微元法及定积分的几何应用

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定积分的几何应用

定积分的几何应用
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面
半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积
元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
则整体量 Q
b
Q(x)dx.
a
微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:
第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为[ a , b ] .
第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) .
a2
x2
dx
2 ab2 a2 x2 dx 0 a2
2
b2 a2
a2x13x30a
4 ab2. 3
特殊地, 当 a = b 时, 得球的体积 V 4 a 3 . 3
例5 求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及 x 轴所围成的

5.6定积分的几何应用

y y
y = f (x)
o a x o a
b
b x b x
dVx = π [ f (x)]2 dx
旋转体的体积为 Vx = ∫ π y dx = ∫ π[ f (x)]2dx
2 a a b
当考虑连续曲线段 x = ϕ( y) (c ≤ y ≤ d) 轴旋转一周围成的立体体积时, 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时有 V = d π [ϕ( y)]2dy = ∫ πx2dy ∫ c
a b
dA= f2(x) − f1(x)dx
曲边梯形的面积
A= ∫ f2(x) − f1(x)dx
a
5
b
计算两条抛物线y 所围图形的面积。例1. 计算两条抛物线 = x2，y2 = x所围图形的面积。所围图形的面积解：由得交点 (0, 0) , (1, 1) y
1 y2 = x
(1,1)
为积分变量, 取y为积分变量变化范围为为积分变量变化范围为[0,1] 得面积元素
y(x)
y
2πa
Vx = ∫ π y dx
2
0
2πa
=π∫
2π
利用对称性 t 3 π 3 3 π 6t = 2π a ∫ (1− cost) dt = 16π a ∫ sin dt (令u= ) = 0 0 2 2 π 3 5 3 1 π 3 2 6 = 5π 2a3 π 0 = 32 a ∫ sin udu= 32π a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 4 2 2
= 2π ∫ ab sin t dt
2 3
4 2 = 2π ab ⋅ ⋅ 1 = π ab2 3 3 4 3 特别当b 就得半径为a 特别当 = a 时, 就得半径为的球体的体积 π a . 3

微元法及定积分的几何应用

y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解建立坐标系如图,

第十讲微元法思想与定积分应用

y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )

d
r 1( )
r 2( )

o
x

o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精２．定积分的思想和方法：
分割求和取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

微元法与定积分的应用

如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA

( x2
-
x1 )dy

( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y

4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的平均速度．
解因为自由落体的速度为 v = gt，所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解因为图形关于 x 轴、y

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解因 r 2 0,故的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).

第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出，可用定积分所求的量 A 具有以下三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。

3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。

现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。

复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。

设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近似计算每个小区间上面积 A i 的近似值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、取近似、求和、取极限”即: 1、分割将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步，设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。

二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。

微元法及定积分几何应用

1 已知平行截面面积的立体的体积
设空间某立体是由一曲面和过 a,b 且垂直于 x 轴
的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于 x 轴的各个截面面积 S S( x), 求此立体体积. 其中S( x) 为区
间 [a,b] 上连续函数. 取 x 为积分变量，[a,b]
为积分区间，在 [a,b] 任取
一小区间 [x, x dx],相应
2 3 x3 1 ( x2 )
o
1.
0
33 3
0
x x dx x
或选 y 为积分变量, y [0,1], dS ( y y2 )dy,
1
S (
y
y2 )dy
23 ( y2
y3 1 )
1.
0
33
3
0
-8-
第9页/共39页
-9-
例2 求由曲线 x y2, x y 2所围的平面图形的
- 13 -
t
第14页/共39页
4
x
3.如果曲边梯形的曲边为参数方程
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 A t2 | (t) | (t)dt. t1
（其中
t1和
t
对应曲线起点与终点的参数值）
2
在[t1,t2]（或[t2,t1]）上 x (t )具有连续导数， y (t)连续.
- 14 -
截下的物体可以近似地看
o a
x x dx
b
x
成以S( x)为底，dx 为高的柱体，所以
- 21 -
第22页/共39页
设空间某立体是由一曲面和过 a,b 且垂直于 x 轴
的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于 x 轴的各个截面面积 S S( x), 求此立体体积. 其中S( x) 为区

第五章定积分的几何应用

) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）
思考题
1. 设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。

微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。

微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。

通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。

我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。

定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。

2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。

在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。

在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。

微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。

在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。

需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。

通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。

2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。

微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。

微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。

通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。

通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。

微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。

这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。

另一个常见的应用是求弧长。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。

这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。

微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。

通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。

这个应用在几何学和物理学中非常常见。

微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。

通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。

微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。

微元累积思想,定积分在几何上的应用(面积篇)

A
4
|
3
2x
x2
|dx
1
3 (3 2x x2 )dx 4 ( x2 2x 3)dx 31.
1
3
3
例3 求由曲线 y2 2x 与 y x 4 所围成平面图形的面积.
解先求两曲线的交点
y2 2x
(2,2)，(8,4).
y x4
y x4
取 y为积分变量， y [2, 4]，
2)确定所求量 U 的微元 dU : 在积分区间 [a,b] 上任取一个代表区间 [x, x dx]，
求出与该区间对应的： U的微元 dU f ( x)dx ;
3)以 dU为被积表达式，在[a, b]上作定积分，得
b
U =a f ( x)dx .
能用定积分计算的量U需符合下列条件： (1) U是与某变量（如 x)的变化区间[a, b]有关的量；
a
利用对称性 , 得 A 4 y d x 0
利用椭圆的参数方程
y b
o xxdxa x
x y
a cos t bsin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
a
b(2t
sin
2t
)
2
0
ab
4ab 2 sin2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
例5 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
A 1 （2 )d .
2
类似地，由射线、及
曲线 1( )、 2( )，
其中，1( ) 2( )， 1()
所围平面图形的面积为：
A 1 2
[
2 2
(
)
12
(
)]

微元法及定积分的几何应用

3. 经济方面的应用
作业
P246 1（1),(2);(8) 5; 7；
20
例5.2.6. 求由曲线
所围成的图形分别
绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。
y
解: 作图，求交点。
得交点：
且有
则绕x轴旋转而成的旋转体的体积
o
x
则绕y轴旋转而成的旋转体的体积
21
第五章定积分的应用
一.定积分的微元法二.定积分在几何上的应用三.定积分在经济分析上的应用
1
第一节
第五章
定积分的微元法
定积分的微元法
2
复习（如图，求曲边梯形的面积）
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
6
第五章
第二节定积分在几何上的应用
5.2.1、平面面积的计算 5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积
7
5.2.1、平)
及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
oa
x
x
dbx
x
b
A a f (x) dx
（2）若 y = f (x)在 [a , b] 上不都是非负的，则所围成
13
例5.2.2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
y yd y
y2 2x
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
4
AdA
2

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学理论中有着广泛的应用。

微元法是定积分的核心思想之一，通过微元法可以对不定积分进行求解，从而解决各种实际问题。

本文将围绕定积分中的微元法及其应用展开研究，深入探讨其原理和应用方法，并结合实际案例进行分析，以期更好地理解和掌握这一重要数学概念。

一、定积分和微元法的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下的面积、物体的体积、质心、转动惯量等。

在数学上，定积分的概念最早由牛顿和莱布尼兹提出，并在此后得到了深入的发展。

在实际应用中，定积分可以用来解决各种问题，比如求解曲线下的面积、求解物体的质心、求解转动惯量等。

微元法是定积分的核心方法之一，其基本思想是将被积函数分成一系列微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。

具体来说，微元法可以将被积函数看成是一系列微小矩形的面积之和，然后通过对这些微小矩形的面积进行求和，最终得到整体的结果。

微元法的核心思想是将整体问题进行分解，然后用微积分的方法进行求解，从而得到准确的结果。

二、微元法在定积分中的应用微元法还可以用来求解转动惯量和其他相关的物理量。

在这种情况下，可以将物体分成许多微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。

具体来说，可以将物体分成许多微小的质量元，然后对这些微小的质量元进行求和，最终得到整体的结果。

通过微元法可以很方便地解决转动惯量和其他相关的物理量问题。

在实际问题中，微元法可以用来解决各种问题，下面通过一个具体的案例来分析微元法的应用。

案例：求解曲线y=x^2在区间[0,1]上的面积。

假设将曲线分成n个微小的矩形，每个矩形的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi是该矩形的横坐标。

则该矩形的面积为f(xi)Δx。

将所有矩形的面积进行求和，即可得到整体的面积。

根据微元法的原理，可以得到整体的面积为lim(n→∞)Σf(xi)Δx，其中Δx→0。

定积分的应用之微元法

解取坐标系如图, 则底圆方程为
x2 y2 R2,
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 R
面，得一直角三角形，两条直角边分别为 y 及 y tan ，即 R2 x2 及
O aa
R2 x2 tan ，其面积为
R
A(x) 1 (R2 x2 ) tan ，从而得楔形体
2
积为 V
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
6 2
2.极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( ) 及两条射线 , 所围成的图形（如右下图）.
取为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
V π
a y2dx 2π
a
2
(a 3
2
x3
)3 dx
a
0
2π
a
(a2
42
3a 3 x 3
24
3a 3 x 3
x2 )dx
32
πa3.
0
105
四、平面曲线的弧长

微元法及定积分的几何应用

定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学问题，例如计算流体流动的速度场和压力场。
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微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过定积分建立描述自然现象和社会现象的数学模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)

微元法及定积分的几何应用

定积分的几何应用

5.6定积分的几何应用

微元法及定积分的几何应用

第十讲 微元法思想与定积分应用

最新微元法及定积分的几何应用教案

微元法与定积分的应用

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).

微元法及定积分几何应用

第五章 定积分的几何应用

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究

微元累积思想,定积分在几何上的应用(面积篇)

微元法及定积分的几何应用

定积分中微元法及其应用研究

定积分的应用之微元法

微元法及定积分的几何应用

第十讲微元法思想与定积分应用

第五章定积分的几何应用