6-2平面简谐波的波动方程

λ
波动方程的推导
u
y
P
O
x
−x P点在t时刻，将重复原点在(t − 点在t时刻， 时刻的振动状态。 ) 时刻的振动状态。 u 由O点振动方程 yO = A cos(ω t + φ 0 )
可写出P点振动方程为： 可写出P点振动方程为：
x
x y = A cos[ω ( t + ) + φ0 ] u
任意一质点为坐标原点的波动方程
x
T= 2π
u=20m/s，ω=4π， u=20m/s，ω=4π，
λ = uT = 10m
ω
= 0 .5 s
由于波从左向右传播，因此B点振动始终超前于A点，超 由于波从左向右传播，因此B点振动始终超前于A 前时间∆t为 前时间∆t为: ∆x 5
∆t =
u
=
20
= 0.25s
即B点振动方程为： 点振动方程为：
x y ( x) = A cos[ω (t0 − ) + ϕ 0 ] u x y ( x) = A cos[ω (t0 + ∆t − ) + ϕ 0 ] u
行波
6.2
平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_行波 波动方程物理意义_
例题
∆x = u∆t
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经∆t ，传播到x+∆x 处；即 时刻振动状态经∆ 由图可知：
x 则以B 波动方程一般 形式 y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] ，则以B点坐标原点 u 的波动方程为： 的波动方程为：
y B = 3 cos 4π ( t + 0.25) = 3 cos(4π t + π )
x y = 3 cos[4π ( t − ) + π ] 20
常用的波动方程表达式 （以正方向传播为例）
∆ϕ = −
空间周期性
λ
空间周期性
y x λ
在同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相差为： 同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相差为 处两质点的位相差为：
∆ϕ = −
2π
λ
( x2 − x1 ) = −
2π
λ
∆x
位移差与位相差
∆x ∆φ
λ -2π
2λ -4π
3λ -6π
4λ -8π
5λ -10π
它表示一条简谐函数曲线，说明它是一列简谐波。 它表示一条简谐函数曲线，说明它是一列简谐波。 对同一质点，相邻两个时刻位相差为： 同一质点，相邻两个时刻位相差为：
2π ∆ϕ = ω (t 2 − t1 ) = ∆t T
时间周期性
时间周期性
y t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为： 对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
t x y = A cos[2π ( − ) + φ 0 ] T λ
6.2
平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_1 波动方程物理意义_1
x y = A cos[ω ( t − ) + φ0 ] u
（1）若 x = x为给定值，则波动方程蜕化为振动方程。 为给定值，则波动方程蜕化为振动方程。 0
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 一列横波以u=400m/s波速沿 轴正向传播。 波速沿x O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 处的质点的振动T 0.01s， 0.1m， 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 （1）O点振动方程 yO = 0.1cos(200π t + 3 π ) 2 x ) + 3 π] 以O点为原点的波动方程 y = 0.1cos[200π ( t − 400 2 画出t=0.005s和t=0.0075s波形 波形。 （3）画出t=0.005s和t=0.0075s波形。 解： 由波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程： (3)由波动方程可得 (3)由波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程 时刻的波形方程：
6.2
平面简谐波的波动方程_例题 平面简谐波的波动方程_
波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程 波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程： 时刻的波形方程： y
0.1
0.05
x
2 -0.05 4 6 8 10 12
-0.1
6.2
平面简谐波的波动方程_例题 平面简谐波的波动方程_
1 4
波动方程可得t=0.0075s时刻的波形方程 波动方程可得t=0.0075s时刻的波形方程： 时刻的波形方程： y
2π ∆ϕ = ω (t 2 − t1 ) = ∆t T
位移差与位相差
∆t ∆φ
T 2π
2T 4π
3T 6π
4T 8π
5T 10π
… …
6.2
平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3 波动方程物理意义_3
x y = A cos[ω ( t − ) + φ0 ] u
（3）若t，x 都在变化，则波动方程反映了波形不断 都在变化， 向前推进的波动传播的全过程。 向前推进的波动传播的全过程。 t0时刻波形 t0+∆t时刻波形
t 时刻x 处 振动状态与t +∆t 时刻x+∆x 处振动状态完全相同。 处振动状态完全相同。
y (t + ∆t , x + ∆x) = y (t , x) —— 行波
6.2
平面简谐波的波动方程_例题 平面简谐波的波动方程_
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 一列横波以u=400m/s波速沿 轴正向传播。 波速沿x O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 处的质点的振动T 0.01s， 0.1m， 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 写出波动方程； （1）写出波动方程； 写出距原点为2m处的质点 处的质点P （2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为 原点的波动方程； 原点的波动方程； 画出t=0.005s和t=0.0075s的波形图 的波形图。 （3）画出t=0.005s和t=0.0075s的波形图。 解： 设O处的振动方程为： = A cos[ω t + ϕ 0 ] y (1)设 处的振动方程为： (1) 根据初始条件： 根据初始条件：t = 0, y0 = 0, v0 > 0且v0 = vm 可得O点的振动方程参数： 可得O点的振动方程参数：
T=
2π
y A = 3 cos(4π t )
y B = 3 cos(4π t + π )
ω
= 0 .5 s
λ = uT = 10m
x y = 3 cos[4π ( t − )] 20 x y = 3 cos[4π ( t − ) + π ] 20
B点
任意一质点为坐标原点的波动方程 8m 5m C B A 9m D u
y (t ) = A cos(ωt −
ωx0
u
+ φ0 )
在同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相为： 同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相为 处两质点的位相为：
ϕ1 = (ωt −
ωx1
u
2π
+ φ 0 ) ϕ 2 = (ωt −
( x2 − x1 )
ωx 2
u
+ φ0 )
则任意两质点间位相差为： 则任意两质点间位相差为：
yO = A cos(ω t + φ0 )
设P为x轴上任一点，坐标为x，用y表示该点偏 轴上任一点，坐标为x 离平衡位置的位移， 点振动方程为： 离平衡位置的位移，则P点振动方程为：
x y = A cos[ω ( t − ) + φ 0 ] u
波动方程的推导
y
u
O
P
x
x
x P点在t时刻，将重复原点在 (t − ) 时刻的振动状态。 点在t时刻， 时刻的振动状态。 u 由O点振动方程 yO = A cos(ω t + φ 0 )
2 yP = 0.1cos[200π ( t − ) + 3 π ] = 0.1cos(200π t + 1 π ) 2 400 2
则以此点为原点的波动方程为： 则以此点为原点的波动方程为：
x y′ = 0.1cos[200π ( t − ) + 1 π] 2 400
6.2
平面简谐波的波动方程_例题 平面简谐波的波动方程_
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 一列横波以u=400m/s波速沿 轴正向传播。 波速沿x O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 处的质点的振动T 0.01s， 0.1m， 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 （1）O点振动方程 yO = 0.1cos(200π t + 3 π ) 2 x ) + 3 π] 以O点为原点的波动方程 y = 0.1cos[200π ( t − 400 2 写出距原点为2m处的质点 处的质点P （2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为 原点的波动方程； 原点的波动方程； 解： 由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程： (2)由波动方程可得 (2)由波动方程可得P )处的振动方程 处的振动方程：
§6.2 平面简谐波的波动方程
1、平面简谐波的波动方程 2、波动方程物理意义 3、平面简谐行波的微分方程
6.2
平面简谐波的波动方程
1、平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无 设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、 限大的介质中沿x 正方向传播 速度为 传播。 限大的介质中沿x轴正方向传播。速度为u。 任取一点作坐标原点O 任取一点作坐标原点O，并在原点振动位相为 φ0 时开始计，即O点振动方程为： 时开始计， 点振动方程为：