2011高考数学立体几何大题汇总

2011高考数学立体几何大题汇总

(1)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四

边形，∠DAB=60,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。 (1)解：

（Ⅰ ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()1,0,0A ,()03,0B ，,()

1,3,0C -,()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-

设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则

即30

30x y z -=-=

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3

SD SE SF DE

⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

3

7

SF FG FH SG ⨯==

，即F 到平面SBC 的距离为217 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面

SBC 的距离d 也有217 设AB 与平面SBC 所成的角为α，

则2121sin arcsin 77

d EB

αα=== …………12分

解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。 设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，

由||||AS BS =得

222222(2)(2)(2),

x y z x y z -+-+=+-+

故x=1。

由2

2||11,DS y z =+=得

又由2

2

2

||2(2)4,BS x y z =+-+=得

即22

13410,,.22

y z y y z +-+===故 …………3分

于是133333

(1,,),(1,,),(1,,)222

222

S AS BS =--=-，

13

(0,,),0,0.

22

DS DS AS DS BS =⋅=⋅=

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又 所以SD ⊥平面SAB 。 …………6分 （II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =， 则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=

又33

(1,,),(0,2,0),22

BS CB =-= 故

33

0,220.m n p n ⎧-+

=⎪⎨⎪=⎩

…………9分

取p=2得(3,0,2),(2,0,0)

a AB =-

=-又。

21

cos ,.7||||

AB a AB a AB a ⋅=

=⋅

故AB 与平面SBC 所成的角为21

arcsin

.7

3 （14分）已知11

1

1

ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1

O 是1

1

A C 和1

1

B D 的交点。

⑴ 设1

AB 与底面11

1

1

A B C D 所成的角的大小为α，二面角

111

A B D A --的大小为β。

求证：tan 2βα

=；

⑵ 若点C 到平面1

1

AB D 的距离为43

，求正四棱柱

1111

ABCD A B C D -的高。

解：设正四棱柱的高为h 。 ⑴ 连1

AO ，1

AA ⊥底面11

1

1

A B C D 于1

A ，∴

1

AB 与底面11

1

1

A B C D 所

成的角为11

AB A ∠，即1

1

AB A α∠=

∵ 11AB AD =，1

O 为1

1

B D 中点，∴1

1

1

AO B D ⊥，又1

1

1

1

A O

B D ⊥，

∴

11

AO A ∠是二面角1

1

1

A B D A --的平面角，即11

AO

A β∠= ∴ 1

11

tan AA h

A B α==，

1

11

tan 22AA h AO βα

===。

⑵ 建立如图空间直角坐标11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)

A h

B D

C h

O 1

D

C

B

A D 1

C 1

B A 1

A

1

B C 1

D 1

A B

C

D O 1