分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题

文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53

解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.

【例1】解方程 .

解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.

化简，得x-4=0. 解得x=4.

检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，

∴x=4是原方程的解.

【例2】解方程

解：原方程可化为，

方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.

化简，得2x-3=-1.解得x=1.

检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.

【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.

【例3】解方程 .

解：原方程可变形为 .

解得x=.

检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，

所以x=是原方程的解.

【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.

【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.

解：原方程可化为 .

方程两边同乘x（x+1）（x-1）得

x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.

化简，得3x=6-k.

当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.

【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.