2018全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)

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2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点4-平面向量(Word版,含解析)

题型1 平面向量的概念及线性表示例1 在△ABC 中，,AB c AC b == ，若点D 满足2,BD DC = 则AD=（）A. 2133b c + B. 2533b c -+ C. 2133b c - D. 1233b c + 解析：解法1：23AD AB BD AB BC =+=+2()3c b c =+- =2133b c +.故选A.【解题技巧】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）①观察各向量的位置；②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．（2）也可以利用定比分点，若(),BD DC R λλ=∈则1AB AC AD λλ+=+.变式1.（2015全国1理7）设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则（）.A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC=- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC=-解析由题可得BC AC AB =- ，所以()1133CD BC AC AB ==-，所以AD AC CD =+= ()141333AC AC AB AC AB +-=- ．故选A ．变式 2.如图5-10所示，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+,其中,R λμ∈，则_____λμ+=.解法2：特殊化思想。

如图，把此平行四边形特殊为正方形，并把点A 置于原点，且各边边长为1.则各点坐标为B (1，0)，C (1，1)，D (0,1)，E (12,1)，F (1,12)，.AC AE AF λμ=+ ，可得11(1,1)(,1)(1)22AC λμ==+ ，得+=12+=12λμμλ⎧⎨⎩ 所以2=32=3λμ⎧⎨⎩ ，故4+=3λμ .变式3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC a = ，BC b =，则AF =（）11.42A a b + 21.33B a b + 11.24C a b + 12.33D a b + 分析结合题意，利用向量的几何表示画出草图，如图5-46所示解法2：特殊化思想。

高考数学总复习五《平面向量》讲义

高考数学总复习五《平面向量》讲义第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8- B ．6- C ．6 D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(,),22BC = 则ABC ∠=A ．30B ．45C ．60D ．1209．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥a b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(1(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ． 22⎛ ⎝⎦ C ． 2⎛ ⎝ D ．2⎛ ⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos 2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－127．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC D 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=a bB ．=ab b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a bD ．2222()()||||+•=a b a b a b二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是，最大值是．35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．43．(2014山东)在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC 的面积为．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅4455x y x y +⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ． 50．（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =，则AB 的长为．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-a b ||=b ．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

高三数学-2018年全国各地高考试题分类解析(平面向量),

2018年全国高考数学试题分类汇编——平面向量1.（全国卷Ⅰ理第15题）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =2. （全国卷I 文第12题）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点3.(湖南卷文第9题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ理第8题，文第9题）已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于（）A ．2B ．21 C ．－3 D ．－315．（全国卷Ⅱ理第10题，文第11题）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 A ．（－2，4） B ．（－30，25） C ．（10，－5） D ．（5，－10）6. （全国卷III 理第14题，文第14题）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____. 7．（浙江卷理第10题）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（） (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )8．（浙江卷文第8题）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( ) (A) {2，3} (B) {－1，6} (C) {2} (D) {6}9.（北京卷理第3题，文第4题）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°10.（广东卷第12题）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为_________．11.[ 湖北卷理第13题，文第3题（选择题） ]已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 12．（重庆卷理第4题）已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与的夹角为（）A ．54arccos2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-13．（重庆卷文第4题）设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2）14.（福建卷理第3题）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（）A ．5B ．－5C ．23D ．23-15．（福建卷文第14题）在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 .16.（山东卷理第7题，文第8题）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D17.（江苏卷第18题）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是________。

2018届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之平面向量(18页)

第2章平面向量§2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．b5E2RGbCAP考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是<）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是( >p1EanqFDPwA.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是<）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量、、、是<）A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等的向量 D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是( >DXDiTa9E3dA. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量,||>0总是成立的C. |=||D. |与线段BA的长度不相等5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是( >RTCrpUDGiTA. 与共线B. 与相等C. 与是相反向量D. 与模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，5PCzVD7HxA<1）与相等的向量有；<2）与长度相等的向量有；<3）与共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．jLBHrnAILg8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：<1）与相等的向量有；<2）写出与共线的向有；<3）写出与的模相等的有；<4）向量与是否相等？答．9．O是正六边形ABCDE的中心，且，，，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：<1）与相等的向量有；<2）与相等的向量有；<3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中<小正方形的边长为1），是否存在：<1）是共线向量的有；<2）是相反向量的为；<3）相等向量的的；<4）模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，xHAQX74J0X<1）与向量共线的有．<2）与向量的模相等的有．<3）与向量相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？LDAYtRyKfE第2章平面向量§2.2向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．Zzz6ZB2Ltk考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义。

高考文科数学分类汇编：专题五平面向量

《2018年高考文科数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2．【2018全国二卷4】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知1=OM ，2=ON ，120=∠MON ，2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A.15- B.9- C.6- D.04.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−3二、填空题1．【2018全国三卷13】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．2．【2018北京卷9】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.3.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．4.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A二、填空题 1.21 2.1- 3.3 4.3-。

2018年高考文科数学分类汇编：专题五平面向量

《2018年高考文科数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u rC ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则A ．4B ．3C ．2D ．03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知1=OM ，2=ON ，ο120=∠MON ，2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为 A.15- B.9- C.6- D.04.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−3二、填空题1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018北京卷9】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.3.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为．4.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF u u v |=2，则AE u u u v ·BF u u u v的最小值为______[a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A二、填空题 1.21 2.1- 3.3 4.3-欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

高考(2018)数学(理)真题分类解析：专题12-平面向量

专题平面向量考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）A1 BC ．2D ．21.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a bCD -=-=.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）(A) 2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且33122AE λ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭，332BE λ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （）A ．4B ．3C ．2D ．0 5．【答案】B【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，所以选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ，由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭，易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，所以()1,2D ．所以()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________． 4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。

2018版高考数学考点20 平面向量试题解读与变式

考点20 平面向量【考纲要求】1.了解向量的实际背景．2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.了解平面向量的基本定理及其意义．4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．5.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．7.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．8.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．9.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 10.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 13.会用向量方法解决某些简单的实际问题． 14会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．【命题规律】高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题. 【典型高考试题变式】（一）平面向量的坐标运算例1.【2017∙山东卷】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ，若//a b ，则λ= . 【答案】3-【解析】由//a b 得62λ-=，解得3λ=-.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.【变式1】【改变条件】已知向量a =（2,6），a +b =(1,)λ- ，若//a b ，则λ= . 【答案】3【解析】由已知可得b )6,3(--=λ，因为//a b ，所以12218-=-λ，解得3=λ. 【变式2】【改变结论】已知向量a =（2,6），b =(1,)λ- ，若//a b ，则a+λb = .【答案】(5,15)【解析】由//a b 得62λ-=，解得3λ=-，所以a+λb =)15,5()9,3()6,2(=+.例2.【2017∙新课标卷】已知向量=a (2,3)-，=b (3,)m 且⊥a b ，则=m . 【答案】2【解析】由题意可得：2330m -⨯+=，所以2m =. 【名师点睛】向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.【变式1】【改变例题中的条件】已知向量=a )2,1(-，=b （m ，1）．若向量+a b 与a 垂直，则=m ________．【答案】7【解析】由题得()1,3m +=-a b ，因为向量+a b 与a 垂直，所以()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量=a (2,3)-，=b (3,)m 且⊥a b ，则|a +b |= .【解析】由题意0⋅=a b ，2(1)0x x ++=，23x =-.所以+a b =)37,1(，所以a +b |=358)37(122=+.（二）平面向量的夹角例 3. 【2016∙北京卷】已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a (θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.【变式1】【改变已知条件】已知向量a ，(1,0)=-b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】32π【解析】由已知得210)1()3(1)0,1()3,1(cos 2222-=+-⋅+-⋅=θ，因为],0[πθ∈，所以32πθ=.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量=a b ，若a 与b 夹角为θ，则=θtan _________.【答案】33【解析】由已知得231)3()3(1)1,3()3,1(cos 2222=+⋅+⋅=θ，因为],0[πθ∈，所以6πθ=，所以33tan =θ. （三）数量积的运用例4.【2017∙天津卷】在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2. 若2BD DC =，AE AC AB λ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .【答案】311【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，1233AD AB AC =+，所以12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，所以113=λ.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.【变式1】【改变例题的条件】在等边△ABC 中，若2=AB ，2BD DC =，AE AC AB λ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .【答案】25-【变式2】【改变例题的条件与结论】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 . 【答案】81【解析】设BA a =，BC b =，所以11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，所以25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.（四）平面向量与三角函数的交汇例5. 【2017∙江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】（1）因为 co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，//a b ，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又[]0,πx ∈，所以5π6x =.（2）()(πcos ,sin 3,3cos )6()f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b .因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -+剟. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-.【名师点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【变式1】【改变例题的结论】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，解不等式()f x ≥【解析】（1）因为 co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，⊥a b ，所以3cos 0x x =. 所以3tan =x . 因为],0[π∈x ，所以3π=x .【变式2】【改变例题中的条件与结论】设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，]2,0[π∈x ．（1）若|a |＝|b |，求x 的值；（2）设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【解析】（1）由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ，|b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又]2,0[π∈x ，从而sin x ＝21，所以x ＝6π. （2）)(x f ＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝23sin 2x －21cos 2x ＋21＝)62sin(π-x ＋21，当3π=x ]2,0[π∈时，)62sin(π-x 取最大值1. 所以)(x f 的最大值为23. 【数学思想】①数形结合思想:向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．②分类讨论思想:对向量的方向、向量的位置关系、参数进行讨论． ③转化与化归思想.【温馨提示】①作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．②在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． ③注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．④要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．⑤0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．⑥a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b . 【典例试题演练】1.【2017∙河北省武邑中学调研】已知向量()2,1a =-，()1,3b =-，则（）A. //a bB. a b ⊥C. ()//a a b - D. ()a ab ⊥- 【答案】D【解析】由()1,2a b ---＝， ()2,1a =-，得 ()220a b a -⋅=-=，所以()a ab ⊥-，故选D.2. 【2018∙河南郑州一中测试】在ABC ∆中， D 为BC 边的中点，若()2,0BC =，()1,4AC =，则AD =（）A. ()2,4-B. ()0,4-C. ()2,4D. ()0,4 【答案】D【解析】()()11,41,02AD AC DC AC BC =-=-=-=()0,4.故选D. 3.【2018∙广州市海珠区测试】已知向量,a b 的夹角为60||2|2|2a a b =-=，，，则||b =（）A. 4B. 2 D. 1 【答案】D4. 【2016∙湖北省优质高中联考】已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（）A ．5 B ．15 C ．5- D ．15- 【答案】A【解析】()3,3k c a -=-，因为()//a c b -，所以133)3(⨯=⨯-k ，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A ．5. 【2017∙江西赣中南五校联考】ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投影为（）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-【答案】A【解析】因为-+-=⇒+=22，所以-=，所以C B O ,,三点共线，即AC AB ⊥1==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ⋅=⋅-=，故向量在向量BC 上的投影为21，故选A ． 6.【2017∙湖北省黄石市调研】已知向量()()1,3,sin ,cos a b αα==且//a b ，则tan α=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 【答案】C【解析】由//a b ，得3sin cos αα=，所以tan α=13，故选C. 7. 【2017∙河北省衡水中学联考】已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A B ．-．12 D ．12-【答案】C【解析】22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C. 8.【2017∙湖南永州市模拟，11】已知向量a 与向量b 的夹角为23π，且2a b ==，又向量c xa yb =+（x R ∈且0x ≠，y R ∈），则x c的最大值为（）A B ．13D ．3 【答案】A9.【2017∙四川巴中市“零诊”】已知向量(,1)a t =与(4,)b t =共线且方向相同，则=t .【答案】2【解析】由题意得24t =，所以2t =±，当2t =-时，a ，b 方向相反，舍去，故2t =. 10. 【2017∙云南、四川、贵州联考】在矩形ABCD 中，30CAB ∠=，||AC AD AC =，则AC AB =______.【答案】12【解析】||||c o s 60|A C A D A C A D A C ⋅=⋅=，||2AD =，故||4AC =，||23AB =，所以||||cos3012AC AB AC AB ⋅=⋅=.11. 【2017∙江西南昌摸底】已知平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-，若ka b +与3a b -垂直，则实数k = .【答案】19【解析】1a b ⋅=，所以由()(3)0ka b a b +⋅-=得5313130,19.k k k -⨯+-== 12. 【2017∙河北唐山市摸底】已知向量()()cos15,sin15,cos75,sin 75a b ==，则2a b -=___________．【答案】313.【2018∙江苏省南京市调研】在△ABC 中，3=AB ，2=AC ，120=∠BAC ，BM BC λ=．若17·3AM BC =-，则实数λ的值为______．【答案】13【解析】因为3,2,120AB AC BAC ==∠=，所以由余弦定理可得BC = 又根据余弦定理可得cosABC ∠=， ()2AM BC BM BA BC BC BA BC λ⋅=-⋅=-⋅ 171933λ=-=-，解得13λ=． 14. 【2017∙河南省南阳市六校联考】已知()1,2a =， ()3,4b =-.（1）若5ka b +=，求k 的值；（2）求a b +与a b -的夹角.【解析】（1）()()()1,23,43,24ka b k k k +=+-=-+，由5ka b +=5=，解得0k =或2k =-. （2）()()2,6,4,2a b a b +=--=-2,64,2cos ,2a b a b -⋅-∴〈+-〉==- 0a b a b a b a b π+-〈+-〉∈与夹角，（，），34a b a b π∴+-与夹角为. 15. 【2016∙河南中原名校一联】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A cos ,cos =，()b c a -=2,，且//．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值．（2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34．。

2018年高考数学分类汇编：专题五平面向量

《2018年高考数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.【2018北京卷6】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2018天津卷8】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为 A. 2116 B. 32 C. 2516D. 3 5.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1BC ．2D ．2二、填空题 1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=uu u r uu u r ，则点A 的横坐标为．3.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=的两个动点，且|EF uu v |=2，则AE uu u v ·BF uu v 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A5.A二、填空题 1.212.33.3。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ，由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，

2018全国卷高考复习平面向量(知识总结题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.基础练习】1. 判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1) 零向量与任意向量平行.( )(2) 若a∥ b，b∥ c，则a∥ c.( )(3) 向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(4) 当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )(5) 在△ ABC中，D是BC中点，则A→D＝21( A→C＋A→B).( )2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量AB与BA相等. 则所有正确命题的序号是( )A.①B. ③C.①③D.①②3.(2017 ·枣庄模拟)设D为△ ABC所在平面内一点，A→D＝－13A→B＋43A→C，若→BC＝λD→C( λ∈R)，则λ ＝()A.2B.3C.－2D.－34.(2015 ·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝______5.( 必修4P92A12改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且O→A＝a，O→B＝b，则→DC ＝ _____________________________________________________________________________B→C＝____ ( 用a，b 表示).1 2→6.(2017 ·嘉兴七校联考) 设D，E分别是△ ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC，若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C( λ1，λ2为实数) ，则λ1＝______ ，λ2＝______ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _______ (填序号).①若| a| ＝| b| ，则a＝b；②若A，B，C，D 是不共线的四点，则“ A→B＝D→C”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c.【训练1】下列命题中，正确的是 _______ (填序号).①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a，b 都是单位向量，则a＝b；考点三共线向量定理及其应用例 3 】设两个非零向量 a 与 b 不共线 .(1) 若 A →B ＝ a ＋ b ，B →C ＝ 2a ＋ 8b ，C →D ＝ 3( a －b ). 求证： A ， B ，(2) 试确定实数 k ，使 ka ＋b 和 a ＋kb 共线 .【训练 3】已知向量 A →B ＝a ＋3b ，B →C ＝5a ＋3b ，C →D ＝－ 3a ＋3b ，则 ( )A.A ， B ，C 三点共线B. A ， B ， D 三点共线C.A ， C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果 e 1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量对实数 λ 1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量 e 1， e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .2. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小答案 ③考点二平面向量的线性运算1例 2】 (2017·潍坊模拟 ) 在△ ABC 中， P ，Q 分别是 AB ，BC 的三等分点，且 AP ＝3AB ，BQ ＝ 1→ → →3BC . 若A →B ＝a ，A →C ＝b ，则 P →Q ＝(11A. 3a ＋3b 11B. － 3a ＋b11 C.3a －3b11 D.－3a －3b训练 2】 (1) 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，靠近 B 点的三等分点，那么 E →F 等于 (A. 12A →B－2 D 三点共线；a ，有且只有一点 F 是 BC 的一个C.a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），a －b ＝（x 1－x 2，y 1－y 2），λa ＝（λx 1，λy 1），| a |＝ x 12＋ y 21.（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 .②设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A →B ＝（x 2－x 1，y 2－y 1），|A →B | ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）24. 平面向量共线的坐标表示设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则 a ∥b ? x 1y 2－x 2y 1＝0.基础练习】4.（必修 4P101A3改编）已知?ABCD 的顶点 A （－1，－ 2）， B （3 ，－ 1）， C （5 ， 6），则顶点 D 的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例 1】（ 2014·全国Ⅰ卷）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则 E →B ＋F →C ＝（）A.A →DB. 1A →DC. 1B →C D. B →C→2 → → →2→ →【训练 1】如图，已知 A →B ＝ a ，A →C ＝ b ，B →D ＝ 3D →C ，用 a ，b 表示 A →D ，则 A →D ＝ .考点二平面向量的坐标运算【例 2】（1）已知向量 a ＝（5 ，2），b ＝（－4，－3），c ＝（ x ，y ），若 3a －2b ＋c ＝0，则 c ＝（）A.（－23，－ 12）B.（23 ，12）C.（7 ，0）D.（－ 7，0）【训练 2】（1）已知点 A （－1，5）和向量 a ＝（2 ， 3），若 A →B ＝3a ，则点 B 的坐标为（） A.（7 ，4） B.（7 ， 14） C.（5 ，4）D.（5 ， 14）（2）（2015 ·江苏卷）已知向量 a ＝（2，1），b ＝（1，－2）. 若 ma ＋nb ＝（9，－8）（ m ，n ∈ R ），则 m －n 的值为 .考点三平面向量共线的坐标表示【例 3】（1）已知平面向量 a ＝（1 ，2），b ＝（－2，m ），且 a ∥b ，则 2a ＋3b ＝1.（2017 ·东阳月考）已知向量 a ＝（2 ， 4），b ＝（－1，1），则 2a ＋b 等于（） A.(5 ，7)B.(5 ，9)C.(3 ， 7)D.(3 ，9)2.(2015 全国Ⅰ卷）已知点 A （0 ，1）， B (3 ，2)，向量 AC ＝（－4，－3），则向量 BC ＝（） A.( － 7，－ 4) B.(7 ， 4) C.( － 1， 4)D.(1 ， 4)3.(2016 全国Ⅱ卷）已知向量 a ＝（m， 4）， b ＝（3 ，－ 2），且 a ∥b ，则 m ＝（2）（必修 4P101练习 7 改编）已知 A （2 ， 3）， B （4 ，－ 3），点 P 在线段 AB 的延长线上，且 | AP |＝32| BP | ，则点 P 的坐标为 ______单位向量是（）（2）若三点 A （1 ，－ 5）， B （ a ，－ 2），C （－ 2，－ 1）共线，则实数 a 的值为 .第三部分平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b ，记O →A ＝a ，O →B ＝b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量 a 与 b 的夹角 .（2）数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ，则数量 | a || b |cos__ θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作 a ·b ，即 a ·b ＝| a || b |cos__ θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a ＝ 0.（3）数量积几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos θ的乘积 .2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），θ为向量 a ，b 的夹角 .（1）数量积： a ·b ＝| a || b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. （2）模： | a | ＝ a ·a ＝ x 12＋ y 12.a ·bx 1x 2＋y 1y 2（3）夹角： cos θ＝| a|| b| ＝2 2 2 2.| a || b |x 21＋ y 21· x 22＋ y 22（4）两非零向量 a ⊥b 的充要条件： a ·b ＝0? x 1x 2＋y 1y 2＝0.（5）| a ·b | ≤|a || b |（当且仅当 a ∥b 时等号成立）? | x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21· x 22＋y 22.3. 平面向量数量积的运算律：（1） a ·b ＝b ·a （交换律）.（2） λa ·b ＝λ（ a · b ）＝a ·（λb ）（结合律）.（3）（ a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）.【基础练习】1.（2015 ·全国Ⅱ卷）向量 a ＝（1 ，－ 1）， b ＝（－ 1， 2），则（2 a ＋ b ） · a 等于（）A.－1B.0C.1D.22.（2017 ·湖州模拟）已知向量 a ，b ，其中 |a |＝ 3，| b | ＝2，且（a －b ）⊥a ，则向量 a 和 b 的夹角是 ______ .2π3. _____________________________________________________________________________ （2训练 3】（1）（2017 ·浙江三市十二校联考）已知点 A （1 ， 3），B （4 ，－ 1），则与 A →B 同方向的34－D43－C3－44－ 3A .016 ·石家庄模拟）已知平面向量a，b的夹角为3，| a| ＝2，| b| ＝1，则| a＋b| ＝ ________ .35. （必修4P104例 1 改编）已知|a|＝5，| b| ＝4，a 与b的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a方向上的投影为 _______ .6.（2017 ·瑞安一中检测）已知 a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中 a ＝（1，2），|b |＝1，且 a ＋b 与 a － 2b 垂直，则向量 a · b ＝ ______ ；a 与 b 的夹角θ的余弦值为 ________ . 【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）例 1】（1）（2015 ·四川卷）设四边形 ABCD 为平行四边形，足B →M ＝3M →C ，D →N ＝2→NC ，则A →M ·N →M 等于 ( )A.20B. 15C.9D.6（2）（2016 ·天津卷）已知△ ABC 是边长为 1的等边三角形，点连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2EF ，则A →F ·B →C 的值为（训练 1】（1）（2017 ·义乌市调研）在 Rt △ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝AC ＝2，点 D 为 AC 的中点，点 E 满足→BE ＝31B →C ，则→AE · B →D ＝（2）（2017 ·宁波质检）已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D →E ·C →B 的值为 __________________ ；D →E ·D →C 的最大值为 .考点二平面向量的夹角与垂直【例 2】（1）（2016 ·全国Ⅱ卷）已知向量 a ＝（1，m ），b ＝（3，－2），且（a ＋b ）⊥b ，则 m ＝（）A.－8B. －6C.6D.8（2）若向量 a ＝（k ，3），b ＝（1，4），c ＝（2，1），已知 2a －3b 与 c 的夹角为钝角，则 k的取值范围是 .【训练 2】（1）（2016 ·全国Ⅲ卷）已知向量B →A ＝ 12， 23 ，B →C ＝ 23，21 ，则∠ ABC ＝（）A.30°B.45°C.60°D.120°2 2 2（2 ）（2016 ·全国Ⅰ卷）设向量 a ＝（ m ，1），b ＝（1 ，2），且| a ＋b | 2＝ | a | 2＋| b | 2，则 m＝ _____________________________________________________________________________ .考点三平面向量的模及其应用π【例 3】（2017·云南统一检测）已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3，若|a | ＝2，|b |＝3，则 |2 a|A →B | ＝6，| A →D | ＝4，若点 M ，N 满D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，A.－8B.811D.81－3b|＝（）。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）A1 BC ．2D ．21.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a bCD -=-=.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）(A) 2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得333,2E λλ⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且3331,22AE λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，333,2BE λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=+⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC+ D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （）A ．4B ．3C ．2D ．0 5．【答案】B 【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，所以选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ，由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭，易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，所以()1,2D ．所以()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。

2018年高三数学(理)5.平面向量Word版含解析

PA PB 的最大值为 1，选 A．
考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量的数量积．
【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本
题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点
A、 B 的坐标，从而表示出向
2
量的坐标 PA (t 1, 2) ， PB
( 1, t
量表示，可得 m n 1 ，然后再求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得
【答案】 3
【解析】
试题分析：依题意可得， a b 3cos sin
si n
t an
3
cos
考点： 1. 平面向量的数量积； 2. 同角的基本关系 .
0 ，所以 si n
3 c o s，则
9. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试数学（理）试题】已知向量
二．能力题组
1. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知 Rt AOB 的面
积为 1， O 为直角顶点．设向量 a
OA ，b
OB ， OP a 2b ，则 PA PB 的最大值为
OA
OB
（）
A． 1 【答案】 A
B．2
C． 3
D．4
【解析】
试题分析：以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立直角坐标系．由已知
2)
，根据向量的数量积运算，得到
PA PB 的值，
再根据基本不等式求解即可．
2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】在正方体
ABCD 中，
( ) ( ) M 是 BD 的中点，且 AM = mAB + nAD m, n ? R ，函数 f x = ex - ax +1，的图象为曲

平面向量知识点总结(精华)

平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念2.零向量：3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.二、向量的表示方法1.几何表示：2.符号表示：3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,24e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC上的中线,且AD a=，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例 6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120. 2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y . （1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.60举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12P P 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+；（2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；（3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .知识应用1.（2018•卷Ⅰ）在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A. B. C. D.2.（2018•浙江）已知a ， b ， e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）A. −1B. +1C. 2D. 2−3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.（2018•卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A.4B.3C.2D.05.过点()0,2-且斜率为的直线与抛物线：交于，两点，若的焦点为，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.7.抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.AAABDCB8.已知向量，，则________．9.（2018•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点，若,则点的横坐标为________ 310.（2018•卷Ⅲ）已知向量，，，若，则________。

2018版数学(理)大复习讲义第五章平面向量5

1。

平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

2。

平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，则a＋b＝（x1＋x2,y1＋y2)，a－b＝（x1－x2，y1－y2）,λa＝（λx1，λy1），|a｜＝错误!.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A（x1，y1)，B（x2，y2），则错误!＝（x2－x1,y2－y1),|错误!|＝错误!。

3.平面向量共线的坐标表示设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）(a≠0），如果a∥b,那么x1y2－x2y1＝0；反过来,如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。

【知识拓展】1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0。

2.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果x2≠0,y2≠0，则a∥b⇔错误!＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。

（√) (3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√）(4)若a＝(x1，y1）,b＝（x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×）（5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标。

(√)1。

(教材改编）如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0;②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对;③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量。

2018届高三理数平面向量高考真题及考点归纳

2018届高三理数平面向量高考真题及考点归纳班别：姓名：成绩：考点1：平面向量的线性运算、平面向量基本定理1.(2015全国卷I)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =uu u r uu u r ，则（）（A ）1433AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu r (B)1433AD AB AC =-uuu r uu u r uuu r （C ）4133AD AB AC =+uuuur uuu r uu u r (D)4133AD AB AC =-uuuuuu r uuu r uu u r 2.(2014全国卷I)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为 .3.(2011全国卷)已知a r 与b r 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（）（以上的a ，b 都是带箭号的）（A ）（B ）（C ）（D ）4.(2015全国卷II) 设向量,a b r r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数_________．考点2：数量积的运算及其模与夹角问题：5.(2014全国卷II)设向量a,b 满足|a+b|a-b|=a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 6.(2017全国卷I) 已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .7.(2013全国卷II)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD uu u r uu u r g =_______. θ12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦14,P P 13,P P 23,P P 24,P P8.(2012全国卷)已知向量,a b r r 夹角为45︒ ，且1,2a a b =-=r r r ；则_____b =r9.(2013全国卷I)1已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.考点3：向量坐标运算：10.(2016全国卷I) 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =11.(2016全国卷II)已知向量(1,)(3,2)a m b ==-r r ，，且()+a b b ⊥r r r ，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）812.（2016全国卷III ）（3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200考点4：关于向量的最值问题：13.(2017全国卷II) 已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u r u u r u u u r 的最小是（）A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-14．（2015全国卷I ）已知M 00()x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF uuu r ∙2MF uuu u r ＜0，则y 0的取值范围是（）（A ）（-3，3）（B ）（-66）（C ）（3-，3）（D ）（ 15．（2017全国卷III ）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。

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