直线方程典型例题
直线方程典型例题加习题
直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义 (2)范围： 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝. 3．直线方程的五种形式判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )1．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝______.4．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____________．题型一 直线的倾斜角与斜率例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠12．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( )A ．－π7B.π7C.5π7D.6π73．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A.3B ．－3C ．0D ．1＋ 36．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.。
高中数学直线与圆习题精讲精练
圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
《直线的方程》全章知识点总结及典型例题
、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P （x 0， y 0）和斜不能表示斜率不y －y 0＝k （x －x ）斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y ＝ kx ＋b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ，y 1≠y 2 即P 1（x 1，y 1），P （x ，y － y 1 x － x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2），其中 x 1y 2－ y 1 x 2－ x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ，y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a ， bx＋y ＝1不为 0，不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0，b ≠0点一般形式Ax ＋ By ＋C ＝ 0A ，B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1， P 2的坐标分别为 （x 1，y 1），（x 2，y 2），设 P （x ，y ）是线段 P 1P 2 的中点，则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（A 1，B 1 不同时为 0），A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0（A 2，B 2不同时为0），A1B2－ A2B1＝ 0，A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1（A 、B 、C 均不为零 ）B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x ＝x 1＋ x 2 y 1＋y 2l1⊥ l2? A1A2＋B1B2＝ 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋ 7 平行；(2)经过点 C(－1，－ 1)，且与 x轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．变式训练 1、(1)经过点 (－3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ ．(2) ________________________________________________________________________ 直线 y＝2x ＋1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程是_________________ ．(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(－1，－2)，其倾斜角等于直线 l2：y＝33x的倾斜角的 2 倍，则 l1的点斜式方程为_________ ．考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __．(2)已知直线 l1的方程为 y＝－ 2x＋ 3， l 2的方程为 y＝4x－2，直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同，求直线 l 的方程．变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的斜截式方程．6考点三、直线过定点问题例 3、求证：不论 m 为何值时，直线 l：y＝(m－1)x＋2m＋1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l：5ax－5y－ a＋ 3＝ 0.求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．变式训练 4、若点 P(3，m)在过点 A(2，－ 1)，B(－ 3,4)的直线上，则 m＝_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A．3x＋y－6＝0 B．x＋ 3y－ 10＝ 0C．3x－ y＝0 D．x－3y＋8＝ 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34， 2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12，求直线 l 的方程．3A．2 条 B．3 条 C．4 条 D ．无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A．1 条 B．2 条 C．3条 D．无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3) ；(2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－ 2；(3)经过点 A(－ 1,5)，B(2，－ 1)两点；(4)在 x轴，y 轴上的截距分别为－ 3，－1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是－21，且经过点 A(8，－ 6)的直线方程为 ____________ ；(2)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ；3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和－3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3，－ 2)，P2(5，－ 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ ．例 8、设直线 l 的方程为（m2－ 2m－ 3）x－（2m2＋m－ 1）y＋ 6－2m＝ 0.（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为－ 3，则 m＝；（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m＝ __ .变式训练 8、若方程（a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋ 1＝0 表示一条直线，则实数 a 满足．考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、（1）已知直线 l 1： 2x＋（m＋ 1）y＋4＝ 0与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行，求 m的值；（2）当 a 为何值时，直线 l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0 与直线 l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？变式训练 9、已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的 a 的值．（1）l1∥ l2；（2）l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝ 0，求满足下列条件的直线 l′的方程：（1）过点（－1,3），且与 l 平行；（2）过点（－1,3），且与 l 垂直．变式训练 10、已知点 A（2,2）和直线 l：3x＋ 4y－20＝0. 求：（1）过点 A 和直线 l 平行的直线方程；（2）过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．三、课后练习一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．不论 m为何值，直线（m－ 1）x＋（2m－ 1）y＝ m－ 5 恒过定点（）1A. 1,B. （－ 2,0）C. （2,3）D. （9 ，－ 4）范围为（）A. B. C. D.3．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（）A. B. C. D.4．若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ，则直线y kx b 在y 轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5．已知直线l1 :x y 1 0，动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论错误．．的是（）A. 存在k，l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k，l1与l2都有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不．重合D. 对任意的k，l1与l2都不．垂．直．6．设点A 2, 3 ，B 3, 2 ，直线 l 过点P 1,1 ，且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围（）33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ，则有（）A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18．直线x 3y1 0 的倾斜角为（）.A. B. C. D.9．直线的斜率和在轴上的截距分别是（)A. B. C. D.10 ．过点，且平行于向量的直线方程为（）2．已知不等式组表示的平面区域为18．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．11．过点 A （3，3） 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13．已知 a,b, c 为直角三角形的三边长， c 为斜边长，若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上，则 m 2 n 2的 最小值为 __________ ．14．m R ，动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ，动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ，若直线 l 与l 2相交于 点 P （异于点 A,B ），则 PAB 周长的最大值为 ________15．过点 （2，－ 3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ ．16．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ，给出以下命题： ① 若 ，则直线 与直线 平行； ② 若 ，则直线 与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直；④若 ，则直线 与直线 相交；其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17．求符合下列条件的直线方程： （ 1）过点 ，且与直线 平行； （ 2）过点 ，且与直线垂直；（ 3）过点， 且在两坐标轴上的截距相等．1）求边 上的高所在直线的一般式方程；A. B. C. D.12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,2， 3,0 ，那么线段 AB 中点的坐标为（）．A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22）求边上的中线所在直线的一般式方程19．已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0（ 1）求证：直线 l 过定点。
第三章直线与方程知识点及典型例题
第三章直线与⽅程知识点及典型例题第三章直线与⽅程知识点及典型例题1. 直线的倾斜⾓定义：x 轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
特别地，当直线与x 轴平⾏或重合时,我们规定它的倾斜⾓为0度。
因此，倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜⾓不是90°的直线，它的倾斜⾓的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常⽤k 表⽰。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平⾏或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0例.如右图，直线l 1的倾斜⾓α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜⾓是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下⾯四点：(1)当21x x =时，公式右边⽆意义，直线的斜率不存在，倾斜⾓为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序⽆关；(3)以后求斜率可不通过倾斜⾓⽽由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜⾓可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)，当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线⽅程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的⽅程是y =y 1。
直线与圆的方程典型例题
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以帮助我们 研究几何图形的 性质和特征
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以用于解决 实际生活中的问 题，如测量、绘 图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划：利用直线与圆的方程，可以计算出最短或最安全的行驶路 径。
建筑设计：在建筑设计时，可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计 方案，以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式 方程：通过已 知直线的一般 式方程，推导 出直线的斜截 式方程，并说 明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形：通过移项、合并同类项等操作，将一般方程转化为标准方程或参数方 程
圆的参数方程：通过引入参数t，将圆的方程转化为参数方程，方便进行参数化处理和求解相 关问题
直线与圆相离的 条件：圆心到直 线的距离大于圆 的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，解得交点坐标 拓展：利用韦达定理，求出交点坐标之间的关系，进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人：XX
直线与圆的交点求解
联立方程法：通过 将直线方程与圆方 程联立，消元求解 交点坐标
几何法：利用圆心 到直线的距离等于 半径，判断交点个 数，并求解交点坐 标
参数方程法：利用 参数方程表示直线 和圆的方程，通过 消参法求解交点坐 标
代数法：通过代入 法求解交点坐标
03
直线与圆方程的应 用
几何图形中的应用
点斜式方程：知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k，则直线 方程为y-y1=k(x-x1)
直线方程典型例题
<第三章直线与方程 > 典型例题1、求斜率的范围及倾斜角的范围:已知直线I过点C( 1,2)且与以A (-2,-3)、B线I的斜率的取值范围。
解:如图：直线I的边界直线为直线CA，直线CB其中的特殊直线为直线CE1I斜率取值范围是(-，-2)(5,)2、考查两直线的垂直关系：已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标解：设C点坐标为(a,0)因为AB为直径，所以CA与CB垂直&A ? k CB 1解得a=1或2C(1,0)或C(2,0)3、考查两直线的平行关系：已知两条直线l1: x ysin 1 0, l2: 2xsin y 1 0试求的值，使得l1 //12。
解：若I1//I2则12sin20,即 cos2 022k 2 或 2k 2(k Z)k 或 k -(k Z)4 44、已知直线h：2x+y-6=0和点A(1,-1),过点A作直线J与已知直线h相交于B点,5，且|AB|=5,求直线12的方程。
当 12 的斜率不存在时，12：x=1 此时 B(1,4)， |AB|=|4-(-1)|=5 ••• 12 的方程为3x+4y+1=0 或 x=1 5、过点(-2,-1)且在两坐标轴上截距相等，求直线方程 。
1 解:若直线在两坐标轴上的截距为 0时，设L 的方程y=kx 将(-2,-1)代入得y ； x若两截距不为0，则可设L 的方程为x $ 1，将(-2,-1)代入得a= -3a a 1所求方程为x+y+3=0或y ?x& 一直线I 被两直线h : 4x y 6 0，l 2 : 3x 5y 6 0截得的线段的中点恰好是原点，求l 的方程。
解：当斜率不存在时，不合题意。
当斜率存在时可设l 的方程为y kx ，与l 1联立可求交点为(一6 , 生)，与12 k 4 k 4联立可求交点为(一6 ，-^)，由题意知： 6 6 0,可得k=-3 5k 3 5kk 4 3 5k 61l 的方程为y -x67、已知(k 1)x (k 1)y 2k 0为直线I 的方程，求证：不论k 取何实数值，直解：当12的斜率存在时，设12的方程为y+1=k(x-1),由 2x y 6 0 y 1k(x 1) 得交点B k 7 4k 2k 2 ' k 2 由已知得AB 牯1)2 (廿1)2 12的方程为y 13(x 1)，即 3x+4y+1=0。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
直线和圆的方程的典型例题
问题，利用数形结合法求最值.
［例5］已知直线l:y=k(x－a)及圆O:x2+y2=r2(a＞r＞0)，直线l与圆O
相交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹方程．
【解法一】设轨迹上任一点为M(x,y),A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1+k2)x2－2ak2x+a2k2－r2=0,
(4+2sinθ)2=60+32sinθ+24cosθ=60+40sin(θ+).(其中tan=), 当sin(θ+)=－1时, (|AP|2+|BP|2)min=20, 此时60+24cosθ+32sinθ=20,即3cosθ+4sinθ=－5. 由得
∴P点的坐标为(). 【解法二】设P点的坐标为(x,y). ∵A(－1,0)、B(1,0), ∴|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x－1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2. 要使|AP|2+|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小. 又点P为圆C：(x－3)2+(y－4)2=4上的点， ∴(|OP|)min=|OC|－r(r为半径). 由(x－3)2+(y－4)2=4知：C(3，4)，r=2. ∴|OC|－r=－2=5－2=3, 即(|OP|)min=3,∴(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20. 此时，OC：y=x 由得 或 (舍) ∴点P的坐标为(). 【点评】解法一是利用了圆的参数方程的形式设出了点P的坐标， 使所求的式子转化为三角函数式，利用三角函数法求最值;解法二设出 的是P点的普通坐标(x,y),使要求的式子转化为求圆上的点到坐标满足(x－)2+y2=．
直线系方程
一 直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。
直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.【例1】求平行于直线02=--y x 且与它的距离为22的直线方程。
二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。
【例2】求经过两条直线01032=+-y x 和0242=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程。
三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.【例3】求过点(14)P -，的直线且与点(2,3)的距离为1的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.【例4】 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.五、求直线系方程过定点问题【例5】 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.【例6】 已知m 为实数，直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点，求出定点坐标。
直线的方程典型例题
直线的方程典型例题直线是平面上最基本的元素之一，它在几何学和代数学中都有重要的应用。
对于一条直线而言，我们通常需要确定它的方程来描述其性质和特征。
本文将介绍一些关于直线方程的典型例题，并给出解法和详细说明。
例题1：已知两点求直线方程题目描述：已知直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线的方程。
解法：为了求得直线的方程，我们需要先找到直线的斜率k。
根据两点间的斜率公式，可以得到：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)将A(1, 2)和B(3, 4)的坐标代入公式中，可以得到：k = (4 - 2) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1得到斜率k为1。
接下来，我们使用点斜式来表示直线的方程。
点斜式是通过一个点的坐标和直线的斜率来表示直线方程的形式。
对于已知点A(1, 2)和斜率k=1的直线，直线方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)将A(1, 2)和k=1代入方程中，可以得到：y - 2 = 1(x - 1)简化得到直线方程：y - 2 = x - 1进一步整理得到最终的直线方程为：y = x + 1因此，直线的方程为y = x + 1。
例题2：已知截距求直线方程题目描述：已知直线截x轴的截距为3，截y轴的截距为2，求直线的方程。
解法：对于已知直线的截距，我们可以采用截距式来表示直线的方程。
截距式是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
对于已知直线与x轴的截距为3和与y轴的截距为2的情况，直线方程可以表示为：x / a + y / b = 1将已知的截距代入方程中，得到：x / 3 + y / 2 = 1为了去除分数，我们可以将方程两边同时乘以6，得到：2x + 3y = 6因此，直线的方程为2x + 3y = 6。
例题3：已知垂直直线的方程求直线方程题目描述：已知直线x + y = 5，求与该直线垂直的直线的方程。
解法：两条直线的垂直性意味着它们的斜率之积为-1。
(最强)直线方程易错题、直线系-对称问题
直线方程易错题一 定点问题1.若k ∈R 时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A （1，-2）B （-1,2）C （-2,1）D （1,2） 2.方程y=k （x-2），x ∈R 表示（ ）A 通过点（-2,0）的一切直线B 通过点（2,0）的一切直线C 通过点（2,0）且不垂直x 轴的一切直线D 通过点（2,0）且除去x 轴的一切直线 3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点_____ 二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A12mn B 1||2mn C12mnD 12||mn 2.过点P （2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：________3.过点（5,2）且在x 轴上截距是y 轴上截距两倍的直线方程是：__________4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0B x-y+3=0或2x-5y=0C x-y+3=0D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。
三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.求AOB ∆的面积最小时直线l 的方程;2. 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ） A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0） 变式：若使||PM|+|PN||最小呢？四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）4. 直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)4,3()1,4(B A 、-的距离之差最大，则P 点的坐标是___.五、易错题1.已知直线L 的横截距为a ，纵截距为b ，斜率为k ，则下列命题正确的是（ D ） A 直线与坐标轴围成的面积是12ab B 直线的方程是：1x y a b += C 斜率k=ba- D 以上都不对 2.若直线L 过点（1,2）且两截距相等，则直线L 的斜率k 是（ D ）A k=-1或k=2B k=±1或k=2C k=-1D k=1或k=2 3. 下列四个命题中属于真命题的是 （ B ）A 、经过定点的直线都可以用方程00()y y k x x -=-B 、经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用1x ya b+=表示； D 、经过点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示4.直线tan +y-1=07x π的倾斜角是（ D ）A -7πB 7πC 75πD 76π5.若111:0L A x B y C ++=与222:0L A x B y C ++=只有一个公共点则（ D ）A 1122AB -A B =0 B 1221A B +A B =0C 1212A AB B ≠ D 1122A B A B ≠6.当θ是第四象限角时，直线sin x θ+和直线x +的位置关系是（ C ）A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 与θ角有关 7.若直线L 1：x+ay+6=0与直线L 2：（a-2）x+3y+2a=0互相平行，则a 的值为（ C ） A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线方程是（ C ）A112121y y x x y y x x --=-- B 122112y y x x y y x x --=--C 211211()()()()0y y x x x x y y -----=D 211211()()()()0x x x x y y y y -----=9.下列命题：○1若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平行 ○2若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等 ○3若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平行 其中不正确的命题是____○2__○3____ 10.已知两点A （-1,2），B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k （2）求直线AB 的方程 （3）已知实数m [1]3m ∈--，求直线Ab 的倾斜角α的取值范围11.求过点P （-5，-4）且分别满足下列条件的直线方程（1）倾斜角的正弦值是45； （2）倾斜角是直线l ：314y x =+的倾斜角的一半（3）与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且||3||5AP BP =直线系方程及其巧妙应用1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１ 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． （2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性． 例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）． 显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故AB ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43Bx A=-+． 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A BB A -=-+， 令A z B =，则13443z z-=-+，整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =， 则0A B =≠，或403A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中AB ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目． 练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°角的直线方程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程． 答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．课题：直线系与对称问题教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y bax a b-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By CD A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.问题3．根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫⎪⎝⎭2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，AB 仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.（四）走向高考：13.（02北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.（03全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为.A 12y x =- .B 12y x = .C 2y x =- .D 2y x =15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=16.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是17.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x.C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ，设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7.由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.（数学2必修）第三章 直线与方程训练题一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题3、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
高中数学讲义直线方程
直线方程【知识要点】1.直线方程2.对称问题(1)点关于直线对称的问题(2)直线关于点对称的问题3.三角形中的综合问题（有关中线、高线、角平分线的应用）【典型例题】1.经典小题（1）如图所示,直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )A.k 1<k 2<k 3B. k 3<k 1<k 2C. k 3<k 2<k 1D. k 1<k 3<k 2（2）已知点A （－2，1），B （2，4），直线l 过M （1，0）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 （3）不论m 为何值时，直线5)12()1(-=-+-m y m x m 都过一定点，则该定点的坐标为（4）过点A(2,1),且在x ,y 轴上截距相等的直线方程是2.一条直线经过点P （1，2）,与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点,分别满足下列条件，求直线方程：（1）△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）（2）直线在两坐标轴上的截距之和取得最小值3．直线l 被两条直线1l :4x+y+3=0和2l :3x─5y─5=0截得的线段中点为P(─1,2),求直线l 的方程4.对称问题(1) 求点P(0，1)关于直线x ＋2y ＋3＝0的对称点的坐标．(2) 求直线x ＋2y ＋3＝0关于点P(0，1)对称的直线方程．(3) 求直线l 1：x －y －2＝0关于直线l 2：3x －y ＋3＝0对称的直线方程．5.对称问题的应用（1）已知A (2，0)，B (－2，－2)，在直线L ：x ＋y －3 =0上找一点P ，使|PA | + |PB | 最小（2）自点(1,3)P 发出的光线1l 经过直线2y x =反射后经过点()3,11Q ，求反射光线所在的直线方程6．已知ABC ∆的顶点(3,1)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程课堂练习1.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直线( )A.恒过定点(－2,3)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(－2,3)和点(2，3)D.都是平行直线2.已知A （－2，3）B （3，0），直线L 过O （0，0）且与线段AB 相交，则直线L 的斜率的取值范围是（ ）A.－23≤K ≤0B.K ≤－23 或K ≥0 C.K ≤0或K ≥23 D.0≤K ≤23 3.经过（-2，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程为4.直线l 1: (2a +1)x +(a +5)y －6=0与直线(3－a )x +(2a －1)y +7=0互相垂直，则a 等于（ ）A.－31B.1C.71D.21 5.点A (1, 2)在直线l 上的射影是B (－1, 4)，则直线l 的方程是（ ）A.x －y +5=0B.x +y －3=0C.x +y －5=0D.x －y +1=06．已知O （0，0），A （3，0），B （1，1），则AOB ∠的平分线所在的直线方程是（ ） A.x y 33= B.x y 22= C.x y )12(+= D.x y )12(-= 7.动点P 在直线40x y +-=上,O 为原点,则OP 的最小值为 ( )B. D. 28.已知直线l 经过点(5,10)P ，且原点 它的距离为5，则直线l 的方程为9.已知点P （2,3）既在直线111:10l a x b y ++=上，也在直线222:10l a x b y ++=上，则经过点()()1122,,,A a b B a b 的直线方程为10．在△AB C 中,B C 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y =0,若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标.。
直线的方程(一)
直线的方程（一）【基础回顾】直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式和使用条件；重点掌握点斜式、斜截式、截距式和一般式. 直线方程的最后结果除有特别要求外，一律化成斜截式、截距式和一般式.【典型例题】1.点斜式：当斜率k 存在时，过点00(,)P x y 的直线表示为：00()y y k x x -=-斜截式：当斜率k 存在时，直线的方程可表示为：y kx b =+（b 是直线在y 轴上的截距） 截距式：当0ab ≠时，直线的方程可表示为：1x y a b+=（a ，b 分别是直线在x 轴，y 轴上的截距）例1 分别求出通过点(3,4)P 且满足下列条件的直线方程.（1）斜率2k =；（2）与x 轴平行；（3）与x 轴垂直；（4）倾斜角30α︒=；（5）经过点(2,0)Q ；（6）经过点(,2)a .例2 直线24y x =-的斜率是 ，在x 轴、y 轴上的截距分别是 ， ，直线4y =，5x =呢？ 思考：方程134x y +=在坐标轴上的截距分别是什么？143x y -=和124y x -+=-呢？ 例3 一直线经过点(3,4)-且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程.变式1：一直线经过点(3,4)-且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.变式2：一直线经过点(3,4)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的3倍，求直线的方程.变式3：一直线经过点(3,4)-且在坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程.例4 若直线2(2)(23)2m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，求m 的值.拓展：经过点(2,8)的直线与x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b （0a >，0b >），试求该直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值，并求此时直线的方程.2.一般式：当220A B +≠时，直线的方程可表示为0Ax By C ++=.当0B =时，直线的斜率不存在；当0B ≠时，直线的斜率A k B=-. 例5 直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 满足什么条件时，这条直线分别具有以下性质：（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在的直线；（5）是y 轴所在直线；（6）过坐标原点；（7）与x 轴平行；（8）与y 轴平行.【夯实基础】1.在同一坐标系中，能正确表示直线y ax b =+和y bx a =+的图形是 .①x x x x2.直线10Ax By +-=在y 轴上的截距是1-y -=的倾斜角的2倍，则（ ）A. 1A B ==B. 1A B ==-C. 1A B ==-D. 1A B ==3.过点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为（ ） A. 32-B. 23-C. 25D. 2 4.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则a ，b 满足（ ）A. 1a b +=B. 1a b -=C. 0a b +=D. 0a b -=5.已知直线l 与两直线70x y --=，1y =分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1,1)-，则直线l 的斜率为（ ） A. 23 B. 32 C. 23- D. 32- 6.已知直线430x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为3，则实数k = . 7.已知 ABC 在第一象限，若(1,1)A ，(5,1)B ，60A ︒∠=，45B ︒∠=，求：（1）边AB 所在直线的方程；（2）边AC 和BC 所在直线的方程.8.设直线l 的方程为22(23)(21)26m m x m m y m --++-=-，根据下列条件分别确定m的值：（1）l 在x 轴上的截距是3-；（2）l 的斜率是1-.。
高考数学直线方程典型例题解析
高考数学直线方程典型例题解析一. 教学内容： 直线方程［知识点］1. 直线方程两点式：()()()方程推导：已知直线经过两点，，，求直线的l P x y P x y x x l 11122212≠方程？解：k y y x x =--2121代入点斜式()y y k x x -=-121()∴-=---y y y y x x x x 121211·∴--=--y y y y x x x x 121121注意：（1）特殊情况：x ＝x 1或y ＝y 1不能用两点式表示，即与x 轴平行或与x 轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。
（2）两点式变形形式：（y －y 1）（x 2－x 1）＝（y 2－y 1）（x －x 1） 此方程与平面上的直线一一对应。
2. 直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x 轴交于A （0，a ）与y 轴交于B （b ，0），其中（a ≠0，b ≠0）求直线l 的方程。
解用两点式：y b x aa --=--000∴=-y b a x a∴+=x a yb1（截距式）注意：（1）特殊情况：当a ＝0或b ＝0时不能用上式，即过原点或与x 轴平行或与y 轴平行的直线不能用截距式。
（2）截距式是两点式的特殊情况。
3. 直线方程的一般式：方程形式：，、不同时为零。
Ax By C A B ++=0适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。
4. 关于直线方程形式间的互化方法。
【典型例题】例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。
解：设直线的截距式方程为：x a yb +=1则有-+-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪541125a bab⇒==-a b 52，或，a b =-=524∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y例2. 如图，已知直线l 经过点P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B 。
高考数学 典型例题21 直线方程及其应用 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学典型例题详解直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最根底的局部，本章的根本概念；根本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的断定都是解析几何重要的根底内容.应到达纯熟掌握、灵敏运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.●难点磁场(★★★★★)|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c . ●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生间隔镜框下缘多远看画的效果最正确？★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.假设坐标系选择不当，或者选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如以下图的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 获得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：k AC =tan xCA =xa a -ααcos sin ,于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xabb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,那么tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生间隔镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最正确.［例2］预算用2000元购置单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌、椅各买多少才行？★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目的函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，假设从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目的函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解. 解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目的函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0).一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如以下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明：y 1·y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？假设存在，恳求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由.★★★★★★级题目.知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程. 错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时. 技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键. (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p) ①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2= －p 2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1·y 2=－p 2,那么4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) 又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的根本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与间隔有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或者点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.z =ax +by 的最大值或者最小值时，设t =ax +by ,那么此直线往右(或者左)平移时，t 值随之增大(或者减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进展，考察学生的综合才能及创新才能.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，那么M 与N 的大小关系为()A.M ＞NB.M =NC.M ＜N2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为() 二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的间隔之差最大，那么P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，那么光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，那么x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明：{a n }是等差数列. (2)证明：以(a n ,nS n－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案 难点磁场证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1〕与B (102021，102000〕及C (102021，102021〕连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,那么 点(x ,y 〕应在如右图所示区域内 当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11； 当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11; 当x =5时，y =7,8,9,10,11.以上一共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6〕，(7，7〕，(8，8〕，(9，9〕，(10，10〕、(11，11〕六组，所以一共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6〕4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x +4y －3=0或者4x +3y +3=0 5.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案：340 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,那么f (－2)＜0,且f (2)＜0.答案：213217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1, 点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1〕、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,那么 由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21y －(a －1)=21(x －a ),即x －2y +a－2=0.(3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2,21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或者r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或者r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞). ①② ③。
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【典型例题】
类型一：直线的倾斜角与斜率
例1．直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是
A ．5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．50,6π⎡
⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【变式】已知动直线21y kx k =++ 与直线l : 122
y x =-
+的交点在第一象限，求k 的取值范围。
类型二：两直线的位置关系
例2．四边形ABCD 的顶点为(22A +，，(22)B -，，(02C -，，(42)D ，，试
判断四边形ABCD 的形状．
【举一反三】
【变式1】直线l 1: ax+(1-a)y=3与直线l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值。
类型三：直线的方程
例3．过点P(2，1)作直线l 与x 轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程.
【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；
【变式2】直线l 过点(1,4)P -，且在两轴上的截距之和为零，求l 的方程。
类型三：对称问题
例4．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程。
【举一反三】
【变式】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．
类型五：综合应用
例5.（2014秋 渝中区校级期中）已知点A （1，1），B （2，2），C （4，0），D （，），点P 在线段CD 垂直平分线上，求：
（1）线段CD 垂直平分线方程；
（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P 点的坐标．
【举一反三】
【变式】（2014秋 渝中区校级期中）已知三角形的顶点是A （﹣5，0）、B （3，﹣3）、C （0，2），
（1）求直线AB 的方程；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若过点C 直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的范围．。