初中数学八年级下册《正比例函数》优秀教学设计

19.2.1正比例函数（第1课时）教学设计

学习目标：

1.理解正比例函数的概念；

2.能够利用正比例函数解决简单的数学问题

学习要点：

重点：理解正比例函数的概念

难点：利用正比例函数解决简单的数学问题

学习过程：

活动一：情境创设

2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：

（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？

（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？

思考下列问题：

1、y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是

函数？

2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的？

3、（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？

活动二：问题再现

下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：

（1） 圆的周长l 随半径r 的变化而变化．

（2）铁的密度为7.8g/cm 3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm 3）的变化而变化．

（ 3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．

（4）冷冻一个0°C 的物体，使它每分钟下降2°C ，物体问题T （单位：°C ）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．

问题探究：在 、 、 和 中 :

（1） 以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？

（2） 认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？

（3） 这4个函数表达式与问题1的函数表达式 y =300t 有何共同特征？请你用语言加以描述．

活动三：形成概念

• 1.如果我们把这个常数记为k ，你能用数学式子表达吗？

• 2.对这个常数k 有何要求呢？为什么？

• 3.请你尝试给这类特殊函数下个定义：

• 4.这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？

• 5.正比例函数y=kx (常数k ≠0)的自变量x 的取值范围是什么？这与P86的问题1和P86~87的思考 • （1）~（4）的函数自变量的取值范围有何不同？

• 6.如何理解y 与x 成正比例函数？反之，y=kx (k 为常数， k ≠0)表示什么意义？

2πl r =V m 8.7=n h

5.0=t T 2-=

•

•

• 7.在正比例函数y=kx (k 为常数，k ≠0)中关键是确定哪个量？比例系数k 一经确定，正比例函数确定

了吗？怎样确定k 呢？

活动四：辨析概念

1.下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．

（1） y =-0.1x （2）

（3）y =2x 2 （4）y 2=4x

（5）y =-4x +3 （6）y=2(x －x 2 )+2x 2

2.列式表示下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．

（1）正方形的边长为x cm ，周长为y cm.

•

•

（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元．

•

（3）一个长方体的长为2cm ，宽为1.5cm ，高为x cm ，体积为y cm 3.

活动五：判定正误

• 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”

（1）若y=kx ，则y 是x 的正比例函数（ ）

（2）若y =2x 2，则y 是x 的正比例函数（ ）

（3）若y =2(x -1)+2，则y 是x 的正比例函数（ ）

（4）若y =2(x -1) ，则y 是x-1的正比例函数（ ）

活动六：理解概念

1.如果y =(k -1)x ，是y 关于x 的正比例函数，则k 满足________________.

2.如果y=kx k-1，是y 关于x 的正比例函数，则k =__________.

3.如果y =3x +k-4，是y 关于x 的正比例函数，则k =_________.

活动七： 运用概念

1. 已知正比例函数y=kx ，当x =3时，y =-15，求k 的值．

2.若y 关于x 成正比例函数，当x =4时，y =-2.

2

x y

（1）求出y 与x 的关系式； （2）当x =6时，求出对应的函数值y.

活动八：课堂小结与作业布置

你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？

1.从语言描述看： 函数关系式是常量与自变量的乘积．

2.从外形特征看：

（1）一般情况下y =kx (常数k ≠0)；

（2）在特定条件下自变量可能不单独是x 了，要注意问题中自变量的变化.

3.从结果形式看： 函数表达式要化简后才能确认为正比例函数

4.从函数关系看：

比例系数k 一确定，正比例函数就确定；只需知道两个变量x 、y 的一对对应值即可确定k ．

5.从方程角度看：

如果三个量x 、y 、k 中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．

• 作业

1.下列函数是正比例函数的是（ ）

A .y =2x +1 B.y =8+2(x-4) C.y =2x 2 D.y =

2.下列问题中的y 与x 成正比例函数关系的是（ ）

A.圆的半径为x ，面积为y

B.某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/min ，若某月通话时间为x min ，该月通话费用为y 元

C. 把10本书全部随意放入两个抽屉内， 第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本

D.长方形的一边长为4，另一边为x ，面积为y

3.关于y = 说法正确的是（ ）

A.是y 关于x 的正比例函数，正比例系数为-2

B.是y 关于x 的正比例函数，正比例系数为

C.是y 关于x +3的正比例函数，正比例系数为-2

D.是y 关于x +3的正比例函数，正比例系数为

4.若y =kx +2k -3是y 关于x 的正比例函数，则k =______________.

5.若y =(k -2)x 是y 关于x 的正比例函数，则k 满足的条件是______________.

6.已知y 关于x 成正比例函数，当x =3时,y =-9，则y 与x 的关系式为_______.

7.若y =(k +3)x |k |-2是y 关于x 的正比例函数，试求k 的值，并指出正比例系数.

8.若y 关于x -2成正比例函数，当x =３时，y =-4.试求出y 与x 的函数关系式.

23+-x