潘省初计量经济学第3版ets3.pptx

t=1,2,……,n
残差平方和
我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上 是最佳的，直观地看，也就是要求估计直线尽可能地
靠近各观测点，这意味着应使残差总体上尽可能地小
。要做到这一点，就必须用某种方法将每个点相应的 残差加在一起，使其达到最小。理想的测度是残差平 方和，即
et 2 (Yt Yˆt )2
第三章 双变量线性回归模型
（简单线性回归模型）
（Simple Linear Regression Model）
第一节 双变量线性回归模型的估计 第二节 最小二乘估计量的性质 第三节 拟合优度的测度 第四节 双变量回归中的区间估计和假
设检验 第五节 预测 第六节 有关最小二乘法的进一步讨论
第一节 双变量线性回归模型的估计
Yt = + Xt + ut , t = 1, 2, ...,n
(3’)
为何要在模型中包括扰动项u
我们在上一章中已初步介绍了为什么要在模型中包 括扰动项u，下面进一步说明之：
（1）真正的关系是Y = f (X1， X2，… X )，但X2,
X3,…, X 相对不重要，用u代表之。
（2）两变量之间的关系可能不是严格线性的，u反 映了与直线的偏差。
(2). E(uiuj) = 0 i j 即各期扰动项互不相关.
(3). E(ut2 ) = 2 , t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项方差是一常数.
(4). 解释变量Xt 为非随机量 即Xt的取值是确定的, 而不是随机的.
(5). ut ~ N( 0, 2 ) , t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项服从正态分布。
对于任何数据点 (Xt, Yt), 此直线将Yt 的总值 分成两部分。
第一部分是Yt的拟合值或预测值 Yˆt ：
Yˆt ˆ ˆX t , t=1,2,……,n
第二部分，et ，代表观测点对于回归线的误差，称为拟合
或预测的残差 （residuals）：
et Yt Yˆt
t=1,2,……,n
即 et Yt ˆ ˆ Xt
动项具有同方差性。 实际上该假设等同于：
Var( ut) = 2, t=1,2,…,n 这是因为：
Var(ut)=E{[ut-E(ut)]2}= E(ut2) ——根据假设（1）
（4） Xt为非随机量 即Xt的取值是确定的, 而不是随机的。 事实上，我们后面证明无偏性时仅需要解释变量X
与扰动项u不相关，但不容易验证之，因而通常采用 非随机量的假设。
一. 双变量线性回归模型的概念
设 Y = 消费, X = 收入, 我们根据数据画出散点图
Y
*
*
*
*
*
图1
这意味着
Y = + X
ห้องสมุดไป่ตู้(1)
写出计量经济模型
Y = + X + u
(2)
其中 u = 扰动项或 误差项
Y为因变量或被解释变量
X
X为自变量或解释变量
和 为未知参数
设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式， 变量Y的每个观测值应由下式决定：
15
最小二乘法
最小二乘法就是选择一条直线，使其残差平方和达
到最小值的方法。即选择 ˆ 和ˆ ，使得
S et 2 (Yt Yˆt ) 2 (Yt ˆ ˆX t ) 2
达到最小值。
运用微积分知识，使上式达到最小值的必要条件 为：
S ˆ
S ˆ
0
即
S
ˆ
2(1)(Yt ˆ ˆX t ) 0
（2）E(uiuj) = 0, i≠j 即各期扰动项互不相关。也就是假定它们之间无
自相关或无序列相关。
实际上该假设等同于：
cov( ui, uj) = 0, i≠j 这是因为：cov(ui, uj) = E{[ui - E(ui)][uj - E(uj)]}
= E(uiuj) ——根据假设（1）
（3）E(ut2)= 2, t=1,2,…,n 即各期扰动项的方差是一常数，也就是假定各扰
下面简单讨论一下上述假设条件。
（1）E(ut) = 0, t=1,2,…,n 即各期扰动项的均值（期望值）均为0。
均值为0的假设反映了这样一个事实：扰动项被假 定为对因变量的那些不能列为模型主要部分的微小影 响。没有理由相信这样一些影响会以一种系统的方式 使因变量增加或减小。因此扰动项均值为0的假设是 合理的。
这里 和 为未知总体参数，下一步的任务是应 用统计学的方法，由Y和X的观测值（即样本数据） 来估计和 的总体值，常用的估计方法就是最小二 乘法。为了应用最小二乘法，得到好的估计量，双 变量线性回归模型需要满足一些统计假设条件，这 些统计假设是：
双变量线性回归模型的统计假设
(1). E(ut) = 0, t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项的均值(期望值)为0.
Yi = + Xi + ui , i = 1, 2, ...,n
(3)
(3)式称为双变量线性回归模型或简单线性回归模 型。其中 和 为未知的总体参数，也称为回归模型 的系数（ coefficients）。下标 i是观测值的序号。
当数据为时间序列时，往往用下标 t来表示观测 值的序号，从而（3）式变成
求出 Yt = + Xt + ut 中 和 的估计值
ˆ 和ˆ , 使得拟合的直线为最佳。
直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上穿过 各观测点画出一条“最佳”直线，如下图所示 。
Y
* * Yˆ ˆ ˆX
Yt
* **
Yˆt
et * *
*
*
**
*
**
**
*
Xt
X
图2
残差
拟合的直线 Yˆ ˆ ˆX 称为拟合的回归线.
（5）ut ~ N( 0, 2 ) , t= 1, 2, ...,n 即扰动项服从正态分布。
满足条件（1）—（4）的线性回归模型称为古典线 性回归模型（CLR模型）。
2.最小二乘原理
我们的任务是， 在给定X和Y的一组观测值 (X1 , Y1), (X2 , Y2) , ..., (Xn , Yn) 的情况下,
（3）经济行为是随机的，我们能够用 Y=α+βX 解释“典型”的行为，而用u来表示个体偏差。 （4）总会出现测量误差， 使得任何精确的关系不 可能存在。
二. 普通最小二乘法(OLS法, Ordinary Least squares)
1.双变量线性回归模型的统计假设
我们的模型是：
Yt = + Xt + ut , t = 1, 2, ...,n