第六讲 整数拆分
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
整数拆分教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
整数拆分教学设计一、教学目标1. 理解整数拆分的概念和意义。
2. 掌握整数拆分的基本方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 整数拆分的概念。
2. 整数拆分的方法与技巧。
3. 应用整数拆分解决实际问题。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以用一个有趣的问题或例子引出整数拆分的概念，如：“小明有8个苹果，他想将这些苹果分成若干堆，每堆至少有一个苹果，他有几种不同的方式来分堆？”通过这个问题引出整数拆分的概念，并引发学生对整数拆分的兴趣。
2. 讲解整数拆分的概念（5分钟）在导入的基础上，教师简要介绍整数拆分的概念，即将一个整数分解成若干个整数的和，且每个整数都大于等于1。
3. 整数拆分的方法与技巧（20分钟）教师首先介绍几种常见的整数拆分方法，如：- 列举法：逐个列举出所有可能的拆分方式。
- 递归法：将整数分解成两个较小的整数，然后对这两个整数继续进行分解，直到不能再分解为止。
- 动态规划法：利用动态规划的思想，通过填表的方式求解所有可能的拆分方式。
然后，教师针对每种方法进行详细解释，并通过实例演示如何应用这些方法进行整数拆分。
4. 实践操作（30分钟）将学生分成小组，每个小组自行设计一个实际问题，并运用所学的整数拆分方法解决问题。
例如，学生可以设计一个购买食品的问题，要求计算出不同的购买方案，使得总价格等于给定的整数。
教师在这个环节给予学生适当的引导和指导，鼓励学生思考和合作，相互交流和讨论，培养他们运用整数拆分解决实际问题的能力。
5. 总结归纳（10分钟）教师引导学生讨论整数拆分的方法和技巧，并总结归纳出一些规律和特点。
通过总结归纳来加深学生对整数拆分的理解和记忆。
6. 拓展延伸（5分钟）教师给出一些拓展问题，让学生进一步思考和探索整数拆分的更多应用，例如：整数拆分在数学中的其他应用领域。
四、教学评价教师可以根据学生的实际情况进行个别评价，包括学生在实践操作中的表现和解决问题的能力。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
c语言课程设计整数拆分
c语言课程设计整数拆分一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握C语言中整数拆分的概念和方法，培养学生运用C语言进行编程的能力。
具体目标如下：1.知识目标：使学生了解整数拆分的定义和原理，掌握C语言中实现整数拆分的方法和技巧。
2.技能目标：培养学生能够运用C语言编写程序实现整数拆分，提高学生的编程能力和问题解决能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对计算机科学的兴趣和热情，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括整数拆分的概念、原理和C语言实现方法。
具体内容如下：1.整数拆分的定义和原理：介绍整数拆分的概念，讲解整数拆分的原理和方法。
2.C语言实现整数拆分：讲解如何在C语言中实现整数拆分，包括算法设计和编程技巧。
3.编程实践：引导学生进行编程实践，运用所学的知识解决实际问题，提高学生的编程能力。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，采用以下教学方法：1.讲授法：讲解整数拆分的概念、原理和方法，使学生掌握基本知识。
2.案例分析法：分析实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的编程能力。
3.实验法：安排编程实验，使学生在实践中掌握整数拆分的C语言实现方法。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法，准备以下教学资源：1.教材：《C语言程序设计》等相关教材，为学生提供理论知识的学习材料。
2.多媒体资料：制作课件和教学视频，生动形象地展示整数拆分的原理和方法。
3.实验设备：提供计算机和编程环境，让学生进行编程实践。
4.在线资源：推荐一些在线编程平台和教程，方便学生自主学习和交流。
五、教学评估本节课的教学评估主要包括以下几个方面：1.平时表现：评估学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，以了解学生的学习态度和课堂表现。
2.作业：评估学生完成的编程作业，检查学生对整数拆分概念和方法的理解程度以及编程能力。
3.考试：设计考试题目，全面测试学生对整数拆分的知识掌握和编程能力，包括理论知识和实践应用。
整数拆分问题
整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3.那么如何算一个数字的奇约数的个数，如果一个数字A若可以写成A=M^a*N^b*Q^C....的形式他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个其中M,N,Q必须是奇数。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以就是7天。
类似于某年国考题。
例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。
这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。
例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
C语言课程设计拆分整数
C语言课程设计拆分整数一、教学目标本章节的教学目标是使学生掌握C语言中拆分整数的概念和方法，能够使用C语言实现整数的拆分和合并。
具体目标如下：1.理解整数拆分的概念和意义。
2.掌握C语言中整数拆分的基本方法。
3.理解整数拆分在实际编程中的应用。
4.能够使用C语言实现整数的拆分和合并。
5.能够运用整数拆分解决实际编程问题。
情感态度价值观目标：1.培养学生的编程思维和解决问题的能力。
2.激发学生对C语言编程的兴趣和热情。
二、教学内容本章节的教学内容主要包括整数拆分的概念、拆分方法以及在C语言中的实现。
具体内容如下：1.整数拆分的概念和意义：介绍整数拆分的定义，解释整数拆分在编程中的应用和意义。
2.整数拆分的方法：讲解不同的整数拆分方法，如逐位拆分、模运算拆分等。
3.C语言中整数拆分的实现：通过示例代码，展示如何在C语言中实现整数的拆分和合并。
三、教学方法为了达到本章节的教学目标，将采用以下教学方法：1.讲授法：讲解整数拆分的概念和方法，引导学生理解整数拆分的原理。
2.案例分析法：通过分析实际编程中的案例，让学生了解整数拆分的应用和实现。
3.实验法：让学生动手编写代码，实现整数的拆分和合并，培养学生的编程能力和解决问题的能力。
四、教学资源为了支持本章节的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：提供相关章节，介绍整数拆分的概念和方法。
2.参考书：提供相关资料，加深学生对整数拆分的理解和应用。
3.多媒体资料：提供示例代码和动画演示，帮助学生更好地理解和掌握整数拆分的实现。
4.实验设备：提供计算机和编程环境，让学生进行代码编写和实验操作。
五、教学评估本章节的评估方式主要包括以下几个方面：1.平时表现：评估学生在课堂上的参与度、提问回答情况以及小组讨论的表现等，以了解学生的学习态度和理解程度。
2.作业：布置相关的编程作业，评估学生的代码质量、解决问题的能力和对整数拆分的掌握程度。
3.考试：设计考试题目，包括理论题和编程题，全面测试学生对整数拆分的概念理解、方法掌握和实际应用能力。
第六讲整数拆分教学文案
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分 加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如312）,或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分 。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中 6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几 环吗？【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子（即无脱靶现象）。
强强两发共打了 12环，明明两发共打了 8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中, 请你推算一下他俩打中的是哪几环？62 3例1图巩固图例2】有多少种方法可以把1994 表示为两个自然数之和？巩固】将12 拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
例3】有多少种方法可以把6 表示为若干个自然数之和？巩固】按下面的要求，把自然数6 进行拆分。
⑴把6 拆成几个自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？⑵把6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？⑶把6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？例4】按下面的要求，把15 进行拆分。
⑴将15 拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15 拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
巩固】将15 拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
例 5】有七个盘子，每个盘子中分别装有 1个、 2个、3个、5个、6个、7个和 9个梨。
要从这些盘子中取出 15 个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
初中数学整数分解教案
初中数学整数分解教案教学目标：1. 理解整数分解的意义和作用；2. 掌握整数分解的基本方法和技巧；3. 能够运用整数分解解决实际问题。
教学重点：1. 整数分解的意义和作用；2. 整数分解的基本方法和技巧。
教学难点：1. 整数分解的灵活运用；2. 解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整数的定义，强调整数包括正整数、负整数和零；2. 提问：同学们，你们知道整数分解是什么意思吗？为什么需要进行整数分解呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解整数分解的定义：将一个整数分解成几个整数的乘积形式，这几个整数称为该整数的因数；2. 举例说明：如将整数12分解成2×6，再分解成3×4，最终分解成2×2×3；3. 讲解整数分解的作用：可以帮助我们更快地找到一个数的因数，解决一些实际问题，如分解质因数、求最大公因数等；4. 讲解整数分解的基本方法和技巧：a. 从最小的正整数开始尝试分解；b. 分解出质因数时，尽量从最小的质数开始尝试；c. 分解过程中，注意观察是否有重复的因数。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、拓展与应用（10分钟）1. 提问：同学们，你们能用整数分解的方法解决实际问题吗？；2. 举例说明：如求18和24的最大公因数，可以先将两个数分解成质因数，然后找出共同的质因数，连乘起来得到最大公因数；3. 让学生尝试解决一些实际问题，如求两个数的最大公因数、最小公倍数等。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调整数分解的意义和作用；2. 提醒学生要注意整数分解的灵活运用，解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解整数分解的定义、作用和基本方法，让学生掌握了整数分解的基本概念和技巧。
课堂练习和拓展应用环节，让学生能够将所学知识运用到实际问题中，提高了学生的数学素养。
第六讲 整数拆分
整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？ 整数分拆之分类与计数例1图巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
第六次 整数的分拆(二)
学习目标：
1、学会将整数进行适当的分拆。
2、掌握正确的数学思维。
3、经历怎样分拆整数的过程，学会正确的数学学习的方法。
学习重点：
学会根据题意将整数进行分拆
学习难点：
将整数怎样分拆
教具准备：
教学课时：2
课前预习布置（或导学提纲）：
教学程序（第1、2课时）
教后记
一、直接导入
今天将研究整数的分拆。
二、教学新授
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
教学程序
教后记
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75(分).
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25(分).
将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)
25=1+1+1+1+1+10+10.
小学整数的分拆
6元 6元 6元 6元
答：一共有4种不同的买法。
例4：(★★★) 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共 有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有 多少种不同的买法？
1、列表法：枚举大小烧饼的个数。 2、以“大烧饼”的个数为第一顺序。
例2：(★★★)
杨老师和汪老师分20个苹果。请问： ⑴如果每个人最少分到5个苹果，一共有多少种不同的 分法？
1、分析：有顺序方能不漏不重。 2、限定条件：不小于5枚。 3、算式意义：算式的第一个数 代表第一个人。
（1）20=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11=10+10 =11+9=12+8=13+7=14+6=15+5
铺垫：(★★★)
将6拆成几个数的和，这些自然数可以相同，那么， 这些自然数的乘积最大是________。
6=2+2+2 →8
=3+3 =2+4
→9 →8
=1+5
→5
=1+1+4 →4 还有一些
结论： 一个数拆分成多数，积最大： 多拆3，少拆2，不拆1。
例5：(★★★★) 将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
10=3+3+3+1 =3+3+2+2
最大乘积，3×3×2×2=36
超常大挑战：(★★★★)
两个自然数的和为20这两个数分别为__1_0__和__1_0__ 时，它们的乘积最大，最大是__1_0_0__。
【整数的分拆】数学课件
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌《整数的分拆》--博易新思维数学教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律。
2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。
教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。
教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。
一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。
师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。
师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。
师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。
甲数乙数积1000博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌9198216732164245525生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。
师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。
二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。
甲数乙数积10009198216博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌732164245525生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。
师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。
整数拆分——孙克纯
������������
������ ������
������������������������������
= ������
������������−������������������ ������,������ ,������������������������������
������ ������
������ ������
������
������������������ + ������������ ������������������ ������ ������������������������������
������ ������ ������
, ������������������������
������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������������ ������ + ������������ + ������������ + ⋯ + (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) ������������ + (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) 即整数������拆分成 1,2，…，n 的和的拆分数，等于������拆分 成 1,2，…，n−1 的和的拆分数，加上至少出现一个 r 的拆分数。 若 n 至少出现一个不允许有空盒， ������������ ������������ (������, ������) = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) ������ = (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������ ) ������ − (������ − ������)(������ − ������������ ) … (������ − ������������−������ ) 即整数 m 拆分成 1,2，…，n 的和的拆分数，减去拆 分成 1,2，…，n−1 的和的拆分数，即为至少出现一 个 m 的拆分数。相当于 n 个无区别的球放到 m 个无 标志的盒子，每盒一个球，余下的������ − ������个球按有空 盒办法来处理，即������ − ������个球用 1,2，…，n 进行拆分 的拆分数。
第六讲 整数的拆分(讲义+作业+作业答案)
课题六：整数的分拆班级姓名【例1】甲和乙用玩具枪玩打靶游戏，见下图所示。
他们每人打两发子弹，甲共打中6环，乙共打中5环。
又知没有两发子弹环数相同，并且弹无虚发。
甲打中的是环和环，乙打中的是环和环。
【例2】有些人认为8是个吉利的数字，于是他们得到的东西都希望用数字“8”表示。
现有200块糖要分发给一些人，请制定一个吉利的分糖方案。
【例3】把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头数目都带有数字6，应怎样分？【例4】试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。
你能发现有什么规律吗？【例5】将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。
【例6】将21分拆成不大于9的四个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。
【例7】将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。
【例8】（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑数字排列的顺序，和为10的三元自然数组共有个。
1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。
2. 把1000个鸡蛋放到五只篮子里，每只篮子里的鸡蛋数都由数字8组成，你怎样分？请列出等式。
3. 七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，要求每只箱子里的苹果要么全部取走，要么不取。
你怎样取？请列出等式。
109个呢？4. 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。
5. 把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有种不同的分法。
6. 美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。
现有10枚硬币，价值是1元，其中有3枚25分的硬币。
余下的硬币有种，每种各有多少枚？用等式表示。
1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。
数论-整数拆分
一个正整数可以写成一些正整数的和。
在数论上，跟这些和式有关的问题称为整数分拆、整数剖分、整数分割、分割数或切割数。
其中最常见的问题就是给定正整数，求不同数组的数目，符合下面的条件：1.a1 + a2 +a3 +...+a k = n.2.a1≥a2≥a3...≥a k（k的大小不定）3.其他附加条件（例如限定“k是偶数”，或“不是1就是2”等）我们记所有不多于k个正整数的和以及相应的n时对应的上述方程的解的总数为p(n, k).记所有正好为k个正整数的和以相应的n时对应的解的总数为p k(n)分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组总数目，即p(n) = p1(n)+p2(n)+...+p k(n)。
例：4 = 1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3其中p(4,1) = 1, p(4,2) =2,p(4,3) = 1,p(4,4) =1.=>p(4) = 5.易知对于任意的n>=1，有p1(n) = 1.p n(n) = 1.Ferrers图示[有关知识可以自己查找]：Ferrers图示是将第1行放a1个方格，第2行放a2个方格……第k行放a k个方格，来表示整数分割的其中一个方法。
定理1：给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目[p1(n)+p2(n)+...p k(n)]，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。
证明：通过把前者任一解的Ferrers图沿对角线反转即可得到后者的一个解，所以两者相等。
定理2[核心定理]：定理1中的两者的数目也等于p(n+k,k).即p k(n+k) = p1(n) + p2(n) +... +p k(n).证明：对于p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的所有情况，都可以通过在Ferrers图中的1到k行添加1个元素来得到p(n+k,k)中的一个元素，因为一共有n+k个元素且必为k行；同样可以通过在p(n+k,k)中每行减去一个元素得到p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的元素，因为每行减去一个元素后剩下n个元素且至多k行。
(完整版)整数的分拆教案
【学生回答】：老师抽答，上台演示
【教师讲解】：（边操作边讲解）首先分析题目可以知道，每个盒子当中笔的数目不少于2支，也就是说最少有2支。现在我们先将盒子编号为1号、2号。现在假如1号盒子当中只有2块，那2号盒子里面有8块，然后在二号盒子里拿1支到1号盒子当中，此时1号盒子3支，2号盒子里面7支，按照这个规则进行，两个盒子当中笔的数目分别为：1号盒子4支，2号盒子6支，1号盒子5支，2号盒子5支，1号盒子6支，2号盒子4支，1号盒子7支，2号盒子3支，1号盒子8支，2号盒子2支，这时候请同学们注意根据题目要求2号盒子的笔也不能少于2支，所以当2号盒子中只有2支笔时，就不能再往一号盒子中拿了，一共有7种不同的分法。
课
程
讲
授
30min
导入：同学们，欢迎你们来到数字的世界，今天我们一起来玩一些有趣的数字游戏。
【提出问题】：
PPT上展示例题1：同学们，小军想把这六个棒棒糖全部分给奇奇猫和壮壮鼠，一共有多少种不同的分法哪？答对了这个棒棒糖就奖励给答题的小朋友！（拿出准备好的棒棒糖，请同学上台分别扮演角色得出结论）
【学生活动】:分组讨论，交流答案
【教师讲解】：将这6个棒棒糖看成一个整体，将它分为两个不同的部分，也就是将自然数6分为两个不同的自然数，首先最小的自然数为0，如果以0来分那就有一个小动物没有，所以要从自然数1开始，6可以分为1和5，然后按次序5拿一个给1,6就分为了2和4,以此类推6还可以分为3和3，6分为4和2,6分为5和1，所以一共有5种分法：猫1个，鼠 5个，猫2个，鼠 4个，猫3个，鼠 3个，猫4个，鼠2 个，猫5个，鼠 1个。
4、把几个物体分成两堆或相同的物体时，如果没有限制1，8和8，1是相同的分法
六年级数学专题讲义整数的分拆
整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ （121m n n n ≥≥≥≥）。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：（1）一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
（2）一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个（p+1），（n-r ）个p 。
（3）把自然数S （S>1）分拆成若干个自然数的和（没有给定是几个），则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
（4）把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r （r ≤n ）的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
（5）若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？【分析】要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？【分析】因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论（2），将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
数的整十整百拆分与组合
数的整十整百拆分与组合数的整数拆分与组合，是学习数学中一个基本的概念和技能。
在数的整十整百拆分与组合中，我们主要学习和掌握如何将一个数拆分成整十或整百的组合，并且将多个整十或整百的数进行组合。
通过这种方式，我们可以更好地理解和运用数字，并且提高我们的计算能力和数学思维。
首先，我们来看如何将一个数拆分为整十或整百的组合。
这里以整十为例，整百的操作与之类似。
对于一个任意的整数，我们可以通过以下步骤进行拆分：1. 首先，确定这个数的十位。
将个位舍去，十位上的数字保留。
例如，对于数字275，十位为7。
2. 然后，根据十位数字的大小，判断需要拆分出多少个整十。
如果十位数字为0，那么无需拆分；如果为1，则拆分一个整十；如果为2，则拆分两个整十；以此类推。
对于数字275，十位为7，所以需要拆分7个整十。
3. 最后，将十位上的数字与相应个数的整十相乘，然后进行组合。
对于数字275，十位为7，所以需要拆分7个整十，分别是70、70、70、70、70、70、70。
将这些拆分出来的整十进行组合，即可得到拆分后的结果。
接下来，我们来看如何将多个整十或整百的数进行组合。
这里同样以整十为例，整百的操作与之类似。
假设我们有几个整十的数，例如：30、40、70、90。
要对这些数进行组合，可以按照以下步骤操作：1. 首先，将这些数的十位上的数字相加。
对于30、40、70、90这几个数，十位上的数字分别为3、4、7、9，相加后的结果为23。
2. 然后，确定组合后的数的个位数字。
这个数字等于原始数字个位数字之和的个位数。
对于23，个位数之和为5，所以组合后的数的个位数为5。
3. 最后，将组合后的个位数与原始数字十位上的数字组合在一起，即可得到组合后的结果。
对于23和30、40、70、90，将23和这几个数进行组合，可以得到53、63、93、113。
通过数的整十整百拆分与组合的学习，我们可以更好地掌握数的性质和运算规律。
同时，这也是培养我们的观察力、逻辑思维和计算能力的一种有效方法。
力扣整数拆分
力扣整数拆分整数拆分是指将一个正整数拆分为多个正整数的和的过程。
力扣上有一道关于整数拆分的题目，即《整数拆分》。
本文将围绕这个题目展开讨论，并探究整数拆分的相关知识和应用。
一、整数拆分题目的描述题目要求给定一个正整数n，将其拆分成至少两个正整数的和，使得这些正整数的乘积最大化。
需要返回最大的乘积结果。
二、整数拆分的思路与解法在解决整数拆分问题时，我们通常采用动态规划的思想。
具体来说，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示正整数i拆分后的最大乘积结果。
我们可以通过以下递推关系来计算dp[i]的值：dp[i] = max(j * (i-j), j * dp[i-j])其中j的取值范围为1到i-1，表示将正整数i拆分成两个部分j 和(i-j)。
我们需要遍历所有可能的拆分情况，找到乘积最大的结果。
三、整数拆分的示例以正整数n=10为例，我们可以将其拆分成2+8、3+7、4+6、5+5四种情况。
通过计算可以得到如下结果：拆分方式乘积结果2+8 163+7 214+6 245+5 25由此可见，拆分成5+5时可以获得最大的乘积结果为25。
四、整数拆分的应用场景整数拆分在实际生活中有很多应用场景。
下面以几个例子来说明：1. 货币找零：在进行货币找零时，我们需要将给定的金额拆分成不同面额的货币。
例如，将10元拆分成1元和5元，可以减少找零时所需的纸币数量。
2. 划分问题：在某些划分问题中，我们需要将一定数量的物品划分成不同的组合。
例如，将一堆苹果划分成几个篮子，每个篮子中有不同数量的苹果。
3. 动态规划问题：整数拆分在动态规划问题中经常被使用。
例如，背包问题中的容量拆分成多个部分，每个部分对应一种物品的重量。
五、整数拆分的优化在求解整数拆分问题时，可以通过优化算法来提高计算效率。
以下是一些常见的优化方法：1. 记忆化搜索：利用一个数组来记录已经计算过的中间结果，避免重复计算。
2. 剪枝操作：在搜索过程中，根据当前情况进行一些剪枝操作，减少不必要的计算。
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整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3错误!未找到引用源。
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2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？例1图【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
共有多少种不同的拿法？【巩固】某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢，他又将如何付款？【例6】猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法？【巩固】体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？〖答案〗【例1】小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环【巩固】明明打中的是6环和2环，强强打中的是8环和4环【例2】997【巩固】 12错误!未找到引用源。
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4 共12种【巩固】15错误!未找到引用源。
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7共6种拆分方法【例5】7种【巩固】这道题目的实质是要求把7，9，10，13，14，15各数按1，2，4，8进行拆分。
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8 外星人可按以上方式付款【例6】4种【巩固】 8种整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a错误!未找到引用源。
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…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a拆成a错误!未找到引用源。
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…错误!未找到引用源。
(n-1)错误!未找到引用源。
n；⑵当多1时，将a拆成a错误!未找到引用源。
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…错误!未找到引用源。
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( n-1)；⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。
例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2错误!未找到引用源。
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35比30大5，故将5去掉30被拆成2错误!未找到引用源。
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8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。
【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。
【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。
它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。
这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。
【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？〖答案〗【例1】将15进行拆分，并计算乘积15错误!未找到引用源。
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3615错误!未找到引用源。
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11 4错误!未找到引用源。
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5615拆分成7和8的和，乘积最大，是56【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时有1错误!未找到引用源。
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