波函数及其物理意义

求：(1)归一化的波函数；(2)几率密度
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数
？
2 b/ 2
解:(1)

b / 2

| ( x, t ) | dx
2
b/ 2
b / 2
| ( x, t ) | dx | ( x, t ) | dx 1
区别
对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义 的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规 律。 宏观物体：讨论它的位置在哪里
微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大
第二章 薛定谔方程
波函数的归一性：
设波函数
x, y, z, t 描写粒子的状态

2
在空间一点（x,y,z）处和时刻t:
C ( x, y, z, t ) d 1

( x, y, z, t )

2
d 1
(1)


( x, y, z, t ) d 1
2
(1) ——波函数的归一化条件
满足（1）的波函数——归一化波函数
第二章 薛定谔方程
经典波和微观粒子几率波的区别： 1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
被实验 否定
第二章 薛定谔方程
电子双缝衍射实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
第二章 薛定谔方程
分析及讨论： 底板接收的电 子是一个一个 的完整体 条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布 波动性表现 电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布 电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律




( x) dx 1 或

2



x xdx 1
A x 1 ix
2
A x 1 ix
dx 2 2 A A arctg x A 1 1 x 2 1 归一化的波函数为 x 1 ix
2
即：
x A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2
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b A 1 2
2
A
2 b
归一化的波 函数为：
( x, t ) 0
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
2 iE x ( x, t ) exp( t ) cos( ) b b (2)几率密度为：
( x, t ) ( x, t ) 0
2 2 x ( x, t ) ( x, t ) cos ( ) b b
2
2
( x b / 2), x b / 2) (b / 2 x b / 2)
( x, t )
2
如图所示，在区间（b/2,b/2) 以外找不到粒子。在x=0处找 到粒子的几率最大。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的
在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
第二章 薛定谔方程
波函数是什么呢？

2
与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。
结论
2
d 1


( x , y , z , t ) d
2 2
2
概率波 ( x, y, z , t )和 C ( x, y, z , t ) 的相对概率是相同的

( x1 , y1 , z1 , t ) ( x2 , y2 , z2 , t )

C ( x1 , y1 , z1 , t ) C ( x2 , y2 , z2 , t )
电子双缝衍射
第二章 薛定谔方程
波动观点 衍射条纹 极大值 波的强度最大 波函数振幅绝对值的 粒子观点 感光点的密度最大 电子到达的数目多 电子出现的概率大 感光点的密度为零 到达的电子数目为零 电子出现的概率为零
平方即
衍射条纹 极小值
最大
2
波的强度为零 波函数振幅绝对值的 平方
=0
2
第二章 薛定谔方程
C为比例常数
2
第二章 薛定谔方程
dW ( x, y, z, t ) 2 几率密度 ( x, y, z , t ) C ( x, y , z , t ) d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率 粒子在整个空间出现的几率： C
C
1

( x, y , z , t )
2 2
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
第二章 薛定谔方程
C 1
( x, y, z, t )


( x, y, z , t ) d
和
2
2
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
( x, y, z, t ) 描写的是粒子的同一状态
感光强度的分布∝电子出现的概率分布
感光强度的分布∝电子波函数振幅绝对值的平方
结论
某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几 率正比于该时刻、该点处的波函数的模 2 的平方 r , t 。
第二章 薛定谔方程
总结： 衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。

A
1

1 2)粒子坐标概率密度分布函数为 x x x 1 x2


3） 令 x 0 求出，在x=0处概率密度最大
max (0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) b
波的强度是


——表示Φ的共轭复数
dW ( x, y, z, t ) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz
dW ( x, y, z , t )
2
dW ( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) d
x, t
-b/2
o
b/2
x
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
第二章 薛定谔方程
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 波函数的物理意义
第二章 薛定谔方程
2-3 波函数及其物理意义
i ( Pr Et )
Ae
自由粒子德布罗 意波的波函数
一般情况下，用一个复数函数表示描写粒子的波，称 这个函数为波函数（Wave function）。
粒子性与波动性之间存在怎样的联系？ 观点： 波是由它所描写的粒子组成的 粒子是由波组成的
2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四
倍, 变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响 粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一 个常数,所描述的粒子的状态并不改变。
例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为 A 1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分 ( x) 1 ix 布函数；3）求在何处找到粒子的概率密度最大？ 解：1）令