概率统计作业4-2

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概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章汇编

第二章随机变量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率统计作业题

概率统计作业题《概率统计》习题（⼀）⼀、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试⽤ A 、B 、C 分别表⽰事件 1）A 、B 、C ⾄少有⼀个发⽣ 2）A 、B 、C 中恰有⼀个发⽣3）A 、B 、C 不多于⼀个发⽣2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独⽴, P()=,AαP(B)=0.3，P(A B)=0.7, 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成⼀⾏，那末恰好排成英⽂单词SCIENCE 的概率为5. 甲、⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知⽬标被命中，则它是甲射中的概率为⼆、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式⼦正确的是（A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB = （C ）(|A)P(B);P B =（D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表⽰事件“甲种产品畅销，⼄种产品滞销”，则其对⽴事件A 为（A ）“甲种产品滞销，⼄种产品畅销”；（B ）“甲、⼄两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或⼄种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个⽩的，现在两个⼈不放回地依次从袋中随机各取⼀球。

则第⼆⼈取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都⼤于零，则A ，B 也相互独⽴。

（D ）若A ，B 相互独⽴，那么A 与B 也相互独⽴。

5.若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ? （B ）B A ? （C ）A B -=? （D ）()0P A B -=三、计算题1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2022年秋高中数学第四章概率与统计测评试题二新人教B版选择性必修第二册

第四章测评(二)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i,y i)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+b e xD.y=a+b ln x2.(2021安徽淮南田家庵校级月考)在建立两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,模型1的相关系数r为0.88,模型2的相关系数r为0.945,模型3的相关系数r为0.66,模型4的相关系数r为0.01,其中拟合效果最好的模型是()A.模型1B.模型2C.模型3D.模型43.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态曲线如图所示,下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)4.(2021安徽宣城郎溪校级月考)甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49B.0.42C.0.7D.0.915.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷,则沙漠面积增加数y (单位: 万公顷)关于年数x (单位:年)的函数关系较为接近的是( ) A.y=0.2x B.y=0.1x 2+0.1x C.y=0.2+log 4xD.y=2x106.(2021江西抚州南城校级期中)设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y=X-2,则P (Y=2)等于( ) A.0.3B.0.4C.0.6D.0.77.(2021北京西城校级期中)在一段时间内,甲去博物馆的概率为0.8,乙去博物馆的概率为0.7,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( ) A.0.56B.0.24C.0.94D.0.848.(2021陕西榆林一模)设0<a<12,0<b<12,随机变量ξ的分布列为当a 在0,12内增大时,( ) A.E (ξ)增大,D (ξ)增大 B.E (ξ)增大,D (ξ)减小 C.E (ξ)减小,D (ξ)增大 D.E (ξ)减小,D (ξ)减小二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对某中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)进行线性回归分析,根据样本数据(x i,y i)(i=1,2,3,…,12),计算得到相关系数r=0.996 2,用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x-85.71,则以下结论正确的是()A.y与x正相关B.x与y具有较强的线性相关关系,得到的回归直线方程有价值C.若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该中学某高中女生身高为160 cm,则可断定其体重为50.29 kg10.(2021福建福州一模)“一粥一饭,当思来之不易”,道理虽简单,但每年我国还是有2 000多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣,浪费可耻”的氛围,某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况,在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人,制成如下列联表,通过计算得到χ2的值为9.已知P(χ2≥6.635)=0.010,P(χ2≥10.828)=0.001,则下列判断正确的是()A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关11.(2021新高考Ⅰ)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则下列说法错误的是( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立12.小张从家到公司开车有两条线路,所需时间(单位:分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示,则下列说法正确的是( )A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021四川成都武侯校级模拟)已知某产品的销售额y (单位:万元)与广告费用x (单位:万元)之间的关系如表所示,若销售额与广告费用之间的回归直线方程为y ^=6.5x+a ^,预计当广告费用为6万元时的销售额约为万元.14.一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地任取两次,每次取一球,在第一次取到的是白球的条件下,第二次也取到白球的概率是 .15.(2021福建福州期中)已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B6,12,则E (2ξ+3)= ,D (2ξ+3)= .16.(2021浙江杭州期中)已知随机变量ξ的分布列如表所示,若P (ξ≤x )=34,则实数x 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021山东模拟)短视频已成为很多人生活中娱乐不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量(单位:万次)的数据并进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.其中t i =x i 2.某位同学分别用两种模型:①y ^=b ^x 2+a ^,②y ^=d ^x+c ^进行拟合. (1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01) (3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少.附:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y −b ^x .18.(12分)(2021陕西模拟)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关,随机对该校100名性别不同的学生进行了调查,得到如下列联表.(1)请将上述列联表补充完整;(2)判断是否有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关?(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,现从这6名学生中随机抽取2人,求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率.附:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.19.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:√150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954.20.(12分)(2021四川自贡模拟)在一次产品质量抽查中,发现某箱5件产品中有2件次品.(1)从该箱产品中随机抽取1件产品,求抽到次品的概率;(2)从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品,求抽出的2件产品中有次品的概率P;(3)若重复进行(2)的试验10次,则出现次品次数的期望是10P,请问上述结论是否正确?请简要说明理由.21.(12分)(2021新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.22.(12分)小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式.(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的频率分布直方图,其中当某天的派送量指标在m-15,m 5(m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单,若将频率视为概率,回答下列问题:①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望.请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.参考答案第四章测评(二)1.D 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+b ln x.2.B 在4个不同的回归模型中,模型2的相关系数r=0.945最大,所以拟合效果最好.故选B.3.D 由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P (Y ≥μ2)=12, P (Y ≥μ1)>12,故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1),故A 错误;因为σ1<σ2,所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1),故B 错误;对任意正数t ,P (X ≥t )<P (Y ≥t ),故C 错误;对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ),故D 正确.故选D.4.B 甲、乙两人各进行1次射击,两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是C 21×0.7×0.3=0.42. 故选B.5.D 将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.2x ,当x=3时,y=0.6,和0.78相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.1x 2+0.1x ,当x=2时,y=0.6,和0.39相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=0.2+log 4x ,当x=2时,y=0.7,和0.39相差较大;将(1,0.2),(2,0.39),(3,0.78)代入y=2x 10,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4,与0.39相差0.01,当x=3时,y=0.8,和0.78相差0.02.综合以上分析,选用函数关系y=2x 10较为接近. 故选D.6.A 由离散型随机变量X 的分布列得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3,因为随机变量Y=X-2,所以P (Y=2)=P (X=4)=0.3.故选A.7.C 根据题意,设甲去博物馆为事件A ,乙去博物馆为事件B ,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,则P (A )=0.2,P (B )=0.3,两人都不去博物馆的概率P (AB )=0.2×0.3=0.06,则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率P=1-P (AB )=0.94.故选C.8.D 由题意可得E (ξ)=-12+b=-a ,D (ξ)=(-1+a )2×12+(0+a )2×a+(1+a )2×b=-a+122+54.当a 在0,12内增大时,E (ξ)减小,D (ξ)减小.故选D.9.ABC 由于回归直线方程中x 的系数为0.85>0,因此y 与x 正相关,故A 正确;根据相关系数r=0.9962接近1,故B 正确;由回归直线方程中系数的意义可得身高x 每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C 正确;当某女生的身高为160cm 时,其体重估计值是50.29kg,而不是确定值,故D 错误.故选ABC. 10.AC 因为χ2的值为9,且P (χ2≥6.635)=0.010,P (χ2≥10.828)=0.001,因为9>6.635,但9<10.828,所以有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,或者说,在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,所以选项C 正确,选项D 错误;由表可知认可“光盘行动”的人数为60人,所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例约为6090×100%≈66.7%,故选项A 正确,选项B 错误.故选AC.11.ACD 由已知得P (甲)=16,P (乙)=16, P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙),P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136≠P (乙)P (丙),P (丙丁)=0≠P (丙)P (丁).由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故B 正确,A,C,D 错误.12.BD “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A 错误; 线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39分钟,线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟,所以线路一比线路二更节省时间,B 正确;线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,故C 错误;所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况, 概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,故D 正确.故选BD.13.48 ∵x =15×(0+1+2+3+4)=2,y =15×(10+15+20+30+35)=22, ∴a ^=22-6.5×2=9,则y ^=6.5x+9,取x=6,得y ^=6.5×6+9=48.14.12 记事件A :第一次取得白球, 事件B :第二次取得白球.则P (B|A )=P(AB)P(A)=3×25×435=12.15.9 6 ∵随机变量ξ~B 6,12,∴E (ξ)=6×12=3,D (ξ)=6×12×12=32.则E (2ξ+3)=2E (ξ)+3=9,D (2ξ+3)=22D (ξ)=6.16.[2,3) 由随机变量ξ的分布列,结合P (ξ≤x )=34,得P (ξ≤x )=P (ξ=-2)+P (ξ=0)+P (ξ=2)=14+14+14=34,故实数x 的取值范围是[2,3). 17.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.(2)∵t i =x i 2,∴y ^=b ^t+a ^,∵b ^=∑i=18(t i -t)(y i -y)∑i=18(t i-t)2=686.83570≈0.19,∴a ^=y −b ^t =5-0.19×25.5≈0.16,∴y ^=0.19x 2+0.16.(3)由(2)可知,令x=10,则y ^=0.19×100+0.16=19.16.预测该短视频发布后第10天的点击量是19.16万次.18.解(1)完成列联表如下:(2)由(1)得χ2=100×(20×10-30×40)250×50×60×40=503≈16.667>10.828,所以有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关.(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,则其中男生有20×660=2(人),女生有4人.则从这6名学生中随机抽取2人有C 62=15(种)结果,其中恰好有1名男生喜爱某种食品有C 21C 41=8(种)结果,故所求的概率P=815.19.解(1)这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为 x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s 2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N (200,150),因为σ=√150≈12.2,从而P (187.8≤Z ≤212.2)=P (200-12.2≤Z ≤200+12.2)≈0.683.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率约为0.683,依题意知X~B (100,0.683),所以E (X )=100×0.683=68.3.20.解(1)从该箱产品中随机抽取1件产品,抽到次品的概率为25.(2)从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品,抽出的2件产品中有次品的概率P=1-35×24=710.(3)正确.若重复进行(2)的试验10次,则出现次品的次数X~B 10,710,所以出现次品的次数E (X )=10×710=7=10P.21.解(1)X=0,20,100. P (X=0)=1-0.8=0.2=15,P (X=20)=0.8×(1-0.6)=45×25=825,P (X=100)=0.8×0.6=45×35=1225.所以X 的分布列为(2)若小明先回答A 类问题,期望为E (X ).则E (X )=0×15+20×825+100×1225=2725.若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分, Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=35×15=325,P(Y=100)=0.6×0.8=35×45=1225.E(Y)=0×25+80×325+100×1225=2885.因为E(X)<E(Y),所以小明应选择先回答B类问题.22.解(1)甲方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y=100+n,n∈N,乙方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y={140,n≤54,n∈N,20n-940,n≥55,n∈N.(2)①(0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5)×0.2=0.44.②X甲的分布列为所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4. X乙的分布列为所以E(X乙)=140×0.5+180×0.2+220×0.2+260×0.1=176.由以上的计算结果可以看出,E(X甲)<E(X乙),即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.。

应用概率统计综合作业四

《应用概率统计》综合作业四一、填空题（每小题2分，共28分）1．一元线性回归方程，bx a y+=ˆ中x 是自变量，y 是因变量. 2．回归系数b ˆ==xy xxxyl l l 则, ；=xx l.3．方程x b a y ˆˆ~+=,y 称为估计值，y ~称为一元线性回归方程 .4．相关系数是表示随机变量Y 与自变量X 之间相关程度的一个数字特征 .5．相关系数r =；与回归系数bˆ的关系 .6．回归平方和U =或______________，反映了回归值),...,2,1(~n i y i = _的分散程度_____________. 7．剩余平方和Q = 或；反映了观测值),...,2,1(~n i y i =的偏离经验回归直线的程度 . 8．设0ˆˆ~x b a y +=，0y 的1-α置信区间为（)(~00x y δ-，)(~00x y δ+）则 0(x δ）=_____ ,其中s =.9．根据因素A 的k 个不同水平,...,21A A k A ,的k 组观测数据来检验因素A 对总体的影响是否显著，检验假设K H μμμ=== 210:，如果αF F >时，则在水平α下__拒绝假设Ho____________,认为___因素A 对总体有显著影响___________________；如果αF F <时，则在水平α下___接受Ho____________,认为_____因素A 对总体的影响不显著________________. 10．如果因素A 的k 个不同水平对总体的影响不大，F =E A S S；反之 .11．正交表是一系列规格化的表格，每一个表都有一个记号，如)2(78L ，其中L 表示__正交表______，8是正交表的____行_________，表示____有8横行______________；7是正交表的______列______，表示___有3纵列__________________；2是___数字种类_____________，表示此表可以安排__2种数字_________________.12．正交表中，每列中数字出现的次数____相等________；如)2(39L 表每列中数字___2_____均出现_____3 _______.13．正交表中，任取2列数字的搭配是__次齐全而且均衡______，如)2(78L 表里每两列中__________________第七横行_____________________各出现2次.14．）3,2,1（31==∑=i x K jij A i =____________________________________.二、选择题（每小题2分，共12分） 1．离差平方和xx l =( C ).A 、 ∑∑==-n i i ni x n x 1212)(1 B 、∑∑==-ni i ni y n y 1212)(1 C 、∑=--ni i ibx a y12)( D 、∑=--ni i i y y x x 1))((2．考查变量X 与变量Y 相关关系，试验得观测数据(i x ,i y ) ，i=1,2,…,n 则∑∑∑===-nin i ni i i i i y x ny x 111))((1（ D ）.A 、称为X 的离差平方和B 、称为Y 的离差平方和C 、称为X 和Y 的离差乘积和D 、称为X 和Y 的离差平方和 3．当050r ⋅<|r|≤010r ⋅时,则变量Y 为X 的线性相关关系( B ). A 、不显著 B 、显著 C 、特别显著 D 、特别不显著 4．下列结论正确的是（ B ）.A 、相关系数r 越大，Y 为X 之间线性相关关系越显著B 、当r>0时，bˆ>0,称Y 与X 为正相关，表明Y 为X 之间线性相关程度密切 C 、当r>0时，bˆ<0, 称Y 与X 为负相关，表明Y 为X 之间线性相关程度不密切 D 、当r=0时，Y 与X 之间不存在线性关系5．如果认为因素A 对总体的影响特别显著，则（ D ）. A 、05,0F F ≤ B 、F F <05.0 C 、01.005.0F F F << D 、F F <01.06．单因素方差分析，组间平方和A S =（ C ）. A 、P R - B 、Q R - C 、R Q - D 、P Q -三、（30分）某地区以家庭为单位，调查某种商品的年需求量与商品价格之间的关系，其一组调查数据如下表：试对该种商品的年需求量与商品价格之间的关系作回归分析并作散点图.四、（30分）某厂为了探索用400度真空泵代替600度真空泵生产合格的某种化工产品，用正交表安排试验，选用的因素水平如下表：因素水平A苯酐BpH值C丁醇加法1 2 0.150.2066.51次2次如果选用L4（23）正交表，试安排试验方案.解：在进行方差分析时，要进行大量的计算，为方便计算和减少误差，可以将观测值加上或减去一个常数(这个常数应接近总平均数)，必要时还可以再乘以一个常数，使得变换后的数据比较简单，便于计算.这样做，不会影响方差分析的结果.此题数据值较大，计算起来比较困难，所以将表中数据减去处1640，再乘以0.1，列表计算．。

概率统计2-4

X pk 3
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
Ch2-92
1 8
1 0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 2
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 8
3 8
1 2
Ch2-93 例2 已知 X 的概率分布为 P( X = k ) = pqk , k = 0,1,2,⋯ 2 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 ∞ ∞ π p 2m 解 P(Y = 0) = ∑ P( X = 2m⋅ ) = ∑ pq = 2 1− q2 m=0 m=0
y =1− x
3
在R上是单调的，且 x = h(y) = (1 - y)3
x′ = 3(1− y)2
fY ( y) = f X (x)⋅ | x′ | = f X [(1− y)3 ]⋅ | 3(1− y)2 |
3(1− y)2 = ,−∞ < y < +∞ 6 π[1+ (1− y) ]
Ch2-99
∫
f X ( x ) d x ] ′ = f X [h( y)] ⋅ h′( y)
当y≥β时，F(y)=P(Y≤y)=1 所以结论成立
f ( y) = F′( y) = 0
例5 设求 f Y (y) 解
1 f X (x) = , 2 π (1+ x )
Ch2-98
− ∞ < x < +∞
Y =1− 3 X
Ch2-94
0 F ( y) = * Y 1

4_2方差及常见分布的期望方差

例1．设随机变量 X～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D（X）解：因 E（X）= p，而 E（X 2）= 12· p + 02 · q = p，于是 D（X）= E（X 2）- [E（X）]2 = p - p2 = p q
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X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望的平方的期望
解：
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：

中心

中心
甲炮射击结果
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概率论与数理统计4-2 方差

2 *
X

,
为X的标准化变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0

P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12

西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理

n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n

概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望

02 典型例题
应用设市场上对某种产品每年需求量为X 吨，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0

概率论与数理统计(第二版.刘建亚)习题解答——第四章

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章4－1 解：()10.2520.430.240.150.05 2.3E X4－2 解：由22()()[()]D X E X E X 得∵ D(X 1)<D(X2)，用甲法测定的精度高。

4－3 解：E(X)=0.3003，E(X 2)=0.4086，D(X)=0.3184，[D(X)]1/2=0.5643。

4－4 解：*()[()][()()]0()()()E X E E X E X E X E X D X D X D X2*222211()()[()]()[()]()1()()()D X E X E X E X EE X E X D X D X D X D X4－5 解：121221122221220022()()01()()11sin 1112sin (1cos )21()()[()]2E X xf x dx dx x E X x f x dx dxdxxx xt tdxt dxD XE X E X4－6 解：2220201()()021()[()](0)22222x x x x x x x E X xf x dx xe dx D X E X E X x e dx x e dx x exe dxxee dx ； 4－7 解：令 1a p a，则 111p a，1p ap；11111()()(1)(1)11(1)()(1)(1)111(1)1(1)11kk kk k k k k kk k aE X kP X k k k p p p p kp a a dd d p p p p p p p p p dpdp dp p d d p p p p dp p dp p21(1)(1)1p p p ap p22210121112112122221()()(1)[(1)]11(1)(1)(1)()(1)kk k k k k k k kk k k k kk aE X k P X k kp p kk k p a a dp pk k p kpp p pp kp dpd p p p a dp 22222223(1)12(1)22(1)1d p a p p dp pp p p aaa a p p22222()()[()]2D X E X E X a aa a a4－8 证明：设X 为连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f 。

概率论与数理统计4(2)

概率论与数理统计（经管类）-阶段测评4（2）1.单选题1.1 5.0假设检验时，若增加样本容量，则犯两类错误的概率（）您没有作答∙ a不变∙ b都减小∙ c都增大∙ d一个增大一个减小见教材第八章两类错误的介绍。

1.2 5.0设总体$X~N(mu,sigma^(2))$，$X_(1),…,X_(20)$为来自总体$X$的样本，则$sum_(i=1)^(20)(X_(i)-mu)^(2)/sigma^(2)$服从参数为（）的$chi^(2)$分布。

您没有作答∙ a$19$∙ b$20$∙ c$21$$22$根据教材137页定义6-6得参数为$20$1.3 5.0设$hattheta$是未知参数$theta$的一个估计量，若$E(hattheta)=$（），则$hattheta$是$theta$的无偏估计。

您没有作答∙ a$theta$∙ b$2theta$∙ c$3theta$∙ d$4theta$根据教材153页定义7-3得$E(hattheta)=theta$1.4 5.0设$X_(1),X_(2),…X_(n)$为正态总体$N(mu,sigma^(2))$的样本，记$S^(2)=1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(x_(i)-barx)^(2)$，则下列选项中正确的是（）您没有作答∙ a$((n-1)S^(2))/sigma^(2)~chi^(2)(n-1)$∙ b$((n-1)S^(2))/sigma^(2)~chi^(2)(n)$∙ c$(n-1)S^(2)~chi^(2)(n-1)$$S^(2)/sigma^(2)~chi^(2)(n-1)$教材140页的定理6-41.5 5.0设总体$X~N(mu,sigma^(2)),X_(1),X_(2),…,X_(n)$为来自总体$X$的样本，$mu,sigma^(2)$均未知，则$sigma^(2)$的无偏估计是（）您没有作答∙ a$1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-barX)^(2)$∙ b$1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-mu)^(2)$∙ c$1/nsum_(i=1)^(n)(X_(i)-barX)^(2)$∙ d$1/(n+1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-mu)^(2)$135页定理6-2的证明中找到：$E(sum_(i=1)^(n)(x_(i)-barx)^(2))=(n-1)sigma^(2)$ 将上式两边除以$n$，即得$ES_(n)^(2)=(n-1)/nsigma^(2)stackrel(->)(n->oo)sigma^(2)$1.6 5.0设总体$X$服从正态分布$N(mu,sigma^(2))$，$X_(1),X_(2),…,X_(n)$为来自该总体的一个样本，令$U=(sqrt(n)(barX-mu))/sigma$，则$D(U)=$（）您没有作答∙ a$1$∙ b$2$∙ c$3$∙ d$4$利用教材134定理6-1知$barX~N(mu,sigma^(2)/n)$，将其标准化则为$U=(sqrt(n)(barX-mu))/sigma$知$U~N(0,1)$，则$D(U)=1$1.7 5.0设$x_(1),x_(2),…,x_(25)$来自总体$X$的一个样本，$X~N(mu,5^(2))$，则$mu$的置信度为$0.90$的置信区间长度为（）。

概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学第七八章

第七章参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。

解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。

2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。

求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。

（5）()p p m x p px X P x m xmx ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。

解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ，解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n ni ix x x cθx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 11211ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix n θxθn θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。

数理统计方法题解4-2

4.11 设锰的熔化点（单位：︒C ）服从正态分布。

进行5次试验，测得锰的熔化点如下：1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。

是否可以认为锰的熔化点显著高于1250︒C ？（显著水平05.0=α）解设锰的熔化点ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：1250≤μ（1H ：1250>μ ）。

5=n ，1263=X ，64853.7*=S ，8006.3564853.712501263*=-=-=n S X T μ。

对05.0=α，查 t 分布表，可得 1318.2)4()1(95.01==--t n t α 。

因为 1318.28006.3>=T ，所以拒绝 0H ：1250≤μ ，接受 1H ：1250>μ 。

可认为锰的熔化点显著高于1250︒C 。

4.12 某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。

今在一批导线中任取9根，测得修正样本标准差 =*S 0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平05.0=α）解设导线电阻ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：005.0≤σ（1H ：005.0>σ ）。

222*)1(σχS n -=68.15005.0007.0)19(22=⨯-=。

对05.0=α，查 2χ 分布表，可得507.15)8()1(295.021==--χχαn 。

因为507.1568.152>=χ，所以拒绝 0H ：005.0≤σ ，接受1H ：005.0>σ 。

这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。

4.13 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，修正样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，修正样本标准差为48小时。

概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答-第1章

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第一章1－1解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ；（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。

1－2 解：（1）A B ；（2）AB ；（3）ABC ；（4）AB C ()。

1－3解：1＋1＝2点，…，6＋6＝12点，共11种；样本空间的样本点数：n ＝6×6＝12，和为2，1,1A ，1An ，1()36An P A n ， …… 和为6，1,5;2,4;3,3;4,2;5,1A，5An ，5()36A n P A n，和为(2＋12)/2=7，1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1A ，6An ，61()366A n P A n , 和为8，2,6;3,5;4,4;5,3;6,2A ，5An ，5()36A n P A n， …… 和为12，6,6A，1An ，1()36A n P A n ， ∴ 出现7点的概率最大。

1－4解：只有n ＝133种取法，设事件A 为取到3张不同的牌，则313A n A ，（1）31333131211132()1313169AA n P A n；（2）37()1()169P A P A 。

1－5解：（1）()()()()()0.450.100.080.030.30P ABC P A P AB P AC P ABC（2）()()()0.100.030.07P ABC P AB P ABC（3）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（1）有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2[()()()]3()0.450.350.302(0.100.080.05)0.090.73P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC P A P AB P AC P ABC P B P AB P BC P ABC P C P AC P BC P ABC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC（4）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（2）有()()()()()()()3()0.100.080.0530.030.14P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC P AB P AC P BC P ABC（5）()()()()()()()3()0.450.350.300.100.080.0530.030.90P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC（6）()1()10.900.10P A B C P A B C 。

2021_2022学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.3二项分布与超几何分布学案含解析新人教B

二项分布与超几何分布4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)知识点一 n 次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．知识点二二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，发生的概率为p ，不发生的概率q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝____________(k ＝0,1,2，…，n )，于是得到X 的分布列n n nq n －k ＋…＋C n n p n q 0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记做____________．知识点三超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件(M <N )，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，则这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为________________(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．[基础自测]1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的概率是相等的； ④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 37C 510表示()A ．5件产品中有3件次品的概率B ．5件产品中有2件次品的概率C ．5件产品中有2件正品的概率D ．5件产品中至少有2件次品的概率题型一独立重复试验中的概率问题例1(1)某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是3； ②他第三次击中目标的概率是；③他恰好2次击中目标的概率是2×2×； ④他恰好2次未击中目标的概率是3××2.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．题型二二项分布例2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．状元随笔(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．方法归纳1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．题型三超几何分布的分布列例3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．状元随笔方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．跟踪训练3袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．题型四独立重复试验与二项分布综合应用状元随笔1.王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．例4甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．状元随笔(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23.(2)AB 表示事件A ，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．题型五二项分布与超几何分布的综合应用例5在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10X 奖券，其中有一等奖奖券1X ，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3X ，每X 可获价值10元的奖品，其余6X 没有奖品．(1)顾客甲从10X 奖券中任意抽取1X ，看完结果后放回抽奖箱， ①若只允许抽奖一次，求中奖次数X 的分布列； ②若只允许抽奖二次，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10X 奖券中任意抽取2X ， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．状元随笔(1)从10X 奖券中抽取1X ，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B(2，p)(2)从10X 奖券中任意抽取2X ，其中含有中奖的奖券的X 数X(X ＝1,2)服从超几何分布．方法归纳区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N 件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M 件，从所有元素中一次任取n 件，这n 件中含甲类元素数目X 服从超几何分布．2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．教材反思4．二项分布与超几何分布新知初探·自主学习知识点一重复地做n 次相互独立知识点二 C k n p k q n －k X ～B (n ，p ) 知识点三P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N[基础自测]1．解析：由n 次独立重复试验的定义知①②③④正确．答案：①②③④2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.答案：383．解析：根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B. 答案：B 课堂探究·素养提升例1【解析】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④. (2)①记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×2×3＝0.051 2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15××4＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14××3×＝0.02 048≈，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.【答案】(1)①②④(2)见解析跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. 答案：2027例2【解析】(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为跟踪训练2 解析：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A －∩B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (A ∩B ＋A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为例3【解析】X 的可能取值是1,2,3.P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为跟踪训练3 解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 例4【解析】(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡23×13×12＋13×23×12＋⎦⎤13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243. 跟踪训练4 解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是方法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是例5【解析】(1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为②从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B ⎝⎛⎭⎫2，25(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2X 奖券中有1X 中奖或2X 都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为跟踪训练5 解析：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A －)＝C 14×C 22C 36＝420＝15， P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－233＋C 23×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A －B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12＋C 34C 36＝45，则X 的分布列为。

概率论与数理统计练习册-第二章答案

第二章随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。

A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。

A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。

2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。

3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。

4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。

5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。

概率统计4-2

50
常见随机变量的方差(P.131 ) 分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
概率分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
方差
p(1-p)
nk
P( X k ) C p (1 p)
k n k
k
k 0,1,2,, n
np(1-p)
e P( X k ) k! k 0,1,2,
Y
有相同的期望方差但是分布却不相同
-2
0
2
P
0.025 0.95 0.025
64
E (Y ) 0, D(Y ) 0.2
标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称
X E( X ) D( X ) 为 X 的标准化随机变量. 显然， X
§4.2 方差引例甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：有五甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 个有不四乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 同个问哪一个射手的技术较好？数不同乙 = 8.3 甲 = 8.3, 解首先比较平均环数数再比较稳定程度甲： 2 (10 8.3)2 (9 8.3)2 (8 8.3)2 (7 8.3)2 (6 8.3)2 13.34 乙： (10 8.3)2 (9 8.3)2 3 (8 8.3) 2 (7 8.3) 2 5.34 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 进一步比较平均偏离平均值的程度
D(Y ) D(1 2 X ) 4 D( X ) 4 3 12
1 fY ( y ) e 2 6