四种命题四种命题的相互关系教案
《四种命题间的相互关系》 学历案
《四种命题间的相互关系》学历案一、学习目标1、理解四种命题的概念，掌握四种命题的形式。
2、了解四种命题之间的相互关系，能通过推理判断命题的真假。
3、体会逻辑推理在数学中的重要性，提高逻辑思维能力。
二、学习重难点1、重点（1）四种命题的形式及相互关系。
（2）能利用命题的等价性解决相关问题。
2、难点（1）写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
（2）理解互为逆否命题的两个命题的真假性相同。
三、知识回顾1、命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。
2、命题的结构：命题通常由条件和结论两部分组成，可以写成“若p，则q”的形式，其中 p 是条件，q 是结论。
四、新课导入在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到各种各样的命题。
比如“若一个数是正数，则它的平方也是正数”，那么如果我们把这个命题的条件和结论互换，会得到一个什么样的命题呢？它和原命题之间又有着怎样的关系呢？这就是我们今天要研究的内容——四种命题间的相互关系。
五、四种命题的概念1、原命题：若 p，则 q。
2、逆命题：若 q，则 p。
3、否命题：若¬p，则¬q。
4、逆否命题：若¬q，则¬p。
例如，原命题为“若一个三角形的两个角相等，则这个三角形是等腰三角形”，则其逆命题为“若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个角相等”，否命题为“若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形不是等腰三角形”，逆否命题为“若一个三角形不是等腰三角形，则这个三角形的两个角不相等”。
六、四种命题之间的相互关系1、互逆关系原命题与逆命题互为逆命题，否命题与逆否命题互为逆命题。
2、互否关系原命题与否命题互为否命题，逆命题与逆否命题互为否命题。
3、互为逆否关系原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题互为逆否命题。
七、四种命题的真假关系1、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有必然联系。
四种命题间的相互关系教案
§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。
【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。
【教学过程设计】””课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题④“A B B =，则A B ⊇”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.08．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。
四种命题间的相互关系学案
§1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习目标1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 二、课前准备命题 表述形式 原命题 若p ,则q 逆命题 否命题 逆否命题 复习2：写出命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题，并判断真假.三、新课导学引例1、分析下列四个命题之间的关系 （1）若2320x x -+=，则2x = （2）若2x =，则2320x x -+= （3）若2320x x -+≠，则2x ≠ （4）若2x ≠，则2320x x -+≠（1）（2）互为 （3）（4）互为 （2）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性看引例1，探究：以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，它的逆命题、否命题、逆否命题，判断这些命题的真假并总结其规律性. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 假 假（1） . （2） .练习1：判断下列命题的真假.命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；否命题;逆否命题练习2．设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。
并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b ”， 结论是“ac>bc ”。
解：逆命题：当 时，若 , 则 是 命题否命题：当 时，若 , 则 是 命题 逆否命题：当 时，若 ，则 是 命题总结：判断真假的方法：（1）直接判断；（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. 典型例题例1．写出下列命题的其它三种命题命题,并判断真假： （1）若41>m ，则方程012=+-x mx 无实根。
逆命题 （ ） 否命题： （ ） 逆否命题 （ ）（2）若022≠+y x ，则x 、y 全为0。
四种命题间的相互关系精品教案
四中命题间的互相关系（1）知识方法目标认识命题的观点，教课目的（2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p ，则q”的形式。
教课重难点（1）要点：命题的改写（2）难点：命题观点的理解，命题的条件与结论划分教法与学法1.课题引入（创建情形）2．问题研究（ 1）难点打破（ 2）研究方式教法：教课过程备注阅读以下语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312；（3）312吗？（4）8 是 24 的约数；（5）两条直线订交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子。
1．命题的观点：指引学生概括出①命题：能够判断真假的陈说句叫做命命题的观点，重申题（ proposition）。
判断一个语句是上述 6 个语句中，（1）（ 2）（4）（ 5）（6）不是命题的两个是命题。
要点点：能否切合“是陈说句”和②真命题：判断为真的语句叫做真命题“能够判断真（true proposition）；假”。
（ 3）研究步骤假命题：判断为假的语句叫做假命题（ 4）热潮设计（false proposition ）。
上述 5 个命题中，（ 2）是假命题，其余4个都是真命题。
③例 1：判断以下语句中哪些是命题？是真命题仍是假命题？（1）空集是任何会合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2 小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）2x 15 ；经过例子指引学（ 6）平面内不订交的两条直线必定平生鉴别命题，划分行；命题的条件和结（7）明日下雨。
论。
改写为“若 p ，（学生自练个别回答教师评论）则 q ”的形式，为④研究：学生自我举出一些命题，并判后续的学习打好断它们的真假。
基础。
2．将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例 1 中的（ 2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把此中的p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论。
②试将例 1 中的命题（6）改写成“若p，则 q ”的形式。
③例 2：将以下命题改写成“若p，则q”的形式。
四种命题的相互关系教案
四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1. 熟练掌握四种命题的含义；
2. 理解四种命题的相互关系；
3. 能够根据四种命题的关系进行推理判断。
二、教学重点
四种命题的关系。
三、教学难点
理解四种命题的相互关系，能够根据四种命题的关系进行推理判断。
四、教学准备
1. 教师准备相关课件；
2. 学生准备笔和纸。
五、教学过程
Step 1: Warming-up
1. 老师出示一些实际生活中的例子，让学生进行判断，以激发学生的思维；
2. 让学生了解四种命题的含义，并归纳出它们的关系；
Step 2: Presentation
1. 让学生熟悉四种命题的相互关系，并理解它们之间的联系；
2. 通过实际的例子来让学生理解四种命题的相互关系；
Step 3: Practice
1. 老师出题，让学生根据四种命题的关系进行推理判断；
2. 学生可以小组讨论，共同完成题目；
Step 4: Summary
1. 总结四种命题的相互关系；
2. 引导学生理解四种命题的关系，以及如何根据这种关系进行推理判断。
Step 5: Homework
1. 让学生继续完成相关练习；
2. 要求学生完成一篇关于四种命题的相互关系的文章。
《1.1.3四种命题间的相互关系》教学案3
《四种命题间的相互关系》教学案教学目标:四种命题间的相互关系及四种命题的真假性的判断教学重点:会写四种命题并判断其真假教学难点:利用四种命题间的相互关系判断命题的真假预习提纲:(根据以下提纲，预习教材第 6页〜第8页) 1. 四种命题.请填空格2. 分析下列四种命题之间的关系(1)若f (x 堤正弦函数，贝y f (X 堤周期函数;⑵若f (x 堤周期函数，贝y f (x 堤正弦函数;(1)( 4)互为 逆否命题 ____________ , ( 2)( 3)互为 (3)若f (X 环是正弦函数，则 f (X 怀是周期函数;(4)若f (X )不是周期函数，则 f(x 怀是正弦函数. (1)( 2)互为互逆命题,(1)( 3)互为 互否命题逆否命题通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系: 若P,则q若q，则P?P3.四种命题的真假性(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若P ,则q =若「q，则「P ”，即欲证“若P，则q ”为真，可由假设“非q ”来证明“非P ”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若P，则q “是真命题.【基础练习】1.下了四个命题：①命题“若xy =1，则X, y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等的三角形全等“的否命题；③命题”若m<1，则X2 -2x + m = 0有实根“的逆否命题;④命题”若A^B-B，则A G B “的逆否命题.其中是真命题的是①②③(填上你认为正确的命题序号).2.下列说法中正确的是(D )(A) 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真(B) “ a A b ”与“ a + c A b + c ” 不等价(C) “若a2+ b2 =0 ,则a,b全为0 ”的逆否命题是“若a,b全不为0，则a2+ b2工0”(D) 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3.命题“若m >0，则X2+x - m =0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是(C ).(A)0( B)1 ( C)2( D)44.命题“若=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(C ).(A)原命题、否命题B)原命题、逆命题(C)原命题、逆否命题D)逆命题、否命题【典型例题】例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若a >b，则ac2Abe2;(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形【审题要津】.本题已具备“若p,则q ”的形式，因此可直接写出他们的四种命题解：(〔)逆命题：若ac? > be?，则a〉b，(真命题).否命题：若a <b，则ac2<bc2，(真命题).逆否命题：若ac2<bc2，则a <b，(假命题).(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补, (真命题).否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形, (真命题).逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补, (真命题).【方法总结】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.变式训练1：已知命题甲：“若q，贝U P ”，命题乙：“若「q，则「P ”，则甲与乙两个命题的关系式互否命题例2已知奇函数f(x)是定义在R上增函数，若f(a)+f(b)30，求证a + b>0.【审题要津】当个命题不好证明的时候，可以写出它的逆否命题，只需要证明逆否命题正确就可以.解：其逆否命题为：已知奇函数f(x )是定义在R上增函数，若a+ bcO，则f(a)+f(b)c O.丁a +b c O, a V -b又函数f(X )是定义在R上的增函数,二f (a f (—b )有函数f(x)是奇函数，所以f(-b)=-f(b )，故f (a f (— b A — f(b)所以f(a)+f(b)<0.【方法总结】本题还可以利用反证法来证明变式训练2：已知函数f(x !是定义在R上的增函数，a、b丘R,若a+b>0，求证f(a)+f(b)2f(—a)+f(-b).【审题要津】注意a+b>0可变形为：a>—b或b > —a .解：由于a +b >0可得a > -b或b > -a，又由于函数f(x )是定义在R上的增函数, f(a)3f(—b)f(b)3( —a)故f (a )中 f (b )3 f (—a)+ f(—b )【方法总结】注意式子的变形应用，同时还可以把它看成命题写出它的逆否命题、 逆命 题，然后证明其命题的真假自我检测:2.给出命题：若函数 y = f(x !是冥函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、4.设原命题：若a+b>2，则a,b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假(A)若m 迂M,则n 艺M ( B)若n 艺M ，则m 亡M (C)若m 芒M ，则n^M ( D)若n 忘M ，则m 芒M 6.有下列四个命题:“若b =3,则b 2=9 ”的逆命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若 C <1，贝y X2+2x + c =0有实根”；“若Au B = A ，则A 匸B ”的逆否命题. 其中真命题的个数是(A ).(A)1 ( B)2 ( C) 3 ( D)47.命题X 亡(A n B )的否命题是8.命题“若ab=0，则a,b 中至少有一个为零”的逆否命题是若a,b 都不为零，则9.写出命题“当abc = 0时，a = 0或b = 0或c = 0 ”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断他们的真假.【审题要津】 注意命题之间的转换的时候，一些词语和词语的否定 解：原命题是真命题1.命题“若 x ? <1，则-1 C X c l ” 的逆否命题是(D ). (A)若 X 2>1，则 X >1或 X <—1 ( B)若一1 <^1，贝y X 2d (C)若 X >1或X c —1，则 X 2<1 ( D)若 x>1或X <—1，贝y X 2>1否命题、逆否命题三个命题中, 真命题的个数是 (C ). (A)3 ( B)2(3.若命题P 的逆命题是 C) 1 (D)0q ，否命题是r ,则命题q 是命题r 的(C ). (A)逆命题(B)否命题(C)逆否命题(D)等价命题情况是(A ).(A)原命题真，逆命题假 B)原命题假，逆命题真 (C)原命题与逆命题均为真命题(D)原命题与逆命题均为假命题5.与命题“若m 亡M ,则n 老M ”等价的命题是(D ).逆命题：若a = O或b = O或C = O ,贝y abc = O , 是真命题.否命题：若abc H0，贝U a^O且b^O且CH0，是真命题.逆否命题：若axO且bHO且CH O，贝y abcHO,是真命题.【方法总结】命题的真假性的判断，可以利用命题之间的关系来判断，如原命题与逆否命题的真假性相同，而否命题和否命题的真假性相同10.已知X, y迂R,若X + y > 2，贝U x, y中至少有一个大于1.【审题要津】当一个命题直接证明不好证明的时候，可以写出它的等价命题即逆否命题, 只要证明逆否命题成立就行解：原命题的逆否命题为：若X, y都小于等于1,则X + y < 2 ,X <1, y <1x + y <2即结论成立.【方法总结】这个题也可以用反证法来证明。
四种命题的相互关系教案
四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1.能够认识四种命题的概念；
2.能够掌握四种命题的相互关系；
3.能够掌握判断命题真假的技巧。
二、教学内容
本课的内容主要讲解四种命题的相互关系，具体包括：
1.说明真命题、假命题、可能真命题和可能假命题的概念；
2.讨论四种命题的相互关系，例如：真命题的充要条件，假命题的充要条件，可能真命题和可能假命题的充分条件，以及四种命题的定义；
3.教学如何通过实例进行判断命题真假，例如：当有充分条件时，可以判断出可能真命题，当有充要条件时，可以判断出可能假命题，以及当有必要条件时，可以判断出真命题或者假命题。
三、教学方法
1.讲解法：让学生充分认识四种命题的概念，以及它们之间的关联和互斥；
2.实际操作法：通过实例题目，让学生实际动起来，判断出这些命题的真假，并且归纳掌握问题解决的技巧；
3.讨论法：让学生以小组形式讨论，分享解题技巧，帮助每个人掌握不同的方法。
四、教学步骤
1.让学生先通过讲解，了解四种命题的概念，以及它们的差别；
2.给出实际的题目，让学生实际动起来，判断出它们的真假；
3.让学生讨论，分享。
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。
2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。
二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。
2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。
2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。
四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。
五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。
B：你不是数学系的学生。
C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。
请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。
Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。
2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。
3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。
4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。
5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。
例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。
2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。
例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。
3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。
例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。
Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。
四种命题的相互关系教学设计
高二年级数学学科课题§1.1.3四种命题的相互关系预讲授时间2012 年9 月28 日第2课时授课类型新授课教学目标让学生掌握四种命题的真假性之间的关系。
学会用反证法证明命题提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
教学重点四种命题间的真假关系. 教学难点用反证法证明命题板书设计教学反思§1.1.3四种命题的相互关系1.四种命题的真假关系2.反证法3.反证法步骤例1例2练习教学环节及时间分配教师活动（教学内容的呈现及教学方法）学生活动（学习活动的设计）设计意图问题引领5分合作探究3分自主构建5分点拨提升7分合作探究3分1、什么是命题、真命题、假命题？2、交换原命题的条件和结论，所得的命题是________同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________3、四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题: 。
4、四种命题之间的相互关系：1.写出下列四个命题的逆命题、否命题、逆否命题，判断真假并填真值表(1)到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.(3)相等的角是对顶角典型例题(4)质数都是奇数.。
原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？例 1 证明：若x2＋y2＝0，则x=y=0。
反证法原理：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
提出问题，学生主动思考并回答教师引导，共同探究，学生试述，教师板书学生独立完成并展示，教师补充教师启发讲解教师引导，同桌两人为小组讨论，并展示，教师板演检验学生对基本不等式基础知识的掌握能力.有利于对新课的引入规范书写，强调细节，使学生明确解题步骤使学生主动参与知识的获得过程，从而对知识产生更加深刻的印象教师及时发现问题解决问题学生纠错，有利于加深印象通过思考形成结论，有利于学生掌握与记忆让学生明确本节重点内容，进行有效学习提高学生的分析能力与探索能力，从中体会获得成功的喜悦感点拨提升7分课堂小结2分布置作业2.从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
高一数学教案：四种命题之间的相互关系及真假判断
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。
高中数学_四种命题与四种命题间的相互关系教学设计学情分析教材分析课后反思
四种命题及其四种命题的相互关系学情分析经过深入观察和了解，从高二年级学生道德品质、纪律状况、家庭背景、学业情况等方面分析，旨在帮助老师们在今后的教育教学工作中提高针对性和时效性。
1、道德品质。
作为老师，我们应该看到，绝大部分学生有高尚的情操，有自己的理想，有人生的规划。
只是由于学力较低，行为习惯较差，自身存在这样那样的毛病，这正需要我们老师帮助他们，完善他们，帮助他们改正缺点，这是我们的职责。
2、纪律状况。
大部分学生能保证较正常的教学秩序。
但是还存在部分学生上课睡觉、看课外书、做与学习无关的事、身在教室心在外等情况。
这些现象，不光班主任要管，任课老师也要管。
如果某个老师上课时，你的课堂是无序的，不要把责任推到班主任身上，把课堂组织好是每个老师的责任。
3、家庭背景。
离异家庭、单亲家庭、留守学生占一定比例；学生家长文化程度普遍较低；很多学生家庭经济条件较差；很多家长不了解高考的具体要求、不了解小孩的学习能力，或目标过高、或放任不管。
但几乎所有家长都认为把小孩放在这里很放心，且充满希望。
我们要利用一切可能的途径，加大与家长的沟通力度，争取家长的支持与配合；要善待学生，呵护学生的心灵。
4、学业情况。
学生自主、自觉学习的能力差，需要老师不断的督促和检查；学生缺乏刻苦钻研的精神，畏难情绪严重；学生欠缺必要的学习方法，一些刻苦学习而效果较差的学生急需指导；部分学生厌学。
基于以上原因，学生整体学业水平偏低，且有很大的差异，这种差异还将会随着学习难度的加大、学习时间的延续而扩大。
几点想法：一、老师要舍得花时间，加大对学生学习过程的监督与跟踪力度，让每个学生在学业上都能有点滴进步；二、针对不同层次的学生实行分层教学是科学的、正确的，但老师不能以此为借口偷工减料，更应该了解这些学生学习的困难，学习中可能遇到的障碍，教学中尽量想办法给学生搭个桥，使学生易于理解和接受。
这要求我们加大对学生与教材的研究力度；三、正视学生思维的差异性。
四种命题及相互关系教案
四种命题及相互关系教学目标：1.了解四种命题的内在联系，掌握四种命题之间的转化及相互关系，并能利用等价关系转化。
2.通过学生举例体会四种命题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3用辩证的观点体会等价思想。
教学重点：逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法，四种命题间的相互关系。
教学难点：四种命题间的关系及四种命题的真假性之间的关系。
新课导入：通过课本p4的“思考”导入。
新课探究：1.自主探究：小组活动:(1).阅读教材：p4-7。
(2).各小组写一个命题及其它三个命题并判断真假，讨论，交流，总结写法.(3).各小组展示。
2.合作探究：（1）通过学生展示让学生揭示互逆命题，互否命题，互为逆否命题的概念。
（2）通过互逆命题，互否命题，互为逆否命题的概念让学生总结四种命题之间的关系。
（3）通过学生展示的命题的真假性完成表格。
四种命题的真假性（4）通过表格让学生总结四种命题的真假性之间的关系。
1 原命题与逆否命题总是具有的真假性.逆命题与否命题也总是具有的真假性．互为逆否的两个命题的真假性．2 互逆命题或互否命题，它们的真假性．3 真命题与假命题的个数为个（奇数或偶数）.4 互为逆否命题，叫做等价命题。
新知应用：分别写出下列的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假：（1）正方形的四边相等。
（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0。
(3)若xy≠6,则x≠1或y≠6.（4）若x、y都是奇数则x+y是偶数。
要求：学生口答，并总结方法。
新课小结：(1)一个符号（2）二种关系（3）三个概念（4）四种命题。
学案2:1.1.2—3 四种命题及其相互关系
1.1.2——3 四种命题及其相互关系课标点击1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系并会判断四种命题的真假性.预习导学►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的分别是另一个命题的，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的．(2)如果一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．(3)如果一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( ) A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是( ) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的．随堂巩固1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是( )A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是( )A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.4．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.课时训练1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题；④“若ab 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．命题“若c >0，则函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________，则c ≤0.6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________．7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是__________________________________________________．8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为____________________________________________ ________________________________________________________________________.9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题；②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a <b <0，则1a >1b”的逆否命题； ④“若1a <1b<0，则ab <b 2”的逆否命题； ⑤“若b a ＞a b，则a <b <0”的逆命题其中假命题有________．10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数B ．若一个数的平方是正数，则它是负数C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数4．命题“若p 则q ”的逆命题是( )A ．若q 则pB ．若﹁p 则﹁qC ．若﹁q 则﹁pD ．若p 则﹁q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4πD．若tan α≠1，则α＝4答案预习导学►基础梳理1．(1)条件和结论结论和条件逆命题(2)条件和结论条件的否定和结论的否定否命题(3)条件和结论结论的否定和条件的否定逆否命题►自测自评1．【答案】A2．【答案】D3．【解析】设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若﹁n，则﹁m”．故p是r的逆否命题．随堂巩固1．【答案】B2.【答案】D3.【答案】若a≠1或b≠14.【答案】逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5.【答案】证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．课时训练1.【答案】C2.【答案】D【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6. 【解析】本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题．【答案】否命题7. 【答案】(x －1)(x ＋2)≠08. 【答案】若a ≤b ，则2a ≤2b －19. 【解析】①逆否命题为“若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0”，这是一个真命题．②逆命题为“若ac >bc ，则a >b ”，这是一个假命题．③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题． ⑤逆命题为“若a <b <0，则b a >a b”． 若a <b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，1b <1a<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a>0，故a b >b a . 故这是一个假命题．【答案】②⑤10.【答案】证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．【答案】C【解析】本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C。
教学设计2：1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．2．预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒q，那么p是q的_________，q是p 的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．3．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例 2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．例4 已知p：x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．解：∵p：x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2∴非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y=3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．∴p⇒q且q⇒p，p是q的充分而不必要条件．点评：p、q都是否定性说法，考察命题“若p则q”、“若q则p”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q则非p”、“若非p则非q” 的真假，再利用等价性判断命题“若p则q”、“若q则p”的真假，从而判断条件的充要性．例5 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么，(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．解：据题意(1)s是q的充要条件；(2)r是q的充要条件；(3)p是q的必要条件．点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．例6 已知p ：1123x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由2311≤--x ，得 －2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，∵ 非p 是非q 的充分而不必要条件，∴ B ≠⊂A ．∴ ⎩⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3． ∴ 实数m 的取值范围是(]3,0．点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q ⇒p 且p \⇒q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例．(3)相关的证明问题的处理：①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假． 例7 方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论．解：将x =0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根．(1)方程有一正根和一负根001<⇔<⇔a a； (2)方程有两个负根100102044≤<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆⇔a aa a ． 综合(1)、(2)，方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负根的充要条件是a <0或0<a ≤1．点评：本题运用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合分类讨论思想求解．例8 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一实根x =1的充要条件是a +b +c =0．证明：必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一根x =1，则由根的定义得：0112=+⨯+⨯c b a ，即a+b+c =0；充分性：若a+b+c =0，则由ax 2+bx +c=0，得ax 2+bx －(a+b )=0，∴0)1()1(2=-+-x b x a ，∴0])1()[1(=++-b x a x ，所以方程有一根x =1．综上所述，方程ax 2+bx +c=0有一根x =1的充要条件是a+b+c =0．点评：对于充要条件的证明，一般都分“充分性”和“必要性”两种情况分别加以证明，缺一不可． 证明时不要颠倒充分性和必要性．4．自我检测(1)判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．① 3是12的约数；② 大角所对的边大于小角所对的边；③ π是无理数吗?④ 一个数不是质数就是合数．(2)写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题．① 原命题：若a =0，则ab =0② 原命题：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)① “AB +BC =AC ”是“A 、B 、C 三点共线”的___________条件；② “l ∥AB ”是“A 、B 到l 等距离”的________条件．③ “ab =0”是“a 2+b 2=0”的________条件．④ 若a ≠0，则“x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根”是“a+b+c =0”的_______条件．(4) ① “(1－|x |)(1+x )>0”是“|x |<1”的__________条件；② “a ≠1”是“a 2≠1”的________条件；③ “A ⊇B ”是“(A∩C )⊇(B∩C )”的_________条件 ．三、 课后巩固练习A 组1．若命题m 的逆命题是n ，命题m 的否命题是r ，则n 是r 的_______．(填逆命题、否命题、逆否命题)2．写出命题 “若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零”的逆命题，否命题，逆否命题．3．以下四个命题的的真假是 _________ ．(1)原命题：若一个自然数的末位数字为5，则这个自然数能被5整除；(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为5；(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为5，则这个自然数不能被5整除；(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为5．4．判断命题“若a ，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题的真假．5．判断命题“若m >0，则x 2+x －m =0有实根”的逆否命题的真假．6．写出命题“若x ≠y ，则x 2≠y 2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．7． 指出下列命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：|x |≤1，q ：|x |<2； (2)p ：x >－1，q ： |x |<1 ．8． 若a 、b 、c 都是实数，试从(A )ab =0；(B )a+b =0；(C )a 2+b 2=0；(D )ab >0；(E )a+b >0；(F )a 2+b 2>0，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a 、b 都为0的充分条件是________________；(2)使a 、b 都不为0的充分条件是______________；(3)使a 、b 中至少有一个为0的充要条件是____________；(4)使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是_______________．9．a 、b ∈R ，条件⎩⎨⎧>>11b a 是条件⎩⎨⎧>>+12ab b a 的_________． 10．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么非A 是非B 的什么条件? 11．⎩⎨⎧>>+44αββα是⎩⎨⎧>>22βα的______条件．12．设P ：{x |0<x <5}，Q ：{x ||x －2|<5}，则P 是Q 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．13．“a ≠0”是“ab ≠0”的______条件．14．“a 2－b 2是偶数”成立的______条件是“a －b =0”．15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么丙是甲的___________条件．16．方程3x 2－10x +k =0有两个异号的实根的充要条件是_____．17．下列四组条件：①甲：b a >； 乙：ba 11< ②甲：0<ab ； 乙：||||b a b a -<+③甲：b a =； 乙：ab b a 2=+④甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ； 乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a 其中甲是乙的充分但不必要条件的是____________(请把正确命题的序号填上)．B 组18．如果否命题为“若x +y ≤0，则x ≤0”，写出相应的原命题，逆命题与逆否命题．19．原命题为“末位数是0的整数，可以被5整除”，写出逆命题，否命题，逆否命题．20．把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．21．有下列命题：(1)“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；(2)“全等三角形是相似三角形”的否命题；(3)“若m >1，则关于x 的不等式mx 2－2(m +1)x －(m －3)>0的解集为R ”的逆命题；(4)“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中，是真命题的是___________ ．22．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_____个，真命题有______个．23．写出命题“若A ⊆B ，则A B =A ”的逆命题，并判断真假．24．设原命题是“当a >0时，若|x |<a ，则－a <x <a ”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．25．下列四个命题：①若a 、b 是无理数，则a +b 是无理数；②若A ∩B =A ，则A =B ；③x ≠2且y ≠3是x+y ≠5的充分不必要条件； ④00≥⇔≥ab ba 其中，假命题是________________(请把序号填上)26．已知直角坐标平面上四点坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，P 是y 轴上任意一点，试判断：P 在y 轴上是∠APD=∠BPC 的什么条件?27．已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么(1)s 是p 的什么条件? (2)r 是q 的什么条件? (3)在p 、q 、s 、r 中，哪几对互为充要条件?28．设条件p ：|43|1x -≤；条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．29．已知条件p ：ax 2+2ax +1>0的解集为R ；条件q ：0<a <1，则p 成立是q 成立的什么条件?30．设n N +∈,则一元二次方程有整数根的充要条件是= ． 31．求证：不等式mx 2+4mx +1>0的解集为(+∞∞-,)的充要条件是0≤m <14． C 组32．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ，b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么，命题Ⅰ、命题Ⅱ是否正确?33．定义在R 上的函数y =f (x －1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f (0) =1；(2)f (1)<1；(3)f (0)<0．5．其中正确的命题是 ．34．给出以下命题：①若04log )4(log 2<≤+a a a a ，则a 的取值范围是(1，∞+)； ②函数2log )(=x f )15(2+-x x 的单调递 减区间为)25,(-∞；③若数列{a n }前n 项之和为S n =3n －2，则数列{a n }的通项公式a n =2×3n －1；④若定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 240x x n -+=n为偶函数．则以上命题中正确命题的序号为 ．35．判断命题“若ab =0，则a ≠0且b ≠0”的否命题的真假．36．判断命题“若ab ≤15，则a ≤5或b ≤3”的否命题的真假．四、学习心得五、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”．命题A ：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x (a > 0)的图象与y = x 的图象至多有一个交点．”那么，命题A 的真值是_______．解：当a =1和0 < a < 1时，y = a x 与y = x 的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a = 2 ，则x =1时，y = a x = 2>1，(1， 2)在直线y =x 的上方；当x =2时，y = a x =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x = 2 2 < 3，(3， 22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x = 4，(4 ， 4)是两曲线的另一个交点；当x > 4时，(2)x > x ，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x 的图象与y =x 的图象有两个交点，故命题A 是假命题，其真值为0．点评：题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a > 1且a 比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a 较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A 是假命题．。
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握四种命题及其真假性之间的相互关系，并能用以证明一些简单问题。
【过程与方法】
在探究四种命题及其真假性之间相互关系的过程中，提升分析、推理的能力。
【情感、态度与价值观】
培养实事求是的科研精神，激发学习数学的热情与信心。
二、教学重难点
【重点】四种命题及其真假性之间的相互关系。
【难点】四种命题的真假性之间相互关系的探究过程。
三、教学过程
(一)导入新课
带领学生复习近期学习的命题相关内容，请学生自行举例命题，并分别写出其逆命题、否命题、逆否命题。
进一步追问：逆命题和否命题之间有什么关系?逆否命题和否命题呢?
引出课题——《四种命题间的相互关系》。
(二)讲解新知
1.四种命题间的相互关系
请学生对导入中的问题进行思考，教师总结学生回答并利用板书梳理总结四种命题间的相互关系。
2.四种命题真假性之间的关系
组织学生自行判断刚刚自己写出的各个命题的真假性。
教师提问：各个命题的真假性之间是否有关?
四、板书设计。
1.1.四种命题间的相互关系-人教A版选修2-1教案
1.1.四种命题间的相互关系-人教A版选修2-1教案一、命题的定义和三要素1. 命题的定义命题是陈述一个判断性的表达式，可以用真和假表示其真实性。
例如，四是偶数。
2. 命题的三要素命题的三要素是主语、谓语和表语。
在上述例子中，主语是“四”，谓语是“是偶数”，表语是“真”。
二、命题的种类1. 原命题原命题指在逻辑推理过程中，直接陈述判断结果的命题。
例如：今天下雨。
2. 复合命题复合命题是由两个或多个命题组合而成的。
根据组合方式，可以分为以下四类：（1）合取命题合取命题是由“与” 连接两个或多个简单命题而成，表示其中的每个命题都为真时，合取命题才为真。
例如：今天既是星期五又下雨。
（2）析取命题析取命题是由“或” 连接两个或多个简单命题而成，表示其中的至少一个命题为真时，析取命题即为真。
例如：今天既是星期五，或下雨。
（3）否定命题否定命题是由“不是”、“不” 连接一个命题而成，表示所否定的原命题的真假相反。
例如：今天不是星期五。
（4）条件命题条件命题是由“如果……，则……” 连接两个命题而成，其中前一命题叫做前件，后一命题叫做后件。
只有前件为真时，条件命题才有可能为真。
例如：如果今天下雨，我就不去上课。
3. 等价命题等价命题指在任何情况下均具有共同真假值的两个命题。
例如：•今天不下雨，等价于今天没有雨。
4. 充分必要条件充分必要条件是指两个陈述之间具有必要性和充分性的关系。
例如：•一个数是偶数，则它能被2整除。
•一个数能被2整除，那么它是偶数。
三、命题间的相互关系1. 逆命题逆命题是在条件命题中将“前件”和“后件”交换顺序并分别加入否定词所形成的命题。
例如：如果A成立，则B成立。
其逆命题为：如果B不成立，则A不成立。
2. 否命题否命题是在原命题前面加入否定词而形成的命题。
例如：原命题为“今天是晴天”，则否命题为“今天不是晴天”。
3. 反命题反命题是在原命题中将主语和谓语都加入否定词所形成的命题。
例如：原命题为“今天是晴天”，则反命题为“今天不是晴天，或者不是天气好”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系
（一）教学目标
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（二）教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；
（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；
（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
（三）教学过程
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
５．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示
p的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．
６．练习巩固
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（１）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（３）若x2=1,则x=1；
（４）若整数a是素数，则是a奇数。
７．思考、分析
结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：
，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
８．总结归纳
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
９．例题分析
例4： 证明：若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考
虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p 2 + q 2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真
命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p 2 ＋ q
2 ＝21［（p －q ）2＋（p ＋q ）2］≥21（p ＋q ）2＞21×２２＝２ 所以p 2 ＋ q 2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a 2－b 2＋２a －４b －３≠０，则a －b ≠１．
１０：课堂总结
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
１１：作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题。