2018届广州市高三一模数学(理)

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2018届广州市高三上学期第一次调研测试数学(理)试题(解析版)

2018届广州市高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2,3A =-， {}2|3 0B x x x =->，则A B ⋂=A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3- 【答案】A 【解析】由B 中不等式变形得()30x x ->，解得0x <或3x >，即{| 0B x x =<或}3x >，{}1,0,1,2,3A =-， {}1A B ∴⋂=-，故选A.2．若复数z 满足()121i z i +=-，则z = ( )A.25 B. 35C.D. 【答案】C【解析】()121i z i +=-111121212i i i z z i i i ---⇒=⇒====+++ ,选C. 3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d = A. 2 B. 3 C. 2- D. 3-【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，所以可得()117121{ { 73563a d a S a d d +==-⇒=+==，故选B. 4．已知变量x ， y 满足20{230 0x y x y y -≤-+≥≥，，，则2z x y =+的最大值为A. 0B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】画出20{230 0x y x y y -≤-+≥≥，，表示的可行域，如图， 2z x y =+化为2y x z =-+，由20{230x y x y -=-+=，可得()1,2P ，平移直线2y x z =-+，当直线经点()1,2P 时，直线截距最大值为2124z =⋅+=，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A. 212-B. 92-C. 92D. 212【答案】A 【解析】912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为9992999111222nnnn n nn n n n C x Cx x C x x----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当923n -=时， 3391213,22n C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选A.6．在如图的程序框图中， ()i f x '为()i f x 的导函数，若()0sin f x x =，则输出的结果是A. sin x -B. cos xC. sin xD. cos x -【答案】A【解析】执行程序框图，()0sin f x x =； ()()10'cos f x f x x ==；()()21'sin f x f x x ==-； ()()32'cos f x f x x ==-； ()()43'f x f x sinx ==； ()()54'cos f x f x x ==，可得()n f x 是周期4T =的函数，当2018i =时，结束循环，输()()20182sin f x f x x ==-，故选A.7．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23 B. 12 C. 16 D. 13【答案】D【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处， 123D N ∴=， M 为1CC 的中点， 'M ∴也为1D D 中点， 11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面， //'QN AM ， 1'3AQ NM ∴==，故选D. 8．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为 A. ln2 B. 1 C. 1ln2- D. 1ln2+ 【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002{ y kx y x lnx =-=，0002ln kx x x ∴-=， 002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+， 02x ∴=，ln21k ∴=+，故选D.9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.10．将函数2sin sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.6π B. 12π C. 4π D. 3π【答案】A 【解析】2323y s i n xs i n x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 33sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，平移ϕ， 222,3sin x πϕ⎛⎫++⎪⎝⎭平移作为奇函数， 223k πϕπ∴+=， 32πϕπϕ=-+，当1k =时， 6πϕ=，故选A. 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A.B.3C. 1D. 2【答案】C【解析】因为三角形OPF 为正三角形，所以PF FO c ==，设双曲线左焦点为'F 可得'60PFF ∠= '90F PF ∠=， '2F F c =， 'PF ∴，根据双曲线的定义可得'2PF PF c a -=-=， 1ce a∴==+ C. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件利用特殊直角三角形的性质．从而找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+； ()21x f x e x =--；()411,0,{ 2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪=-⎝⎭=则其中是“偏对称函数”的函数个数为A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】因为条件②()0xf x '>，所以x 与()'f x 同号， ()21'33f x x x =-+不符合②， ()1f x 不是“偏对称函数”；对于()21xf x e x =--； ()2'1xf x e =-，满足①②，构造函数()()()222x x x f x f x e e xϕ-=--=--，()'220x x x e e ϕ-=+-≥=， ()2x x x e e x ϕ-=--在R 上递增，当120x x <<，且12x x =时，都有()()()()()()12121212200x f x f x f x f x ϕϕ=--=-<=， ()()2122f x f x <，满足条件 ③， ()21xf x e x =--是“偏对称函数”；对于()3f x ， ()31'1f x x =- ，满足条件①②，画出函数()3y f x =的图象以及()3y f x =在原点处的切线， 2y x = 关于y 轴对称直线2y x =-，如图，由图可知()3y f x =满足条件③，所以知()3y f x =是“偏对称函数”；函数()4f x 为偶函数， ()()1212x x f x f x =⇒=，不符合③，函数()4f x 不是，“偏对称函数”，故选C. 【方法点睛】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.二、填空题13．已知向量(),2a x x =-， ()3,4b =，若a b ，则向量a 的模为________．【答案】10【解析】因为//a b，所以234x x -=， 6x =-，10a =，故答案为10.14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若20182a =，则2017201912a a +的最小值为______．【答案】4【解析】因为等比数列{}n a 各项都为正数，所以220182017201912aa a ==，20172019124a a +≥=，故答案为4.15．过抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线C 于A ， B 两点．若6AF =， 3BF =，则p 的值为________．【答案】4【解析】设过抛物线C ： 22(0)y px p =>的准线l 与x 轴交于点G ，与直线AB 交于C ，过A 作l 的垂线，垂足为E ，作BD l ⊥ 于D ，根据相似三角形性质可得12BD BF B AE AF ==⇒是AC 中点，可得9BC =，124618FG CF FG FG AE AC =⇒=⇒=， 4P ∴=，故答案为4.16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】11π【解析】由三视图可知，三棱锥直观图A BCD - ，如图G 是BCD ∆的外心， GP ⊥平面BCD ，令AP BP =，则P 是外接球球心，设G Pa =， 22BP AP = ，222212BP BG GP a =+=+， ()()222222311122AP EG a a ⎛⎫⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32a ∴=， ∴球半径2r BP ===， 2244112S r πππ⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为11π.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.三、解答题17．△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．【答案】（1）3A π=（2）最大值为6【解析】试题分析：（1）由()cos 2cos a B c b A =-根据正弦定理以及两角好的正弦公式可得1c o s A 2=，从而可得角A 的大小；（2）由2a =，利用余弦定理可得224bc b c +=+，配方后利用基本不等式可得4b c +≤，从而可得△ABC 周长的最大值．试题解析：（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=． 2ccosA acosB bcosA +=由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A += 2sinCcosA sinAcosB sinBcosA +=，即()sin 2sin cos A B C A += ()sin A B 2sinCcosA +=．因为()()sin sin sin A B C C π+=-=， ()()sin A B sin πC sinC +=-= 所以sin 2sin cos C C A =． sinC 2sinCcosA =因为sin 0C ≠ sinC 0≠，所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以π3 3A π=．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222a b c bccosA =+- 得224bc b c +=+，即()234b c bc +=+．因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()22344b c b c +≤++．即4b c +≤（当且仅当2b c == 2b c == 时等号成立）．所以6a b c ++≤．故△ABC 周长 a b c ++的最大值为6．18．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形， PA ⊥底面ABCD ， ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC ？与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ， EF ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BD EF ，再证明BD ⊥平面PAC ，从而可得EF ⊥平面PAC ，进而可得平面PAC ⊥平面PCE ；（2）以A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PCE 与平面CDE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为AC ， PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．因为PA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ．因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．（2）解法：因为直线PC ？与平面ABCD 所成角为45 ，所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．所以 AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．则()0,02P ，， )0C，， ()0,21E ，， ()0,20D ，，，()CE =，，==．设平面PCE 的法向量为{}111,,n x y z =，则·0,{·0,n PC n CE ==即11111120, 0.y z y z +-=++= 11,y =令则11{2.x z ==所以)n =．设平面CDE 的法向量为()222,,m x y z =，则0,{ 0,m DE m CE ⋅=⋅=即22220,{0.z y z =++=令21,x =则22{ 0.yz ==所以()13,0m =．设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,n m n m n mθ⋅=-=-==⋅ 所以二面角P CED --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=，参考数据0.55≈，．【答案】（1）可用线性回归模型拟合y与x 的关系（2）商家在过去50周周总利润的平均值为4600元【解析】试题分析：（1）先算出相关系数0.950.75nx x y y r --===≈>可得结论；（2）安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元，分别列出离散型随机变量的分布列，算出安装2台光照控制仪总利润为5200元，安装3台光照控制仪总利润为4600元，从而可得结果.试题解析：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．因为()()()()5131000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===所以相关系数0.95nx x y y r --===≈．因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =3000-1000=2000元，当30<X ≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y =2×3000=6000元，故Y 的分布列为所以20000.260000.85200EY =⨯+⨯=元． ③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元，当50≤X ≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元，当30<X ≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元， Y所以10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=元．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221y x a b+= ()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若11•0F B F H =，且MO MA =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143y x +=（2）2y x =+【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的离心率为12得12c a =，把点⎛ ⎝⎭代人椭圆方程，结合222+a b c =，可求得,a b 的值，从而可得椭圆方程；（2）直线l 的方程为+2y kx =，由222,{ 1,34y kx x y =++=得()2234120k x kx ++=，根据韦达定理及斜率公式，结合题设11•0F B F H = ，且MO MA =，可得2221214903434k k k k k k --⎛⎫⋅--= ⎪++⎝⎭，求得k 的值即可得结果.试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =．又222+a b c =，得22=3b c ，即2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=．把点⎛ ⎝⎭代人C 中，解得24a =．所以椭圆C 的方程为22143y x +=．（2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,{ 1,34y kx x y =++=得()2234120k x kx ++=．设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =， 21234B kx k -=+，所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上，所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设(),0H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k=-，即111H k x k=---．所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．因为110F B F H ⋅= ，所以2221214903434k k k k k k --⎛⎫⋅--= ⎪++⎝⎭，解得283k =．所以直线l 的方程为2y x =+．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题. 利用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21．已知函数()ln bf x a x x =+ ()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=， 0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）2a e =-或a 0>（2）](01 ，【解析】试题分析：（1）讨论0a >、0a <两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数()f x 恰有一个零点时实数a 的取值范围；（2）对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，等价于()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时， ()2ln f x a x x =+，所以()222a x a f x x x x='+=+．①当0a >时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，取10ax e -=，则21110a af e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（或：因为00x <<且01ex <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()0·10f x f <，此时函数()f x 有一个零点．②当0a <时，令()0f x '=，解得x =．当0x << ()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >时， ()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则02af a ==即2a e =-．综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或a 0>．（2）因为对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦，所以()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦．因为0a b +=，则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---=='+．当01x <<时， ()0f x '<，当1x >时， ()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增， ()()min 11f x f ⎡⎤==⎣⎦，因为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,f x f f e e ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -=+->='．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{2x cos y sin αα==，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2{x x y y=''=，后得到曲线2C ．在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．【答案】（1）2C 为圆心在原点，半径为2的圆， 2ρ=（2）d 取到最小值为2最大值为2+【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线1C 的普通方程，再利用放缩公式可得曲线2C 方程，从而可判定2C 是哪一种曲线，利用极坐标护互化公式可得2C 的方程化为极坐标方程；（2）利用2C 的参数方程设出点M 的坐标，利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）因为曲线1C 的参数方程为{2x cos y sin αα==（α为参数），因为2{ .x x y y ''==，，则曲线2C 的参数方程2{ 2.x cos y sin αα''==，．所以2C 的普通方程为224x y ''+=．所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．（2）解法：直线l 的普通方程为100x y --=．曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d πα-==当cos +=14πα⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k Z παπ-∈时， d2．当cos +=14πα⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k Z παπ+∈时， d 取到最大值为122+23．选修4－5：不等式选讲已知函数()f x x a =+．（1）当1a =时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围【答案】（1）{}|1x 1x x ≤-≥，或（2）(][),15,-∞⋃+∞【解析】试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）将函数()()3g x f x x =-+化为分段函数，根据分类讨论思想结合分段函数的图象，求出分段函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 试题解析：（1）当1a =时， ()1f x x =+．①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x ≤-． ②当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +≤--，解得1x ≤-，此时原不等式无解． ③当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +≤，解得1x ≥．综上可知，原不等式的解集为{ 1 x x ≤-或}1x ≥．（2）解法：①当3a ≤时， ()3,3,{23,3, 3,.a x g x x a x a a x a -≤-=----<<--≥-所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[]2,1A -⊆，所以32{31a a -≤--≥，，解得1a ≤．②当3a >时， ()3,,{23,3, 3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-=++-<<--≥-所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[]2,1A -⊆，所以32{31a a -≤--≥，，解得5a ≥．综上可知， a 的取值范围是(][),15,-∞⋃+∞．。

2018届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数)

2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．B AB ．B AC ．()()B C A C R RD ．()()B C A C R R3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29 D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，AC AE 52=，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-DC ABE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．图②图①某地1~10岁男童年龄ix（岁）与身高的中位数iy()cm()1,2,,10i =如下表：x（岁） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y()cm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y()1021x xii∑-=()1021y yii∑-=()()101x x y yi ii∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r=++更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程x bayˆˆˆ+=中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=niiniiixxyyxxb121ˆ，x byaˆˆ-=.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD-中，△ABD为正三角形，︒=∠120BCD，2CB CD CS===，︒=∠90BSD．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若BDSC⊥，求二面角CSBA--的余弦值．DCBAS已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G在线段MP 上，且满足()()GP GN GP GN -⊥+．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．数学（理科）参考答案一. 选择题二．填空题 13．2 14．633- 15．21-16．64三. 解答题17．解：(1)因为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以.12)1(21-=-+=n n n Sn所以.22n n S n -=当1=n 时，.111==S a当2≥n 时，,34)]1()1(2[)2(221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n当1=n 时，11=a 也符合上式．所以数列}{n a 的通项公式).(34*N n n a n ∈-=(2)1=n 时，2111=b a ，所以.2211==a b 当2≥n 时，由nnn n b a b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++21)54(52211 ,所以.21)14(51112211---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++n n n n b a b a b a两式相减，得.21)34(nnn n b a ⎪⎭⎫⎝⎛-=因为34-=n a n ，所以1(221)34()34(==⎪⎭⎫⎝⎛--=n n n b n nn 时也符合公式）．又22211==++n n n n b b ，则数列}{n b 是首项为2公比为2的等比数列. 所以.2221)21(21-=--=+n n n T18．解：(1)87.65.8285.566)())((ˆ211≈=---=∑∑==x x y y x x bini iini ， 67.745.587.645.112ˆˆ≈⨯-=-=x b y a，所以y 关于x 的线性回归方程为.67.7487.6+=x y(2)若回归方程为67.7487.6+=x y ，当11=x 时，.24.150=y 若回归方程为07.6817.1030.02++-=x x y ，当11=x 时，.64.143=y94.4|3.14524.150|66.1|3.14564.143|=-<=-，所以回归方程07.6817.1030.02++-=x x y 对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好.19．(1)证明：设O BD AC = ，连SO , 因为CD CB AD AB ==,,所以AC 是BD 的垂直平分线，即O 为BD 中点，且.BD AC ⊥ 在BCD ∆中，因为2==CD CB ,120=∠BCD , 所以.1,32==CO BD在SBD Rt ∆中，因为O BSD ,90=∠为BD 中点，所以.321==BD SO 在SOC ∆中，因为,2,3,1===CS SO CO 所以.222CS CO SO =+ 所以.AC SO ⊥因为O SO BD = , 所以⊥AC 平面.SBD(2)过点O 作SB OK ⊥于点K ，连CK AK ,, 由(1)知⊥AC 平面.SBD 所以.SB AO ⊥因为O AO OK = ，所以⊥SB 平面.AOK 因为⊂AK 平面AOK , 所以.SB AK ⊥ 同理可证.SB CK ⊥所以AKC ∠是二面角C SB A --的平面角．因为BD SC ⊥，由(1)知BD AC ⊥，且,C SC AC = 所以⊥BD 平面.SAC而⊂SO 平面SAC ，所以.BD SO ⊥ 在SOB Rt ∆中，.26=⋅=SBOB SO OK 在AOK Rt ∆中，24222=+=OK AO AK ，同理可求210=CK . 在AKC ∆中，得.351052cos 222-=⋅-+=∠CK AK AC CK AK AKC所以二面角C SB A --的余弦值为.35105-20．解：(1)因为)()(GP GN GP GN -⊥+,所以0)()(=-⋅+GP GN GP GN ，即.022=-GP GN 所以.||||GN GP =所以.||324||||||||||MN MP GP GM GN GM =>==+=+ 所以点G 在以N M ,为焦点，长轴长为4的椭圆上，.322,42==c a即3,2==c a ，所以.1222=-=c a b所以点G 的轨迹C 的方程为.1422=+y x(2)依题意可设直线.4:+=my x l由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,422y x my x ，得.0128)4(22=+++my y m设直线l 与椭圆C 的两交点为),,(),,(2211y x B y x A由0)12(16)4(12464222>-=+⨯⨯-=∆m m m ，得.122>m ①且48221+-=+m m y y , 412221+=m y y ② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ,所以)(12121212y y m yy x x y y k BD -+=-+= 所以BD 所在直线方程为).4()(212122---+=-my x y y m y y y y令0=y ，得.)(422121210y y y y y my x +++=③将②代入③，即.183224)(422121210=--=+++=mmm y y y y y my x所以点Q 的坐标为(1，0)．因为.41264)(23||||21||222122112+-=-+=-=-=∆∆∆m m y y y y y y QT S S S TAQ TBQABQ令42+=m t ，结合①得.16>t所以.64132111662+⎪⎭⎫⎝⎛--=∆t S ABQ当且仅当32=t 时，即72±=m 时，.43][max =∆ABQ S 所以ABQ ∆面积的最大值为43.21．解：(1)函数)(x f 的定义域为),0(∞+,由01ln )(=++=x ax x f ，得.1ln xx a +-= 令)0(1ln )(>+-=x x x x g ，则.ln )('2xxx g =因为当10<<x ,0)('<x g ，当1>x 时，0)('>x g , 所以函数)(x g 在(0，1)上单调递减，在),1(∞+上单调递增. 所以.1)1()]([min -==g x g 因为01=⎪⎭⎫⎝⎛e g ，当e x 10<<时，0)(>x g ；当ex 1>时，.0)(<x g 所以当1-<a 时，函数)(x f 没有零点；当1-=a 或0≥a 时，函数)(x f 有1个零点；当01<<-a 时，函数)(x f 有2个零点.(2)因为1ln )(++=x ax x f ，所以对任意的xxex f x 2)(,0≤>恒成立，等价于xx e a x 1ln 2+-≤在),0(∞+上恒成立. 令)0(1ln )(2>+-=x xx e x m x，则.ln 2)('222x x e x x m x +=再令x e x x n xln 2)(22+=，则.01)(4)('22>++=xe x x x n x 所以x ex x n xln 2)(22+=在),0(∞+上单调递增．因为,0)1(,02ln 2841><-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n en 所以x ex x n xln 2)(22+=有唯一零点0x ，且.1410<<x 所以当00x x <<时，0)('<x m ，当0x x >时，.0)('>x m 所以函数)(x m 在),0(0x 上单调递减，在),(0∞+x 上单调递增．因为0ln 202200=+x ex x ，即2022ln 0x x e x -=，则.100<<x 所以0000ln )2ln()ln ln(2x x x x ---=，即).ln ()ln ln(2)2ln(0000x x x x -+-=+设x x x s +=ln )(，则,011)('>+=xx s 所以函数x x x s +=ln )(在),0(∞+上单调递增，所以).ln ()2(00x s x s -=所以.ln 200x x -= 于是有.1020x e x = 所以21ln )()(00200=+-=≥x x e x m x m x ．则有.2≤a 所以a 的取值范围为].2,(-∞22．解：(1)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为m y x +=3，即.03=--m y x 因为θρcos 2=，所以.cos 22θρρ=可得C 的直角坐标方程为x y x 222=+，即.0222=+-y x x(2)把03=--m y x 代入0222=+-y x x ，消去y ，得.0)3(2422=++-m x m x由0>∆，得.31<<-m设B A ,两点的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 则由韦达定理得.4,2322121m x x m x x =+=+ 因为22222121)()(||||y x m y x m PB PA +-⋅+-=⋅ 2212)1(2)1(2x m m x m m -+⋅-+=.|2|)1(4))(1(222122124m m x x m x x m m m -=-++-+=所以.2|2|2=-m m 解得.31±=m因为31<<-m ，所以.31±=m23．(1)解：当0,1==b a 时，由1||3)(+≥x x f ，得.1|1|2≥+x 所以.21|1|≥+x 解得23-≤x 或.21-≥x 所以不等式的解集为.,2123,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞- (2)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+≤≤-++--<+--=-++=.3,25,3,2,,25|3|||2)(b x b a x b x a b a x a x b a x b x a x x f 所以函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,b 上为减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,3b 上为增函数. 所以当3b x =时，函数)(x f 取得最小值为.2323=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a b b f 因为0,0>>b a ，所以.33=+b a。

2018年广州市普通高中毕业班综合测试一(一模)理科数学答案及评分细则

4 m2 12 ． m2 4
所以 SABQ
解法 2：依题意直线 l 的斜率存在，设其方程为 y k x 4 ，
y k x 4 ， 2 2 2 由 x2 得 4k +1 y 8ky 12k 0 ． 2 y 1， 4
2 2

当 n 1 时， a1 1 也符合上式．所以数列 an 的通项公式 an 4n 3 n N

*
．
第 1 页共 16 页
数学（理科）答案 A
（2） n 1 时，
a1 1 ，所以 b1 2a1 2 ． b1 2
a1 a2 b1 b2 an 1 5 4n 5 ， bn 2
max
2
当且仅当 t 32 时，即 m 2 7 时， SABQ 所以 ABQ 面积的最大值为
3 = ． 4
3 ． 4
【求 ABQ 面积的另解：因为点 Q 1, 0 到直线 l 的距离为 d
3 1 m2
．
| AB | 1 m2 ( y1 y2 )2 4 y1 y2 1 m2 1 6 m2 12 ．】 d | AB | 2 m2 4

2
2
3 ，所以 b 2 a 2 c 2 1 ．
所以点 G 的轨迹 C 的方程为
x2 y2 1． 4
（2）解法 1：依题意可设直线 l : x my 4 ．
x my 4, 2 2 由 x2 ，得 (m 4) y 8my 12 0 ． 2 y 1, 4
3 ． 4

2018年广州市一模数学试题及答案(理科)20180314

试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）2018.3 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在地市、县/区、学校以及自己地姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型<A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项地答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹地钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内地相应位置上；如需改动，先划掉原来地答案，然后再写上新地答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答地答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应地信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂地，答案无效.5．考生必须保持答题卡地整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体地体积公式，其中是锥体地底面积，是锥体地高．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1．已知是虚数单位，若，则实数地值为A ．B ．C ．D ．2．在△中，角，，所对地边分别为，，，若，则为A ．B ．C ．D ．3．圆关于直线对称地圆地方程为A ．B ．C ．D ．4．若函数地定义域为实数集，则实数地取值范围为A ．B ．C ．D ．1 / 172 / 175．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生地分数，并绘制成如图1地频率分布直方图．样本数据分组为，，，，．若用分层抽样地方法从样本中抽取分数在范围内地数据16个，则其中分数在范围内地样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个6．已知集合，则集合中地元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．57．设，是两个非零向量，则使成立地一个必要非充分条件是 A ．B ．C．D ．8．设，，为整数<），若和被除得地余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则地值可以是A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． <一）必做题<9～13题） 9．若不等式地解集为，则实数地值为． 10．执行如图2地程序框图，若输出，则输入地值为．11．一个四棱锥地底面为菱形，其三视图如图312．设为锐角，若13．在数列中，已知，记为数列地前项和，则． <14～15题，考生只能从中选做一题）14．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线，两点，若，则实数地值为．侧<左）视图图3 俯视图P图4输入否输出图13 / 1715．<几何证明选讲选做题）如图4，是圆地切线，切点为，直线与圆交于，两点，地平分线分别交弦，于，两点，已知，，则地值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．<本小题满分12分）已知函数地图象经过点．<1）求实数地值； <2）设，求函数地最小正周期与单调递增区间．17．<本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用地概率是，甲，丙两人同时不能被聘用地概率是，乙，丙两人同时能被聘用地概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．<1）求乙，丙两人各自能被聘用地概率；<2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用地人数与不能被聘用地人数之差地绝对值，求地分布列与均值<数学期望）．18．<本小题满分14分）如图5，在棱长为地正方体中，点是棱地中点，点在棱上，且满足．<1）求证：；<2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，并求此时地长；<3）求平面与平面所成二面角地余弦值．19．<本小题满分14分）已知等差数列地首项为10，公差为2，等比数列地首项为1，公比为2，．<1）求数列与地通项公式；<2）设第个正方形地边长为，求前个正方形地面积之和．<注：表示与地最小值．）20．<本小题满分14分）图5已知双曲线：地中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．<1）求实数地值；<2）证明：直线与直线地斜率之积是定值；<3）若点地纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，地点，满足，证明点恒在一条定直线上．21．<本小题满分14分）已知函数<其中为自然对数地底数）．<1）求函数地单调区间；<2）定义：若函数在区间上地取值范围为，则称区间为函数地“域同区间”．试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件地“域同区间”；若不存在，请说明理由．4 / 171 / 172018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生地解法与参考答案不同，可根据试题主要考查地知识点和能力比照评分标准给以相应地分数． 2．对解答题中地计算题，当考生地解答在某一步出现错误时，如果后继部分地解答未改变该题地内容和难度，可视影响地程度决定后继部分地得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数地一半；如果后继部分地解答有较严重地错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得地累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．40分．30分．其中14~15或三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．<本小题满分1）<本小题主要考查三角函数图象地周期性、单调性、同角三角函数地基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化地数学思想方法，以及运算求解能力）解：<1）因为函数地图象经过点，所以．即．即．解得．<2）方法1：由<1）得．所以2 / 17．所以地最小正周期为．因为函数地单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增．所以函数地单调递增区间为．方法2：由<1）得．所以分所以函数地最小正周期为分因为函数地单调递减区间为，所以当时，函数单调递增．即<）时，函数单调递增．所以函数地单调递增区间为．17．<本小题满分1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量地分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然地数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：<1）记甲，乙，丙各自能被聘用地事件分别为，，，由已知，，相互独立，且满足解得，．所以乙，丙各自能被聘用地概率分别为，．<2）地可能取值为1，3．因为．所以．所以地分布列为所以．18．<本小题满分1）<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角地平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化地数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：3 / 17<1）证明：连结，，因为四边形是正方形，所以．在正方体中，平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．<2）解：取地中点，连结，则．在平面中，过点作，则．连结，则，，，四点共面．因为，，所以．故当时，，，，四点共面．<3）延长，，设，连结，则是平面与平面地交线．过点作，垂足为，连结，因为，，所以平面．因为平面，所以．所以为平面与平面所成二面角地平面角．因为，即，所以．在△中，，，4 / 175 / 17所以．即．<苏元高考吧：广东省数学教师QQ 群：179818939）因为，所以．所以．所以．故平面与平面所成二面角地余弦值为．空间向量法： <1）证明：以点为坐标原点，，，所在地直线分别为轴，轴，轴，建立如图地空间直角坐标系，则，，，，，所以，．因为，所以．所以．<苏元高考吧：广东省数学教师QQ 群：179818939） <2）解：设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以．所以存在实数，使得．6 / 17因为，，所以．所以，．所以．故当时，，，，四点共面．<3）解：由<1）知，．设是平面地法向量，则即取，则，．所以是平面地一个法向量．而是平面地一个法向量，设平面与平面所成地二面角为，则…1．故平面与平面所成二面角地余弦值为．第<1）、<2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法： <1）、<2）给分同推理论证法． <3）解：以点为坐标原点，，，所在地直线个人收集整理-仅供参考7 / 17分别为轴，轴，轴，建立如图地空间直角坐标系，则，，，则，．设是平面地法向量，则即取，则，．所以是平面地一个法向量．而是平面地一个法向量，设平面与平面所成地二面角为，则…1．故平面与平面所成二面角地余弦值为．19．<本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化地数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：<1）因为等差数列地首项为10，公差为2，所以，即．因为等比数列地首项为1，公比为2，所以，即．<2）因为，，，，，，，，，，，．易知当时，．下面证明当时，不等式成立．方法1：①当时，，不等式显然成立．②假设当时，不等式成立，即．则有．这说明当时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对地所有整数都成立．所以当时，．方法2：因为当时，所以当时，．所以则当时，8 / 179 / 17．当时，．综上可知，20．<本小题满分1）<本小题主要考查直线地斜率、双曲线地方程、直线与圆锥曲线地位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程地数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）<1）解：设双曲线地半焦距为，由题意可得解得．<2）证明：由<1）可知，直线，点．设点,，因为，所以．所以．因为点在双曲线上，所以，即．所以．所以直线与直线地斜率之积是定值．<3）证法1：设点，且过点地直线与双曲线地右支交于不同两点，，则，，即，．设，则．即整理，得由①×③，②×④得将，代入⑥，得．⑦将⑤代入⑦，得．所以点恒在定直线上．10 / 1711 / 17证法2：依题意，直线地斜率存在．设直线地方程为，由消去得．因为直线与双曲线地右支交于不同两点，，则有设点，<苏元高考吧：广东省数学教师QQ 群：179818939）由，得．整理得．1将②③代入上式得．整理得． ④因为点在直线上，所以． ⑤联立④⑤消去得．所以点恒在定直线上．<本题<3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或地范围．）① ② ③21．<本小题满分1）<本小题主要考查函数地单调性、函数地导数、函数地零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论地数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：<1）因为，所以．当或时，，即函数地单调递增区间为和．当时，，即函数地单调递减区间为．所以函数地单调递增区间为和，单调递减区间为．<2）假设函数在上存在“域同区间”，由<1）知函数在上是增函数，所以即也就是方程有两个大于1地相异实根．设，则．设，则．因为在上有，所以在上单调递增．因为，，即存在唯一地，使得．当时，，即函数在上是减函数；当时，，即函数在上是增函数．因为，，，所以函数在区间上只有一个零点．这与方程有两个大于1地相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数在上不存在“域同区间”．12 / 17申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.13 / 17。

(2018年广州一模理科)有答案).docx

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018． 3本试卷共 5 页， 23 小题，满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1满足 z 1 i24i，则复数 z的共轭复数 z A．设复数 zA ． 2B ． 2C ． 2iD ． 2i2．设集合 Axx30 ， Bx x ≤ 3 ，则集合 x x ≥1 Dx1A ． A I BB ． A U B开始C ．痧R A U R BD ．痧R AIRBn 2, S 03．若 A ， B ， C ， D ， E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 B4 32D ．A ．B ．C ．555 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S D94 2D ．A ．B ．C ．20995．已知 sin x3，则 cos xD454A ．4B ．3C ．4 D ．11S S+25n n9 n n240否n ≥19?是3输出 S5 555结束6．已知二项式 2x21xAn 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含1项的系数是xA ．84B ．14 C ． 14 D ． 847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 CA ． 4 4 2 2 3B ． 14 4 2C ． 10 42 2 3D ．4yxy 2≥0,z x2x y8满足约束条件 2 y 1 0,则 2 2的最小值为D．若 x ，≥x 1≤0,A ．11C ． 1D ．3B ．24249．已知函数 f xsinx60 在区间4 ，上单调递增，则的取值范围为3BA ． 0,8B ． 0,1C ． 1 ,8D ． 3, 2322 3810．已知函数f xx 3 ax 2bx a 2 在 x 1 处的极值为 10，则数对 a, b 为 CA ．3,3B ．11,4C ． 4,11D ．3,3 或 4, 1111．如图，在梯形ABCD 中，已知 ABuuur2 uuur2 CD ， AEAC ，双曲线5DEC过 C ， D ， E 三点，且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为 AA ． 7B ． 2 2ABC ． 3D ． 1012．设函数 f x在 R 上存在导函数 f x，对于任意的实数x ，都有 f xf x2x 2 ，当 x 0 时， f x 1 2x ，若 f a 1 ≤f a 2a 1，则实数 a 的最小值为 A1B ．1C．3D．2A ．22二、填空：本共 4 小，每小 5 分，共 20分．13．已知向量a m,2 ， b1,1，若 a b a b ，数m2．14 ．已知三棱P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， AB⊥AC ， PA⊥底面 ABC ，PA AB1，个三棱内切球的半径33．615．△ABC的内角A，B，C的分a，b，c，若2a cosB2b cos A c 0 ，cos 的1．216．我国南宋数学家所著的《解九章算》中，用①的三角形形象地表示了二式系数律，俗称“ 三角形”．将三角形中的奇数成1，偶数成 0 ，得到②所示的由数字 0 和 1 成的三角形数表，由上往下数，第 n 行各数字的和S n，如S11，S2 2 ， S3 2 ， S4 4 ，⋯⋯，S12664．图①图②三、解答：共70 分．解答写出文字明、明程或演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、 23 考，考生根据要求做答．（一）必考：共60 分．17．（本小分12 分）已知数列n的前 n 和S n，数列Sn是首1，公差 2 的等差数列．a n （1）求数列a n的通公式；a 1 a 2a nn（2）设数列b5 4n 51 b 的前 n 项和 T n ．满足L，求数列nb 1 b 2b n2n18．（本小题满分 12 分）某地 1~10 岁男童年龄x i（岁）与身高的中位数y i cm i1,2, L,10 如下表：x （岁）12345678910 y cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y 10210210x i xi 1y i y x i x y i y i 1i 15.5112.4582.503947.71566.85（ 1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（ 2）某同学认为，y px2qx r 更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是 y0.30 x210.17 x68.07 ．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（ 1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？n$$$$x i x y i y附：回归方程 y a bx 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：i 1，b n2x i x $$i 1a y bx．19．（本小题满分12 分）S 如图，四棱锥S ABCD 中，△ABD为正三角形，BCD120，CB CD CS2，BSD90．DC平面 SBD；（ 1）求证：AC（ 2）若SC BD ，求二面角 A SB C 的余弦值．A B20．（本小题满分 12 分）216 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N 3,0 ，点 G 在已知圆 x 3y 2 线段 MP 上，且满足uuur uuur uuur uuur GN GP GN GP ．（ 1）求点 G 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 T4,0 作斜率不为 0 的直线 l 与（ 1）中的轨迹 C 交于 A ， B 两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求△ ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f xax ln x 1 ．（1）讨论函数 f x 零点的个数；（2）对任意的x 0 ， f x ≤xe 2 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程x3 t ,m已知过点 P m,0 的直线 l 的参数方程是2 （ t 为参数），以平面直角坐标系y1t ,2的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ．（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（ 2）若直线 l 和曲线 C 交于 A ， B 两点，且 PA PB2 ，求实数 m 的值．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x)2 x a 3x b ．（1）当 a1 ， b 0 时，求不等式 f x ≥3 x 1的解集；（2）若 a0 ， b 0 ，且函数 f x 的最小值为 2 ，求 3ab 的值．。

广东省广州市2018届高三综合测试(一)数学理

AC 5 ，双曲线
D
C
E
过 C ， D ， E 三点，且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为
A
B
A． 7
B． 2 2
C． 3
D ． 10
f
12．设函数
x 在 R 上存在导函数
f
x ，对于任意的实数 x ，都有 f x
f
x
2x2 ，当 x 0
时， f x 1 2x ，若 f a 1 ≤f a 2a 1，则实数 a 的最小值为
同学不相邻的概率为
4 A． 5
3 B． 5
2 C． 5
1 D． 5
4．执行如图所示的程序框图，则输出的
S
9 A ． 20
4 B． 9
2
9
C． 9 D． 40
sin x
5．已知
4
3
cos x
5 ，则
4
n 2, S 0 y log x
1 S S+
nn 2
nn2
否 n≥19? 是
输出 S 结束
4 A． 5
3 B． 5
4
3
C． 5 D． 5
6．已知二项式
n
2x2 1 x 的所有二项式系数之和等于
1 128，那么其展开式中含 x 项的系数是
A ． 84
B． 14
C． 14
D． 84
7．如图，网格纸上小正方形的边长为
1，粗线画出的是某个几何体的三
· 1·
视图，则该几何体的表
A． 4 4 2 2 3
面积为
1 0, B． 2
18 ,
C． 2 3
3 ,2
D． 8
10．已知函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 处的极值为 10 ，则数对 a, b 为

2018年广东省高考数学一模试卷(理科)

2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)，取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)．故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】 2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)，所以z =x +y 的最大值为：2．【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)．【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115．【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ，又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直，故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ，令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ，又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直，故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ，令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|，令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|，由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0，即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ，可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)，可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|，令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|，由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0，即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2，可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)，可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值．【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点；当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。

(2018年广州一模理科)有答案)

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =AA ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ DA ．AB IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R RI痧3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A同学不相邻的概率为BA ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =DA ．920 B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭DA ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是AA ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为C A．4+ B．14+C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为DA ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为BA ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为CA ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线D C ABE过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AAB ．C ．3D 12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为AA ．12- B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = 2 ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为36． 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为 12- ．16．我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．图②图①（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a a n b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．()()()121nx x y y i i i b nx x i i =--∑=-∑=$已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。

2018届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数试题)

2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共5页，23小题’满分150分。

考试用时120分钟" 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和署生昔、试室号、座位号填写在礬懸卡上，用2B 梧笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并特试卷类型（A ）填涂在答题卡相应住置上。

2. 作答选择题时，选出毎小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案蓿息点涂黑；如需改动.用橡皮擦干净后*再选涂其他答案』答案不能答在试卷上。

3-非选择题血须用黒色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案’然后再写上新筌案；不准使用勢笔和涂改漩° 不按以上要求作筌无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分*在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L 设复数盘满足z （l-i ）2=4L 则复数h 的共规复数牙二G -2irx + 32+设集合 x\<0x —1B* 25 = {x 点一3}・则集舍=A* AC\BB.G (A)U(J*) D.(c R /)n(cR 5)4 3 21 A.- C. D.5 5 5 5 4.执行如图所不的程序框图，则输出的3 = 9 4 29A- 一— B. —C D. 209 940 5.己知或n x ----- 3二一 F 则 * n ”丫十—1451丿43斗3A. 一- UD.5555E 五位同学站成一排照相，则畀，舟两位同学不相邻的概率為/ 1 丫 16.己知二项式2十-一的所有二项式系数之和等于12&那么其展开式中含一项的系数是 X) x10. 己知函数f (x) = x 3 +ax 2 +bx + a 2在x = 1处的极值为10,A. (-3,3)B. (-11,4)C. (4,-11)11. 如图，在梯形ABCD 中，己知\AB\ = 2\CD\, AE = ^AC,双曲线过C,D, E 三点,且以B 为焦点，则双曲线的离心率为A. 41B. 2^2C. 312. 设函数/(兀)在R 上存在导函数/'(X ),对于任意的实数兀，都有/(x) + /(-x) = 2x 2,当xvO 时，/'(x) + lv2x,若/(a + l)9(-a) + 2a + l,则实数Q 的最小值为 A ・B ・—1C.D ・—22 2A. 一84B. -14C. 14D. 847. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画岀的是某个儿何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 4 + 4迈+ 2巧 C ・10 + 4血+ 2拆B. 14 + 4\/2 D. 48. 若兀，尹满足约束条件＜兀一尹+ 2三0, 2尹-1N0, x — 1W0,则z = x 2 + 2x + y 2的最小值为 9. 1A.- 2A.(血＞0)在区间-睿，卑上单调递增，则血的取值范围为C.1 8 2'3D. 则数对@,b)为D. (-3,3)或(4,-11)3.1已知函数f (x) = sinBA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 己知向量“=(〃?,2),方= (1,1),若0 +方=问+同，则实数〃?= ____________ ."14. 已知三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰三角形，ABLAC ,刃丄底面ABC ,PA = AB = \,则这个三棱锥内切球的半径为_______ .15. &ABC的内角4 , B , C的对边分别为a, b, c,若2acos(O-B)+ 2bcos(0 + M)+ c = O,则cos 0的值为 _____ •, 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0,得到图② 所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第〃行各数字的和为S”，如5=1, S? = 2, S y = 2 f S4 = 4, ,则S门§ =____________ •iI 1I o Ii i i i10 0 0 1i I 0 0 111 0 I 0 I 0 I图①^ 图②三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.(一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分)己知数列｛%｝的前川项和为S”，数列是首项为！，公差为2的等差数列.(1)求数列｛a」的通项公式;(2)设数列｛$｝满足—^ + b\ *…+ 舒5-（4〃 + 5）（£| 求数列｛$｝的前"项和7；.18. （本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄兀（岁）与身高的中位数X （cm）（21,2,…,10）如下表：.X （岁）12345678910 y伽）76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.丿、y（cm）140130120110100908070$ . ■OX y 10 , \2 L（X- -x）甞（专~刃（乃T）5.5112.4582.503947.7156685（1）求y关于工的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）:（2）某同学认为，y = px2+qx + r更适宜作为尹关于X的回归方程类型，他求得的回归方程是y --0.30%2 +10.17x +68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程,=2+从中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：i =a 八a »_b元.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S — ABCD中，IBD为正三角形，z^CD = 120°,CB = CD二CS = 2, ABSD = 90°.（2）若SCI BD,求二面角A-SB-C的余弦值.A 奮（勺-元）3厂歹）（1）求证：/C丄平面SBD；/長fB20・(本小题满分12分)已知圆(J + X /3)24-/ = 16的圆心为M,点P 是圆M 上的动点，点N (J5,0),点G 在线段 MP 上，且满足(GN^GP) 1(GN-GP].(I)求点G 的轨迹C 的方程;(2)过点7(4,0)作斜率不为0的直线/与(1)中的轨迹C 交于加，B 两点，点A 关于 x 轴的对称点为D,连接8D 交x 轴于点0,求HABQ 面积的最大值.21. (本小题满分12分〉已知函数/(x) = ax + lnx + l.(1) 讨论函数/(x)零点的个数；(2) 对任意的x>0, /(x)^xe 2x 恒成立，求实数a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22. 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为Q = 2COS &.(1) 求直线/的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2) 若直线/和曲线C 交于8两点，且|PJ|-|P^| = 2,求实数加的值.23. (本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲己知函数/(x) = 2卜+ a| + |3x-b| •⑴当a = l, 6 = 0时，求不筹式/(工)$3卜|+1的解集： (2)若a>0, 5>0,且函数/(x)的最小值为2,求3a + b 的值.己知过点P (〃,0)的直线/的参数方程是• x/3x = m +—-1 r (/为参数)，以平面直角坐标系。

2018年广州一模理科数学试题与答案(全word版)

试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）2018.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型<A）填涂在答题卡相应位置上。

RUW9RT2d7t2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

RUW9RT2d7t3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

RUW9RT2d7t4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

1 / 202 / 20参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．RUW9RT2d7t 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2- B ．2± C ． D ．2 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有图1分数3 / 20A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个RUW9RT2d7t 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5RUW9RT2d7t 7．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A ．=a b B ．⊥a b C ．λ=a b ()0λ> D ．a b8．设a ，b ，m 为整数<0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018RUW9RT2d7t 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． <一）必做题<9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为． 113所示，则这个四棱锥的体积是12．设αsin α⎛ ⎝侧<左）视图4 / 2013．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．<二）选做题<14～15题，考生只能从中选做一题） 14．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为． 15．<几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．<本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．<1）求实数a 的值；<2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间． 17．<本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．RUW9RT2d7t <1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；P图45 / 20<2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值<数学期望）．RUW9RT2d7t 18．<本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．<1）求证：11EF A C ⊥；<2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；<3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．<本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．<1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．<注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．<本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =． <1）求实数a 的值；<2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；C1C1DA B DEF1A 1B图56 / 20<3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．RUW9RT2d7t 21．<本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+<其中e 为自然对数的底数）． <1）求函数()f x 的单调区间；<2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．RUW9RT2d7t2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．RUW9RT2d7t2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．RUW9RT2d7t3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．RUW9RT2d7t三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．<本小题满分1）<本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）RUW9RT2d7t 解：<1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即02a+=．解得a =<2）方法1：由<1）得()sin f x x x =+．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 2x x =+-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增，即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．方法2：由<1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．即ππππ36k x k -≤≤+<k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．<本小题满分1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）RUW9RT2d7t 解：<1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． <2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=．所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=． 18．<本小题满分1）<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t 推理论证法：<1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． <2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．1DABCD EF 1A1B1C1DE1A1B 1CGH连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． <3）延长EF ，DB ，设EF DB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ，因为FB AM ⊥，FB BN B =，所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ．所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，即23=，所以MB =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=，所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯()222a a ⎛=+-⨯⨯⨯ ⎝⎭213a =．即AM =．因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯，所以sin135a AB MB BN AM⨯⨯⨯⨯===．1DAB CDE F 1A1B1CMN所以39FN a===．所以6cos7BNFNBFN∠==．故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为67．空间向量法：<1）证明：以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a，()1,0,A a a，()10,,C a a，10,0,2E a⎛⎫⎪⎝⎭，1,,3F a a a⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a=-，1,,6EF a a a⎛⎫=-⎪⎝⎭．因为221100AC EF a a=-++=，所以11AC EF⊥．所以11EF A C⊥．<2）解：设()0,,G a h，因为平面11ADD A平面11BCC B，平面11ADD A平面AEGF AE=，平面11BCC B平面AEGF FG=，所以FG AE．<苏元高考吧：广东省数学教师QQ群：179818939）所以存在实数λ，使得FG AEλ=．因为1,0,2AE a a⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以11,0,,0,32a h a a aλ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以1λ=，56h a =．所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．<3）解：由<1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第<1）、<2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法： <1）、<2）给分同推理论证法．<3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫=⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．<本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．<2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立． ②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218k k k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩ 则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-．综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．<本小题满分1）<本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t <1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得2254.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．<2）证明：由<1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．<3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤联立④⑤消去k 得43120x y --=．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．①②③<本题<3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）21．<本小题满分1）<本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为()()221e x f x x x =-+，<苏元高考吧：）所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． <2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由<1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩ 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)x g x x x x =-->，则2()(1)e 1x g x x '=--．设()h x =2()(1)e 1x g x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数；当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018广州一模理科数学

2 当x ，时, x , , 所以 6 4 6 3 6 4 3 2 4 6 , 3 6 2k 2 , 2k 2 , k Z
3 不相邻问题用插空法 , 先安排C , D, E 三位同学, 共有A3 种 2 排列方法 , 产生4个空隙, 再安排A, B两位同学, 有A4 种排 3 2 列方法 , 所以共有A3 A4 72种不同的排列方法 .
72 3 事件总数为A 120, 所以所求事件的概率为 = 120 5
5 5
n 2 1 1 1 5 2 中含的项为C 7 2 x 84 x x x 5
7
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ C ）
A. 4 4 2 2 3 C . 10 4 2 2 3
B. 14 4 2 D. 4
2 2
z x 2x y
2 2 2 2
3 D. 4
y
C
x y20
( x 2 x 1) y 1 ( x 1) y 1
2 2
A P
B
2 y 1 0
( x 1) y 表示动点( x , y ) 与P (0,1)之间的距离
O
x
x 1 0
x y 2 ≥ 0, 8. 若x , y满足约束条件 2 y 1 ≥ 0, 则z x 2 2 x y 2 x 1 ≤ 0, 的最小值为( D ) 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 2 3 D. 4
y
C
x, 所以z x 2 x y 2 3 1 的最小值为 1 4 2

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2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足
()2
1i 4i
z -=，则复数z 的共轭复数z =（） A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i
2、设集合
301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬
-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥（） A ．B A
B ．B A
C ．B C A C R R
D ．B C A C R R
3、若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（）
A ．45
B ．3
5
C ．25
D ．15
4、执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）
A ．9
20
B ．49
C ．29．
9
40 5、已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则cos 4x π⎛
⎫+=
⎪⎝⎭（） A ．4
5
B ．3
5
C ．45-
D 3
5-
6、已知二项式212n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1
x 项的系数是（）
A ．84-
B ．14-
C ．14
D ．84
7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，
则该几何体的表面积为（）
A ．44223++
B ．1442+
2,0
n S ==是否开始
结束
输出S
19?n ≥
2n n =+ ()1
+2S S n n =+
C
．10+
D ．4
8、若x ，y 满足约束条件
20,210,10,x y y x -+⎧⎪
-⎨⎪-⎩
≥≥≤ 则22
2z x x y =++的最小值为（）
A ．1
2
B ．14
C ．12-
D ．34-
9、已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，
则ω的取值范围为（）
A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．18,23⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．3,28⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
10、已知函数
()322
f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(
)
,a b 为（）
A ．(
)
3,3-
B ．(
)
11,4-
C ．(
)
4,11-
D ．(
)
3,3-或
()4,11-
11、如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，→
→
=AC AE 52，双曲线
过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为（
A B
C ．3
D 12、设函数
()
f x 在R 上存在导函数
()
f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，
当0x <时，
()12f x x
'+<，若
()()121
f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为（）
A ．1
2-
B ．1-
C ．32-
D ．2-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知向量
()
,2m =a ，
()
1,1=b ，若
+=+a b a b
，则实数m = ．
14、已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，
则这个三棱锥内切球的半径为．
15、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
()()2cos 2cos 0
a B
b A
c θθ-+++=，
则cos θ的值为．
16、我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式
系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成
1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n
S
，如1
1
S=，
2
2
S=，
3
2
S=，
4
4
S=，……，则
126
S=．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．
17、（本小题满分12分）
已知数列
{}
n
a
的前n项和为n
S
，数列
n
S
n
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列
{}
n
a
的通项公式；
（2）设数列
{}
n
b
满足
()
12
12
1
545
2
n
n
n
a
a a
n
b b b
⎛⎫
+++=-+ ⎪
⎝⎭，求数列{}n b的前n项和n T．
18、（本小题满分12分）
某地1~10岁男童年龄i
x（岁）与身高的中位数
i
y()
cm()
1,2,,10
i=
如下表：
x
（岁） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
()
cm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2
图②
图①
对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；
（2）某同学认为，
2
y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是
2
0.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程∧
∧
∧
+=a x b y 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑∑=-
-
-=∧
---=
n
i i
i i
n
i x x
y y x x
1
2
1
)()
)((b ； -
∧-∧-=x b a y
19、（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，
2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；
（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．
x
y
()
102
1
x x i i ∑-=
()
1021
y y i i ∑-=
(
)()
10
1x x y y i
i i ∑--=
5.5 112.482.50 3947.71 56
6.85
S
20、（本小题满分12分）已知圆
(2
216
x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，
点
)N
，点G 在线段MP 上，且满足)(GN →
→
+GP )(GN →
→
-⊥GP ．
（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点
()
4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于
x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．
21、（本小题满分12分）已知函数
()ln 1
f x ax x =++．
（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，
()2e x
f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知过点(),0P m 的直线l
的参数方程是,21,
2x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且
2
PA PB ⋅=，求实数m 的值．
23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()f x =23x a x b
++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式
()31
f x x +≥的解集；
（2）若0a >，0b >，且函数
()
f x 的最小值为2，求3a b +的值．。