2021年导数应用八个专题汇总
2021年高考数学导数应用知识点总结知识点总结
2021年高考数学导数应用知识点总结知识点总结
导数是微积分中的重要基础概念，以下是导数应用知识点总结，请考生及时学习。
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
知识整合
1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
导数应用知识点总结的全部内容就是这些，古代精彩内容请考生持续关注。
____年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题，大家来一起看看吧_。
2021年高考数学复习《导数---泰勒不等式专题》
导数——泰勒不等式专题一、泰勒公式：泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。
如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有).()(!)()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式：)(!)0(!2)0(!1)0(!0)0()(22x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式：++++=32!31!21!111x x x e x ①+-+-=+432413121)1ln(x x x x x ②+-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③-+-=42!41!211cos x x x ④++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式：x e x +≥1①；1ln -≤x x ②；212x x e x ++≥③对0≥x 恒成立；x x x x≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立；x x x x ≤≤-sin 63⑤对0≥x 恒成立；2421cos 21422x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立（1）若21=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.例2.（新课标全国理科21）设函数f (x )=e x -1-x -ax 2.（1）若a =0，求f (x )的单调区间；（2）当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围.例1.（新课标全国文科21）设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2.例3.（前两问同例2）设函数.1)(2ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围；（3）若0>x ，证明：2)1ln()1(x x e x >+-.例4.（全国1卷理）设函数f (x )=e x -e-x ．（Ⅰ）证明：f (x )的导数f '(x )≥2；（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围．例5.（2019北京四中期中考试）已知函数.,31)(23R a ax x ex f x ∈---=（1）当0=a 时，证明：当0≥x 时，0)(≥x f ；（2）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.例6.（全国2卷理科22）设函数f (x )=1-e-x .（1）证明：当x >-1时，f (x )≥1+x x;（2）若当x ≥0时，f (x )≤ax x +1，求实数a 的取值范围.ln 1a x b x x++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．]2π，其中a 为常数.（1）若函数)(x f 在2,0[π上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.例8.（2020届鄂东南联考）已知函数f (x )=ax -sin x ,x ∈[0,例7.（新课标）已知函数f (x )=A.21x e x x ++211124x x <-+C.21cos 12x x - D.21ln(1)8x x x+- 312cos 2x x x ++.当[]0,1x ∈时，例9.（辽宁理12）若x ∈[0,+∞)，则下列不等式恒成立的是（）例10.（辽宁理21）已知函数f (x )=(1+x )e -2x ,g (x )=ax +（1）求证：1-x ≤f (x )≤1+1x ；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.。
2021届高考数学总复习：导数的应用
2021届高考数学总复习：导数的应用一、知识点1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
1．函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件。
如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点。
一、走进教材1．(选修2－2P26练习T1(2)改编)函数y＝x－e x的单调递减区间为()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析y′＝1－e x<0，所以x>0。
2021年高中数学导数知识点总结
2021年高中数学导数知识点总结2021年高中数学导数知识点总结1（一）导数第一定义设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处有增量△x（x0+△x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y=f（x0+△x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x →0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处有变化△x（x—x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y=f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y=f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f （x）在区间I内可导。
这时函数y=f（x）对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
2021年高中数学导数知识点总结2★高中数学导数知识点一、早期导数概念————特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。
2021年高考数学专题分类汇编：函数、导数、导数及应用(含答案)
函数、导数、导数及应用一．选择题（共13小题）1．（2021•浙江）已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sin x，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝3．（2021•甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（2021•乙卷）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+15．（2021•甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝17．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.68．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+10．（2021•乙卷）若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．411．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a212．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b13．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a二．填空题（共8小题）14．（2021•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝若f（f（））＝3，则a＝．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝．16．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．17．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．18．（2021•上海）若方程组无解，则＝．19．（2021•上海）不等式＜1的解集为．20．（2021•甲卷）曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为．21．（2021•上海）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．三．解答题（共8小题）22．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．23．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．24．（2021•浙江）设a，b为实数，且a＞1，函数f（x）＝a x﹣bx+e2（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意b＞2e2，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝e时，证明：对任意b＞e4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x2＞x1+．（注：e＝2.71828⋯是自然对数的底数）25．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．26．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．27．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．28．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．29．（2021•甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2021•浙江）已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sin x，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）＝x2+为偶函数，g（x）＝sin x为奇函数，函数y＝f（x）+g（x）﹣＝x2+sin x为非奇非偶函数，故选项A错误；函数y＝f（x）﹣g（x）﹣＝x2﹣sin x为非奇非偶函数，故选项B错误；函数y＝f（x）g（x）＝（x2+）sin x，则y'＝2x sin x+（x2+）cos x＞0对x∈恒成立，则函数y＝f（x）g（x）在上单调递增，故选项C错误．故选：D．2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝【解答】解：由一次函数性质可知f（x）＝﹣x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f（x）＝（）x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f（x）＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f（x）＝在R上单调递增，符合题意．故选：D．3．（2021•甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），又f（﹣）＝，则f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝．故选：C．4．（2021•乙卷）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1【解答】解：因为f（x）＝＝，所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．故选：B．5．（2021•甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2×+2）＝．故选：D．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．7．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣0.1＝＝＝≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．8．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝x﹣为y＝2x﹣2z，由图可知，当直线y＝2x﹣2z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1﹣．故选：B．9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sin x|≤1，所以y＝|sin x|+，当且仅当，即|sin x|＝2时取等号，因为|sin x|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sin x|+＞4，故选项B错误；对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x＝时，，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．10．（2021•乙卷）若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．故选：C．11．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选：D．12．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【解答】解：∵a＝2ln1.01＝ln1.0201，b＝ln1.02，∴a＞b，令f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴g（t）＝2ln（）﹣t+1＝2ln（t2+3）﹣t+1﹣2ln4，∴g′（t）＝﹣1＝＝﹣＞0，∴g（t）在（1，）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝2ln4﹣1+1﹣2ln4＝0，∴f（x）＞0，∴a＞c，同理令h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），再令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴φ（t）＝ln（）﹣t+1＝ln（t2+1）﹣t+1﹣ln2，∴φ′（t）＝﹣1＝＜0，∴φ（t）在（1，）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）＝ln2﹣1+1﹣ln2＝0，∴h（x）＜0，∴c＞b，∴a＞c＞b．故选：B．13．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a【解答】解：函数y＝e x是增函数，y′＝e x＞0恒成立，函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在x轴上方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜e a．故选：D．二．填空题（共8小题）14．（2021•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝若f（f（））＝3，则a＝2．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以，则f（f（））＝f（2）＝|2﹣3|+a＝3，解得a＝2．故答案为：2．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝1．【解答】解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，所以a＝1．故答案为：1．16．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．【解答】解：函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，此时函数f（x）在（0，]上为减函数，所以f（x）≥f（）＝﹣2×+1﹣2ln＝2ln2；当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．∵2ln2＝ln4＞lne＝1，∴函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．故答案为：1．17．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝9．【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．故答案为：9．18．（2021•上海）若方程组无解，则＝0．【解答】解：对于方程组，有，当D≠0时，方程组的解为，根据题意，方程组无解，所以D＝0，即，故答案为：0．19．（2021•上海）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．20．（2021•甲卷）曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为5x﹣y+2＝0．【解答】解：因为y＝，（﹣1，﹣3）在曲线上，所以y′＝＝，所以y′|x＝﹣1＝5，则曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为：y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0．故答案为：5x﹣y+2＝0．21．（2021•上海）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），∴a n＝0，∴（a1﹣a n）＝a1＝4，∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．三．解答题（共8小题）22．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|＝．画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）由图像可得：f（6）＝4，g（）＝4，若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，f（x）的图像不在g（x）的下方，由图像观察可得：a≥2﹣+4＝∴a的取值范围为[，+∞）．23．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥0，得|x+1|≥1，解得x≤﹣2或x≥0．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；（2）f（ax）＝，f（ax）＝a⇔，设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根，整理得a＝t﹣t2，t≥0，∴a＝，t≥0，当且仅当0≤a＜时，方程有2个不同实数根，又a≠0，∴a的取值范围是（0，）；（3）当x≥﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在[，+∞）上单调递减，此时需要满足﹣a≥，即a，函数f（x）在[﹣a，+∞）上递减；当x＜﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在（﹣∞，﹣2a]上递减，∵a＜0，∴﹣2a＞﹣a＞0，即当a时，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣]时，函数f（x）在定义域R上连续，且单调递减．24．（2021•浙江）设a，b为实数，且a＞1，函数f（x）＝a x﹣bx+e2（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意b＞2e2，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝e时，证明：对任意b＞e4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x2＞x1+．（注：e＝2.71828⋯是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝a x lna﹣b，①当b≤0时，由于a＞1，则a x lna＞0，故f′（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；②当b＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴此时f（x）在单调递减，在单调递增；综上，当b≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当b＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）注意到x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个不同的零点，只需即可，∴对任意b＞2e2均成立，令，则a t﹣bt+e2＜0，即e tlna﹣bt+e2＜0，即，即，∴对任意b＞2e2均成立，记，则，令g′（b）＝0，得b＝lna，①当lna＞2e2，即时，易知g（b）在（2e2，lna）单调递增，在（lna，+∞）单调递减，此时g（b）≤g（lna）＝lna﹣lna•ln1+e2lna＝lna•（e2+1）＞0，不合题意；②当lna≤2e2，即时，易知g（b）在（2e2，+∞）单调递减，此时＝2e2﹣2e2[ln（2e2）﹣ln（lna）]+e2lna，故只需2﹣2[ln2+2﹣ln（lna）]+lna≤0，即lna+2ln（lna）≤2+2ln2，则lna≤2，即a≤e2；综上，实数a的取值范围为（1，e2]；（Ⅲ）证明：当a＝e时，f（x）＝e x﹣bx+e2，f′（x）＝e x﹣b，令f′（x）＝0，解得x＝lnb＞4，易知+e2＝e2﹣3b＜e2﹣3e4＝e2（1﹣3e2）＜0，∴f（x）有两个零点，不妨设为x1，x2，且x1＜lnb＜x2，由，可得，∴要证，只需证，只需证，而，则，∴要证，只需证，只需证x2＞ln（blnb），而f（ln（blnb））＝e ln（blnb）﹣bln（blnb）+e2＝blnb﹣bln（blnb）+e2＜blnb﹣bln（4b）+e2＝，∴x2＞ln（blnb），即得证．25．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝＝，x＞0，因为a＞0，所以﹣＜0＜，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上f（x）单调递增．（2）由（1）可知，f（x）min＝f（）＝a2×（）2+a×﹣3ln+1＝3+3lna，因为y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna＞0，所以a＞，所以a的取值范围为（，+∞）．26．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．【解答】（1）解：由函数的解析式可得f'（x）＝1−lnx−1＝−lnx，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（2）证明：由blna−alnb＝a−b，得，即，由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝1，且f（e）＝0，令，，则x1，x2为f（x）＝k的两根，其中k∈（0，1）．不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），则2−x1＞1，先证2＜x1+x2，即证x2＞2−x1，即证f（x2）＝f（x1）＜f（2﹣x1），令h（x）＝f（x）−f（2−x），则h′（x）＝f′（x）+f′（2−x）＝−lnx−ln（2−x）＝−ln[x（2−x）]在（0，1）单调递减，所以h′（x）＞h′（1）＝0，故函数h（x）在（0，1）单调递增，∴h（x1）＜h（1）＝0．∴f（x1）＜f（2﹣x1），∴2＜x1+x2，得证．同理，要证x1+x2＜e，（法一）即证1＜x2＜e﹣x1，根据（1）中f（x）单调性，即证f（x2）＝f（x1）＞f（e﹣x1），令φ（x）＝f（x）−f（e−x），x∈（0，1），则φ'（x）＝−ln[x（e−x）]，令φ′（x0）＝0，x∈（0，x0），φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，x∈（x0，1），φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，又0＜x＜e时，f（x）＞0，且f（e）＝0，故，φ（1）＝f（1）−f（e−1）＞0，∴φ（x）＞0恒成立，x1+x2＜e得证，（法二）f（x1）＝f（x2），x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2），又x1∈（0，1），故1﹣lnx1＞1，x1（1﹣lnx1）＞x1，故x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，x2∈（1，e），令g（x）＝x（1﹣lnx）+x，g′（x）＝1﹣lnx，x∈（1，e），在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）＜g（e）＝e，即x2（1﹣lnx2）+x2＜e，所以x1+x2＜e，得证，则2＜+＜e．27．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），则t'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝，因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1，当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0，因为t''（x）＝，则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0，当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点．综上所述，a＝1；（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），要证，即需证明，因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），则h'（x）＝（1﹣x），所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，所以x＝0为h（x）的极小值点，所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），故，所以．28．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a，①当△≤0，即时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增；②当△＞0，即时，令f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）在单调递增，在单调递减．（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得x0＝1，∴切线方程为y＝（a+1）x，令x3﹣x2+ax+1＝（a+1）x，即x3﹣x2﹣x+1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣1，﹣a﹣1）．29．（2021•甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝，f′（x）＝＝＝，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）由题知f（x）＝1在（0，+∞）有两个不等实根，f（x）＝1⇔x a＝a x⇔alnx＝xlna⇔＝，令g（x）＝，g′（x）＝，g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又g（x）＝﹣∞，g（e）＝，g（1）＝0，g（x）＝0，作出g（x）的图象，如图所示：由图象可得0＜＜，解得a＞1且a≠e，即a的取值范围是（1，e）∪（e，+∞）．。
导数及其应用-2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化
导数及其应用高频考点【高频考点及备考策略】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)理解并掌握函数的零点的概念，求导公式和求导法则及不等式的性质．(5)熟练掌握利用导数研究函数零点，方程解的个数问题，及研究不等式成立问题、证明问题及大小比较的方法和规律．考向预测：(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含e x)，对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sin x，cos x)函数的单调性、极(最)值问题．(3)较复杂函数的零点，方程解的个数的确定与应用；利用导数解决含参数的不等式成立及不等式证明问题．(4)利用导数解决实际生活及工程中的最优化问题．必备知识1．基本初等函数的八个导数公式2.(1))()()]()(['''x g x f x g x f ±=±.(2))()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅.(3)2''')]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=(g (x )≠0)． (4)若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝a ·y ′u . 3．切线的斜率函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，因此曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f _′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f _′(x 0)(x －x 0). 4．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f _′(x 0)>0(f _′(x 0)<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增(单调递减)． 5．函数的极值设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点x ，都有f (x )<f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )>f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7．(1)定积分的性质∈⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(；∈⎰⎰⎰±=±bab abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；∈⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()((其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么)()()(a F b F dx x f ba-=⎰．8．利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f (x )在(a ，b )内有唯一的极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值，{f (a )，f (b )}min是函数f (x )在[a ，b ]是的最小值；若函数f (x )在(a ，b )内有唯一的极小值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在[a ，b ]上的最小值，{f (a )，f (b )}max 是函数f (x )在[a ，b ]是的最大值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )是函数f (x )在[a ，b ]上的最小值，f (b )是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值，f (b )是函数f (x )在[a ，b ]上的最小值．(3)若函数f (x )在[a ，b ]上有极值点x 1，x 2，…，x n (n ∈N *，n ≥2)，则将f (x 1)，f (x 2)，…，f (x n )与f (a )，f (b )作比较，其中最大的一个是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小的一个是函数f (x )在[a ，b ] 上的最小值. 9．不等式的恒成立与能成立问题(1)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立∈I 是f (x )>g (x )的解集的子集∈[f (x )－g (x )]min >0(x ∈I )．(2)f (x )>g (x )对x ∈I 能成立∈I 是f (x )>g (x )的解集的交集，且I 不是空集∈[f (x )－g (x )]max >0(x ∈I )． (3)对∈x 1，x 2∈D 使得f (x 1)≤g (x 2)∈f (x )max ≤g (x )min .(4)对∈x 1∈D 1，∈x 2∈D 2使得f (x 1)≥g (x 2)∈f (x )min ≥g (x )min ，f (x )定义域为D 1，g (x )定义域为D 2. 10．证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 【易错警示】1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．4. 对复合函数求导法则用错． 一、选择题1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T6）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2、（2020新课标Ⅲ卷·理科T10）若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） 真题体验A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =导数为y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l 的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 二、填空题1、（2020新课标Ⅰ卷·文科T15）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.的【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.2、（2020新课标Ⅲ卷·文科T15）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.3、（2020北京卷·T15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题. 三、解答题1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T21）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增（2）27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20xf x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增. (2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102xe x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：21102xe x x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；.因此，()()2max724e g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2、（2020新课标Ⅱ卷·理科T21）已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()f x ≤（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .【答案】（1）当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增， 当2,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减， 当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. (2)注意到()()()()22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x πππ+=++==⎡⎤⎣⎦， 故函数()f x 是周期为π的函数， 结合(1)的结论，计算可得：()()00f fπ==，23228f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，223228f π⎛⎛⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 据此可得：()max 8f x =⎡⎤⎣⎦，()min8f x =-⎡⎤⎣⎦，即()8f x ≤. (3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x xx 233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 2888n x x ⎡⎤≤⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦23n⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎝⎭⎣⎦34n⎛⎫= ⎪⎝⎭.3、（2020新课标Ⅲ卷·理科T21）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析 【解析】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则34b =-；（2）由（1）可得33()4f x x x c =-+，'2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<，所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '， 即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T21）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T21）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). 解法二：()111x lna x f x aelnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+， 令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减， ∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.5、（2020北京卷·T19）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）因()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题. 6、（2020江苏卷·T17）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米【解析】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴=||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<< 3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去) 当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.7、（2020江苏卷·T19）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-'=⋅.若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在),1(+∞上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在),1(+∞上递增，则()()10F x F ≥=， 即()()0h x g x -≥，符合题意. 综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在),0(+∞为增函数， 因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.8、（2020天津卷·T20）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3-≥k 时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x =-++∈+∞.从而可得()2263'36g x x x x x=-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x'-+=， 令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（∈）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9、（2020浙江卷·T22）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【解析】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；（II ）（i ）000()0,0x f x e x a =∴--=，002000012(1)x x x e x x e x ≤⇔--≤≤--， 令22()1(02),()1(02),2x xx g x e x x x h x e x x =---<<=---<< 一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2x x x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=，当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>，所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x x e x x e x x ∴--≤≤--≤≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]x a a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->， 2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a ≥--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.高频考点、热点题型强化考点 一 导数的几何意义与定积分【典例】1、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 .【解析】 ∈y ＝ax 2＋b x ，∈y ′＝2ax －b x2， 由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2. ∈a ＋b ＝－3. 2、用定积分计算y=x 2和y=√x 所围成的面积等于 ( ) A.∫ 10(x 2-√x )dx B.∫ 10(√x -x 2)dx C.∫ 20(√x -x 2)dxD.∫ 10√x dx 【解析】选B.如图所示:y=x 2和y=√x 交于两点(0,0),(1,1).所以S=∫ 10√x dx-∫ 10x 2dx=∫ 10(√x -x 2)dx. 【备考策略】1．求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P (x 0，y 0)，求y ＝f (x )在点P 处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f (x )的切线方程．设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．3．利用定积分求平面图形的面积的两个关键点关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值．易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．【类比演练】1、设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0【解析】由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0.2、若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为( )A．－1B．0C．1D．2【解析】依题意得，f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin0＝2×0＋b，b＝0；m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.3、若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为()A.4B.8C.2πD.4π【解析】选D.如图所示.由图可知，S 1=S 2，S 3=S 4，因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积即为矩形OABC 的面积.因为|OA|=2，|OC|=2π，所以S 矩形=2×2π=4π.考点 二 利用导数研究函数的单调性【典例】已知函数11)1ln()(2--+-=x ax x x f ,当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性. 【解析】函数11)1ln()(2--+-=x ax x x f 的定义域为),1(+∞∈x ， 则222')1()12()1()1()1(211)(---=----+-=x a a x x x ax x ax x x f ， 令0)('=x f 解得a a x 12-=， 当112=-aa 即a=1时，0)1()(2'>-=x x x f 恒成立，则)(x f 的单调递增区间为),1(+∞， 当112>-a a 即a>1时，)(x f 的单调递增区间为),12(+∞-a a ，单调递减区间为)12,0(aa -， 当112<-a a 即0<a<1时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞， 综上所述：当10≤<a 时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞；当a>1时，)(x f 的单调递增区间为),12(+∞-a a ，单调递减区间为)12,0(aa -。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x .列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .例2、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。
2021年高考数学导数的应用必考知识点知识点总结
2021年高考数学导数的应用必考知识点知识点总结高考复习最忌心浮气躁，急于求成。
指导复习的教师，应给学生一种乐观、镇定、自信的精神面貌。
要扎扎实实地复习，一步一步地前进，下文为大家准备了数学导数的应用必考知识点的内容。
一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(_)，f′(_)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(_)≥0?f(_)在(a，b)上为增函数.f′(_)≤0?f(_)在(a，b)上为减函数.1、f′(_)>0与f(_)为增函数的关系：f′(_)>0能推出f(_)为增函数，但反之不一定.如函数f(_)=_3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(_)≥0，所以f′(_)>0是f(_)为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(_0)=0是可导函数f(_)在_=_0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=_3在_=0处有y′|_=0=0，但_=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.二、函数的极值1、函数的极小值：函数y=f(_)在点_=a的函数值f(a)比它在点_=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点_=a附近的左侧f′(_)0，则点a叫做函数y=f(_)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(_)的极小值.2、函数的极大值：函数y=f(_)在点_=b的函数值f(b)比它在点_=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点_=b附近的左侧f′(_)>0，右侧f′(_)极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.三、函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(_)在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数f(_)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(_)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数f(_)的定义域;2、求f′(_)，令f′(_)=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数f(_)的间断点(即f(_)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(_)的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′(_)在各个开区间内的符号，根据f′(_)的符号判定函数f(_)在每个相应小开区间内的增减性.五、求函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′(_)=0的根;3、用方程f′(_)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′(_)=0根的两侧导数的符号来判断f′(_)在这个根处取极值的情况.六、求函数f(_)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在(a，b)内的极值;2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);3、将函数f(_)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.小编为大家提供的____年高考数学导数的应用必考知识点就到这里了，愿大家都能好好努力，丰富自己，锻炼自己。
2021年高考数学(理)总复习：导数的简单应用与定积分(解析版)
2021年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分 题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，由此当f ′(x 0)存在时，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；②表示出切线方程；③已知点P 在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标．(3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；②对数函数的求导，可先化为和、差的形式；③三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；④复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导．例1．函数f (x )＝14 ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ∈R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )＝14x ＋2x －b ，f ′(b )＝14b＋b ≥214b ·b ＝1(b >0)，当且仅当14b＝b >0，即b ＝12时取等号，因此有tan α≥1，即π4≤α<π2，即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ，选B.【答案】 B例2．若实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．8【解析】 因为实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，所以b ＋a 2－3ln a ＝0，设b ＝y ，a ＝x ，则有y ＝3ln x －x 2，由c －d ＋2＝0，设d ＝y ，c ＝x ，则有y ＝x ＋2，所以(a －c )2＋(b －d )2就是曲线y ＝3ln x －x 2与直线y ＝x ＋2之间的最小距离的平方值，对曲线y ＝3ln x －x 2求导：y ′＝3x －2x 与平行y ＝x ＋2平行的切线斜率k ＝1＝3x －2x ，解得x ＝1或x ＝－32(舍去)，把x ＝1代入y ＝3ln x －x 2，解得y ＝－1，即切点(1，－1)，则切点到直线y ＝x ＋2的距离为L ＝|1＋1＋2|2＝22，所以L 2＝8，即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8，故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝( )A ．1 B.12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2【解析】 对于函数y ＝ln x ＋2，切点为(r ，s )，y ′＝1x ，k ＝1r ，对于函数y ＝ln (x ＋1)，切点为(p ，q )，y ′＝1x ＋1，k ＝1p ＋1，1r ＝1p ＋1⇒r ＝p ＋1， 斜率k ＝1r ＝1p ＋1＝q －s p －r ＝(ln r ＋2)－ln (p ＋1)r －p，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2r ＝12，p ＝－12，s ＝ln r ＋2＝ln 12＋2＝2－ln 2，s ＝q ＋2代入y ＝2x ＋b,2－ln 2＝2×(12)＋b ，得：b ＝1－ln 2.【答案】 C2．在直角坐标系xOy 中，设P 是双曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P处的切线，且l 交坐标轴于A 、B 两点，则以下结论正确的是( )A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值为3C ．△OAB 的面积有最大值为4D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy ＝1上任意一点，其坐标为P (x 0，y 0)，经过P 点的切线方程为y ＝kx ＋b .双曲线化为y ＝1x 形式，y 对x 的导数为y ′＝－1x2，在P 点处导数为－1x 20，切线方程为(y －y 0)＝－1x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝y 0＋1x 0＝x 0·y 0＋1x 0＝2x 0＝2y 0，(其中x 0·y 0＝1)，则切线在y 轴截距为2y 0，令y ＝0，x ＝2x 0，则切线在x 轴截距为2x 0，设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2y 0|＝2|x 0·y 0|＝2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．例1.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间是(0,1)．(2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2.∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0， ∴a ≥0；若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，研究极值情况；④确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解．例1.设函数G (x )＝x ln x ＋(1－x )·ln (1－x )．(1)求G (x )的最小值；(2)记G (x )的最小值为c ，已知函数f (x )＝2a ·e x ＋c ＋a ＋1x －2(a ＋1)(a >0)，若对于任意的x ∈(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得0<x <1，G ′(x )＝ln x －ln (1－x )＝lnx 1－x.令G ′(x )<0，得0<x <12；令G ′(x )>0，得12<x <1，所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min ＝G ⎪⎭⎫⎝⎛21＝ln 12＝－ln 2.(2)由(1)中c ＝－ln 2，得f (x )＝a ·e x＋a ＋1x －2(a ＋1)．所以f ′(x )＝ax 2·e x －(a ＋1)x 2.令g (x )＝ax 2·e x －(a ＋1)，则g ′(x )＝ax (2＋x )e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为g (0)＝－(a ＋1)，且当x →＋∞时，g (x )>0，所以存在x 0∈(0，＋∞)，使g (x 0)＝0，且f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．因为g (x 0)＝ax 20·e x 0－(a ＋1)＝0，所以ax 20·e x 0＝a ＋1，即a ·e x 0＝a ＋1x 20，因为对于任意的x ∈(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，所以f (x )min ＝f (x 0)＝a ·e x 0＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，所以a ＋1x 20＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，即1x 20＋1x 0－2≥0，即2x 20－x 0－1≤0， 所以－12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0＝a ＋1，所以x 20·e x 0＝a ＋1a >1.又x 0>0，所以0<x 0≤1，从而x 20·e x 0≤e ，所以1<a ＋1a ≤e ，故a ≥1e －1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；③分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；④利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分．(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；④计算下积分，求出平面图形的面积．例1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)x 2－1，x ∈[1，2]，则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 【解析】 ⎰-21f (x )d x ＝⎰-211－x 2d x ＋⎰-21(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.【答案】 A例2．⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝⎰101－x 2d x ＋⎰112x d x ，⎰112x d x ＝14，⎰11－x 2d x表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.【答案】π＋14例3．由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，结合图形可知，所求的面积为⎰1(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10＋2＝103，选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1．已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13C.23D ．－23【解析】 依题意，1sin φ＋1cos φ＝22⇒sin φ＋cos φ＝22sin φcos φ⇒2sin(φ＋π4)＝2sin2φ，因为φ∈(0，π2)，所以φ＝π4，故⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝⎰-ϕtan 1－1(x 2－2x )d x ＝(x 33－x 2)|1－1＝23.选C.【答案】 C2．函数y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x 的最大值是________．【解析】 y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x＝⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2 t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y max ＝2. 【答案】 2【专题训练】 一、选择题1．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a >0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a－m )2＋(b －n )2的最小值为( )A ．9 B.353 C.95D ．3【解析】令y ＝3ln x －12x 2及y ＝2x ＋12，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值就是曲线y ＝3ln x－12x 2上一点与直线y ＝2x ＋12的距离的最小值，对函数y ＝3ln x －12x 2求导得：y ′＝3x －x ，与直线y ＝2x ＋12平行的直线斜率为2，令2＝3x －x 得x ＝1或x ＝－3(舍)，则x ＝1，得到点(1，－12)到直线y ＝2x ＋12的距离为355，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为(355)＝95. 【答案】C2．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13【解析】 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，∵e ax >0，∴a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ∈[1,2]，b ∈(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．[3，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增，由于a ∈[1,2]，b ∈(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值，即y max ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313＝5，所以t ≥5，故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ∈R )有唯一的零点x 0，(e ＝2.718…)则( ) A ．－1<x 0<－12B ．－12<x 0<－14C ．－14<x 0<0D ．0<x 0<12【解析】 函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ∈R )，则x >－a ，可得f ′(x )＝e x －1x ＋a ，f ″(x )＝e x ＋1(x ＋a )2恒大于0，f ′(x )是增函数，令f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0＋a ，有唯一解时，a ＝1e x 0－x 0，代入f (x )可得：f (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋a )＝e x 0－ln(1e x 0)＝e x 0＋x 0，由于f (x 0)是增函数，f (－1)≈－0.63，f (－12)≈0.11，所以f (x 0)＝0时，－1<x 0<－12.故选A.【答案】 A5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C ．f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ∵f (x )>2(x ＋x )f ′(x )， ∴f (x )>2x (x ＋1)f ′(x )， ∴f (x )12x >(x ＋1)f ′(x )．∴f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x <0，∴(f (x )x ＋1)′<0， 设g (x )＝f (x )x ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减， 故g (1)>g (4)>g (9)，∴f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6．已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )满足f ′(x )－f (x )x －1>0，y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，则不等式f (x 2－x )e x 2－x<f (0)的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x.∵f ′(x )－f (x )x －1>0，当x >1时，f ′(x )－f (x )>0， 则g ′(x )>0，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，则g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，1)上单调递减． ∵g (0)＝f (0)，∴不等式f (x 2－x )e x 2－x <f (0)即为不等式g (x 2－x )<g (0)．∵y ＝f (x )ex 关于直线x ＝1对称，∴|x 2－x |<2，∴0<x 2－x <2，解得－1<x <0或1<x <2，故选C. 【答案】 C7．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【解析】 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．【答案】D8．定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B ．f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )＝f (x )sin x.则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x >0，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π， 从而有F (x )＝f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数，所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π，3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ⇒3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π，故选D. 【答案】 D 二、填空题9．已知曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则实数a ＋b 的值为____________．【解析】 因为两个函数的交点为(0，m )，∴m ＝a cos0，m ＝02＋b ×0＋1，∴m ＝1，a ＝1，∵f (x )，g (x )在(0，m )处有公切线，∴f ′(0)＝g ′(0)，∴－sin 0＝2×0＋b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.【答案】 110．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据题意，令g (x )＝xf (x )，则a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g (log 4116)有g (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )[－f (x )]＝xf (x )，则g (x )为偶函数，又由g ′(x )＝(x )′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又由当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x ∈(0，＋∞)时，有g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上为增函数，分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|，则有c >a >b ；故答案为：c >a >b . 【答案】 c >a >b11．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线y ＝1x 0x－1上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，∴x 0＝1，即切点为(1,0)，切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012．曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝∫5π6(2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )π6⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.【答案】 23－2π3三、解答题13．已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)， (i)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ii)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ii)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln (3a －1)，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2r 0－n 0>0.由于ln (3a －1)>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．14．已知函数f (x )＝e ax (其中e ＝2.71828…)，g (x )＝f (x )x .(1)若g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝12时，求函数g (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值．【解析】 (1)由题意得g (x )＝f (x )x ＝e axx在[1，＋∞)上是增函数，故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax ＝e ax (ax －1)x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －1≥0在[1，＋∞)恒成立，a ≥1x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立，而1x ≤1，∴a ≥1； (2)当a ＝12时，g (x )＝e x 2x ，g ′(x )＝e x 2(x2－1)x 2，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )在[2，＋∞)递增， 当x <2且x ≠0时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,2)，(－∞，0)递减，又m >0，∴m ＋1>1，故当m ≥2时，g (x )在[m ，m ＋1]上递增，此时，g (x )min ＝g (m )＝e m2m ，当1<m <2时，g (x )在[m,2]递减，在[2，m ＋1]递增，此时，g (x )min ＝g (2)＝e2，当0<m ≤1时，m ＋1≤2，g (x )在[m ，m ＋1]递减，此时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，综上，当0<m ≤1时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，当1<m<2时，g(x)min＝g(2)＝e2，m≥2时，g(x)min＝g(m)＝em 2 m.。
(2021年整理)利用导数研究存在性与任意性专题
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利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题［典例］设f（x)＝e x－a(x＋1）．（1）若∀x∈R，f(x）≥0恒成立，求正实数a的取值范围；（2)设g（x）＝f（x)＋错误!，且A（x1，y1），B（x2,y2)(x1≠x2）是曲线y＝g（x）上任意两点，若对任意的a≤－1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．［解］（1)因为f(x）＝e x－a（x＋1），所以f′(x）＝e x－a．由题意,知a＞0，故由f′（x)＝e x－a＝0，解得x＝ln a．故当x∈(－∞,ln a)时，f′(x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时,f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x）的最小值为f（ln a）＝e ln a－a（ln a＋1)＝－a ln a．由题意,若∀x∈R，f(x)≥0恒成立，即f(x)＝e x－a（x＋1）≥0恒成立，故有－a ln a≥0，又a＞0，所以ln a≤0，解得0＜a≤1．所以正实数a的取值范围为（0,1］．(2）设x1，x2是任意的两个实数,且x1＜x2．则直线AB的斜率为k＝错误!,由已知k＞m，即错误!＞m．因为x2－x1＞0，所以g（x2)－g(x1）＞m（x2－x1)，即g(x2）－mx2＞g（x1)－mx1．因为x1＜x2，所以函数h(x）＝g（x)－mx在R上为增函数，故有h′(x）＝g′(x）－m≥0恒成立，所以m≤g′(x）．而g′(x）＝e x－a－错误!，又a≤－1＜0，故g′(x）＝e x＋错误!－a≥2错误!－a＝2错误!－a．而2错误!－a＝2错误!＋(错误!）2＝(错误!＋1)2－1≥3，所以m的取值范围为(－∞，3］．[方法点拨]解决该类问题的关键是根据已知不等式的结构特征灵活选用相应的方法，由不等式恒成立求解参数的取值范围问题一般采用分离参数的方法．而第（2)问则巧妙地把直线的斜率与导数问题结合在一起，命题思路比较新颖,解决此类问题需将已知不等式变形为两个函数值的大小问题，进而构造相应的函数，通过导函数研究其单调性解决．[对点演练]已知f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3．（1）若对一切x∈（0,＋∞)，2f(x)≥g（x）恒成立,求实数a的取值范围．(2)证明：对一切x∈（0，＋∞），ln x＞错误!－错误!恒成立．解：（1）由题意知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立,则a≤2ln x＋x＋错误!，设h(x)＝2ln x＋x＋错误!(x＞0),则h′(x）＝错误!．①当x∈（0，1）时，h′(x)＜0,h（x）单调递减；②当x∈(1，＋∞）时,h′(x）＞0,h（x)单调递增．所以h(x）min＝h（1)＝4,对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min＝4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．(2）问题等价于证明x ln x＞错误!－错误!（x＞0）．又f(x）＝x ln x(x＞0)，f′（x）＝ln x＋1，当x∈错误!时，f′（x）＜0，f(x）单调递减；当x∈错误!时，f′(x）＞0，f(x）单调递增,所以f(x)min＝f错误!＝－错误!．设m(x)＝错误!－错误!(x＞0），则m′(x）＝错误!，当x∈(0,1）时,m′(x)＞0，m(x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时，m′（x)＜0，m（x）单调递减，所以m(x)max＝m（1)＝－错误!,从而对一切x∈（0，＋∞）, f(x）＞m(x）恒成立，即x ln x＞xe x－错误!恒成立．即对一切x∈(0，＋∞），ln x＞错误!－错误!恒成立．二、利用导数研究存在性与任意性问题［典例] 设f（x)＝错误!＋x ln x，g(x）＝x3－x2－3．（1)如果存在x1，x2∈［0，2］，使得g(x1）－g（x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（2）如果对于任意的s，t∈错误!,都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．［解] (1）存在x1，x2∈［0,2］,使得g（x1）－g(x2）≥M成立,等价于［g（x1)－g（x2)］max≥M．由g（x)＝x3－x2－3,得g′(x）＝3x2－2x＝3x错误!．由g′(x)＜0，解得0＜x＜错误!；由g′（x)＞0，解得x＜0或x＞错误!．又x∈［0,2]，所以g(x)在区间错误!上单调递减,在区间错误!上单调递增，又g（0)＝－3，g(2)＝1，故g(x）max＝g（2)＝1,g(x）min＝g错误!＝－错误!．所以[g(x1）－g（x2）]max＝g（x)max－g(x)min＝1＋错误!＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝4．(2）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s)≥g(t）成立，等价于在区间错误!上，函数f(x）min≥g(x)max．由（1）可知在区间错误!上，g（x）的最大值为g（2)＝1．在区间错误!上，f（x)＝错误!＋x ln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．设h（x）＝x－x2ln x,x∈错误!，则h′(x）＝1－2x ln x－x，易知h′(x）在区间错误!上是减函数，又h′(1)＝0,所以当1＜x＜2时,h′（x)＜0；当错误!＜x＜1时，h′（x）＞0．所以函数h(x)＝x－x2ln x在区间错误!上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,所以h（x）max＝h(1）＝1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞）．[方法点拨］等价转化法求解双参数不等式双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法．本例第（1)问是“存在性"问题，转化方法是：如果存在x 1，x 2∈［0,2］使得g （x 1)－g （x 2）≥M 成立,则可转化为M ≤［g (x 1）－g （x 2）］max ，即求解使不等式M ≤g (x ）max －g (x ）min 成立时的M 的最大取值；第(2)问是“恒成立”问题，转化方法是：如果对于任意的x 1，x 2∈错误!,都有f (x 1)≥g （x 2）成立，则可转化为在区间错误!上，f (x )min ≥g （x ）max ，求解得到实数a 的取值范围．［对点演练]已知函数f (x ）＝ln x －ax ＋错误!－1(a ∈R ）． (1）当0＜a ＜错误!时,讨论f (x )的单调性；（2)设g （x ）＝x 2－2bx ＋4．当a ＝错误!时，若对任意x 1∈（0,2),存在x 2∈[1，2],使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．解：(1）因为f (x ）＝ln x －ax ＋错误!－1，所以f ′（x ）＝错误!－a ＋错误!＝－错误!，x ∈（0，＋∞）， 令f ′(x )＝0,可得两根分别为1，错误!－1， 因为0＜a ＜错误!，所以错误!－1＞1＞0，当x ∈(0，1）时，f ′（x )＜0,函数f (x ）单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，f ′（x ）＞0,函数f (x )单调递增;当x ∈错误!时，f ′（x )＜0,函数f (x ）单调递减． (2)a ＝错误!∈错误!，错误!－1＝3∉(0,2），由(1)知，当x ∈（0,1)时，f ′（x )＜0，函数f （x )单调递减；当x ∈(1，2)时,f ′(x )＞0，函数f (x ）单调递增，所以f (x )在（0,2）上的最小值为f (1）＝－错误!．对任意x 1∈（0，2），存在x 2∈［1，2]，使f （x 1)≥g (x 2）等价于g （x )在［1，2]上的最小值不大于f （x )在(0，2)上的最小值－错误!，(*）又g (x )＝（x －b )2＋4－b 2，x ∈[1，2]，所以，①当b ＜1时,g （x ）min ＝g （1)＝5－2b ＞0，此时与（＊)矛盾； ②当1≤b ≤2时,g （x ）min ＝4－b 2≥0，同样与（＊）矛盾； ③当b ＞2时，g （x ）min ＝g (2)＝8－4b , 且当b ＞2时，8－4b ＜0，解不等式8－4b ≤－12,可得b ≥错误!，所以实数b 的取值范围为错误!．。
最全面导数重点知识点归纳及应用2021
导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有 y x增量 y =f （ x 0 + x ）－f （x 0 ），比值 叫做函数 y=f （x ）在 x 0 到 x 0 + xf ( x 0x) xf ( x 0 )。
如果当y = xy 有x之间的平均变化率， 即 0 时， x极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x 0 处可导， 并把这个极限叫做 f （x ） 在点 x 0 处的导数，记作 f ’（ x 0 ）或 y ’|x。
x 0y xf ( x 0x) xf ( x 0 ) 即 f （x 0 ）= lim。
= lim x 0x 0说明：y xy x（ 1）函数 f （ x ）在点 x 0 处可导， 是指 0 时，有极限。
如果x不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。
（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而 y 是函数值的改 变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数 y=f （ x ）在点 x 0 处的导数的步骤： ① 求函数的增量 y =f （ x 0 + x ）－ f （x 0 ）； y xf (x 0x)f (x 0 )；x② 求平均变化率 = y x③ 取极限，得导数 f ’(x 0 )= lim。
x 0 例： 设 f(x)= x|x|,则 f ′( 0)=.f ( 0 x) xf (0)f ( x) x| x | xx[ 解析 ] ： ∵ ∴lim | x 0x | 0lim x 0limx 0limx 0f ′( 0)=02．导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ， f （ x 0 ））处的切线的斜率。
也就是说，曲线 y=f （ x ）在点 p （ x 0 ， f（ x 0 ））处的切线的斜率是 f ’（ x 0 ）。
导数应用八个专题汇总之欧阳育创编
1.导数应用之函数单调性题组1：1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.4.求函数1()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++的单调区间.题组2：1.讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.3.求函数321()(2)4132m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间.4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性.5.讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性. 题组3：1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数,求a 的取值范围．2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.(2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围.3.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a ="b =" -3时，f （x ）=(x+3x-3x -3)e，故= (3)分当x <-3或0<x <3时，>0; 当-3<x <0或x >3时，<0,从而f(x)在（-，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，+）上单调递减………. 6分(2) (7)分 (8)分将……..…..…………….10分………………………………………………..11分.由此可得a<-6,于是>6。
专题06 导数的应用-2021届新高考数学复习知识点总结与题型归纳(解析版)
第6讲导数的应用考点1：研究函数的单调性1.函数y=f(x)在区间(a，b)内可导(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间．(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．(3)如果在(a，b)内，f′(x)=0恒成立，则f(x)在此区间是常函数，不具有单调性．2. 利用导数研究函数单调性的基本步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；(3)由f′(x)>0（或<0）解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调减函数．说明：一般需要通过列表，写出函数的单调区间．典例精讲【典例1】设函数f （x ）＝x 2（x ﹣a ）（a ＞0），其导函数为y ＝f ′（x ），若两两不相同实数x 1，x 2，x 3，x 4满足f （x 1）＝f ′（x 2）＝f ′（x 3）＝f （x 4），则下列说法正确的是（ ）A ．x 1+x 4＜2（x 2+x 3）B ．x 1+x 4＞2（x 2+x 3）C ．x 1+x 3＜x 2+x 4D ．x 1+x 3≥x 2+x 4【分析】f （x ）＝x 2（x ﹣a ）（a ＞0），令f （x ）＝0，解得x ＝0，或a ．由f ′（x ）＝3x （x −2a 3）．f ′（x ）＝3x （x −2a3）＝0，解得x ＝0，或x =2a 3．经过验证即可得出结论．【解答】解：f （x ）＝x 2（x ﹣a ）（a ＞0）， 令f （x ）＝x 2（x ﹣a ）＝0，解得x ＝0，或a ． ∵f （x 1）＝f （x 4），不妨设x 1＞x 4，则x 1＝a ，x 4＝0． ∴x 1+x 4＝a ．f ′（x ）＝2x （x ﹣a ）+x 2＝3x （x −2a3）．令f ′（x ）＝3x （x −2a 3）＝0，解得x ＝0，或x =2a 3．∵f ′（x 2）＝f ′（x 3）， 不妨设x 2＞x 3，则x 2=2a 3，x 3＝0．经过验证只有x 1+x 4＜2（x 2+x 3）正确． 故选：A ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、函数的零点、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例2】已知函数f （x ）={xe x ，x ≤02−|x −1|，x ＞0若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有两个零点x 1，x 2，则x 1+x 2＝（ ）A ．2B ．2或2+1eC ．2或3D ．2或3或2+1e【分析】先利用导数得到f （x ）在（﹣∞，0）上的单调性及最值，再画出f （x ）在R 上的图象，利用y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有两个不同的交点可得x 1+x 2的值． 【解答】解：当x ≤0时，f （x ）＝xe x，f ′（x ）＝（x +1）e x， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＜0，故f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数， 当﹣1＜x ＜0时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（﹣1，0）上为增函数， ∴当x ≤0时，f （x ）的最小值为f （﹣1）=−1e ． 又在R 上，f （x ）的图象如图所示：∵g （x ）有两个不同的零点，∴方程f （x ）＝m 有两个不同的解即直线y ＝m 与y ＝f （x ）有两个不同交点．且交点的横坐标分别为x 1，x 2，故1＜m ＜2或m ＝0或m =−1e ， 若1＜m ＜2，则x 1+x 2＝2． 若m ＝0，则x 1+x 2＝3．若m =−1e ，则x 1+x 2＝﹣1+3+1e =2+1e ． 综上，x 1+x 2＝2或3或2+1e ． 故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分段函数的性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例3】若存在x ∈[﹣1，2]，使得x +e 2xx+3e x −ke x＜0成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣e ，+∞）C ．（﹣e +13−e，+∞） D ．（﹣1，+∞）【分析】由x +e 2x x+3ex −ke x ＜0，得k ＞x ex +e x x+3ex ，令g （x ）=x ex +e x x+3e x=x e x+1xe x+3，再令t =x e x，可得h （t ）=t +1t+3=t 2+3t+1t+3，利用导数求其最小值，则答案可求．【解答】解：由x +e 2x x+3ex −ke x ＜0，得k ＞x ex +e x x+3e x，令g （x ）=xe +e xx+3e =xe +1xe x+3，令t =xe x ，则t ′=e x −xe x e 2x=1−x e x，则t =xe x 在[﹣1，1）上为为增函数，在（1，2]上为减函数． ∴t min ＝﹣e ，t max =1e ，即t ∈[﹣e ，1e ]， 函数g （x ）化为h （t ）=t +1t+3=t 2+3t+1t+3，h ′（t ）=(2t+3)(t+3)−(t 2+3t+1)(t+3)2=(t+4)(t+2)(t+3)2．当t ∈[﹣e ，﹣2）时，h ′（t ）＜0，当t ∈（﹣2，1e ]时，h ′（t ）＞0， ∴h （t ）min ＝h （﹣2）＝﹣1． ∴k ＞﹣1．即实数k 的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．【典例4】已知函数f（x）＝（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）在（0，+∞）上为增函数，则a 的取值范围是[﹣2√e，+∞）．【分析】f（x）＝（2x﹣1）e x+ax2﹣3a，在（0，+∞）上为增函数，f′（x）≥0，可得2a≥−(2x+1)e xx ，x∈（0，+∞）．令g（x）=−(2x+1)exx，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f（x）＝（2x﹣1）e x+ax2﹣3a，在（0，+∞）上为增函数，∴f′（x）＝（2x+1）e x+2ax≥0，∴2a≥−(2x+1)e xx，x∈（0，+∞）．令g（x）=−(2x+1)e xx，x∈（0，+∞）．则g′（x）=−(2x−1)(x+1)e xx2，可得x=12时，函数g（x）取得极大值．g（12）＝﹣4√e．∴2a≥﹣4√e，解得a≥﹣2√e．∴a的取值范围是[﹣2√e，+∞）．故答案为：[﹣2√e，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力．【典例5】已知函数f(x)=3x3−2x+e x−1e x，其中e是自然对数的底数．若f（a）+f（a2﹣2）＜0，则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【分析】函数f(x)=3x3−2x+e x−1e x，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的单调性即可解出．【解答】解：函数f(x)=3x3−2x+e x−1e x，则f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）在R上为奇函数．f′（x）＝9x2﹣2+e x+1e x≥9x2﹣2+2≥0．∴函数f（x）在R上单调递增．∵f（a）+f（a2﹣2）＜0，∴f（a2﹣2）＜﹣f（a）＝f（﹣a），∴a2﹣2＜﹣a，交点﹣2＜a＜1．则实数a的取值范围是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．考点2：研究函数的极值、最值1. 已知函数y=f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，=f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大2. 如果在x0附近都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小=f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．3. 极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．4. 求函数y=f(x)的极值的方法：(1)求函数f(x)的定义域(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的所有实数根；(4)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)=0的根x=x0的左右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．5. 一般地，求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求出函数y=f(x)在(a，b)内所有极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6. 最值与极值的区别与联系(1)极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；(2)最值和极值都不一定存在；(3)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．典例精讲【典例1】设x =−12是函数f （x ）＝ln （x +2）﹣ax 2﹣3a 2x 的极小值点，则f （x ）的极大值为（ ） A ．2B ．1C ．34 D ．23【分析】求函数的导函数，利用极小值点求出a 的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值．【解答】解：函数f （x ）＝ln （x +2）﹣ax 2﹣3a 2x ，定义域是：{x |x ＞﹣2}f ′（x ）=1x+2−2ax ﹣3a 2因为x =−12是函数f （x ）＝ln （x +2）﹣ax 2﹣3a 2x 的极小值点， 则：f ′（−12）＝0，解得：9a 2﹣3a ﹣2＝0，即：a =−13，或 a =23， 讨论a ；①当a =−13时，函数f ′（x ）=1x+2+23x −13=(x+1)(2x+1)3(x+2)，在（﹣2，﹣1），f ′（x ）＞0 在（﹣1，−12）f ′（x ）＜0 在（−12，+∞）f ′（x ）＞0∴函数f （x ）在x =−12取得极小值点，在x ＝﹣1取得极大值点，∵函数定义域是：{x |x ＞﹣2} ∴f （x ）的极大值为f （﹣1）=23②当 a =23时，函数f ′（x ）=1x+2−43x −43=−(2x+5)(2x+1)3(x+2)，在（﹣2，−12），f ′（x ）＞0在（−12，+∞），f ′（x ）＜0∴x =−12不是函数f （x ）＝ln （x +2）﹣ax 2﹣3a 2x 的极小值点，与题设矛盾，a =23舍去．综合可得：x =−12是函数f （x ）＝ln （x +2）﹣ax 2﹣3a 2x 的极小值点时，f （x ）的极大值为：23．故选：D ．【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题． 【典例2】已知函数f （x ）＝x 3+mx 2+（m +6）x +1存在极值，则实数m 的取值范围为 （﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） ．【分析】求出函数f （x ）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m 的范围即可．【解答】解：∵函数f （x ）＝x 3+mx 2+（m +6）x +1存在极值， ∴f ′（x ）＝3x 2+2mx +m +6＝0，它有两个不相等的实根， ∴△＝4m 2﹣12（m +6）＞0 解得m ＜﹣3或m ＞6．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．【典例3】已知函数f(x)=23ax 3+(a −12)x 2，a ∈R ，当x ∈[0，1]时，函数f （x ）仅在x ＝1处取得最大值，则a 的取值范围是 （310，+∞） ．【分析】求出原函数的导函数，对a 分类，根据函数在[0，1]上的单调性逐一分析求解． 【解答】解：f ′（x ）＝2ax 2+（2a ﹣1）x ．若a ＝0，则f ′（x ）≤0在[0，1]上恒成立，f （x ）在[0，1]上单调递减，不合题意； 若a ＜0，由f ′（x ）＝0，得x 1=1−2a 2a＜0，x 2＝0，f （x ）在[0，1]上单调递减，不合题意；若a ＞0，当a ≥12时，1−2a 2a≤0，f （x ）在[0，1]上单调递增，符合题意；当0＜a ≤14时，1−2a 2a ≥1，f （x ）在[0，1]上单调递减，不合题意；当14＜a ＜12时，0＜1−2a 2a＜1，f （x ）在[0，1−2a 2a）上单调递减，在（1−2a 2a，1]上单调递增，要使当x ∈[0，1]时，函数f （x ）仅在x ＝1处取得最大值， 则f （1）=23a +a −12＞0=f(0)，即a ＞310． 综上，实数a 的取值范围为（310，+∞）． 故答案为：（310，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．【典例4】已知函数2()23x x x f x te e e -=-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-【分析】令xm e =，0m >，原题可转化为3221231()230tm m h m tm m m m-+=-+==有2个不同的实根，转化为32()2310g m tm m =-+=在0m >时有2个不同实根，结合导数及函数性质可求．【解答】解：令x m e =，0m >，由题意可得，3221231()23tm m h m tm m m m-+=-+=有2个不同的零点，令32()231g m tm m =-+，则()g m 在0m >时有2个不同零点，因为2()666(1)g m tm m m tm '=-=-， 0t =显然不成立，则0t ≠，令()0g m '=可得0m =或1m t=，当0t <时，()g m 在(0,)+∞上单调，不存在2个零点，舍去，故0t >，易得，当1m t >时，()0g m '>，()g m 单调递增，当10m t<<时，()0g m '<，()g m 单调递减，所以，当1m t =时，函数取得极小值也是最小值211()10g t t=-<，解可得，11t -<<， 又0t >， 故t 的范围(0,1)． 故选：B ．【点评】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，体现了分类讨论思想及转化思想的应用． 【典例5】已知函数f(x)=1+lnx x．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间及极值；（Ⅱ）若g （x ）＝xf （x ）+mx 在区间（0，e ]上的最大值为﹣3，求m 的值．【分析】（Ⅰ）利用函数导数求单调区间和极值即可，（Ⅱ）表达新函数g （x ）分类讨论，利用函数性质验证函数最值． 【解答】（Ⅰ）已知函数f(x)=1+lnx x．定义域：{x |x ＞0}求导函数，可得f ′（x ）=−lnx x 2∵x ＞1，∴lnx ＞0，∴f ′（x ）＜0，函数单调递减； ∵0＜x ＜1，∴lnx ＜0，∴f ′（x ）＞0，函数单调递增；x ＝1时，lnx ＝0，∴f ′（x ）＝0，函数取极大值；∴f （1）＝1；故答案为：函数f（x）的单调递增区间是：{x|0＜x＜1}函数f（x）的单调递减区间是：{x|x＞1}极大值f（1）＝1；（Ⅱ）若g（x）＝xf（x）+mx，即：g（x）＝xf（x）+mx＝1+mx+lnx，在区间（0，e]上的最大值为﹣3，g′（x）＝m+1x当m＝0时，函数g（x）与在区间（0，e]上的最大值为﹣3矛盾，g′（x）＝m+1x =0，x=−1m；m≠0；当m＞0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在区间（0，e]单调递增；最大值g（e）＝﹣3，得m=−5e；与m＞0矛盾，舍去．当m＜0时，g′（x）＝m+1x，可得：g′（x）在（0，−1m）单调递增，g′（x）在（−1m，+∞）单调递减，∵函数g（x）与在区间（0，e]上，讨论：若−1m ＜e，即：m＜−1e时，最大值g（−1m）＝﹣3，解得m＝﹣e3；符合题意．若−1m ≥e，即：m≥−1e时，最大值g（e）＝﹣3，得m=−5e；不符合题意，舍去．故答案为：所求m的值为：m＝﹣e3【点评】本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在区间上最值，属于中档题．综合练习一．选择题（共3小题）1．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，f （2）0=，当0x >时，有()()xf x f x '>恒成立，则不等式()0xf x <的解集为( ) A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(0-⋃，2)C ．(2-，0)(0⋃，2)D ．(2-，0)(2⋃，)+∞【分析】构造函数()()f x g x x=，易知()g x 在(0,)+∞上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数，故()g x 在(,0)-∞上也单调递增，且g （2）(2)0g =-=．而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解． 【解答】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则2()()()xf x f x g x x'-'=， 当0x >时，有()()xf x f x '>恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 是定义在R 上的偶函数， ()()()()f x f x g x g x x x-∴-===---，即()g x 是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数， ()g x ∴在(,0)-∞上也单调递增．又f （2）0=，g ∴（2）(2)02f ==，(2)0g ∴-=． 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， 02x ∴<<或2x <-，∴不等式的解集为(-∞，2)(0-⋃，2)．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式和函数的奇偶性等，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．2．已知函数2()4f x ax bx lnx =++的极值点为1和2． （1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式()f x c <在区间(0，3]上恒成立，求实数c 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数()f x '，根据()f x 极值点为 1，2，列出方程组，即可解出a ，b 的值；（2）先将“不等式()f x c <在区间(0，3]上恒成立”转化为“当(0x ∈，3]时，()max c f x >”，再利用导数求出函数()f x 在(0，3]上的单调性，进而求出最大值．【解答】解：（1）由2()4f x ax bx lnx =++，得4()2,(0,)f x ax b x x '=++∈+∞，依题意有(1)2402,6(2)420f a b a b f a b '=++=⎧⇒==-⎨'=++=⎩． （2）若不等式()f x c <在区间(0，3]上恒成立，即当(0x ∈，3]时，()max c f x >，由（1）得242(1)(2)()64()26,(0,3]x x f x x x lnx f x x x x x--=-+⇒'=-+=∈， 由()001f x x '>⇒<< 或23x <<；()012f x x '<⇒<<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， 所以函数()f x 在区间(0，3]上的最大值为(){max f x max f =（1），f （3）}，由f （1）5=-，f （3）4395()max ln f x f =->-⇒=（3）439ln =-， 故实数c 的取值范围为(439,)ln -+∞．【点评】本题考查了导数的应用，不等式恒成立的等价转化，考查了学生的计算能力和转化与化归的数学思想，属于中档题．3．若函数f （x ）={x 2−(3m +1)x +3，x ≤0mx 2+xlnx ，x ＞0恰有三个极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．（−12，−13） B ．（−12，0） C ．（﹣1，−13） D ．（﹣1，−12）【分析】求出函数的导数，x ＞0时，问题转化为﹣2m =lnx+1x，当x ≤0时，令f ′（x ）＝0，得到x =3m+12＜0，求出m 的范围即可．【解答】解：由题意知f ′（x ）={2x −(3m +1)，x ≤02mx +lnx +1，x ＞0，当x ＞0时，令f ′（x ）＝0， 可化为：﹣2m =lnx+1x，令g （x ）=lnx+1x，则g ′（x ）=−lnx x 2，则函数g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g （x ）的图象如图所示：故0＜﹣2m ＜1即−12＜m ＜0时，f ′（x ）＝0有2个不同的解，当x ≤0时，令f ′（x ）＝0，x =3m+12＜0，解得：m ＜−13，综上，m ∈（−12，−13）， 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，数形结合思想，是一道常规题．二．填空题（共2小题）4．函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，可得f′（x）≤0，解得a≥1x，x∈[1，+∞）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：f′（x）=1x−a，∵函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，∴f′（x）=1x −a≤0，解得a≥1x，x∈[1，+∞）．∵函数y=1x在x∈[1，+∞）单调递减．因此x＝1时，函数y取得最大值1．∴a≥1．则a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若关于x的不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，且函数f（x）＝x（x﹣m）2在x ＝n处有极小值，则n＝ 2 ．【分析】根据不等式的解集，求出m的值，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，∴0，﹣1是方程﹣x2+x＝mx的两个根，则﹣1﹣1＝﹣m＝﹣2，即m＝2，则f （x ）＝x （x ﹣m ）2＝x （x ﹣2）2，函数的导数f ′（x ）＝（x ﹣2）2+2x （x ﹣2）＝（x ﹣2）（3x ﹣2）， 由f ′（x ）＞0得x ＞2或x ＜23此时函数单调递增，f ′（x ）＜0得23＜x ＜2，此时函数单调递减，即当x ＝2时，函数取得极小值，即n ＝2， 故答案为：2．【点评】本题主要考查函数极值和不等式的应用，求函数的导数，利用不等式的解集求出m 的值是解决本题的关键．三．解答题（共2小题）6．已知函数f （x ）=12ax 2﹣x +xlnx ，a ∈R ．（1）若a =−1e，讨论函数f （x ）在其定义域上的单调性； （2）若f （x ）在其定义域上恰有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数f ′（x ）＝ax +lnx ，设g （x ）＝f ′（x ），当a =−1e 时，求得g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，可得f ′（x ）＝g （x ）≤g （e ）＝0，得到函数f （x ）在其定义域上单调递减；（2）f （x ）在其定义域上恰有两个零点，即函数h （x ）=12ax −1+lnx 在（0，+∞）上恰有两个零点，当a ≥0时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a ＜0时，利用导数求最大值，由最大值等于0求得a 的取值范围．【解答】解：（1）由函数f （x ）=12ax 2﹣x +xlnx ，得f ′（x ）＝ax +lnx ，设g （x ）＝f ′（x ），当a =−1e 时，g ′（x ）=1x −1e ．当x ∈（0，e ）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈（e ，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴f ′（x ）＝g （x ）≤g （e ）=1e−1e=0，∴函数f （x ）在其定义域上单调递减；（2）f （x ）在其定义域上恰有两个零点，即函数h （x ）=12ax −1+lnx 在（0，+∞）上恰有两个零点．当a ≥0时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，不合题意； 当a ＜0时，h ′（x ）=12a +1x =ax+2ax．当x ∈（0，−2a）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（−2a，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，由h （−2a ）＞0，得−2a ＞e 2，可得−2e 2＜a ＜0． 此时h （1）=a2−1＜0，h （−2ae −2a）=−e−2a+ln(−2a)−2a−1．令−2a =t ，由前面同理可得t ＞e 2，h （−2a e −2a ）＝﹣e t+lnt +t ﹣1，令φ（t ）＝﹣e t+lnt +t ﹣1，φ′（t ）=−e t +1t +1，当t ＞e 2时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，则φ（t ）＜φ（e 2）＜0． ∴a 的取值范围是（−2e 2，0）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，是中档题． 7．已知函数()2af x lnx x=-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[1，)+∞上的最大值为1，求a 的值．【分析】（1）求出()f x 的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）由（1）的结论，通过a 的范围，利用单调性，求出函数的最值，即可求出a 值．【解答】解（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2222()a x af x x x x+'=--=-， 当0a 时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减．当0a <时，令()0f x '<，得2a x >-，则()f x 的单调递减区间为(2a-，)+∞；令()0f x '>，得02a x <<-，则()f x 的单调递增区间为(0,)2a-．（2）由（1）知，当0a 时，()f x 在[1，)+∞上单调递减， ()max f x f ∴=（1）1a ==，则1a =．当20a -<时，12a-，()f x 在[1，)+∞上单调递减， ()max f x f ∴=（1）1a ==，20a -<不合题意．当2a <-时，()()22()22max a af x f ln =-=---，2a <-，22()22aln ∴---<-，则2a <-不合题意，综上，1a =．【点评】本题考查函数的单调性的讨论，实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．。
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1.导数应用之函数单调性欧阳光明（2021.03.07）题组1：1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.4.求函数1()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++的单调区间.题组2：1.讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.3.求函数321()(2)4132m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性. 题组3：1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数,求a 的取值范围． 2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.(2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a的取值范围.3.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a ="b =" -3时，f （x ）=(x+3x-3x -3)e，故= (3)分当x <-3或0<x <3时，>0; 当-3<x <0或x >3时，<0,从而f(x)在（-，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，+）上单调递减………. 6分(2) (7)分 (8)分将……..…..…………….10分………………………………………………..11分.由此可得a<-6,于是>6。
………………………………………………… 12分4.设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数2132()x f x x e ax bx -=++,且2x =-和1x =均为()f x 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性； (2)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小． 2.设函数2()()f x x x a =-.(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值. 3.设函数233)(x ax x f -=．(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数321()23f x x x =+-.(1)设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；(2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值.5.设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=． (1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间； (2)若0a >,求实数b 的取值范围．6.设函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<.证明:0a >,并求2a b +的取值范围. 7.已知1x =是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.(1)求()f x 的解析式及其单调区间；(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围. 9.设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ．(1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围．10.设3x =是函数23()()x f x x ax b e -=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围. 11.已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-．(1)求函数()f x 的另一个极值点；(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围．12.设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.3.导数应用之函数的零点题组1：1.函数2()3x f x x =-在区间[1,0]-内有没有零点？为什么？2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是【 】.A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2) 3.函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是【 】.A.()1x f x e =-B.()41f x x =-C.2()(1)f x x =-D.1()ln()2f x x =-4.若234a b <<<<,且函数()log a f x x x b =+-的零点0(,1)x n n ∈+()n Z ∈,则n =【 】.A.1B.2C.3D.4题组2：5.设函数)(x f y =的图像在[,]a b 上连续,若满足____________,则方程0)(=x f 在[,]a b 上有实根.6.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则【 】.A.1()0f x <,2()0f x <B.1()0f x <,2()0f x >C.1()0f x >,2()0f x <D.1()0f x >,2()0f x > 7.函数1()f x x x=+的零点个数为____________. 8.求证:函数23()21f x x x =---在区间(0,2)内没有零点. 题组3：9.函数2()log f x x x =+在区间(0,1)内是否有零点？为什么？ 10.求证:函数4()21f x x x =--在区间[1,2]-内至少有两个零点. 11.求证:函数()(3)(8)1f x x x =---有且只有两个零点.12.求证:函数2()ln 1f x x x x =-++有且只有两个零点.13.设函数c bx ax x f ++=2)(,若0)1(>f ,0)2(<f ,则)(x f 在区间)2,1(上的零点个数为【 】.A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个 D.一个也没有14.设(1,)m ∈+∞,求证:函数()ln()f x x x m =-+有且只有两个零点. 15.判断函数2()lg f x x x =-在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由. 题组4：16.设函数()1n n f x x x =+-*(,2)n N n ∈≥.(1)证明:()n f x 在区间)1,21(内存在唯一的零点； (2)设n x 是()n f x 在)1,21(内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性．17.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 18.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x ,求证:12()02x x f +'<.19.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >. 20.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.21.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<. 4.导数应用之图像的切线题组1：1.求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.3.求与直线320x y -+=夹角为45︒,且与抛物线22y x =相切的直线方程.4.设函数()sin f x x =图像上动点P 处切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围. 题组2：5.求函数3()2f x x =的图像C 在点(1,2)P 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.7.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数9()5x f x x +=+的图像相切的直线方程. 9.设函数()b f x ax x=-,曲线C :()y f x =在点(2(2))f ，处的切线为74120x y --=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y x =,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线23ln 20x y +-+=是函数()ln mf x x x=+的图像C 的一条切线.(1)求()f x 的解析式；(2)若(,)P s t 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值. 题组3：11.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.13.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =.(1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点．(1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．15.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式. 巩固练习：1.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,8)P -的切线方程.2.求函数23()3x f x x +=+的图像经过点1(3,)2P 的切线方程.3.如图,从点1(0, 0)P 作x 轴的垂线交于曲线x y e =于点1(0, 1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交与点2P ；再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点:1P ,1Q ,2P ,2Q ,…,n P ,n Q ,记点k P 的坐标为(, 0)k k P x (1,2,3,,)k n =.(1)求1k x +与k x 之间的等量关系； (2)求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++.5.导数应用之存在与任意1.已知函数()(0)a f x x b x x=++≠,其中,a b R ∈．(1)若曲线)(x f 在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的1[,2]2a ∈,不等式10)(≤x f 在1[,1]4x ∈恒成立,求b 的取值范围．2.已知函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x m <对1[1,1]x e e -∈--恒成立,求m 的取值范围；*欧阳光明*创编 2021.03.07 3.设函数1()ln f x x x= .(1)求()f x 的单调区间； (2)若12a xx >对(0,1)x ∈恒成立,求a 的取值范围. 4.已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若1(1)n e n+α+≤对n N +∈都成立,求α的最大值.5.设函数2)1()(ax e x x f x --=.(1)若21=a ,求)(x f 的单调区间； (2)若当0≥x 时,0)(≥x f ,求a 的取值范围.6.设函数x ax e x f x --=2)(.(1)若0=a ,求)(x f 的最小值； (2)若当0≥x 时,()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.7.设函数()x f x e ax =-的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-<a . (1)求()f x 的极值；(2)证明:当0>x 时,x e x <2；(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有x ce x <2. 8.设函数()cos f x ax x =+,(1)讨论函数()f x 在区间[0,]π内的单调性；(2)若()1sin f x x ≤+对[0,]x π∈恒成立,求实数a 的取值范围. 9.设函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈.(1)求证:()0f x ≤；(2)若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立,求a 的最大值与b 的最小值. 10.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f , (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设1-<a ,且对任意的),0(,21+∞∈x x ,都有||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围.11.已知3x =是函数23()()x f x x ax b e -=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4x g x a e =+.若存在[]12,0,4x x ∈,使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围.12.已知函数321()cos 22f x ax x x c θ=+-+的图像过点37(1,)6,且在[2,1]-上递减,在[1,)+∞上递增. (1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的12,[,3]x x m m ∈+都有1245()()2f x f x -≤成立,求正实数m 的取值范围.13.设函数5)(,14)22(31)(23+=+++-=mx x g x x m mx x f . (1)当0m >时,求函数)(x f 的递增区间；(2)是否存在负实数m ,使得对任意的12,[1,2]x x ∈,都有1)()(21≤-x f x g ？若存在,求m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x yB x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x=++(abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立吗？ 2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．(1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？ 3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值；(2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--ba b f a f ； (3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.6.设函数()x f x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.7.设函数()x f x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<； (2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.8.设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b--<--成立. 7.导数应用之不等式证明(1)1.证明:对任意的n N +∈,都有3211)11ln(nn n->+. 2.已知,m n N +∈,且1m n <<,求证:(1)(1)n m m n +>+. 3.设函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（ (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的n N +∈,当2x ≥时,都有() 1.f x x ≤- 4.已知函数()ln(1)1x f x e a x =-+-在点(0,(0))P f 处的切线垂直于y 轴, (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0m n >>时,求证:1ln(1)ln(1)m n e m n -->+-+. 5.设函数xe x xf =)(,且)(')(1x f x f =,)(')(1x f x f n n =+()n N +∈.(1)求)(1x f ,)(2x f ,)(3x f ,)(x f n 的解析式；(2)求证:对任意的实数b a ,,以及任意的正整数n ,都有)()()(122n f b f a f n n <--.6.设函数x x mx x f ln )(-=在1=x 处取得极值,数列}{n a 满足111<<-a e ,1()n n a f a +=()n N +∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证:对任意的*N n ∈,都有11<<-n a e ； (3)求证:对任意的*N n ∈,都有122++<+n n n a a a . 7.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.8.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =；(2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.8.导数应用之不等式证明(2)1.设函数1()ln xf x x ax-=+. (1)若函数()f x 在),1[+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围；(2)当1a =时,求证:对大于1的任意正整数n ,都有1111ln 234n n>+++⋅⋅⋅+. 2.设函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数n ,都有)12ln(211215131+<-+++n n . 3.设函数2()f x kx =,()ln g x x =,(1)讨论关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e -内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数n ,都有44444ln1ln 2ln 3ln 4ln 112342n n e+++++<. 4.设函数2()ln(1)f x x a x =-+,(1)若函数()f x 在区间12(,)33上递增,求实数a 的取值范围； (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<；(3)证明:对大于1的任意正整数n ,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123e n ++++<. 5.设函数2()xf x ax b=+,其中(1)1f =,12()23f =.在数列{}n x 中,112x =,且1()n n x f x +=.(1)求数列{}n x 的通项n x .(2)求证:对任意的正整数n ,都有12312n x x x x e>.6.设函数()1x f x e ax =--,(1)若()0f x ≥对x R ∈均成立,求正实数a 的取值集合； (2)求证:对任意的正整数n ,都有123()()()()1n n n n n e n n n n e ++++<-. 7.设函数()1x f x e x =--,(1)求证:函数()f x 有且只有一个零点；(2)求证:对任意的正整数n ,都有13521()()()()22221n n n n n n n nn e -++++<-. 8.(1)设函数r x rx x f r -+-=1)()0(>x ,其中10<<r .求函数)(x f 的最小值；(2)用(1)的结果证明命题:设01≥a ,02≥a ,21,b b 为正实数,若121=+b b ,则22112121b a b a a a b b +≤；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数1ln )(+-=x x x f 的最大值；(2)设,k k a b 均为正实数,证明:若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++,则12121n b b b n a a a ≤；(3)设,k k a b 均为正实数,证明:若121n b b b +++=,则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++.。