameters to achieve optimal performance.Conclusion:In conclusion, both CMA-ES and PSO are powerful optimization algorithms that have been widely used in various domains. CMA-ES is well-suited for high-dimensional continuous optimization problems, while PSO is suitable for both continuous and discrete optimization problems. The choice between the two algorithms depends on the specific characteristics of the optimization problem and the trade-off between exploration and exploitation. Researchers and practitioners should consider the strengths and weaknesses of each algorithm when choosing the most appropriate one for their problem. Additionally, hybrid approaches that combine the strengths of CMA-ES and PSO may provide even better optimization capabilities.。
非牛顿幂律流体试井模型的有效半径解及其曲线特征
=[CDe]
r (n-3)/2 1-n D
坠pD 坠tD
(9)
内边界条件为
D D dp D
D D
wD
dt DD
D
D
-
rDn
坠pD 坠rD
=1
rD =1
D
D
p =p DDDBiblioteka wDD rD =1
(10)
初始条件为
外边界条件为
pD(rD, 0)=0
DDpD(∞, tD)=0
D
D
DDpD(reD, tD)=0
Δps=S·(
qB 2πh
)n
μeff
r1-n w
=S·
qBμ*
K
2πKh
(5)
在井筒压力 pwf 和井底油层表面压力 p(rw, t)间 产 生 1 个
压差,即
pwf=p(rw, t)-Δps
(6)
考虑表皮效应,地层压力和井底压力满足以下关系式
pwf=p(rw,
t)-S· qBμ* 2πKh
(7)
简化,求得了相应的解析式,绘制了理论图版,对曲线形态进行了进一步分析。 分析结果表明,均质模型试井曲线早期阶段受井筒存
储系数、表皮系数组合参数的影响,径向流段受幂律指数的影响。 该模型可以为三元复合驱试井测试资料分析提供理论基础。
关键词 非牛顿流;均质油藏;试井;有效半径解;典型曲线
中图分类号 TE355
1 试井模型的建立
1.1 有量纲试井模型的建立
假设均质等厚、各向同性的油层中心有一口井,流体为
单相微可压缩的非牛顿幂律流体,流体流动满足广义达西定
律 ;不 考虑 ASP 溶 液 在 地 层 中 的 稀 释与 吸 附 ,忽 略 重 力 和 毛
低秩张量补全算法综述
低秩张量补全算法综述刘慧梅;史加荣【摘要】随着现代信息技术的快速发展,待分析的数据大都具有很复杂的结构。
在获取高维多线性数据的过程中,部分元素可能丢失,低秩张量补全就是根据数据集的低秩性质来恢复出所有丢失元素。
低秩张量补全是压缩感知理论的高阶推广,在数学上可以描述为核范数最小化问题。
对求解低秩张量补全的核范数最小化模型的现有算法进行了综述。
介绍了张量的基础知识和低秩张量补全模型,给出了低秩张量补全的几种主流算法,如:简单低秩张量补全、高精度低秩张量补全以及核心张量核范数的张量补全等,指出了现有低秩张量补全算法中值得研究与改进的方向。
【期刊名称】《陕西理工学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】7页(P80-86)【关键词】张量补全;低秩;核范数最小化;核心张量核范数;交替方向乘子法【作者】刘慧梅;史加荣【作者单位】西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055【正文语种】中文【中图分类】基础科学2016 年 4 月陕西理工学院学报( 自然科学版)Apr. 2016第 32 卷第 2 期Journal of Shaanxi University of Technology ( Natural ScienceEdition)Vol. 32 No. 2[文章编号] 1673 -2944( 2016) 02 - 0080 - 07低秩张量补全算法综述刘慧梅,史加荣(西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055)[摘要]随着现代信息技术的快速发展,待分析的数据大都具有很复杂的结构。
在获取高维多线性数据的过程中,部分元素可能丢失,低秩张量补全就是根据数据集的低秩性质来恢复出所有丢失元素。
低秩张量补全是压缩感知理论的高阶推广,在数学上可以描述为核范数最小化问题。
对求解低秩张量补全的核范数最小化模型的现有算法进行了综述。
介绍了张量的基础知识和低秩张量补全模型,给出了低秩张量补全的几种主流算法,如: 简单低秩张量补全、高精度低秩张量补全以及核心张量核范数的张量补全等,指出了现有低秩张量补全算法中值得研究与改进的方向。
cao2006-8
GSCAS, Lecture Note #08
1
Convex Analysis and Optimization
Hongxia Yin School of Mathematical Sciences Graduate University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100086, P.R. CHINA
(d) If D is another closed convex set such that C
Convex Analysis and Optimization, Sep.12-Dec.21, 2006
GSCAS, Lecture Note #08
5
Recession Cone of Level sets
Convex Analysis and Optimization, Sep.12-Dec.21, 2006
GSCAS, Lecture Note #08
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11
which implies that X Therefore X ∗
′′
∩ {x|f (x) ≤ γk } is compact. ∩ {x|f (x) ≤ γk }) = ∅ and is compact.
Convex Analysis and Optimization, Sep.12-Dec.21, 2006
GSCAS, Lecture Note #08
10
Proof: From Theorem 1 (c), a nonempty closed convex set is compact iff it has no direction of recession. Let f ∗
intro1数学课程简介
课程号:20100440 课程名:泛函分析课程英文名:Functional Analysis学时:68 学分:4先修课程:实变函数、高等代数基本面向:数学学院教材:《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书:1.《实变函数与泛函分析》(下册)夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》(下册)曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin,Functional Analysis,McGraw_HillBook Company,1973课程简介:线性赋范空间,Banach空间,Hilbert空间(包括有界,紧集,列紧集,完全有界集等)。
Banach 空间上有界线性算子(包括算子范数,有界性,连续性,Hahn-Banach定理,闭图象定理,逆算子定理,谱理论,紧算子Riesz-Schauder理论等)Hilbert 空间上的有界线性算子(射影定理、Riesz表示定理)。
课程号:20100640 课程名:概率统计课程英文名Probability and Statistics学时:68 学分:4先修课程:数学分析、线性代数基本面向:数学学院各专业教材:《概率论基础》(第二版)李贤平高等教育出版社1997参考书:1.《概率论》(第一册概率论基础)复旦大学高等教育出版社,1979。
2.《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943.《概率论及数理统计》(第二版)(上)梁之舜等高等教育出版社1988课程简介:事件与概率,条件概率与统计独立性,随机变量与分布函数,数字特征与特征函数,极限定理。
课程号:20100850 课程名:高等代数-1课程英文名:Advanced Algebra-1学时:102 学分:5先修课程:高中数学基本面向:数学数院各专业教材:《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer(计划2004年出版参考书:1。
《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2.《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3.《Linear Slgebra》B。
数学学院硕士研究生课程内容简介
数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号:1 课程类别:学科基础课课程名称:泛函分析英文译名:Functional Analysis学时:60学时学分:3学分开课学期:1 开课形式:课堂讲授考核形式:闭卷考试适用学科:基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队:数学与统计学院,基础数学系教师。
内容简介:本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。
主要教材:张恭庆、郭懋正:《泛函分析讲义》(下册),北京大学出版社,1990年版。
参考书目(文献):1.定光桂:《巴拿赫空间引论》,科学出版社,1984年版。
2.M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3.K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4.张恭庆、林源渠:《泛函分析讲义》(上册),北京大学出版社,1987。
5.V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6.A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号:2 课程类别:学科基础课课程名称:非线性泛函分析英文译名:Nonlinear Functional Analysis学时:60学时学分:3学分开课学期:2 开课形式:课堂讲授考核形式:闭卷考试适用学科:应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队:数学与统计学院,应用数学系教师。
基于混沌搜索的混和粒子群优化算法_张劲松
收稿日期:2005-12-29基金项目:山东省自然科学基金资助项目(Y2003G01);山东省优秀中青年科学家奖励基金项目(2004BS01004)作者简介:张劲松(1976-),男,山东济南人,博士研究生,主要研究方向为生产调度、智能建模与智能算法.E -mail :pinestudio @s ohu .com 文章编号:1672-3961(2007)01-0047-04基于混沌搜索的混和粒子群优化算法张劲松1,李歧强1,王朝霞2(1.山东大学 控制科学与工程学院, 山东 济南 250061;2.山东轻工业学院 电子信息与控制工程学院, 山东 济南 250353)摘要:所提出的算法将粒子群优化算法和混沌算法相结合,既摆脱了算法搜索后期易陷入局部极值点的缺点,同时又保持了前期搜索的快速性.最后通过4个测试函数将该算法与基本粒子群算法进行仿真对比,比较结果表明基于混沌搜索的混和粒子群优化算法在收敛性和稳定性等方面明显优于基本粒子群优化算法.关键词:粒子群优化算法;混沌搜索;混和算法;遍历性;局部极值中图分类号:TP301.6 文献标识码:AHybrid particle swarm optimization algorithm based on the chaos searchZHANG Jin -song 1, LI Qi -qiang 1, W ANG Zhao -xia2(1.School of Contr ol Science and Engineering , Shandong University , Jinan 250061, China ;2.College of Electr onic Infor mation and Control Engineering , Shandong Institute ofLight Industry , Jinan 250353, China )A bstract :A hybrid particle swar m optimization algorithm based on the chaos search is pr oposed .It can not only overcome the disadvantage of easily getting into the local extre mum in the later evolution period ,but also keep the rapidity of the previous period .Finally ,the basic particle swar m optimization algorithm is compared with the hybrid algorithm .The experiment results demonstrate that the ne w algorithm proposed is better than the basic particle s war m optimization algorithm in the aspects of conver gence and stability .Key words :particle swarm optimization algorithm ;chaos search ;hybrid algorithm ;ergodicity ;local extre -mum0 引言传统的粒子群优化算法(particle swarm optimiza -tion ,PSO )收敛速度快,运算简单,易于实现【1】,可用于解决大量非线性、不可微和多峰值的复杂问题优化,并已广泛应用于科学和工程领域,如函数优化【2】、神经网络训练【3】、模式分类【4】、模糊系统控制【5】等.但PSO 在进化后期易陷于局部极小点,算法所能达到的精度较差.而混沌搜索具有遍历性、随机性、“规律性”等特点【6】,能在一定范围内按其自身的“规律”不重复地遍历所有状态,在搜索过程中可以避免陷入局部极小点【7】,但当搜索空间大时其效果却不能令人满意【8】.笔者在传统粒子群优化算法的基础上结合混沌搜索的方法,提出一种新的组合优化方法.该算法充分利用粒子群算法运算简单、早期收敛速度快和混沌算法遍历性的特点,在运用粒子群算法进行全局搜索得到局部最优解的基础上,再以该解为中心利用混沌搜索算法进行二次寻优.这样可有效克服传统粒子群算法易陷入局部极小值 第37卷 第1期Vol .37 No .1 山 东 大 学 学 报 (工 学 版)JOUR N AL OF SHAND ONG U NIVER SITY (ENGINEER IN G SCIE NCE ) 2007年2月 Feb .2007 和混沌算法搜索空间大、收敛缓慢的缺点.1 算法介绍1.1 粒子群算法【9】假设在一个D维的目标搜索空间中,有m个粒子组成一个群落,其中第i个粒子表示为一个D 维的向量x i=(x i1,x i2,…,x iD),i=1,2,…,m,即第i个粒子在D维的搜索空间中的位置是x i.换言之,每个粒子的位置就是一个潜在的解.将x i带入一个目标函数就可以计算出其适应值,根据适应值的大小衡量x i的优劣.第i个粒子的“飞翔”速度也是一个D维的向量,记为v i=(v i1,v i2,…,v iD).记第i 个粒子迄今为止搜索到的最优位置为p i=(p i1,p i2,…,p iD),整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为p g=(p g1,p g2,…,p g D).每个粒子的速度和位置按如下公式进行变化(“飞行”): v id=ωv id+c1r1(p id-x id)+c2r2(p g d-x id),(1)x id=x id+v id.(2)其中,i=1,2,…,m;d=1,2,…,D;ω是非负数,称为惯性因子;学习因子c1和c2是非负常数;r1和r2是介于[0,1]之间的随机数.v id∈[-v max,v max],v max 是常数,由用户设定.实验中PSO算法均采用文献【10】所推荐的参数,加速因子c1=c2=1.49,学习因子ω=0.729.迭代中止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数或粒子群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应度阈值.PSO算法需要用户确定的参数并不多,而且操作简单,故使用比较方便.而且PSO算法的收敛速度快(特别是在进化初期),运算简单、易于实现,没有遗传算法的编解码和杂交、变异等复杂运算,但是它的缺点是易陷入局部极小点,搜索精度不高. 1.2 混沌搜索算法首先选择用于载波的混沌变量.选用式(3)所示的Logistic映射.t k+1=μt k(1-t k),k=0,1,2,…;t0∈[0,1].(3)其中μ是控制参量,取μ=4.设0≤x0≤1,n=0,1, 2,….不难证明μ=4时系统(3)完全处于混沌状态.利用混沌对初值敏感的特点,赋给式(3)i个微小差异的初值即可得到i个混沌变量.设一类连续对象的优化问题为min f(x),a i≤x i≤b i,i=1,…,n,x=(x1,x2,…,x n).混沌优化方法的基本步骤如下:(1)算法初始化:设置最大迭代次数M,置k= 1,对式(3)中的t k,分别赋于n个具有微小差异的初值,则可得到n个轨迹不同的混沌变量t i(k);(2)用混沌变量进行搜索:x i(k)=x*i+δi t i(k)+d i,(4)δi,d i可根据实际情况而定,x*i为当前最优解的第i个分量.计算性能指标f(k)=f(x(k)),x(k)= (x1(k),x2(k),…,x n(k));(3)如果f(k)<f*,则x*=x(k),f*=f(k);(4)当k>M时,f*保持不变,结束;否则令k= k+1,转步骤(2).将混沌算法用于粒子群算法时,为了防止出现单侧搜索的现象,修改式(4)为x i(k)=x*i+2δi[12-t i(k)]+d i,因为2[12-t i(k)]∈[-1,1],所以这样可以在局部最优点附近产生正负两个方向的扰动,有利于扩大搜索范围,摆脱局部极值点.1.3 基于混沌搜索的粒子群算法不难发现,如果粒子群的历史最优粒子位置p g 在较长时间内未发生变化,则粒子群很接近p g,其速度更新将主要由ωv id来决定,ω<1时速度将越来越小,因此粒子群表现出强烈的“趋同性”,当粒子数较少时,表现在优化性能上就是收敛速度快,但易陷入局部极值点.本文中提出的基于混沌搜索的粒子群优化算法是以基本粒子群优化算法的运算流程作为主体流程,把混沌搜索机制引入其中,以此来增强全局搜索能力,摆脱局部极值点的吸引,同时又不降低收敛速度和搜索精度.其基本的执行过程是先随机产生初始群体,然后开始随机搜索,通过基本的粒子群优化算法(式(1),(2))来产生一组新的个体.当整个粒子群历史最优粒子位置p g连续不变化或变化极小时,在p g为中心的一定范围内进行混沌搜索,将混沌搜索得到的最优解x′作为新的p g继续原粒子群算法的求解.其具体的算法流程如下:(1)初始化参数:学习因子c1和c2,惯性因子ω,最大迭代次数M,控制参量μ,混沌搜索起始迭代次数T;(2)初始化一群微粒(群体规模为m),包括随机位置和速度;(3)评价每个微粒的目标适应度,确定第i个 48 山 东 大 学 学 报 (工 学 版)第37卷 粒子迄今为止搜索到的最优位置p i=(p i1,p i2,…, p iD),和整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置p g=(p g1,p g2,…,p g D);(4)采用式(1),(2)对种群中的粒子进行一次迭代操作,若当前最优个体满足收敛条件或达到最大迭代次数,转步骤(6);(5)如果整个粒子群历史最优粒子位置p g在进行了T次粒子群迭代运算之后不变化或变化极小,则令x*i=p gi,采用节1.2的混沌搜索算法进行寻优得到最优值x′i,p gi=x′i,转步骤(3)继续下一次粒子群算法,否则直接转步骤(3);(6)进化过程结束,返回全局最优解.2 仿真比较采用下面4个典型测试函数来评价所提出的基于混沌搜索的混和粒子群算法的性能,这些函数具有连续不连续、凸非凸、单峰多峰等特点,经常被国内外学者用于对优化问题的测试.(1)F1=∑2i=1x2i,-5.12≤x i≤5.12,在[-5.12, 5.12]区间内有一个全局最小值点(0,0),全局最小值为0.(2)F2=x2-0.4c os(3πx)+2y2-0.6cos(4πy)+ 1,-10≤x,y≤10,在[-10,10]区间内有一个全局最小值点(0,0),全局最小值为0.(3)F3=14000(x2+y2)-cos(x)cos(y2)+1, -600≤x,y≤600,在[-600,600]区间内有一个全局最小值点(0,0),全局最小值为0.(4)F4=sin2x2+y2-0.5(1+0.001(x2+y2))2+0.5,-100<x,y<100,在[-100,100]区间内有一个全局最小值点(0,0),全局最小值为0.算法的初始化参数如下:粒子群规模M=20,学习因子C1=C2=1.49,惯性因子ω=0.79,最大迭代次数M=1200,混沌搜索起始迭代次数T= 300.用VC++6.0分别编写了基本粒子群算法和基于混沌搜索的混和粒子群算法仿真程序,各连续运行500次,将所得函数全局最小值点、全局最小值的平均值以及全局最小值的标准差作为算法的衡量指标,列于表1进行比较.其中最优解的平均值反映了解的优劣,最优解的标准差反映了算法的稳定性.表1 基本粒子群优化算法和基于混沌搜索的混和粒子群算法仿真结果对比Table1 The comparison of the simulation of the basic PSO algorithm and the h ybrid PSO algorithm based on the chaos search函数基本粒子群算法全局最小值点全局最小值的平均值全局最小值的标准差基于混沌搜索的粒子群算法全局最小值点全局最小值的平均值全局最小值的标准差F1(0.012602,0.002270)0.0000620.000092(-0.000326,0.002293)0.0000570.000077F2(0.001207,-0.007798)0.0133970.028226(-0.003009,-0.001897)0.0030680.002943F3(0.028423,0.058369)0.0112740.007175(-0.008730,-0.000662)0.0066550.005848F4(-0.057046,0.0285851)0.0090190.003079(-0.004760,0.005788)0.0001750.000143 图1~4是函数F1~F4的寻优曲线.图1 函数F1的寻优曲线Fig.1 The search locus of function F1图2 函数F2的寻优曲线Fig.2 The search locus of function F2 第1期张劲松,等:基于混沌搜索的混和粒子群优化算法49 图3 函数F3的寻优曲线Fig.3 The search locus of function F 3图4 函数F4的寻优曲线Fig.4 The search locus of function F4图中横轴表示进化次数,纵轴表示适应度值的对数(即每次搜索所得全局最小值的对数).实线对应于基本粒子群优化算法,虚线对应于基于混沌搜索的混和粒子群算法.从图中可以看出,基本粒子群算法在进化后期陷入了局部极值,而基于混沌搜索的粒子群算法却摆脱了局部极值而搜索到了更优的解.对其它一些函数所做的计算机仿真结果亦说明了这一点,限于篇幅,这里就不再给出结果了.通过表1中的数据比较可以看出,用该混和优化算法求得的全局最小值的平均值均小于用基本粒子群算法求得的结果,因而在算法的收敛性上明显优于基本粒子群算法.而用该混和算法求得的全局最小值的标准差也均小于用基本粒子群算法求得的结果,因而在算法的稳定性方面也明显优于基本粒子群优化算法.在仿真的过程中发现,混沌搜索过程中参数的选择非常重要.由于整个算法是以粒子群算法为主导,希望混沌搜索只是在粒子群算法陷入局部极小值点的时候才发挥作用,因此,混沌搜索的开始时间不宜太早,否则在粒子群算法还具有较好的收敛性的情况下就借助混沌搜索会过早的破坏群中粒子间的关系,反而达不到较好的寻优结果.混沌寻优的起始迭代次数T(即当基本粒子群算法迭代T次后,最优值基本保持不变,此时开始混沌搜索),要根据具体的情况而定.本文中的仿真一般将T取为最大迭代次数的14~13,此时粒子群算法基本陷入局部极小点,借助混沌搜索遍历以局部极小点为中心的一定范围内的各点,有助于跳出局部极值.3 结论实践证明,所提出的基于混沌搜索的混和粒子群算法是一种有效的优化方法,它能够解决大量非线性、不可微和多峰值的复杂问题优化,并能获得较高的求解精度.由于该算法首先判断粒子群历史最优粒子位置p g是否长时间连续不变化或变化极小,因此迭代运算过程中混沌搜索运算出现次数很少,对运算量的增加很少.相反,由于能及时判断问题的解是否已收敛于局部最优点,并迅速摆脱它的束缚,新算法在提高搜索成功率的同时,搜索速度并没有受到太大的影响.在本文中的混沌搜索的搜索半径δ的选择较为困难,δ过大搜索效率低,δ过小又很难跳出局部极值,目前主要根据具体的数学模型,依靠经验选择.寻找一种自适应的方法,依据搜索结果对δ进行自动调整是今后值得研究的一个问题.参考文献:[1]KENNEDY J,EBERTHART R C.Particle s warm optimization[A].Proceedings of IEEE 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向量优化问题C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件
向量优化问题C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件张万里;赵克全【摘要】在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念.用实例证明其与相关文献中提出的真ε-有效性不同,且包含Benson 真有效性作为其特例.此外,在邻近C(ε)-次似凸性假设下获得了Kuhn-Tucker型必要条件,利用标量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分条件.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】8页(P323-330)【关键词】向量优化;C(ε)-真有效解;Kuhn-Tucker最优性条件【作者】张万里;赵克全【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331;重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.6在向量优化问题研究中,真有效性概念起着十分重要的作用[1-2].近年来,引起了国内外学者的广泛关注,并取得了一系列重要的研究成果.1979年,文献[3]提出了一类改进的真有效性—-Benson真有效性.2000年,文献[4]利用Benson真有效性的思想,提出了ε-Benson真有效性,并建立了标量化定理、ε-Lagrange乘子定理、ε-真鞍点定理和ε-真对偶定理.2006年,文献[5]引进了co-radiant集这类新的工具,提出了新的ε-有效性概念,推广并且统一了很多现有的真有效性及近似真有效性概念.2011年,文献[6]借助于Gutiérrez等人的思想引进了Benson意义下近似真有效解的概念并包含了Benson真有效解作为其特例,利用非线性标量化函数建立了最优性条件,并在锥次似凸假设下建立了线性标量化定理.2012年,文献[7]提出了与文献[6]等价的C(ε)-真有效解概念,并在邻近锥次似凸假设下建立了标量化定理,获得了近似真鞍点定理.其它类型的近似真有效解概念可参见文献[8-9]等.受文献[6-8]的启发,本文在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念,它包含了Benson真有效性作为其特例.通过例子说明了C(ε)-真有效性概念与文献[6]中提出的真ε-有效性概念不同.进一步在邻近C(ε)-次似凸假设下,获得了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件,并利用标量化定理得到了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性充分性条件.此外,给出了与向量优化问题等价的无约束优化.假设X为拓扑线性空间,Y,Z为实局部凸Hausdorff拓扑线性空间,K和P分别表示Y 和Z中的闭凸点锥.若K∩(-K)={0},则称K为点的.令C⊆Y、int C、cl C、cone C分别表示C的内部、闭包和锥包.称C是真的,若∅≠C≠Y.若αc∈C,∀c∈C,∀α>1,则称C为co-radiant集.称C是星型集,如果存在q∈C使得引理 1.1[5]设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集且int(kern C)≠∅,则引理1.2[10]设闭凸锥K1,K2⊆Y且K1∩K2={0}.若K2是点锥且是局部紧的,则引理1.3[11]设V是实局部凸空间,凸集M,N⊆V满足则存在V中的超平面分离M和N.引理1.4[12]设A,B⊆Y,则A+int B⊆int(A+B).引理1.5[13]设A,B⊆Y,int A=A.若B是凸集且int B≠∅,则A+B=A+int B.本节基于星型co-radiant集,提出C(ε)-真有效点的定义,通过具体例子说明它与文献[6]中提出的真ε-有效点的概念不同,并包含Benson真有效点作为其特例.此外,还给出了关于C(ε)-真有效点性质的一个定理.定义 2.1 设ε≥0,C⊆Y为真星型co-radiant集且int(kern C)≠∅,A⊆Y.若则称a∈A是C(ε)-真有效点.C(ε)-真有效点的全体记为PE(A,C,ε).注2.1 (i)当C⊆K,cl cone(kern C)=K时与文献[7]中的定义是一致的;(ii)当cl cone(kern C)=K时,PE(A,C,0)就退化为经典的Benson真有效性;(iii)本文的定义与文献[6]中的定义不等价,以下例子可以说明这一点.例2.1令例2.2令定理2.1 (i)PE(A,C,0)⊆PE(A,C,ε),∀ε>0;(ii)PE(A,C,ε1)⊆PE(A,C,ε2),∀ε2>ε1>0;(iii)若x∈PE(A,C,ε),则x∈PE(A,C,aε),∀a>1,∀ε>0;(iv)证明根据定义2.1及C(ε)的性质,容易得到定理2.1的结论成立.向量优化问题在各种解意义下的最优性条件是最优化理论及应用的重要组成部分,是建立现代算法的重要基础.下面给出C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.本文考虑集值优化问题:其中集值映射F:X⇒Y,G:X⇒Z具有非空值且D≠∅.定义这里µ∈Y∗,C⊆X.(F,G)表示从X到Y×Z的集值映射,记作(F,G)(x)=F(x)×G(x).设ε≥0,x0∈D称为(VP)的C(ε)-真有效解,如果F(x0)∩PE(A,C,ε)≠∅;(x0,y0)称为(VP)的C(ε)-真有效点,如果x0∈D且y0∈F(x0)∩PE(A,C,ε).基于文献[14]的思想,文献[7]提出了如下的邻近C(ε)-次似凸性概念,相似的广义凸性概念也参见文献[8-9].定义3.1[7]设ε≥0,S⊆X.称集值映射F:S⇒Y在S上是邻近C(ε)-次似凸的,若cl cone(F(S)+C(ε))是凸集.引理 3.1 设C⊆Y为真星型co-radiant集满足kern C≠∅,则kern C是凸集.引理 3.2 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅,则引理3.3设C⊆Y为真星型co-radiant集满足int(kern C)≠∅,µ∈(cl cone (kern C))+s,则µC也是真星型co-radiant集满足int(kernµC)≠∅且int (µC(ε))=µint C(ε).定理 3.1 设ε>0,C⊆Y为真星型 co-radiant集且 int(kern C)≠∅.如果µ∈(cl cone(kern C))+s,(F,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的,则(µF,G)在X上是邻近(µC(ε)×P)-次似凸的.证明由引理3.3易得定理3.1成立.定理3.2 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅.F:D⇒Y,y0∈F(D).如果存在µ∈(cl cone(kern C))+s满足则y0∈PE(F(D),C,ε).接下来,建立C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.定理 3.3 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅.假设以下条件成立:(i)(x0,y0)是(VP)问题的C(ε)-真有效点;(ii)(F-y0,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的;(iii)cl cone(G(X)+P)=Z,则存在µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得定理 3.4 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集满足int(kern C)≠∅.若x0∈D,且存在y0∈F(x0),µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+满足则(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点.根据定理3.3和定理3.4下面的结论是显然的.推论 3.1 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,且int(kern C)≠∅.假设以下条件成立:(i)(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点;(ii)(F-y0,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的;(iii)cl cone(G(X)+P)=Z,则(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点当且仅当存在µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得【相关文献】[1]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications,and Extensions[M].Berlin:Springer,2004.[2]Chen G Y,Huang X X,Yang X Q.Vector Optimization[M].Vol 541,Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences.Berlin:Springer,2005.[3]Benson H P.An improved definition of proper efficiency for vector maximization with respect to cones[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1979,71(1):232-241.[4]Rong W D,Ma Y.ε-Properly efficient solutions of vector optimization problems with set-valued maps[J].Operations Research Transactions,2000,4(4):21-32.[5]Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].SIAM Journal on Optimization,2006,17(3):688-710.[6]Gao Y,Yang X M,Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):483-496.[7]G utiérrez C,Huerga L,Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1046-1058.[8]Zhao K Q,Yang X M.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2013,64(4):1-4.[9]Zhao K Q,Xia Y M.A kind of unified proper efficiency in vector optimization [J].Abstract and Applied Analysis,2014(2014):Article ID 636907,5 pages. 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一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):511-523一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程杨怡,方钟波(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)摘要:本文研究一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程齐次Dirichlet初边值问题解的适定性及定性性质.借助于正则解的适定性并结合稠密性理论导出局部弱解的适定性,且利用修正能量泛函技巧,建立当p<γ时整体适定性.同时,利用反证技巧,证明当p>γ时解的有限时刻爆破现象.关键词:半线性波动方程;基尔霍夫型弱阻尼;对数非线性;整体适定性;爆破中图分类号:O175.29AMS(2010)主题分类:35L20;35A01;35B44文献标识码:A文章编号:1001-9847(2022)03-0511-131.引言我们考虑一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程u tt−∆u−σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u log|u|,(x,t)∈Ω×(0,+∞),(1.1)给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,+∞),(1.2)u(x,0)=u0(x),u t(x,0)=u1(x),x∈Ω,(1.3)其中Ω⊂R N(N≥1)为具有光滑边界∂Ω的有界区域,基尔霍夫型阻尼系数σ,参数p和γ满足(H1)非局部阻尼系数σ∈C1([0,+∞)),对任意s∈[0,+∞),存在正常数b使得σ(s)≥b;;若N=1,2,则2<γ,p<+∞.(H2)参数γ,p满足:若N≥3,则2<γ,p<2N−2N−2我们的模型(1.1)出现于弹性力学理论,量子力学理论等.比如,在一维和二维空间中,具有常数阻尼系数(σ(∥∇u∥2)≡1)的模型(1.1)分别表示服从于粘性效应的均匀弦的横向振动2)=1))的非局部弱阻尼和均匀杆的纵向振动.特别是,当γ=2时,不为常数系数(σ(∥∇u∥22)u t模拟了作用在物体上的摩擦机制,该机制取决于u自身平均值.[1]同时,在量子场项σ(∥∇u∥22理论中,对数非线性项出现在膨胀宇宙学以及超对称场理论中.本文中,我们的目的在于分析在模型(1.1)-(1.3)中基尔霍夫型弱阻尼项σ(∥∇u∥2)|u t|γ−2u t2和对数非线性项|u|p−2u log|u|之间的相互作用与竞争关系对解的适定性及定性性质的影响.为了陈述研究动机,我们回顾此类问题的研究背景.实际上,具有常数系数阻尼项和乘幂型源项的如下半线性波动方程已被许多学者广泛关注且已有许多进展.[2−3]u tt−∆u+g(u t)=|u|p−2u.(1.4)∗收稿日期:2021-06-01基金项目:山东省自然科学基金面上项目(ZR2019MA072);中央高校基本科研基金(201964008)作者简介:杨怡,女,汉族,山东人,研究方向:偏微分方程.通讯作者:方钟波.512应用数学2022比如,Georgiev和Todorova[2]研究了方程(1.4)中g(u t)=a|u t|γ−2u t情形且在齐次Dirichlet边界条件下,证明了问题解的整体存在性及有限时刻爆破现象.之后,文[3]给出了具有任意负初始能量及正初始能量解的爆破现象.关于具有基尔霍夫阻尼系数(σ(∥∇u∥22)=1))的问题的研究方面,大部分集中于基尔霍夫型拟线性波动方程及四阶波动方程解的长时间动力行为,而很少有文献研究爆破现象.比如, Jorge和Narciso[4]在研究如下可扩展梁方程时首次提出了基尔霍夫型阻尼系数u tt+∆2u−κϕ(∥∇u∥22)∆u+σ(∥∇u∥22)g(u t)+f(u)=h(x),其中g(u t)≈|u t|γu t.他们在Dirichlet边界条件和铰接边界条件下建立了强解的适定性并给出了解的长时间动力行为.最近,ZHANG等[5]研究了具有退化非局部非线性阻尼项和乘幂型源项的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u+σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u,且利用位势井理论得到了能量的衰减估计和有限时刻解的爆破现象.另一方面,关于具有常数阻尼系数和对数非线性项的半线性波动方程研究也有一些新的进展,其主要难点在于对数非线性源项的单调性和符号无法确定.Cazenave和Haraux[6]首次考虑了具有对数非线性项的Schrˆo dinger方程及Klein-Gordon方程Cauchy问题解的存在性与唯一性.之后,ZHANG等[7]考虑了具有弱阻尼的模型Dirichlet初边值问题并得到了问题解的整体存在性及能量的指数衰减估计值.最近,我们在文[8]中研究了具有对数源和强阻尼的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−∆u t=u log|u|2,(1.5)且利用位势井理论和对数Sobolev不等式,得到了问题的整体可解性及能量衰减和无限爆破结果.文[9]的作者将方程(1.5)推广到具有更一般形式对数非线性项情形.LIAN和XU[10]考虑了具有强弱阻尼和对数源项的非线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−ω∆u t+µu t=u ln|u|,他们利用压缩映射原理,位势井方法及微分不等式技巧,证明了问题的可解性,能量衰减及解的无限爆破现象.此外,关于具有时滞阻尼的板模型问题的最新进展,我们阅读了文[11].综上所述,关于基尔霍夫型弱阻尼项和对数非线性项竞争的半线性波动方程初边值问题(1.1)-(1.3)的研究尚未得到完善.本文中,我们考虑与文[12]中相同意思下的正则解与弱解且有以下主要难点:1)当p>2时无法利用对数-Sobolev不等式来估计对数所在的项;2)局部弱解的适定性无法直接导出,需考虑更强的解的结果;3)分析两个非线性项之间的竞争关系,即基尔霍夫型非线性弱阻尼项与对数非线性项时遇到难度.为了克服这些困难,启发于文[2,13]的思想,从问题正则解的局部适定性出发,利用稠密性理论和紧性理论导出局部弱解的适定性.并通过修正能量泛函技巧将局部解推广到了整体解.同时利用反证技巧,得到具有负初始能量解的有限时刻爆破现象.本文的剩余部分结构如下:第二节,我们将证明问题(1.1)-(1.3)弱解的局部适定性;第三节中,给出当p<γ时弱解的整体适定性.关于p>γ时具有负初始能量解在有限时刻发生爆破的结论,在第四节中导出.整文中,C及C i(i=1,···)在不同表达式中可能表示不同的正常数.同时,记空间H:= {u∈H10(Ω):∆u∈L2(Ω)},且赋予内积(u,v)H:=(∇u,∇v)+(∆u,∆v),其中(·,·)表示L2(Ω)的内积.此外,H1(Ω)中的模取为∥∇u∥2.2.弱解的局部适定性本节中,我们将先证明问题(1.1)-(1.3)正则解的存在唯一性,之后,通过稠密性理论得到局部弱解的存在唯一性.注意到,得到弱解局部适定性之前,先证明正则解的原因在于:证明基尔霍夫型非局部阻尼项的收敛性时,需用正则解的一些结果.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程513定理2.1假设(H1),(H2)成立且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则对某些T >0,问题(1.1)-(1.3)存在唯一弱解并满足正则性u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)).证我们先分四个步骤来证明问题(1.1)-(1.3)正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的存在唯一性结论.第一步逼近问题.令{ωj }∞j =1为H 的一组完备正交基且定义有限维子空间V m :=span {ω1,ω2,···,ωm },m ∈N .我们定义近似解u m (x,t ):=∑mj =1b jm (t )ωj (x ),其中u m (x,t )为如下Cauchy 问题的解:∫Ωu mtt ωj d x +∫Ω∇u m ∇ωj d x +σ(∥∇u m ∥22)∫Ω|u mt |γ−2u mt ωj d x =∫Ω|u m |p −2u m log |u m |ωj d x,(2.1)u m (0)=u 0m =m ∑j =1b jm (0)ωj →u 0,在H 中,(2.2)u mt (0)=u 1m =m ∑j =1b jmt (0)ωj →u 1,在L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)中.(2.3)由ODE 标准理论可知,上述Cauchy 问题(2.1)-(2.3)在区间[0,T m ),T m >0上存在唯一解b jm (t ),我们将通过接下来的先验估计将解延伸到[0,T ].第二步先验估计.第一先验估计对(2.1)两边乘b ′jm (t ),关于j =1,2,···,m 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得¯E m (t )+∫t0σ(∥∇u m (s )∥22)∥u ms (s )∥γγd s =¯E m (0)+∫t 0∫Ω|u m (s )|p −2u m (s )log (|u m (s )|)u ms (s )d x d s,(2.4)其中¯Em (t )=12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22].且由(2.2)(2.3)可得¯Em (0)<+∞.另一方面,经过简单计算,我们易得log |u (x )|<|u (x )|ααa.e.x ∈Ω,∀α>0.(2.5)结合Young 不等式可以导出∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤1α∫Ω|u m |p +α−1u mt d x,≤14ε1α2γ−1γ∫Ω|u m |(p +α−1)γγ−1d x +ε1γ∫Ω|u mt |γd x.(2.6)根据p 和γ的选择,我们可取α满足:若N ≥3,则0<α<2N(γ−1)(N −2)γ+1−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.且应用嵌入H 10(Ω) →L γ(p +α−1)γ−1(Ω),(2.6)可改写为∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∥∇u m ∥(p +α−1)γγ−12+ε1γ∥u mt ∥γγ,(2.7)其中C s 为最优嵌入常数.将(2.7)代入(2.4),应用(H1)我们导出12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22]+(b −ε1γ)∫t 0∥u ms (s )∥γγd s514应用数学2022≤¯E m (0)+C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∫t∥∇u m (s )∥(p +α−1)γγ−12d s,≤¯Em (0)+C (p +α−1)γγ−1s(γ−1)4ε1α2γ2β∫t0¯E βm (s )d s,其中β=(p +α−1)γγ−1>1.选取ε1使得ε1γ<b,则由非线性Gronwall 不等式可得:存在正常数L 1使得∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22+∫t∥u ms (s )∥γγd s ≤L 1,∀m ∈N ,∀t ∈[0,T ].(2.8)因此,由(2.8)我们得到{u m }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.9){u mt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界,(2.10){u mt }在L γ(0,T ;L γ(Ω))中有界.(2.11)第二先验估计首先我们估计∥u mtt (0)∥22.在(2.1)中,取t =0且ωj =u mtt (0),我们有∥u mtt (0)∥22+σ(∥∇u m (0)∥22)∫Ω|u mt (0)|γ−2u mt (0)u mtt (0)d x −∫Ωu mtt (0)∆u m (0)d x =∫Ω|u m (0)|p −2u m (0)u mtt (0)log |u m (0)|d x.(2.12)利用H¨o lder 不等式,我们可得∥u mtt (0)∥22≤[∥∆u 0m ∥22+σ(∥∇u 0m ∥22)∥u 1m ∥2(γ−1)+∥∇u 0m ∥2]∥u mtt (0)∥2,再由σ的连续性及(2.2),(2.3)可得∥u mtt (0)∥2≤L 2,∀m ∈N ,(2.13)其中L 2为与m 无关的常数.紧接着,将(2.1)两边关于时间t 求导并乘b ′′jm (t ),关于j 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得E m (t )+1γ−1∫t 0σ(∥∇u m (s )∥22)∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss |2d x = E m (0)−2∫t 0σ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x ∫Ω|u mt |γ−2u mt u mss (s )d x d s +∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s+(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s,(2.14)其中 E m (t ):=12[∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22].且由(2.2)和(2.3)可得 E m (0)<+∞.结合(2.9)和(H1),(2.14)可重写为E m (t )+1γ−1b ∫t 0∫Ω|u ms |γ−2|u mss |2d x d s ≤ E m (0)+C 1∫t 0∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x3d s +I 1+I 2+I 3,(2.15)其中I 1:=−2∫tσ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s,第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程515I 2:=∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s,I 3:=(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s.下面,我们估计I 1∼I 3.首先,由H¨o lder 不等式可得∫t 0∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s ≤∫t 0∫Ω|u ms |γ−1|u mss |d x d s≤(∫t 0∥u ms (s )∥γγd s)12(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s )12.(2.16)利用Young 不等式,σ′的连续性及(2.9),我们可以估计I 1如下:I 1≤L 121C 3(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s)12∫t 0∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x d s ≤L 121C 3ε1∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s.(2.17)对I 2应用p −22(p −1)+12(p −1)+12=1的H¨o lder 不等式,嵌入H 10(Ω) →L 2(p −1)(Ω)及(2.9),我们导出I 2≤∫t 0(∫Ω|u m (s )|2(p −1)d x )p −22(p −1)(∫Ω|u ms (s )|2(p −1)d x )12(p −1)(∫Ω|u mss (s )|2d x )12d s≤∫t 0∥∇u m (s )∥p −22∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s ≤L p −221∫t∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s≤12L p −221∫t∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.18)接下来,应用(2.5)并选取适当α满足:若N ≥3,则α<2N −2N −2−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.我们可类似于(2.18)的过程来导出I 3≤p −12αL p +α−221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.19)将(2.17)-(2.19)代入(2.15)并整理得E m (t )+(b γ−1−L 121C 3ε1)∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s≤12L p −221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s + E m (0)+12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥∇u ms (s )∥22d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s +12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥u mss (s )∥22d s.选取ε1<b (γ−1)L 121C 3,则存在正常数C 1,C 2使得 E m (t )≤C 1+C 2∫t 0E m d s.由非线性Gronwall 不等式可得,存在正常数L 3使得∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22≤L 3,∀m ∈N ,(2.20)且知{u mt }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.21){u mtt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界.(2.22)516应用数学2022第三步取极限.结合(2.9)-(2.11)即(2.21)-(2.22),存在函数u 及{u m }∞m =1的子序列(方便起见,仍记为{u m }∞m =1)使得u m W ∗−→u,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.23)u mt W ∗−→u t ,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.24)u mt W −→u t ,在L γ(0,T ;L γ(Ω))中,(2.25)u mtt W ∗−→u tt ,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.(2.26)由(2.23),(2.24)及Aubin-Lions 引理可得u m −→u,在C ([0,T ];H 10(Ω))中.(2.27)因此u m −→u,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].这表明σ(∥∇u m ∥22)−→σ(∥∇u ∥22),a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ],|u m |p −2u m log |u m |−→|u |p −2u log |u |,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].另一方面,由(2.5),(2.9)及嵌入不等式,我们导出∫Ω |u m |p −2u m log |u m | 2d x ≤∫{x ∈Ω||u m |≤1}|u m |p −2u m log |u m | 2d x +1µ∫{x ∈Ω||u m |>1}|u m |2(p −1+µ)d x,≤[1(p −1)e ]2|Ω|+1µ∥u m ∥2(p −1+µ)2(p −1+µ),≤[1(p −1)e ]2|Ω|+21µB 2(p −1+µ)µ−1∥∇u m ∥2(p −1+µ)2≤C 5,(2.28)其中选择合适的正数µ使其满足:若N ≥3,则0<µ<N2(N −2)+1−p ;若N =1,2,则0<µ<+∞,且对0<x <1,应用不等式|x p −1log x |≤(e (p −1))−1,我们得到|u m |p −2u m log |u m |W ∗−→|u |p −2u log |u |,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.另外,由H ×(L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))在H 10(Ω)×L 2(Ω)中的稠密性可知(u 0m ,u 1m )→(u 0,u 1),在H 10(Ω))×L 2(Ω)中.在(2.1)-(2.3)中取极限可得u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))中,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ).第四步唯一性.令u 1和u 2是问题(1.1)-(1.3)的解并记z :=u 1−u 2,则由(1.1)我们可知z 满足如下的方程:∫Ωz tt ωj d x +∫Ω∇z ∇ωj d x +∫Ωσ(∥∇u 1∥22)|u 1t |γ−2u 1t ωj d x −∫Ωσ(∥∇u 2∥22)|u 2t |γ−2u 2t ωj d x =∫Ω|u 1|p −2u 1log |u 1|ωj d x −∫Ω|u 2|p −2u 2log |u 2|ωj d x,(2.29)用z t 代替上式中的ωj ,我们得到12d d t (∥z t ∥22+∥∇z ∥22)+I 4=I 5+I 6,(2.30)其中I 4=σ(∥∇u 1∥22)∫Ω(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t d x,I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))·∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x,I 6=∫Ω(|u 1|p −2u 1log |u 1|−|u 2|p −2u 2log |u 2|)z t d x.下面,我们将估计I 4∼I 6.首先,应用平均值定理,存在θ∈(0,1),我们导出(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t =∫1(θu 1t +(1−θ)u 2t )γ−2z t d θz t第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程517=1γ−1(|θu 1t +(1−θ)u 2t |γ−2(θu 1t +(1−θ)u 2t )) 10z t =1γ−1(12(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)(u 1t −u 2t )+12(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(u 1t +u 2t ))z t =12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2+(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(|u 1t |2−|u 2t |2))≥12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2.结合(H1),我们可以对I 4估计如下:I 4≥b 2(γ−1)∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z 2t |d x.(2.31)然后,利用(H1),H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们可估计I 5如下:I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x≤C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |z t d x +C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |γ−1z t d x ≤C ∥u 2t ∥2∥∇z ∥2∥z t ∥2+C ε2∥u 2t ∥γγ∥∇z ∥22+ε2∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2d x.(2.32)对I 6,用H¨o lder 不等式得到I 6≤∥G (u 1)−G (u 2)∥2∥z t ∥2,(2.33)其中G (s )=|s |p −2s log |s |.再由平均值定理及(2.5),存在ξ∈(0,1)使得|G (u 1)−G (u 2)|=|G ′(ξu 1+(1−ξ)u 2)z |≤[1+(p −1)log |ξu 1+(1−ξ)u 2|]|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |≤|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |+(p −1)α3|ξu 1+(1−ξ)u 2|p +α3−2|z |≤|u 1+u 2|p −2|z |+(p −1)α3|u 1+u 2|p +α3−2|z |,(2.34)其中选取合适的α3使其满足:若N ≥3,则0<α3≤p −22(p −1)(2N N −2+2(1−p ));若N =1,2,则0<α3<+∞.对(2.34)右边的两项利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入不等式,我们分别导出∫Ω|u 1+u 2|2(p −2)|z |2d x ≤C 1(∫Ω|u 1+u 2|2(p −1)d x )p −2p −1(∫Ω|z |2(p −1)d x)1p −1≤C 1[∥u 1∥2(p −1)2(p −1)+∥u 2∥2(p −1)2(p −1)]p−2p −1∥z ∥22(p −1)≤C 2[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1∥∇z ∥22(2.35)∫Ω|u 1+u 2|2(p +α3−2)|z |2d x ≤C 3[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1∥∇z ∥22,(2.36)其中p ∗=2(p −1)+2α3(p −1)p −2.现在,我们把(2.34)-(2.36)代入到(2.33)并整理得到I 6≤C 4{[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1+[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1}(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).(2.37)选取ε2<b2(γ−1),将(2.31),(2.32)和(2.37)代入到(2.30)且结合(2.23)得到d d t(∥∇z ∥22+∥z t ∥22)≤C (1+∥u 2t ∥γγ)(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).518应用数学2022对上式从0到t 上积分,应用(2.25)和Gronwall 不等式,可知存在正常数L 4使得∥z t ∥22+∥∇z ∥22≤L 4(∥z 1∥22+∥∇z 0∥22),∀m ∈N ,且∥z t ∥22=∥∇z ∥22=0,即可得唯一性的结论.下面,我们应用稠密性理论,从局部正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的适定性中导出局部解u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω))的适定性.由H 在H 10(Ω)中稠密,L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)在L 2(Ω)中稠密及条件(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω)易知,存在{u 0η}⊂H 及{u 1η}⊂(L2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))使得u 0η→u 0,在H 10(Ω)中,u 1η→u 1,在L 2(Ω)中,当η→+∞.(2.38)且对任意η∈N ,问题(1.1)-(1.3)存在以{u 0η,u 1η}为初值的正则解,且满足u η∈L ∞(0,T ;H 10(Ω)),u ηtt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω)),u ηt ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)).类似于前述的正则解的存在性证明中第一先验估计的导出过程,并令η2≥η1是两个任取的自然数且记z η:=u η2−u η1则易知∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22≤C 1(∥z 1η∥22+∥∇z 0η∥22),∀0≤t <+∞.结合(2.38),我们得到z η(0)=u η1(0)−u η2(0)→0,在H 10(Ω)中,z ηt (0)=u tη1(0)−u tη2(0)→0,在L 2(Ω)中,∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22→0,且u η→u,在C 0([0,T ];H 10(Ω))中,(2.39)u ηt →u t ,在C 0([0,T ];L 2(Ω))中.(2.40)因此,以上收敛性并结合(2.28)允许我们对问题(1.1)-(1.3)取极限,且得到弱解满足u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)),u (0)=u 0,u t (0)=u 1,x ∈Ω,此外,关于局部弱解的唯一性需要用正则化方法,且可由Visik-Ladyzenskaya 的标准方法来得到.[14]14−16综上所述,我们得到问题(1.1)-(1.3)存在唯一的局部弱解.注2.1局部弱解的唯一性不可用常见的唯一性证明方法的原因在于:对偶积⟨H −1(Ω),L 2(Ω)⟩没有意义.3.弱解的整体适定性本节中,当p <γ时,结合连续性原理,我们得到与第一节中的局部弱解相同正则性的意思下问题(1.1)-(1.3)整体适定性.我们先给出下面引理,将在证明中起到关键作用.引理3.1假设(H1),(H2)成立,对任意的u ∈H 10(Ω)\{0},存在只依赖于Ω的正常数C >1使得∥u ∥s p ≤C (∥∇u ∥22+∥u ∥pp ),其中2≤s ≤p.证当∥u ∥p ≤1时,由Sobolev 嵌入定理可知∥u ∥s p ≤∥u ∥2p ≤C ∥∇u ∥22.同时,当∥u ∥p >1时,我们有∥u ∥s p ≤∥u ∥pp .由此可知,引理3.1成立.定理3.1假设(H1),(H2)成立,p <γ,令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则问题(1.1)-(1.3)存在唯一整体弱解并满足正则性u ∈C ([0,+∞);H 10(Ω))∩C 1([0,+∞);L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,+∞;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,+∞;H −1(Ω)).第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程519证已证明了弱解的局部存在性定理,因此可证明连续性原理(见文[15]).这表明,解的生命跨度T max =∞或T max 有限且满足lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞.然而,用通常的能量泛函E (t ):=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥pp ,来分析对数源项和基尔霍夫型非线性弱阻尼项之间的相互作用遇到困难,故我们引入如下修正能量泛函:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p +2pµ∥u ∥p +µp +µ,其中µ满足适当条件且我们只需证明F (t )满足指数形式有界,即通常的能量E (t )得到控制.由简单计算,易知E (t )关于时间变量单调递减,即d d tE (t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ≤0.对F (t )直接求导,结合上式,(H1)和Young 不等式,我们导出F ′(t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−2uu t d x ≤−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−1u t d x ≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+2(p +µ)pµε3∥u t ∥p +µp +µ,其中ε3>0且C ε3是只依赖于ε3的正常数.注意到p <γ,我们可选µ足够小使得p +µ≤γ.因此,可用嵌入L γ →L p +µ可得F ′(t )≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ,且F ′(t )≤C 2+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ.(3.1)事实上,当∥u t ∥γγ>1时,我们可选取ε3足够小使得−b ∥u t ∥γγ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ≤0且有F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ;当∥u t ∥γγ≤1时,我们易知F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3.由此可知(3.1)显然成立.另一方面,由(2.5)可得如下F (t )的估计:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p+2pµ∥u ∥p +µp +µ>12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p 2∥u ∥p p +1pµ∥u ∥p +µp +µ>1pµ∥u ∥p +µp +µ.(3.2)结合(3.1)和(3.2),可得F ′(t )≤C 2+C 4F (t ),其中C 4=2(p +µ)C ε3pµ且F (t )≤(F (0)+C 2C 4)e C 4t .上式与连续性原理结合,即可得整体解的存在性.事实上,我们只需证明:如果T max <+∞,则lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞就可.利用反证技巧,假设上述结论不成立,即T max <+∞且lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22<+∞.则存在一个序列{t n ,n =1,2,···}和一个正常数K 使得当n →+∞时t n →T max 且满足∥u t ∥22+∥∇u ∥22<K,n =1,2,···.由前述证明可知,对每一个n ∈N ,初值为u (x,t n )的问题(1.1)-(1.3)的解在[t n ,t n +T ∗]上存在且唯一,其中正常数T ∗依赖于K 但不依赖于n ∈N .因此,对足够大的n ∈N ,我们可得到T max <t n +T ∗.这与T max 是解的最大存在时间矛盾.定理3.1证毕.4.爆破现象本节中,我们利用反证技巧得到,当p >γ时问题(1.1)-(1.3)具有负初始能量的解在有限时刻发生爆破.引理4.1[11]若满足∫Ω|u |plog |u |d x >0.则存在一个只依赖于Ω的正常数C 使得下式成立∥u ∥p p ≤C [∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22],∀u ∈L p (Ω).(4.1)520应用数学2022现在,我们陈述有限时刻发生爆破结论.定理4.1假设(H1),(H2)成立,p >γ且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),E (0)<0,则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时刻发生爆破,即T max <+∞.证利用反证技巧,假设问题(1.1)-(1.3)解整体存在,即T max =+∞.我们引入辅助函数K (t ):=∥u (t )∥22,H (t ):=−E (t ),∀0≤t ≤T 1,其中正常数T 1将在之后给出.且由E (t )的单调性可知:H ′(t )=−E ′(t )≥0,且H (t )≥H (0)=−E (0)>0,∀0≤t ≤T 1.(4.2)我们记G (t ):=∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x,∀0≤t ≤T 1.现在,由问题解的整体存在性假设知∥∇u ∥22≤C 1,∥u t ∥22≤C 0,∀0≤t ≤T 1.(4.3)并由条件(H1)中σ(s )的连续性,我们有σ(∥∇u ∥22)≤max 0≤∥∇u ∥22≤C 1σ(∥∇u ∥22):=σ1,∀0≤t ≤T 1.(4.4)结合H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们导出|G (t )|= ∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x =σ(∥∇u ∥22)∫Ω|u ||u t |γ−1d x ≤(σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγη−γγ−1)γ−1γ(σ(∥∇u ∥22)1γ∥u ∥γη)≤γ−1γη−γγ−1σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+1γηγσ(∥∇u ∥22)∥u ∥γγ≤γ−1γη−γ−1γH ′(t )+1γηγ∥u ∥γγσ1,(4.5)其中正常数η将在之后给出.接下来,对K (t )直接求导得到K ′(t )=2∫Ωuu t d x,K ′′(t )=2dd t ∫Ωuu t d x,且令y (t ):=H 1−ξ+γ2γ(t )+ε4∫Ωuu t d x,其中正常数ε4将在之后给出.由p >γ知,我们可取正常数ξ满足γ(p −γ)p 2<ξ<p −γp<1.(4.6)且对y (t )直接求导,并利用(4.5)式,我们有y ′(t )=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+12K ′′(t )ε4=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |p log |u |d x −ε4σ(∥∇u ∥22)∫Ωu |u t |γ−2u t d x,≥[1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γ(t )−ε4γ−1γηγ−1γ]H ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |plog |u |d x −ε4ηγγσ1∥u ∥γγ.进一步,引入0<a <1,并将上式改写为y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4p (1−a )−22∥∇u ∥22+aε4∫Ω|u |plog |u |d x +(1−a )p ∥u ∥p p −ε41γηγH −ξ(t )H ξ(t )σ1∥u ∥γγ.(4.7)第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程521现在,我们断言∫Ω|u |plog |u |d x >0.事实上,由能量函数E (t )的定义和单调性,我们有1p ∫Ω|u |p log |u |d x =12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥pp −E (t )≥12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥p p −E (0)≥0,(4.8)且引理4.1的条件成立.下面,我们估计(4.7)式右端最后一项.由引理4.1可得∥u ∥γγ≤C 2[(∫Ω|u |plog |u |d x )γp +∥∇u ∥2γp 2],并结合(4.2)和Young 不等式,我们导出H ξ(t )∥u ∥γγ≤(1p ∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥u ∥γγ≤C 3[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+(∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥∇u ∥2γp2]≤C 4[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+∥∇u ∥22+(∫Ω|u |p log |u |d x )ξpp −γ].(4.9)由(4.6),知γp<γ+pξp≤1,γp <ξp p −γ≤1,且利用(4.9)可得H ξ(t )∥u ∥γγ≤C 5(∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22).将上式代入到(4.7)并整理得到y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.10)此外,应用(2.5),(4.3),H (t )的定义和嵌入不等式,我们得到H (t )=−12∥u t ∥22−12∥∇u ∥22+1p ∫Ω|u |p log |u |d x −1p2∥u ∥p p≤1p 1δ∥u ∥p +δp +δ≤1p 1δB p +δδ∥∇u ∥p +δ2≤1p 1δB p +δδC p +δ21.且上式与(4.2)和(4.10)结合,我们导出y ′(t )≥ 1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.11)可选取充分小的正数a 使得p (1−a )−22>0,并可选取η充分小,使得p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0,且a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0.固定η和a 之后,我们现在可选取充分小的ε4使得1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ>0,522应用数学2022(−E(0))1−ξ+γ2γ−C2ε4C1−12ε4C0≥0,(4.12)且H1−ξ+γ2γ(0)+ε4∫Ωu0u1d x>0.于是,由(4.11)知,存在正常数C6使得y′(t)≥C6[H(t)+∥u t∥22+∥∇u∥22+∥u∥p p]≥0,(4.13)且知y(t)在(0,T max)上单调递增且满足y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4K′(t)≥H 1−ξ+γ2γ(0)+ε4K′(0)>0.再由(4.6)及p>γ知,0<ξ<1且令r:=γ1−ξ+γ2,则根据不等式:|a+b|r≤2r−1(|a|r+|b|r),r≥1,以及Young不等式,我们得到y r(t)≤2r−1(H(t)+ε4∥u(t)∥r2∥u t(t)∥r2)≤C7(H(t)+∥u(t)∥11−ξγ2+∥u t(t)∥22).(4.14)进一步,我们估计(4.14)右端第二项.由(4.6)知,1−ξ>γp,且应用如下不等式:xτ≤(1+1m)(m+x),x≥0,0≤τ≤1,m>0,并取x=∥u(t)∥p2,τ=γ(1−ξ)p<1,m=H(0),得到∥u(t)∥γ1−ξ2≤(1+1H(0))(H(0)+∥u(t)∥p2)≤C8(H(t)+∥u(t)∥pp).(4.15)将(4.15)代入到(4.14)中,我们有y r(t)≤C9(H(t)+∥u(t)∥pp+∥u t(t)∥22),由上式与(4.13),我们得到y′(t)≥C10y r(t),∀0≤t≤T1.(4.16)且对上式关于时间变量从0到t积分,我们有y(t)≥(y(0)1−r−C10(r−1)t)−1r−1,0≤t≤T1.我们可取T1≥T∗=y(0)1−rC10(r−1),且由r:=γ1−ξ+γ2>1和y(0)>0知,在[0,T1]上存在有限时刻T2≤T∗使得y(t)满足limt→T−2y(t)→+∞.(4.17)但是,我们断言:存在正常数使得C11≤y(t)≤C12,∀0≤t≤T1.(4.18)事实上,由(4.3),(4.4),Poincare不等式,H¨o lder不等式和Young不等式和嵌入不等式,我们导出y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4∫Ωuu t d x=(∫tσ(∥∇u∥22)∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+ε4∫Ωuu t d x≤(∫tσ1∥uτ∥22dτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+C2ε4∥∇u∥22+12ε4∥u t∥22≤C11,且y(t)≥(∫tb∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ−C2ε4∥∇u∥22−12ε4∥u t∥22,≥(−E(0))1−ξ+γ2γ−12ε4C0−C2ε4C1≥C12>0,其中最后一式由(4.12)得到.显然,(4.17)与(4.18)产生矛盾且我们知T max<+∞.定理4.1证毕.参考文献:[1]LANGE H,PERLA M G.Rates of decay of a nonlocal beam equation[J].Differ.Integral Equ.,1997,10(6):1075-1092.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程523[2]GEORGIEV V,TODOROVA G.Existence of solutions of the wave equation with nonlinear dampingand source terms[J].J.Differential Equations,1994,109:295-308.[3]MESSAOUD S A.Blow up in a nonlinearly damped wave equation[J].Math.Nachr.,2001,231:105-111.[4]JORGE SILVA M A,NARCISO V.Long-time dynamics for a class of extensible beams with nonlocalnonlinear damping[J].Evol.Equ.Control Theory,2017,6(3):437-470.[5]ZHANG H W,LI D H,HU Q Y.Asymptotic stability and blow-up for the wave equation withdegenerate nonlocal nonlinear damping and source terms[J/OL].Appl.Anal.,2020[2021-06-01].DOI:10.1080/00036811.2020.1836354.[6]CAZENAVE T,HARAUX A.´Equations d’´e volution avec non-lin´e arit´e logarithmiqu[J].Ann.Fac.Sci.Toulouse Math.,1980,2(1):21-51.[7]ZHANG H W,LIU G W,HU Q Y.Exponential decay of energy for a logarithmic wave equation[J].J.Partial Diff.Equ.,2015,28(3):269-277.[8]MA L W,FANG Z B.Energy decay estimates and infinite blow-up phenomena for a strongly dampedsemilinear wave equation with logarithmic nonlinear source[J].Math.Method App.Sci.,2018,41(7): 2639-2653.[9]DI H F,SHANG Z F,SONG Z F.Initial boundary value problem for a class of strongly dampedsemilinear wave equations with logarithmic nonlinearity[J].Nonlinear Anal.Real World Appl.,2020, 51:102968.[10]LIAN W,XU R 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well-posedness and qualitative propertiesfor a semilinear wave equation with Kirchhoff-type weak damping terms and logarithmic nonlinearity were considered.By improving the well-posedness for regular solution and density argument,a local existence of weak solutions was proved.Meanwhile,based on modified energy technique and contradiction argument, a global existence with p<γand thefinite time blow-up with p>γwere also established.Key words:Semilinear wave equation;Kirchhoff-type weak damping;Logarithmic nonlinearity; Global existence;Blow-up。
一种易跳出局部最优的粒子群优化算法
A Particle Swarm Optimization Algorithm of Easily Skipping Local Optimum
Zhao Weihao1 ,Su Bin1,Xiao Xiaojun2 (1.AVIC Shenyang Liming Aero-engine(Group) Corporation Ltd,Shenyang Liaoning,110043; 2.Shenyang Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenyang Liaoning,110004)
(ห้องสมุดไป่ตู้
)
)
xid ( k + 1) = xid ( k ) + vid ( k + 1)
(2)
分别用于调节粒子飞向自身最 其中,c1 和 c2 为加速因子, 好位置方向的步长和调节粒子向全局最好位置飞行的步长 ; r1 和 r2 是 [0,1] 中的随机数, 为了控制在迭代过程中, 粒子的搜索
Abstract: Aiming at the problem that the particle swarm optimization (PSO) algorithm falls into local optimum. This paper proposes a particle swarm optimization algorithm of easily skipping local optimum. This algorithm can get out of local optimum by ramping up inertia weight that can change the variety of group, when it traps into local optimum. At last, a great of simulation results show that this algorithm can have excellent search performance for solving the multi-dimension and multi-peak nonlinear optimization questions. Key words: particle swarm optimization; local optimum; diversity; inertia weight DOI:10.16520/ki.1000-8519.2017.13.024
基于非单调线搜索非拟牛顿法的全局收敛性
2) y T . k sk > 0, k = 1, 2, … 引理 1 假设 (H ) 成立, 则存在一个正数 M 满足 ‖y k ‖2
y k sk
T
≤ M , k = 1, 2, … .
引理 2 [ 7 ] 假设 (H ) 成立, 若序列 {x k } 是由非拟牛顿法算法生成的, Υ k 满足条件 ( 3 ) , 则存 在一个正数 M 1 满足
- 1 其中 H 0 是任意给定的 n × n 对称正定矩阵, H k = B k . 矩阵 B k 的校正如下[ 7 ] T B k sk sk B k Q k ( t) T T B k + 1 ( t, Υ + k) = B k kV kV k . T T 2y ky k + Υ ( sk B k sk y k sk ) [8] 由 ( 2) 知, 当 t = 1 或 0 时, 我们可得B royden 类算法或伪N ew ton 2 B 算法 . 若初始近似矩阵 B 0 是对称正定的, 及对于所有的 k 满足 y T k sk > 0 及
0
T g ( x k + 1 ) d k ≥ m ax{ Ε 2, 1 -
p T (Κ k ‖d k ‖ ) } g k d k ,
( 4)
其中 Ε ∞, 1) 及 M 0 是一个非负整数. 该搜索框架最初援引 1 ∈ ( 0, 1 2 ) , Ε 2 ∈ (Ε 1 , 1) , p ∈ ( [ 13 ] G rippo 于 1986 发表的文章 . 基于此想法的步长选择应该尽可能的宽松, 它是由线性搜索 ( 4) 推广出来的曲率条件 . 当 M 0 = 0, p = 0 时, 对应于W o lfe 线搜索 .
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推广的(G′G )展开法与 Zhiber-Shabat方程的精确解
推广的(G′G )展开法与 Zhiber-Shabat方程的精确解陈晓艳;吉飞宇;鱼翔【摘要】′:利用推广的( G G )展开法,研究了 Zhiber-Shabat 方程的行波解,获得了其各种孤子解和周期波解,并且给出了由它得来的著名方程 Liouville 方程的精确解,丰富了解的范围% The exact traveling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation are studied by using the extended( ) -expansion method. Solitons and periodic solutions for it are formally derived, and then the exact traveling wave solutions of the related equations, such as Liouville equation also derived, which has enriched solutions of them. G′G 【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】7页(P546-552)【关键词】推广的(G′G;)展开法;Zhiber-Shabat方程;Liouville方程;周期波解【作者】陈晓艳;吉飞宇;鱼翔【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175非线性演化方程Zhiber-Shabat方程在许多科学领域中有着重要的应用.由它演化得来的一些著名方程包括:当q=r=0时,方程(1)化为著名的Liouville方程;当q/=0,r=0时,方程(1)成为著名的Sinh-Gordon方程;当q=0,r/=0时,方程(1)变为著名的Dodd-Bullough-Mikhailov方程.这些方程在固体物理学,流体力学,生物数学和等离子物理学等学科中出现[12],例如Liouville方程是描述由系统的定态所构成的混合态随时间演化的规律,包括光线量子和相对论费密子等[34].Sinh-Gordon方程是在正常曲率曲面的研究中引出的,若知道它的一个非平凡解,就可以得出R2,1中类时的正常曲率曲面[5].因此这些方程得到了充分研究及应用.到目前为止,已有很多种方法用来求解Zhiber-Shabat方程.1992年,文献[6]通过使方程(1)满足投影Riccati方程组求出方程(1)的两种精确解,后来,文献[7]用tanh函数法与推广的tanh函数法得到了方程(1)的多种行波解,文献[8-10]又分别用指数函数法,sinh-cosh函数法,F展开法对方程(1)的解的情况进行了研究.最近由文献[11]首次提出的()展开法,在研究非线性演化方程的孤子解方面,是一种方便快捷的方法,已用于求解了很多方程.本文是在()展开法的基础上,将其从正幂展开推广到从正负幂展开,即推广的()展开法[1213],利用该方法再次研究了Zhiber-Shabat方程,获得了其分别以双曲函数和三角函数表示的通解,并且当通解中的常数取特定值时便得到了与以往文献不同的行波解,同时也得到了Liouville方程的新的行波解,从而扩大了解的范围.利用推广的()展开法求解非线性演化方程的步骤:步骤一:对于含有两个独立变量x,t的非线性演化方程:其中αi是待定系数,N是由平衡(3)式中最高阶导数项和非线性项得来的,G=G(ξ)满足二阶线性常微分方程:步骤三:将(4)式代入(3)式结合(5)式,令()的各次幂系数为0,得到关于αi,ω,λ,µ的代数方程组,则可以解出αi,ω的值.步骤四:将得到的αi的值代入(4)式,利用(5)式的通解,经过分析即可以得到(2)式的精确解.令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ωt,ω为波速,将其代入(1)式,对(1)式进行行波约化得:类似地,利用以上步骤还可得到著名方程Dodd-Bullough-Mikhailov方程和Sinh-Gordon方程的精确解[15].)用推广的展开法求解时方便且快捷,值得我们在以后的研究中将其推广,应用到更多的非线性演化方程的求解中.参考文献[1]Fu Z,Liu S,Liu Shida.Exact solutions to double and triple sinh-Gordon equations[J].Z Naturforsch, 2004,59:933-937.[2]Perring J k,Skyrme T H.A model unified fieldequation[J].Nucl.Phys.,1962,31:550-555.[3]薛国良.光线的量子Liouville方程[J].自然杂志,1991,15(6):472-473.[4]王仁川,朱栋培,黄卓然,等.相对论带电费密子Liouville方程[J].物理学报,1991,40(1):14-23.[5]谷超豪,胡和生,周子翔.孤粒子理论中的达布变换及其几何应用[M].上海:上海科学技术出版社,1999.[6]Conte R,Musette M.Link between solitary waves and projective Riccati equations[J].Phys.A,1992,25:5609-5623.[7]Wazwaz A M.The tanh method for travelling wave solutions to the Zhiber-Shabat equation and other related equations[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2008,13:584-592.[8]张金华,丁玉敏.F展开法结合指数函数法求解Zhiber-Shabat方程的精确解[J].纯粹数学与应用数学, 2011,27(2):163-169.[9]潘洪伟.Zhiber-Shabat方程的新的显示精确解[J].聊城大学学报:自然科学版,2010,23(3):25-27.[10]赵云梅,芮伟国.Zhiber-Shabat方程的孤立波解与周期波解[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(2):283-288.[11]Wang M L.The()-expansion method and traveling wave solutions of nonliner evolution equations in mathematical physics[J].Physics Letters A,2008,372:417-423.[12]李灵晓,张金良.扩展的()-展开法和gZK方程的精确解[J].四川师范大学学报:自然科学版, 2010,33(5):626-628.[13]邢秀芝,杨红艳,卜春霞.利用推广的()展开法求解(2+1)维BBM方程[J].数学的实践与认识, 2011,41(16):240-243.[14]Borhanifar*A,Ali Zamiri Moghnlu.Application of the)-epansion method for the Zhiber-Shabat equation and other relatedequations[J].Mathematical and Computer Modelling,2011,54:2109-2116.[15]Chen A Y,Huang W T,Li J B.Qualitative behavior and exact travelling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,230:559-569.A(bs)tract:The exact traveling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation are studied by using the extended-expansion method.Solitons and periodic solutions for it are formally derived,and then the exact traveling wave solutions of the related equations,such as Liouville equation also derived,which has enriched solutions of them.。
通路问题的最优化模型
通路问题的最优化模型
徐亚平;陈开周
【期刊名称】《西安电子科技大学学报》
【年(卷),期】1994(021)003
【摘要】文中给出了NP-完全问题:图及对应的有向图的带权约束的最短通路、不相交的连接通路等8个有关通路问题的整数规划模型。
基于这些模型。
可用最优化方法对它作进一步的研究,可用任一种整数规划的算法求解它们。
【总页数】6页(P338-343)
【作者】徐亚平;陈开周
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.空降兵应急机动通信力量派遣问题的最优化模型 [J], 李炳杰;花文健
2.会议筹备问题的多目标最优化模型 [J], 林斌
3.关于水价问题的最优化模型 [J], 韩君
4.一类基于商业运作问题的最优化模型 [J], 张静
5.一类旧井可利用问题的最优化模型 [J], 茹少峰;荔炜
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¯ ¯ ) = { ∥x i .e . ∂ f ( x ¯∥ } x
I can’t do it at this moment. 9.Proof 10.proof note: I think this function should be defined on the cone Rn ≥ ∀φ ∈ ∂ < µ, [.] > (0) < φ, y − 0 >≤< µ, y > − < µ, 0 >, ∀ y ∈ E < µ − φ, y >≥ 0. by the Schur-convexity property, we have y ∈ conv (Pn µ)
(iii) The only thing we should deduce is that: ¯ ⊂ lin q, which is obvious from (i) x lin p ⊂ lin q ∀d ∈ l i n p
t ↓0 ¯ + t d )− p ( x ¯) p (x − q (d ) = − lim t t ↓0
¯ +t d ∥−∥x ¯∥ ¯ , d ) = lim ∥x < φ, d >≤ f (x t t ↓0 ¯ ,d >+t 2 <d ,d > 2t <x ¯ x = lim t (∥x ¯ +t d ∥+∥x ¯ ∥) =< ∥x ¯∥ , d t ↓0
>
∀d ∈ E
so φ = (2)
¯ x ¯∥ ∥x
(b) To deduce convex, we should consider the following cases: (1) x and y are both nonnegitive, (2) otherwise {d ≤ 0}, x = 0 ∂ f (x ) = {0}, x >0 , x <0 (c)
S TATE K EY L ABORATORY OF CAD&CG, Z HEJIANG U NIVERSITY
Exercise Solutions for Convex Analysis
Weizhong Zhang, zhangweizhongzju@
1 C HAPTER 3 F ENCHEL D UALITY
t ↓0 ¯ +t λx ¯ )− p ( x ¯) p (x t
¯) = p (λx
(ii) ¯ , d ) = lim q (d ) = p ( x
t ↓0 ¯ +t d )−p (x ¯) p (x t
≤ lim
t ↓0
¯ )+ t p (d )− p ( x ¯) p (x t
= p (d )
p (− t d ) = − p (d ) t p (t d ) − q (d ) ≥ − t = − p (d )
q (−d ) ≤
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So , we have q (−d ) = −q (d ) 8.Proof (1) For convenience,we note f (x ) =∥ x ∥ ¯ ) ⇔< φ, d >≤ f (x ¯ , d ), ∀d ∈ t ext b f B since f is convex, so φ ∈ ∂ f (x
¯ , −d ) = lim q (−d ) = p (x
¯ − t d )− p ( x ¯) p (x t
= lim
t ↓0
¯ )−p (x ¯ +t d ) p (x t
¯ − t d ) − p (x ¯ ) ≥ p (x ¯ ) − p (x ¯ + td) q (−d ) ≥ −q (d ) d ue t o p (x on t he ot her hand
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2
∂ f (x ) =
, x ≤0 − 1 2
1 , ot her wi se x
(d) ∂ f (x ) =
{0}, x < 0 , ot her wi se
6.Proof "⇒" ¯ ) we have ∀φ ∈ ∂ f (x ¯ + t d ) − f (x ¯ ), t ∈ R + < φ, t d > ≤ f (x so < φ, d > ≤ "⇐" ¯ , d ) = lim < φ, d > ≤ f (x
f (λx ),
i . e . λ f ( x ) ≤ f (λ x ) f (λx ) = λ f (x )
(2)
f r om (1)and (2)we have
so f is positively homogenepus. "⇐" f (λx + µ y ) ≤ f (λx ) + f (µ y ) = λ f (x ) + µ f ( y ) the proof completed. (2) The only thing we should prove is that:
3.1 Subgradients and Convex Functions 1. Proof (1) "⇒" if the function f is sublinear, the it is obvious that f is subaditive. f (λx ) ≤ λ f (x ) (1)
1 λ 1 ∗ λx ) ≤ al so f (x ) = f ( λ
t ↓0 ¯ + t d )− f ( x ¯) f (x t ¯ + t d )− f ( x ¯) f (x t
¯ , .) i .e < φ, . > ≤ f (x ≤
¯ +d )− f (x ¯) f (x 1
7.Proof (i) ¯ ) = p (x ¯ , λx ¯ ) = lim q (λ x
1
x, y ∈ l i n f ⇒ x + y ∈ l i n f f (−x − y ) ≤ f (−x ) + f (− y ) = − f (x ) − f ( y ) ≤ − f (x + y ); f (−x − y ) = f (−(x + y )) ≥ − f (x + y ) so f (−x − y ) = − f (x + y ), i .e . x + y ∈ l i n f 2.Proof we should deduce that 0 ∈ cor e (D ) and 0 ∉ i nt (D ) i t i s ver y eas y t o ver i f y i t . 3.It is very obvious. 4.Proof ¯ ), we have < d , x − x ¯ >≤ δC (x ) − δC (x ¯ ) = δC (x ) − 0, ∀x ∈ E ∀d ∈ ∂δC (x ¯ >≤ 0 i f x ∈ C , t hen < d , x − x ot her wi se x can be an y vect or i n E ¯ ) = NC (x ¯ ). So ∂δC (x 5.Proof (a) |λx + (1 − λ) y | ≤ λ|x | + (1 − λ)| y | so f (x ) = |x | i s convex . {−1 ≤ d ≤ 1}, x = 0 ∂ f (x ) = {1}, x > 0 {−1}, x < 0