常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组

n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.

3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x

y =初值唯一的 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t

y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2

1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是

7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是

8．方程440y y y '''++=的基本解组是

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程

d ()()d y p x y q x x

+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ

10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）

（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程

（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程

11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．

(A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x

12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．

（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间

（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间

13．方程222+-='x y y （ ）奇解．

（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无

三、计算题（每小题8分，共48分）。

14．求方程22

2d d x y xy x y -=的通解

15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y

的通解

16．求方程2

221)(x y x y y +'-'=的通解

17．求方程53x

y y e '''-=的通解

18．求方程2(cos 7sin )x y y y e x x '''+-=-的通解

19．求方程组

35,53dY AY A dx ⎛⎫== ⎪-⎝⎭

的实基本解组

四、应用题（本小题 11 分，共11分）。 20．（1）求函数()at

f t e =的拉普拉斯变换 （2）求初值问题3322(0)0,(0)0

t

x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解

五、证明题（本小题10分，共10分）。 21 ．证明：对任意0x 及满足条件001y 的0y ，方程22d (1)d 1y y y x x y -=++的满足条件00()y x y =的解()y y x =在(,)-∞+∞上存在。