2021年导数应用八个专题汇总

1.导数应用之函数单调性

欧阳光明（2021.03.07）

题组1：

1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.

2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.

3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.

4.求函数1

()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x

=-+++的单调区间.

题组2：

1.讨论函数4322411()(0)43

f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.

3.求函数321()(2)413

2

m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-的单调性. 题组3：

1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间；

(2)设函数()f x 在区间21()3

3

--，

内是减函数,求a 的取值范围． 2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.

(2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a

的取值范围.

3.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间；

(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a ="b =" -3时，f （x ）=(x

+3x

-3x -3)e

，故

=

(3)

分

当x <-3或00; 当-33时，

<0,

从而f(x)在（-，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，+）上单调递减………. 6分

(2)

(7)

分 (8)

分

将

……..…..…………….10分

………………………………………………..11分

.

由此可得a<-6,于是>6。………………………………………………… 12分

4.设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间；

(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围．

2.导数应用之极值与最值

1.设函数2132()x f x x e ax bx -=++,且2x =-和1x =均为()f x 的极值点．

(1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性； (2)设322

()3

g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小． 2.设函数2()()f x x x a =-.

(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值. 3.设函数233)(x ax x f -=．

(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；

(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．

4.已知函数321()23

f x x x =+-.

(1)设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数

'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；

(2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值.

5.设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=． (1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间； (2)若0a >,求实数b 的取值范围．

6.设函数321()(2)13

f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<.证明:0a >,并求2a b +的取值范围. 7.已知1x =是函数3213()(1)532

f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；

(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.

8.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.

(1)求()f x 的解析式及其单调区间；

(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围. 9.设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ．

(1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；

(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围．

10.设3x =是函数23()()x f x x ax b e -=++的一个极值点.

(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4

x

g x a e =+.若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围. 11.已知函数21

()kx f x x c

+=

+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-．

(1)求函数()f x 的另一个极值点；

(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围．

12.设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点,

(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；

(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.

3.导数应用之函数的零点

题组1：