第二节利用极坐标计算二重积分

1
dy
y e y2 dx
0
0
0
0
D D2
D1
y x
1 xe x2 dx 1 ye y2 dy
0
0
1 e x2 2
1 0
1 e y2 2
1 0
e 1.
例2.求由柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体体积.
解：由对称性得所求立体体 积为第一卦限部分体 积的8倍. 而第一卦限的部分立 体为一曲顶柱体，
y
0 R，0 .
R
I
2 d
R e 2 d
0
0
(1 eR2 ) .
2 2
0
1 (1 eR2 )d
2
o
4
y R2 x2
D Rx
例2. 求I
a
dx
a2 x2 ( x2 y2 )dy.
0
0
y
解： I ( x2 y2 )dxdy
a
y a2 x2
D
2 d
a 2 d
0
0
D
要求(1)或(2)就必须解决积分 et2 dt, o
Rx
而 et2 dt是存在的，但积不出来,
故在直角坐标下无法求 出该积分.
二、利用极坐标系计算二重积分
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域i的面积为 ii 1212((iiii))22ii1212i2i2ii iiiiii
其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
提示
i
1 2
(
i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i
)i
i
i
(i
2
i )
i
i
i i i
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域iii的面1212((积ii为ii))22ii1212i2i2ii iiiiii 其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
例1. 求I emax{ x2，y2 }dxdy，其中D {( x，y) 0 x 1，0 y 1}(02年).
D
解：I
emax{ x2，y2 }dxdy emax{ x2，y2 }dxdy
D1
D2
e x2dxdy e y2dxdy
D1
D2
1
dx
x e x2 dy
,
4
4
,
I2
4
4
,
I
4
所求广义积分
0
e
,
x2
dx
2
.
例4. 求 x2 y2d，其中D : x2 y2 2x，y 0.
D
y
解： 在极坐标下，区域D可表示为：
0 2cos，0 .
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1) f ( x，y)d
D
b
dx
2 ( x) f ( x，y)dy
a
1( x)
(X型区域),
(2)
f ( x，y)d
b
dy
2 ( x) f ( x，y)dx (Y型区域).
D
a
1(x)
注：(1) 先画D的图形，再选择公式，
(2)积分顺序从右到左.
1.
极坐标与直角坐标的关系：
x y
cos sin
.
2. 极坐标下面积元素： d dd
3. 二重积分在极坐标下的变换公式：
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin )dd .
D
D
F(， )
4. 计算方法：.化为关于，的二次积分，
特别：
一般是先对，再对积分
如果积分区域可表示为
o y
xy
y R2 x2
D
o
Rx
例 求 e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解：如图D既是X型区域又是Y型区域. y
故 I
R
dx
e dy R2 x2 x2 y2 (1)
0
0
R
y R2 x2
或 I
R
dy
e dx R2 y2 x2 y2 (2)
在i 内取点 ( i ,i ) 设其直角坐标为( i i)
则则有有 iiiiccoossii,, iiiissininii.. 于于是是
n
n
lim
0 i1
f
(i ,i ) i
lim
0 i1
f
(i
cosi,
i
sin
i)i
ii
即
f (x, y)d f ( cos, sin)dd .
D
D
二、利用极坐标系计算二重积分
sinsin))dd.
.
DD
((22)) ff((ccooss, , sisnin))dddd0202dd00(()f) (f(cocsos,,sinsin))dd. . DD
例1. 求I e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解： 在极坐标下区域 D可表示为：
0
0
2
a 4 d
04
a4 .
8
D o
ax
例 3.求广义积分 . ex2 dx 0
e x2 y2 dxdy
D
解: 设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2，x 0，y 0},
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2，x 0，y 0},
S {(x, y) | 0 x R, 0 y R},
它的底为xoy平面的区域D : 0 y
它的顶为柱面 z R2 x2 ,
故由二重积分的几何意义得：
R2 x2，0 x R, z
z R2 x2
V 8 R2 x2dxdy
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
0
0
R
80
(
R2
x
2
)dx
8(R2 x
1 3
x
3
)
R 0
16 R3 . 3
D 1()2() ab 则
f ( cos , sin )dd
D
bd
2( ) f ( cos , sin )d .
a
1 ( )
讨论 区域如下图, 如何确定积分限?
(1)
(2)
提示
((11) )
ff((ccooss,
, sisnin))dddd b bdd(()f) aa 0 0
(f(cocsos,,
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D2
S
DSD1 2
显然有 D1 S D2 . e x2 y2 0,
R 2R
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R e x2 dx R e y2 dy ( R e x2 dx)2;
0
0
0
I1 D1
同理 I 2
(1
S
e
x
2
y
2
dxdy
2 d
R e
0
0
e x2 y2 dxdy (1
eD2
R
2
)
(
4 R e x2 dx)2
2 d
e2R2
(1
(1 e
4 ); I1
e 2R2 );
R
2
); I
I2,
当
4 R
时,
即( e x2 dx)2
0
0
I1