结论是错误的( )
(A)可逐项求导 (B)可逐项求积 (C)极限与求和可交换顺序 (D)级数收敛
2．下列函数列在所示区间D 上不一致收敛的是( ) (A)f x x n
n ()=
+221 D=(-1,1) (B) f x x n x n ()=+122 D=(-∞,+∞) (C)f x n x n ()= D=[0,+∞) (D) f x n x
n ()= D=[0,10] 填空题 1．f x x n n ()= n=1,2,… {f x n ()}在[0,1]上的极限函数是__________
2．⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤=110121222102)(22x n n x n x
n n n x x n x f n 的极限函数是________________________ 计算题
1．设S(x)=ne nx -∑ x>0，计算积分⎰3
ln 2ln )(dt t S 2．.判断级数()-+∑11n n
n n x x
(x>0)的敛散性. 证明题
1．证明:函数f(x)=sin nx n
3∑在(-∞,∞)有连续的导函数. (10分) 2．设f 0(x)在[a , b]上连续,定义函数序列f n+1(x)=
f t dt n n a x (),,,,,=⎰012 证明f n (x)在[a , b]上一致收敛. (10分)
3．设f(x)在[121,]上的连续函数,那么当f(x)在[12
1,]有界且 f(1)=0时,{x f x n ()}在[12
,1]上一致收敛. (10 分)
4．设f x nx n x n ()=+122
求证 1)对任给的0<α<1,f x n () 在[α,1] 上一致收敛.
2) f x n ()在(0,1]上不一致收敛 (12分)
5．若在区间I 上,对任何自然数n,|),(|)(x v x u n n ≤证明:当
∑∞=1)(n n x v 在I 上一收敛时级数∑∞=1)(n n
x u 在I 上也一致收敛,且绝对收敛. (11分)
选择题答案
1．C 2．C
填空题答案
1．f x x x ()=≤<=⎧⎨
⎩0011
1 2．f ≡0 计算题答案
1． ne nx -在上连续且一致收敛[ln ,ln ]23
∴它在可逐积分[ln ,ln ]23 (得4分) ∴=⎰⎰∑-=∞s t dt ne dx nx n ()ln ln ln ln 23
23
1 (得6分) =[()()]121311211312
1n n n =∞∑-=-+-= (得8分)
2． 对交错级数()-∑1n
n
由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分) 而x x n
n
1+ 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)
故由阿贝尔判别法知()-∑1n n x x n
n
1+收敛 (得8分) 证明题答案
1．证: (
sin )cos nx n nx n 32'= 而cos nx n n 221≤ (得2分)
由
12n ∑收敛知 ∑'(sin )nx n 3在(-∞+∞,)上一致收敛 (得2分)
而由
sin nx n n 331≤及13n ∑收敛知∑sin nx n 3收敛 (得6分)
∴(
s i n )∑'nx n 3= ∑cos nx n
2 (得8分) 又
cos nx n 2
在(-∞+∞,)上连续 且∑cos nx n 2在(-∞+∞,)上一致收敛 ∴∑cos nx n 2在(-∞+∞,)上连续. (得10分) 2．证: f x 0()在[a , b]上连续. f x m 0()≤ (得3分) 从而 f x m x a m b a 1()()()≤-≤- (得5分) f x m t a dt m b a a x
222()()!
()≤-≤-⎰ (得6分) ∴≤-f x m b a n n n
()()!
(得8分) 又 ()!b a n n
n -=∞
∑1 收敛 . ∴-→→∞lim ()!n n m b a n 0 (得9分) 从而
{}f x n ()一致收敛. (得10分)
3．证明: f x M x f x x f x n n ()lim (),(),≤=≠=⎧⎨⎩→∞
且0111 (得3分) 而f(1)=0,故lim ()n n x f x →∞
=0 (得5分) 又由于f(x)在x=1处连续,故∀>∃>εδ00,.
当1-δε<≤-=从而 当x ∈-[,),121δ时x f x M n n ()()-≤-→010δ (得8分)
当 x ∈-[,],11δ时x f x f x n ()()-≤<0ε (得9分)
因此,{}
x f x n ()一致收敛 . (得10分) 4．证明:先求极限函数f(x) ∀∈x (,]01易知lim
n nx n x →∞+=1022 即f(x)=0 (得2分) (1)因为|)()(x f x f n -|=nx n x n n n n n 1112222222+≤+<=ααα (得4分) 对∀>x 0 取 N=[1
2εα] 则当n>N 时
对∀∈x [,]α1 必有| f n (x)-f(x)|≤<1
2n αε
按定义有f n (x) 在[α,1]上一致收敛 (得6分)
(2)因为df x dx n n x n x n ()()()
=-+1122222对每个自然数n,x n =1n 是f n (x) 的唯一极大值点. 因而必是连续函数
)(x f n 在[0,1]的最大值点 (得9分)
显然也是它在(0,1] 的最大值点，所以sup ()()01<≤-x n f x f x =2
1)1()()1(m ax 2210===+≤5．证 先证一致收敛性,对∀ε>0,由
v x n ()∑在I 上一致收敛,存在N(ε),当n>N 时, 对∀自然数p 和x ∈I
v x v x v x n n n p ++++++<12()()() ε (得5分) 于是 u x u x u x u x n n p n n p ++++++≤++11()()()()
≤++<++v x v x n n P 1()() ε (得8分) 对∀自然数p 和x ∈I 成立
即u x I n
()在上一致收敛∑ (得10分) 又u x v x n n ()()∑∑≤<+∞ ∀x ∈I
故
u x I n ∑()在上绝对收敛 (得11分)
