自振周期与自振频率
第10章 结构动力计算基础
m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程 式中： 其通解为： 当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。 强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力 与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以， 动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数 数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载 是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化 很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小 因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都 是确定的。
工程中的振动问题及处理方法
工程中的振动问题及其处理在讲之前，首先介绍一下中冶集团建筑研究总院（原冶金工业部建筑研究总院）对振动问题进行过40年的研究，曾主持编制了两本振动设计规范：1.《制氧机等动力机器基础勘察设计暂行条例》（1977.1）2.《机器动荷载作用下建筑物承重结构的振动计算和隔振设计规程》（YBJ55-90）, 1990年一、振动中的几个基本概念1.振动问题和静力问题的区别：（A）振动变位与振动力的方向永远不一致。
在扰频/自频>1时，出现变位与扰力的方向相反的现象。
静力问题中，变位与作用力的方向总是一致的。
（B）振动与质量有关。
静力问题中与质量不发生关系。
（C）振动是时间的函数，静力与时间无关。
（D）振动有共振现象。
发生共振时振动要放大。
对钢结构，振动可放大200~300倍；对混凝土结构，振动可放大10~20倍。
对动力设备基础：对于水平和旋转振动，可放大7-10倍对于垂直振动，可放大4-8倍对于桩基础，只放大1.5-4倍对于静力问题，变形无放大问题。
2.关于自由度、自振频率和振型什么叫自由度：决定振动体系全部质点位置的独立变数的数目，φ，所以有二个振型。
也有二个自振频率。
5个，也可选10个，也可选100个。
但选的原则是：“选定结构”的最高自振频率要大于1.2倍的激振频率。
注意，振型与外力无关，与地震地面运动无关，只与m、k有关。
3.关于自由振动和强迫振动简单的说：在振动过程中，没有外力作用的振动称为自由振动，否则为强迫振动。
在自由振动时，振动的大小只取决于物体的初位移和初速度，此时无共振现象。
在工程中，像锻锤、落锤，火箭发射，爆炸，冲床，冲击式打入桩均可近似看作自由振动。
而强迫振动都是在外力作用下发生的，例如：压缩机，电动机，火车和地震等引起的结构振动均属强迫振动。
强迫振动的反应主要取决于力的大小和力的时间函数。
此时有共振问题。
4. 阻尼振动和无阻尼振动阻尼系数是振动中的一个重要指标，因为阻尼作用，所以在共振时，振幅不会无限放大，锻锤等在冲击力作用下，砧座会很快趋于平稳。
建筑结构力学 结构动力学-习题解答
3
µ=
1 1−θ / ω
2 2
= 1.5625
3
2l
2l
FP l 位移幅值 A = y st µ = 1.5625 EI 5 l3 δ 11 = 3 EI
mθ 2 A = 0.3375FP M d max = 1.169 FP l
yst
FP
FP l
= 1 δ 11
l/2
0.3375FP FP
l/2
1.169 FP l
ml3 ; T = 2.22 EI
A/ 2
7-1（d)试求图示体系的自振频率与周期。 d)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 解
m
EI1 = ∞
m EI l EI l
6 EI k11 = 3 l
k11 6EI EI ω = = =3 3 3 m 2ml ml
2
EI ω = 1.732 ; 3 ml
1 l3 1 ( + )m 48EI 2k
1 l3 1 T = 2π ( + )m 48 EI 2k
试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。 7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。 已知 θ = 0.6 ω l 解：
m
y1 (t )
EI=常数
F sin θt P
FP l yst = EI
1 l3 63 = = 4.245 ×10 −7 m / N 解： δ 11 = 48 EI 48 ×1.06 ×107
1 9.8 = = 1154(1 / s 2 ) ω2 = 3 −7 mδ11 20 ×10 × 4.245×10
l/2
EI=常数
Psin θt
m
l/2
12.3 单自由度体系的自由振动
各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
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【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
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12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
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T = 2π ∆st g
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固有频率 自振频率 自振圆频率
固有频率自振频率自振圆频率固有频率、自振频率和自振圆频率，这三个概念在物理学和工程学中扮演着重要的角色。
它们涉及到振动系统的特性和行为，对于理解和设计振动系统具有重要意义。
本文将通过深度和广度的介绍，带你全面了解这三个概念的含义、联系和应用。
一、固有频率1.1 什么是固有频率固有频率是指振动系统在没有外力作用下的自然频率，也可以理解为系统固有的振动频率。
在物理学中，振动系统可以是机械系统、电子系统、光学系统等，它们都有各自的固有频率。
当振动系统受到外界扰动或激励时，如果激励频率接近系统的固有频率，将会发生共振现象，这对于一些特定的应用有着重要的意义。
1.2 固有频率的计算和影响因素振动系统的固有频率与系统的质量、刚度和阻尼等因素有关。
具体地，固有频率可以通过下式计算得出：\[f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]其中，\(f_0\)表示固有频率，\(k\)表示系统的刚度，\(m\)表示系统的质量。
从这个公式可以看出，固有频率与系统的质量和刚度成正比，与阻尼无关。
1.3 固有频率的应用固有频率在工程学中有着广泛的应用，比如在建筑结构设计中，为了避免共振现象的发生，需要对结构的固有频率进行分析和设计。
另外，在机械振动领域，对于机械系统的固有频率进行分析可以帮助预测系统的振动行为和稳定性。
二、自振频率2.1 什么是自振频率自振频率是指振动系统在受到外力激励时，系统本身的固有频率。
当激励频率接近系统的自振频率时，系统将呈现出共振现象，振幅会急剧增大。
自振频率是指在自由振动状态下，振动系统的固有频率。
2.2 如何计算自振频率自振频率可以通过系统的固有频率和阻尼比来计算。
在一般情况下，自振频率可以表示为：\[f_r = f_0\sqrt{1-\xi^2}\]其中，\(f_r\)表示自振频率，\(f_0\)表示固有频率，\(\xi\)表示阻尼比。
从这个公式可以看出，当阻尼比为0时，自振频率等于固有频率；当阻尼比接近于1时，自振频率将趋于0。
柔度法名词解释
柔度法名词解释柔度法（flexibility method）是2003年公布的土木工程名词。
又称力法。
以多余约束力为未知量求解超静定结构内力的基本方法，又称柔度法（flexibility method）。
由英国麦克斯韦（J.C.Maxwell）于1864年提出。
用力法求解超静定结构时，首先要解除结构的多余约束并代以未知的多余约束力，将得到的静定结构作为力法的基本系。
根据基本系上解除约束处受各种影响产生的位移和原结构相应处位移一致的条件（位移协调条件），列出力法的典型方程，解出多余约束力，进而可以应用平衡条件求得任一截面内力。
图（a）所示3次超静定平面刚架，具有3个多余约束力。
基本系可以选择不同的几种方案。
图（b）的基本系是在原结构的横梁上做一切口，相应的多余约束力是X1、X2和X3，将基本系切口处的位移条件和原结构相比较，则各种影响产生切口两侧的相对竖向位移、相对横向位移和相对转角都等于零，即或写成矩阵形式式中，［δ］为柔度矩阵，它的元素δij为柔度系数，表示基本系上由于单位力X j＝1作用所产生的X i方向上的位移，根据位移互等定理，有δij=δji，即［δ］为对称矩阵；{Δ}为位移列阵，它的元素Δip表示基本系上由于荷载作用产生的X i方向上的位移; {X}为多余未知力列阵。
从能量原理的角度考虑，若用多余约束力表示结构的余能，即（X1，X2，…，X n），则由最小余能原理同样可以得到上述力法典型方程。
力法计算超静定刚架图（a）刚架结构；（b）力法基本系力法适用于计算超静定桁架、超静定拱、超静定刚架以及组合结构等。
土木工程《结构力学》概念解释：柔度法：在解题方面来说就是先求出柔度系数，用柔度系数解出圆频率，进而算出所求内容，一般是在求连续梁或简支梁时使用刚度法：相对应的就是用刚度系数k求解的方法，一般是求刚架时用这种方法刚度矩阵：这没啥说的，书上写的很明白，就那个矩阵，用时能写出来就行了等效结点荷载：是用矩阵位移法的方法，等效出杆件荷载的一组力，方便用这种方法计算动力系数：最大动位移和最大静位移的比值，在计算外部荷载引起的震动位移时，需要乘上这个系数自振频率，自振周期：和物理上频率周期是一个性质的单位定向向量：就是一组标记向量，现在各节点进行标注，刚结点（0 0 0 ）铰接点（0 0 1）这个认真看课本，然后与单位等效荷载相乘得到整体等效结点荷载，与单位刚度矩阵相乘得到整体刚度矩阵。
《结构抗震与防灾》复习资料(全面)
25、有感地震是里氏地震等级为MB的地震。
A、< 2 B、2～4 C、>5 D、>7
26、浅源地震的震源深度为___A___Km。
A、<60 B、60～300 C、>300 D、>350
27、下列措施中，能起到轻结构重量
三．名词解释
1、地震序列：在一定时间内，发生在同一震源区的一系列大小不同的地震，且其发震机制具有某种内在联系或有共同的发震构造的一组地震总称地震序列。
2、地震波：地震引起的振动以波的形式从震源向各个方向传播并释放能量
3、震级：表示地震本身大小的尺度，是按一次地震本身强弱程度而定的等级
4、地震烈度：表示地震时一定地点地面振动强弱程度的尺度；
因T1=0.467s<1.4Tg=1.4x0.4=0.56s，则 n=0，由式（2-129）得
(5)用式（2-130）计算各层层间剪力Vi（图2-22b）
2、柱的抗震设计，详细相关参考资料答案可参考书本P116（例题3-1）
例：框架柱抗震设计。已知某框架中柱，抗震等级二级。轴向压力组合设计值N=2710kN,柱端组合弯矩设计值分别为 和 。梁端组合弯矩设计值之和 ，选用柱截面500mmX600mm,采用对称配筋，经配筋计算后每侧 。梁截面300mmx750mm，层高4.2m。混凝土强度等级C30，主筋Ⅱ级HRB335钢筋，箍筋Ⅰ级HPB235钢筋。
8、简述饱和砂土液化的判别方法。
答：判别方法分为初步判别和标准贯入试验判别，凡经初步判定为不液化或不考虑液化影响，则可以不进行标准贯入试验的判别。具体方法见教材P14-16
五、计算题
1、用底部剪力法计算各层水平地震作用。详细相关参考资料答案可参考书本P56（例题2-5）
地震作用的计算和抗震验算
17.7.2
单质点体系的地震作用
今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它 在t=τ－dτ时开始作用，作用时间为 x dτ，则冲量大小为 g (t )d 动量增量为 mx( ) 从动量定理，得
g (t )d x
由通解式可求得当τ－dτ时，作用 一个 g (t )d 微分脉冲的位移反应为 x ( ) x ( t ) g dx( ) e sin ' (t )d 地震作用下的质点位移分析 ' 将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应
质点相对于地面的最大加速度反应为
10
17.7.2
单质点体系的地震作用
地震反应谱：主要反映地面运动的特性 最大相对位移 最大相对速度 最大加速度 最大反应之间的关系 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周 期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
h=5m
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） （2）求水平地震影响系数
地震影响 烈度
6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
查表确定
多遇地震 罕遇地震
22
17.7.2
单质点体系的地震作用
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期 （2）求水平地震影响系数 查表确定
地震特征周期分组的特征周期值（s）
结构动力学7
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n2M n 0
{φ}n={φ1n，φ2n ，…，φNn }T—体系的n阶振型 。
◆由于特征方程的齐次性（线性方程组是线性相关的）， 振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值， 例如令φ1n=1，◆实际求解时就是令振型向量中的某才 能确定其余的值。
算例1 运动方程的特征方程：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
3000 1200 0
K 1200 1800 600
0 600 600
3000 2 2
(K
2
M
)
1200
0
1200
1800 1.5 2
600
0
600
600
2
B 2 600
5 2B 2
0 0
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率
相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振 频率分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
0
0
N
其中，ωn— n阶自振频率，{φ}n— n阶振型。
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
k11 k12 k13 3000 1200 0
K k21
k 22
k 23
1200
1800
自振频率计算公式
自振频率计算公式自振频率计算公式是用来计算系统的自振频率的一种公式，也被称为振荡频率计算公式。
它使用物理学中的振荡理论来计算振荡频率，可以用来对系统进行控制。
这个公式也可以用于分析振荡系统中的不同参数，以及预测振荡系统的振荡特性。
自振频率计算公式的基本原理是：量化的质量是一个系统的特性，它是由系统中的外力和内部阻尼决定的。
量化的质量是一个系统的能量在一个振荡周期内的改变，可以用来计算系统的自振频率。
自振频率计算公式可以设计为：自振频率 =k/m其中，k是系统的外力系数，m是系统中量化的质量。
借助该公式，可以根据外力系数和质量，计算出系统的自振频率。
例如，如果系统中的外力系数是k=20，量化的质量是m=10，则根据这个公式，系统的自振频率将会是：自振频率 =20/10 = 2 Hz因此，通过自振频率计算公式，可以结合系统的外力系数和量化的质量，得出系统的自振频率。
除此之外，自振频率计算公式还可以用于分析振荡系统中的振荡特性。
自振频率的变化可以反映出系统中的不同参数，这些参数又能够影响系统的振荡特性。
例如，如果外力系数和质量都发生变化，则振荡频率也会随之发生变化，从而影响振荡系统的性能。
自振频率计算公式主要用于控制和分析振荡系统，可以有效地预测振荡系统的振荡特性，让工程师能够更加准确地控制系统的性能。
因此，它在振荡系统的控制和分析中扮演着重要的角色，有助于保持系统性能的稳定和完美。
自振频率计算公式在物理学和工程科学领域都有广泛的应用。
目前，它被广泛用于各种振荡系统的控制和分析，如电子元件、电路、机械结构和精密仪器等。
此外，它还可以用来分析复杂的控制系统中的不同参数，从而更好地了解和控制振荡系统的振荡特性。
因此，自振频率计算公式在物理学和工程科学领域具有重要的意义，可以有效地控制和分析各类振荡系统，从而更好地维护系统的稳定性和完美性。
2024年试验检测师之桥梁隧道工程题库附答案(典型题)
2024年试验检测师之桥梁隧道工程题库附答案（典型题）单选题（共45题）1、混凝土衬砌厚度检查，每（）检查一个断面。
A.20mB.30mC.40mD.50m【答案】 A2、某空心板共有2种病害，混凝土剥落掉角，实际评定标度为2类，（最大评定标度为4类），梁底有横向裂缝，实际评定标度为2类，（最大评定标度为5类），该片空心板评分接近于（）A.75B.70C.65D.55【答案】 D3、请根据《公路桥梁技术状况评定标准》（JTG/TH21-2011）对某单跨箱板拱桥的技术状况进行评定。
（1）经检查两岸桥台（t=10）,发现其中一个桥台存在台帽裂缝,评定标度2（最高标度4）；台身裂缝,评定标度2（最高标度5）；台身剥落,评定标度2（最高标度4）；另一个桥台存在台帽裂缝,评定标度2则桥台的最低构件得分值为（）。
A.48.29B.41.85D.45.79【答案】 D4、基桩竖向静载荷试验中,对试验的荷载分级和沉降观测叙述正确的是（）。
A.加荷分级不宜少于8级，每级加载为最大加载量或预估极限承载力的1/20—1/8B.第一级可按2倍分级加荷，最大加载量不应小于设计要求的2倍C.加载过程中同时应进行沉降观测，每级加载后，应每隔20min观测一次D.加载过程中同时应进行沉降观测，每级加载累计1h后，每隔15min观测一次【答案】 B5、隧道施工监控量测是指隧道施工过程中使用各种类型的仪表和工具，对围岩和支护衬砌变形、受力状态的检测。
（4）地表沉降量测断面应尽可能与隧道轴线垂直，根据地表纵向坡度确定地表量测断面数量，一般不少于（）。
A.1个B.3个C.5个D.7个【答案】 B6、钢桁桥结构承载能力检算应包括以下主要内容。
32.连接及接头（）。
A.松动B.疲劳C.强度【答案】 C7、某梁式桥进行上部构件评价时，上部承重构件、上部一般构件、支座评分分别为85、82、78，已知三部分部件权重分别为0.70、0.18、0.12，则该桥梁上部结构评分应为（）。
抗震基础例题
【例2-1】已知某建筑场地的钻孔地质资料如表2-3所示，试确定该场地的类别。
钻孔资料 表2-3【解】 （1）确定覆盖层厚度因为地表下7.5m 以下土层的s m s m v s /500/520>=，故m d 5.70=。
（2）计算等效剪切波速s m ni si i sed d d v/6.253)3100.42400.21805.1/(5.7)/(/10=++==∑=，查表2-1，v se 位于250~500m/s 之间，且m d50>，故属于Ⅱ类场地。
【例2-2】某工程按8度设防，其工程地质年代属Q 4，钻孔资料自上而下为：砂土层至2.1m ，砂砾至4.4m ，细砂至8.0m ，粉质粘土层至15m ；砂土层及细砂层黏粒含量均低于8%；地下水位深度1.0m ；基础埋深1.5m ；设计地震场地分组属于第一组，实验结果见表2-9.是对该工程场地液化可能作出评价。
【解】 （1）初判：13,15.115.425.1,0,173004<+=>=-+==>=-+ρcu w b u w bd d d d d d dd Q ：，故均不满足不液化条件，需进一步判别。
（2）标准贯入实验判别：a.按式（2-9）计算N cri ，式中100=N （8度、第一组），0.1=d w ，题中已给出个标准贯入点所代表土层厚度，计算结果见表2-9，可见4点为不液化土层。
b.计算层位影响函数：第一点，地下水位为1.0m ，故上界为1.0m ，土层厚1.1m ，故10,55.121.10.111==+=ωZ 第二点，上界为砂砾层，层底深4.4m ，代表土层厚1.1m ，故10,95.421.14.411==+=ωZ ，其余类推。
c.按式（2-11）计算各层液化指数，结果见表2-9.最终给出16.12=I lE ，据表2-7，液化等级为中等。
液化分析表 表2-9【例3-1】已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图3-1a ）。
振动的周期与频率
振动的周期与频率振动是物体在特定力的作用下，围绕平衡位置来回反复运动的现象。
它是自然界中非常常见的一种运动形式，涉及到周期和频率两个重要概念。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨振动的周期与频率。
一、理论基础1. 振动的周期振动的周期指的是完成一个完整往复运动所需要的时间。
记作T，单位是秒。
在振动过程中，物体从平衡位置出发，到达最大偏移位置，再返回平衡位置，这一过程称为一个振动周期。
2. 振动的频率振动的频率指的是单位时间内完成振动的次数。
记作f，单位是赫兹（Hz）。
频率与周期的关系可以用公式f=1/T表示，即频率等于周期的倒数。
二、周期与频率的关系周期和频率是密切相关的，它们是振动的两个不同描述方式。
周期描述了振动的时间特征，而频率则描述了振动的次数特征。
两者之间有着相互转化的关系。
根据频率和周期的定义，我们可以得到以下关系：T = 1/ff = 1/T也就是说，周期和频率是互为倒数的。
三、实际应用振动的周期和频率在很多领域都有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 机械振动在机械工程领域，周期和频率是研究机械振动的重要参数。
通过控制和调节振动的周期和频率，可以使机械系统达到理想的运行状态，提高机械设备的效率和稳定性。
2. 声波和光波在声学和光学领域，周期和频率是描述声波和光波特性的重要参数。
声音的音调高低与频率有关，频率越高，音调越高。
同样，光的颜色也与频率相关，频率越高，光的颜色越偏蓝。
3. 电子振荡器电子振荡器是电子技术中常见的一种电路元件，它可以产生特定频率的振荡信号。
在无线通信、电子测量和音视频设备等领域，电子振荡器的周期和频率控制是实现信号处理和传输的关键。
四、总结振动的周期和频率是描述振动运动特征的两个重要参数。
周期是振动完成一个往复运动所需时间，频率是单位时间内完成振动的次数。
周期和频率是互为倒数的，它们在机械、声学、光学和电子等领域都有着广泛的应用。
理解和掌握振动的周期和频率对于深入研究和应用振动现象具有重要的意义。
震动荷载下结构计算
y m
c
y
m
k k
ky cý m
mÿ
取质块m为对象，其上作用的力，除弹性力–ky、 惯性力 – mÿ外，还有阻尼力 – cý
平衡方程为： m ÿ+ c ý+ k y = 0
因为：
k11
m
令：
c 2m
ξ 称为阻尼比
有阻尼自由振动方程可写为：
ÿ + 2ξωý + ω2y = 0 微分方程的解答分三种情况讨论：
1计算梁的自振频率4793ls2计算简谐荷载的频率4189ls所以动力系数3计算跨中截面最大正应力由电机重量产生的最大正应力和简谐荷载产生的最大动应力组成2143104kpa二阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响稳态阶段任一时刻的动力位移为
第9章 结构动力计算 学习要求
1、理解本章的基本概念（自振频率、周期、振型、 阻尼、自由振动、强迫振动、共振等）
式中： k11
m
上式为二阶常系数齐次微分方程，其解为：
1
m11
y(t) = y0cosωt + ωv0sin ωt = Asin(ωt + α )
ω为圆频率，也 称为自振频率
式中：y0为初始位移；v0为初始速度
所以，y(t)为时间t的周期函数，质点作简谐振动。
振幅 A
y02
v02
2
初相位角 tg 1 y0
在确定振动自由度时，假定变形前后杆上任意两点 之间的距离保持不变。
质点
1个 1个
2个
2个
确定体系自由度与结构是否为静
1个
定或超静定无关。
四、体系振动的衰减现象——阻尼力 使结构在振动过程中能量耗散的因素，统称为阻尼。 阻尼是结构的一个重要动力特性。
结构自振周期是结构自由振动的周期
predominant period 地震时，从震源发出的地震波在土层中传播时，经过不同性质地质界面的多次反射，将出现不同周期的地震波。
若某一周期的地震波与地基土层固有周期相近，由于共振的作用，这种地震波的振幅将得到放大，此周期称为卓越周期。
由多层土组成的厚度很大的沉积层，当深部传来的剪切波通过它向地面传播时就会发生多次反射，由于波的叠加而增强，使长周期的波尤为卓越。
卓越周期的实质是波的共振，即当地震波的振动周期与地表岩土体的自振周期相同时，由于共振作用而使地表振动加强。
巨厚冲积层上低加速度的远震，可以使自振周期较长的高层建筑物遭受破坏的主要原因就是共振。
卓越周期按地震记录统计得到，地基土随软硬程度的不同有不同的卓越周期，可划分为四级：一级——稳定基岩，卓越周期是0.1-0.2s，平均为0.15s。
二级——一般土层，卓越周期为0.21-0.4s，平均为0.27s。
三级为松软土层，卓越周期在二级和四级之间。
四级——为异常松软的土层，卓越周期为0.3-0.7s，平均为0.5s.自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，与结构的高度H、宽度B有关。
基本周期T1:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
基本振型：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型：任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。
而对建筑结构而言，有时又称为主振型，一般是指每个主轴方向以平动为主的第一振型。
高阶振型：相对于低阶振型而言。
一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高阶振型的影响。
对一般较规则的建筑物，选择的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数（大多数情况下为楼层数），若质点数较多时，根据计算结果可以只取前几个振型（即低阶振型）进行叠加。
特征周期Tg：即建筑场地自身的周期，是建筑物场地的地震动参数，在地震影响系数曲线中，水平段与下降段交点的横坐标，反映了地震震级，震源机制（包括震源深度）、震中距等地震本身方面的影响，同时也反映了场地的特性；如软弱土层的厚度，类型等场地类别等。
振动的周期与频率
振动的周期与频率振动是物体在固定位置附近做往复运动的现象。
振动可以用周期和频率来描述，周期是指振动完成一个完整往复运动所需的时间，频率是指在单位时间内振动的次数。
一、周期周期是振动完成一个往复运动所需的时间，通常用T来表示。
周期与振动的频率成反比，即周期越长，频率越低，反之亦然。
周期的单位可以是秒、毫秒等，具体使用哪个单位要根据实际情况来确定。
在自然界中，有很多物体都具有振动的周期。
比如钟摆的周期是由钟摆吊绳的长度决定的，当钟摆摆动时，可以通过计时器来测量一个完整来回的时间，这个时间就是钟摆的周期。
又比如弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和质量决定的，通过测量弹簧振子从一个极端位置到另一个极端位置所需的时间就可以得到其周期。
周期的大小与振动的物体的特性密切相关，包括物体的质量、劲度、长度等因素。
在实际应用中，可以通过改变这些因素来调节振动的周期，以满足具体需求。
二、频率频率是指在单位时间内振动的次数，通常用f来表示。
频率与振动的周期成反比，频率越高，周期越短，反之亦然。
频率的单位可以是赫兹（Hz），即每秒振动的次数。
频率是描述振动快慢的重要参数，同样可以通过改变振动物体的特性来调节频率。
在工程设计中，频率的选择与振动的稳定性、舒适性等因素有关，需要根据具体的需求来确定。
在振动领域中，频率是一个非常重要的概念，它影响着振动的各种性质和应用。
比如在声学中，不同频率的声音对应着不同的音调；在电子钟表中，使用晶体振荡器作为时钟发生器，其频率决定了时钟的精度和稳定性。
频率和周期之间有着确定的数学关系，可以通过以下公式相互转化：频率 f = 1 / T周期 T = 1 / f总结振动的周期和频率是衡量振动性质的重要指标，周期是振动完成一个完整往复运动所需的时间，频率是单位时间内振动的次数。
周期和频率之间成反比关系，可以通过改变振动物体的特性来调节它们的数值。
在实际应用中，对振动周期和频率的分析和调节对于合理设计和优化振动系统具有重要意义。
结构自振周期是结构自由振动的周期
predominant period 地震时，从震源发出的地震波在土层中传播时，经过不同性质地质界面的多次反射，将出现不同周期的地震波。
若某一周期的地震波与地基土层固有周期相近，由于共振的作用，这种地震波的振幅将得到放大，此周期称为卓越周期。
由多层土组成的厚度很大的沉积层，当深部传来的剪切波通过它向地面传播时就会发生多次反射，由于波的叠加而增强，使长周期的波尤为卓越。
卓越周期的实质是波的共振，即当地震波的振动周期与地表岩土体的自振周期相同时，由于共振作用而使地表振动加强。
巨厚冲积层上低加速度的远震，可以使自振周期较长的高层建筑物遭受破坏的主要原因就是共振。
卓越周期分级卓越周期按地震记录统计得到，地基土随软硬程度的不同有不同的卓越周期，可划分为四级：一级--稳定基岩，卓越周期是0.1-0.2s，平均为0.15s。
二级--一般土层，卓越周期为0.21-0.4s，平均为0.27s。
三级为松软土层，卓越周期在二级和四级之间。
四级--为异常松软的土层，卓越周期为0.3-0.7s，平均为0.5s.几种周期及相关概念自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，与结构的高度H、宽度B有关。
基本周期T1:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
基本振型：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型：任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。
而对建筑结构而言，有时又称为主振型，一般是指每个主轴方向以平动为主的第一振型。
高阶振型：相对于低阶振型而言。
一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高阶振型的影响。
对一般较规则的建筑物，选择的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数（大多数情况下为楼层数），若质点数较多时，根据计算结果可以只取前几个振型（即低阶振型）进行叠加。
特征周期Tg：即建筑场地自身的周期，是建筑物场地的地震动参数，在地震影响系数曲线中，水平段与下降段交点的横坐标，反映了地震震级，震源机制（包括震源深度）、震中距等地震本身方面的影响，同时也反映了场地的特性；如软弱土层的厚度，类型等场地类别等。
地震怎么计算
地震力到底是怎么算出来的？[Part.1] 很多人买房子的时候都会说这个房子「抗震」，那个房子不「抗震」。
房子抗震的前提，当然是结构工程师在设计它的时候合理的考虑了抗震要求。
那什么才叫满足抗震要求呢？或者说，结构工程师是怎么确定房子能不能抗震呢？设计房子的时候，需要考虑多大的地震力呢？最简单的情况是一层房子，比如说，我们有下面这个一层的小房子，那设计这个小房子的时候需要考虑多大的地震力呢？首先，我们要知道两个数据：房子的质量和房子的刚度。
质量好理解，就是房子有多重，比如我们这个一层的小房子重300吨，也就是300000千克。
刚度比较复杂一点，我们这个小房子的刚度是200千牛每毫米，什么意思呢？意思就是如果我拿一个变形金刚那么大的千斤顶来顶这个房子的房顶，当施加到200千牛的推力的时候，房子的房顶刚好侧移1毫米。
刚度跟什么有关系呢？简单说，柱子越多，柱子越粗，就越难推动这个房子，所以刚度就越大。
反过来，柱子越少，柱子越细，就容易被推动，刚度也就越小。
另外呢，刚度还跟高度有关系，同样的柱子数量，同样的柱子粗细，一个房子比较高，相对就高瘦一些，下盘也就不那么稳了，刚度也就小一些，另一个房子比较矮，又矮又胖，这就难推动了，刚度也就会大一些。
确定了这两个之后呢？接下来就是计算它的自振周期。
这个小房子的自振周期是0.243秒。
什么意思呢？大家都听说过军队齐步走过桥把桥振塌的小故事，原因就是齐步走的频率刚好贴近这座桥的自振频率，进而引发了共振。
我们的小房子自振周期是0.243秒，也就是说，如果一群人站在房子边上一起推房子，大家动作一致，每0.243秒推一下，那这小房子就会产生共振，大家也就一块儿作死了。
然后呢，我们需要知道这个房子所在场地的有关地震信息。
简单说，同样的房子，是建在汶川、唐山，还是建在济南、上海，需要考虑的地震力完全不同。
在我们的这个小例子里，假设这个小房子建在汶川，那么就是8度设防，第一组。
都是在汶川，是建在软泥地里，还是建在硬石头上，抑或是建在普通土壤上，这些也会影响地震作用。
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自振周期与自振频率
由可知其右边是一个周期函数，其周期为
（4-16）
T表示振动一次所需要的时间。
验证如下：
（这里）由此可见，位移确实满足周期运动的下列条件：
这表明，在自由振动过程中，质点每隔一段时间T又
重复原来的运动情况。
因此，T称为结构的自振周期。
（4-17）
f为每秒振动的次数。
单位为1/秒，称为H Z（赫兹）。
一般建筑工程用钢为7～8次/秒，钢筋混凝土为4次/秒，属低频；一般机器为高频。
（4-18）
上式表示2π个单位时间（秒）内振动的次数，单位为弧度/秒。
定义：
ω是体系固有的非常重要的动力特性。
在强迫振动中，当体系的自振频率ω与干扰力的频率θ很接近时
（0.75≤θ/ω≤1.25区段），将会产生共振。
为避免共振，就必须使ω和θ远离。
1、T和ω只与结构的质量m和刚度k11有关，而与干扰力的大小无关。
干扰力的大小只能影响振幅a的大小。
2、质量越大，则ω越小、T越大；刚度越大，则ω越大、T越小。
要改变T、ω，只有从改变结构的质量或刚度（改变截面、改变结构形式）着手。
3、结构的T、ω是结构动力性能的很重要的数量标志。
两个外表相似的结构如果T（ω）相差很大，则动力性能相差很大；反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其T （ω）相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。
地
震中常发现这样的现象。
所以T和ω的计算十分重要。
1、自振周期
（4-19）
2、自振频率（4-20）
3、工程频率
上式中，表示在质量上沿振动方向施加W的荷载时，沿质量振动方向所产生的静位移。