考研数学模拟模拟卷

全国硕士研究生入学统一考试数学（

三）

模拟试卷

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．）

（1）已知当0→x 时，1)2

31(31

2

-+x 与

1cos -x 是 （ ）

（A ）等价无穷小 （B ）低阶

无穷小

（C ）高价无穷小 （D ）同阶

但非等价无穷小

（2）设()f x 满足

()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且

(0)2f =，0)0(='f 则（ ）

（A ）0x =是函数()f x 的极小值点

（B ）0x =是函数()f x 的极大值点

（C ）存在0δ

>，使得曲线()y f x =在点

(0,)δ内是凹的

（D ）存在0δ

>，使得曲线()y f x =在点

(0,)δ内是凸的

（3）设有两个数列

{}{},n n a b ,若lim

0n n a →∞

=,则正确的是 （ ）

（A ）当

1

n

n b

∞

=∑收敛时,

1

n n

n a b

∞

=∑收敛.

（B ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时,

1n n

n a b

∞

=∑发散.

（C ）当

1

n

n b

∞

=∑收敛时,

221

n n

n a b

∞

=∑收敛.

（D ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时,

221

n n

n a b

∞

=∑发散.

（4）设22(,)xy

z f x y e =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z y

x x y

∂∂+=∂∂ （ ）

（A ）(

)

v xy

f e

y x '+2

2 (B)

v xy u f xye f xy '+'24

(C) (

)

u xy

f e

y x '+2

2

(D) v xy

f xye

'2

（5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中

12,αα线性无关，若1232αααβ+-=，

1234ααααβ+++=，

1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通

解为（ ）

（A ） 123112213111012k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （B ）

12012123201112k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（C ）

12112213111012k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （D ）1230111121120211121k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（6） 设A 为4阶实对称矩阵,且2

A A O +=,

若A 的秩为3,则

A 相似于 ( ) (A ) 1110⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫

⎪

⎪ ⎪- ⎪

⎝⎭

. (C ) 1110⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪- ⎪

⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪- ⎪

⎝⎭

(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别

服从参数为1与参数为4的指数分布，则

{}P X Y <=( )

（8）设12,,

,n X X X 为来自指数总体

()E λ的简单随机样本，X 和2S 分别是样本均

值和样本方差．若2

2

2

1

()E kX S λ-=

，则k =

（ ）

（A ）1 (B) 2

(C)

1n n + (D) 21

n

n + 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共

24分，请将答案写在答题纸指定位置上）

（9）设1

lim )(212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数，求=a ___，=b 。

（10）曲线1y

y xe -=在0x =处的法线方

程为 （11）

曲线x =2y =及y 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为____

（12）积分

()1

13

320

1

x

x y

y dx e dy dx e dy -+=⎰⎰

⎰⎰

（13）若3维列向量,αβ满足2T

αβ=，

T α为a 的转置，则行列式2T E βα+=

（14）设二维随机变量),(Y X 服从

)0;,;,(22σσμμN ，则=)(2XY E

三、解答题（15～23小题，共94分） （15）（本题满分10分）求

.))1ln(1()1(lim 22

0x

x e x x

x +--+→ （16）（本题满分10分）设),(y x z z =是由

0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的连

续函数，求),(y x z z =的极值点和极值.。

（17）（本题满分10分）