热力学统计物理第六章课件

§6.1 粒子运动状态的描述
三、常用粒子的相空间和相体积 1、三维准自由粒子（V） r=3 正则变量：x，y，z，Px， Py， Pz 能量：ε＝ （ Px 2+ Py 2+ Pz 2 ）/2m µ空间空间的体积元为：dxdydzdPxdPyd Pz 相体积： dxdydz dpx dpy dpx
p

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H
dxdp

x
2
x
§6.1 粒子运动状态的描述
3、转动（双原子分子的空间转动）
r=2
,, P , P
z
1 m x2 y2 z 2 2 1 m r 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 2 P 1 P 2 2I sin
a
l
l
N
a
l
l l
E
系统具有确定的宏观状态：
3、 系统的微观状态
指系统的各个微观粒子在能级的各个量子态的占据情况.
二、 ｛al｝分布在不同的系统下的微观状态数 1、 玻耳兹曼系统
系统特点：1）粒子全同，但粒子可以分辨 2）粒子占据态不受限制
§6.3 最概然分布
能级： 简并度： 粒子数： 状态数：
五、两种描述的关系
状态数： () n
态密度：D() n/n 例如：转动
l (l 1) 2 2 l , wl 2l 1, n l 1 2I
8 I h2
2
取：
h2
2
8 I n l l 1, l 2l
统计物理的基本思想：
1、宏观的系统是由大量的微观粒子组成的。 2、大量粒子组成的系统的特点
特点一：动力学的决定性和微观状态的随机性
动力学的确定性
问题：
H q p p H q
1）大量粒子，且有复杂的相互作用－－求解这样的方程不可
能。 2）实际的系统，绝大多数的解具有不稳定性。 3）宏观问题不等于对微观粒子运动状态的简单、机械的累加。 特点二：系统具有统计规律（系统处于某个微观态是偶然 的，但在一定的宏观条件下，处于某个微观态的概 率是一定的）
, 则 n l l 1时，
Unit
Level n
n2
(n＋ ½ )
n
2n
n＋1
(n)
2n
n+ ½
n
2
1
D(n)n
2－1/n
1
平动
振动 转动
h2/(2mL2)
hv
h2/(82I)
l(l＋1)
(l+1)2
l(l＋1)
2l＋1
2l
当能级间隔很小时，取h0＝h，经典描述的状态数和量子描述 的状态数近似相等，两者的区别仅在于粒子是否可追踪， 或者是否可分辨。
二、µ空间
1、定义：以广义坐标和广义动量为坐标基矢的2r维空间。 2、相点： 相空间的一个点（粒子的一个运动状态）。 3、相轨道：
相空间里的一条曲线（粒子运动状态的变化）。
4、相体积： 粒子运动状态代表点在µ空间充斥的范围
（等能面所包围的相空间体积）
说明：
1）自由度不同的粒子不能在同一相空间里描述； 2）代表点在相空间的轨道或者是一条封闭曲线，或者是自身永不相交的曲线。
统 计 物 理
第六章 近独立粒子的最概然分布
热力学回顾和统计物理简介
热力学方法
热力学基本定律 单元单相系统 单元复相系统 多元复相系统 系统的物质系数（物态方程），热容量等？
实验为 基础
统计物理
不依赖于实验，同时需要实验的验证
分子运动论（柏努利）的基本思想：
1、物质由大量原子、分子组成。 2、原子、分子处于不断热运动中。 3、原子、分子间有相互作用。 玻尔兹曼、吉布斯等人发展了统计系综理论 ， 真正开创了统计物理 。
{al }
能级：
给出粒子数在各能级中的分布和量子态简并度在各能级的分布 即：
1 , 2 ,, l ,
1 , 2 ,, l ,
简并度： 粒子数：
a1, a2 ,, al ,
{al }
§6.3 最概然分布
若系统有确定的粒子数N、能量E和体积V,则分布必满足: 物质守恒和能量守恒
3）玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。 b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。 c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 4)玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在 一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。
设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子
态有3个，如果这两个粒子分属玻耳兹曼
系统、玻色系统、费米系统时，试分别
讨论各种系统可能具有的微观状态数？
对于定域系统可有9种不同的微观状态
量子态1 量子态2 1 AB 量子态 3
2
3 4 5 A B
AB
AB B A
6
7 8 A B
A
B
B
A B A
9
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。
3、宏观量等于微观量的统计平均
量子力学+统计物理 经典力学+统计物理
量子统计物理 经典统计物理
任何的统计理论都要涉及解决的三个问题：
1、研究对象是什么？（确定系统 ） 2、如何求概率分布？
3、如何求热力学量的统计表达式？
§6.1 粒子运动状态的描述
一、粒子的状态的经典描述 1、 粒子的自由度（r） 独立的坐标数目
2 、独立变量（2r）
广义坐标：qi i 1...r 广义动量：pi i 1...r
3、粒子的能量
H q i p i p H i qi
能量 （q1, q2 ,qr；p1, p2 , pr）
§6.1 粒子运动状态的描述
量子态1 1
2 3 4 5 A A
量子态2
量子态3
AA
AA AA
A
A
A
A
6
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
2
A
A
A A
3
A
A
分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数
粒子类别 量子态1
A B A B
量子态2
量子态3
A
A B A A B A B A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A
L L L 2 2 2 2 2 2 En nx n y nz 2 mL


量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组 量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。
§6.1 粒子运动状态的描述
2、量子描述
粒子不 可追踪
1、自由度：r
2、独立变量：r个量子数( n1,n2,…,nr) 3、能量： ε=ε（n1， n2，…,nr） 4、简并度wn：能级εn上的状态数 5、状态数（0-εn 上的状态数）



A


x
o

y

M2 2I 2I P
2
H
dddP dP
8 2 I
§6.1 粒子运动状态的描述
四、粒子运动状态的量子描述 1、微观粒子的波粒二象性
黑体辐射问题－－普朗克公式 普朗克：能量子 爱因斯坦 ：光电效应－－光量子（光子）
德布罗意： 微观粒子具有波粒二象性


兼并度：不同能级，简并度不同。n＝1时，w＝6. h2/m数量级10-30，平动能很小，间隔很小，能级很密集。
例3：转子 r = 2， 量子数： l, m
量子理论要求，转子的角动量取一系列分立的值：
M 2 l (l 1) 2
l 0,1,2,
一定的l，角动量在z轴的投影也只能取分立的值
六、粒子状态数的半经典的求解
1、测不准关系 －－不能完全测定粒子的坐标和位置。 不可确定度为：Δx· x≤ Δp 2、µ空间中 1）相格（相元）hr－－粒子的运动状态 2）一定的µ空间体积中包含的粒子的状 态数有限。 3）从相空间的角度求粒子的量子态数或者 态密度？
例、求在V=L3内， 1）Px→Px+dPx，Py → Py+dPy，Pz → Pz+dPz 间的自由粒子的量子态数与态密度？ 2）ε→ε+d ε的量子态数与态密度？
M Z m, m l ,l 1,, l
转子的能量为：
l (l 1) 2 l 2I
l 0,1,2,
简并度：
wl 2l 1
n n l 0 l 0
状态数： n l (2l 1) l 12
§6.1 粒子运动状态的描述
描述核外电子运动状态需要四个量子数（n，l，m，ms） 主量子数 n：表示原子的大小, 核外电子离核的远近和电子能量的高低。 角量子数 l：决定了原子轨道的形状. 磁量子数m：轨道在空间分布的方向. S2 S S 1 2 自旋磁量子数 ms：自旋在本征方向的投影。


例4：电子的自旋
自由度：r = 1 量子数：S , S= ½
S z ms , mS S , S 1,,S

e S m

e e z Sz m 2m
e eB B B B mS 2m m
w＝1，σ＝2
§6.1 粒子运动状态的描述
V H 3 4 V 2m 2 3
假设一个态占据相空间体积为h0r－－相格，h0由测量 的精度确定。则以上相体积包含的状态数为： µ/h0r。
§6.1 粒子运动状态的描述
2、一维线性谐振子 r = 1， x，Px
p 1 m 2 x 2 2m 2
2
p2 x2 1 2 2m m 2
n l
l 1
n
h2 m
§6.1 粒子运动状态的描述
3、举例
例1：一维振动 自由度：r = 1
量子数：n ，n=0，1，2….. 能级： n = hv (n ＋ ½) = ℏw(n + ½) 兼并度：n = 1 状态数： n = k = n＋1 例2：三维平动 自由度：r = 3 量子数：nx , ny，nz 能级： 2 2 2 2 2 2 En nx n y nz 2 mL
§6.2 系统微观运动状态的描述
费米系统:
把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利 不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最 多只能为1个粒子的系统称作费米系统。
玻色系统:
把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡 利不相容原理的约束，即粒子占据态不受限制。
§6.2 系统微观运动状态的描述
§6.2 系统微观运动状态的描述 一.系统 1）全同粒子：具有完全相同属性的同类粒子组成 N 2）近独立粒子 E i 二.经典物理中微观运动状态的描述
i 1
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。 三.量子物理中微观运动状态的描述 1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动） 2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
, p k
测不准关系：△p △q≈h 微观粒子不可能有确定的动量和坐标
薛定谔：微观粒子的运动方程－－薛定谔方程
§6.1 粒子运动状态的描述
ˆ i H t
波函数的意义：粒子出现的几率 波函数必须满足：单值、连续、有限 求解薛定谔方程发现，粒子的能量不连续，粒子只能处于 一系列的能级上。 n yy nxx n z 例如：在盒中运动的微观粒子 A sin sin sin z
B
玻耳兹曼系统
B
玻色系统
A
费米系统
§6.2 系统微观运动状态的描述
四、α 个粒子组成的系统，单粒子的量子态为w， 系统的状态数：
MB wa
BE C
a wa 1
a FD Cw
§6.3 系统的最概然分布 一. 系统的｛al｝分布 1、系统 大量全同、近独立的粒子组成的，具有确定的粒子数N、 能量E和体积V的系统。 2、分布
1 , 2 ,, l ,
1 , 2 ,, l ,
a1, a2 ,, al ,
1 , 2 ,, l ,
l l
al
1）ε l能级上，al个粒子在wl上的占据方式为： 2）考虑不同能级上的总的占据方式：
1 2 l
3）考虑粒子可以分辨，将N个粒子按｛al｝分布的方式为： （任意交换能级间的粒，对应不同的微观态） N !