第二节利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
第二节 二重积分的计算法(2)
一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
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一、极坐标系下二重积分的计算
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 1 r = ri + ∆ri 2 = ri ∆ ri ∆ θ i + ( ∆ ri ) ∆ θ i r = ri 2 当( ∆ri , ∆θ i ) → ( 0,0)时,
D
8
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观察练习］ ［观察练习］ 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切 的变化范围是什么? 于原点,试 于原点 试问θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ(θ )
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o x
(2) −
x
o
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
π
2
≤θ ≤
dσ = rdrdθ
又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，
x = r cos θ , y = r sin θ ∴ f ( x , y ) = f ( r cos θ , r sin θ )
故在极坐标下， 故在极坐标下，二重积分化为
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分
二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。 二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具 有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二 重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念 极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系 有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分， 其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至 关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标 转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中每个点由其到原点的距离和与正半轴的夹角来确定。
在极坐标系中，二重积分的计算可以通过转换为极坐标下的积分来简化问题。
假设我们要计算的二重积分为∬Df(x,y)dA，其中D是平面上的一个闭区域，f(x,y)是定义在D上的函数。
首先，我们需要将函数f(x,y)在极坐标下进行表示。
对于任意点(x,y)，其对应的极坐标为(r,θ)，其中r是该点到原点的距离，θ是该点与正半轴的夹角。
根据坐标转换公式，我们可以得到以下关系：x = rcosθy = rsinθ通过对x和y的偏导数运算，我们可以计算出dA在极坐标下的表示：dA = dxdy = rdrdθ将dA代入原积分式，我们可以得到对应的极坐标下的积分：∬D f(x, y) dA = ∬D f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ注意到极坐标下的积分中，积分区域D的范围可以通过对r和θ进行适当的取值来表示。
例如，可以通过限定r的范围和θ的范围来确定D的边界。
对于给定的函数f(rcosθ, rsinθ)，我们可以将其在极坐标下展开为级数的形式。
例如，可以将f(rcosθ, rsinθ)展开为幂级数或三角级数的形式，然后通过对级数进行逐项积分来计算二重积分的结果。
在具体计算二重积分时，可以先对θ进行积分，然后再对r进行积分。
具体步骤如下：1.确定积分区域D的边界，即确定r和θ的取值范围。
2. 对θ进行积分，计算出∫f(rcosθ, rsinθ) dr。
3. 对r进行积分，计算出∫∫f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ。
4. 根据具体函数f(rcosθ, rsinθ)的形式，可能需要进行级数展开或其他数学方法来计算积分结果。
需要注意的是，在进行极坐标下的二重积分计算时，需要根据具体问题的要求来选择合适的数值计算方法，例如数值积分、级数展开、积分换序等。
总结起来，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定积分区域D的边界、将函数表示为极坐标下的形式、对θ进行积分、对r进行积分，最后根据具体函数形式计算积分结果。
9-2(2)利用极坐标计算二重积分
例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1} .
解 在极坐标系下
f ( x, y )dxdy
D
1 r cos sin
x2 y2 1
D
d
3 6
2 sin
4 sin 2 sin
4 sin
r 2 rdr
3
1 3 4 r 4 6
4 d 60 sin d
6
y
r 4 sin
2
3
3 15( ). 4 8
r 2 sin
1
6
o
x
请你动手做
第二节 二重积分的计算法（2）
一、问题的提出 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结 思考题
一、问题的提出
为什么引用极坐标计算二重积分
I
2
y
D: x y 1 和 x y 4
2 2 2
f ( x , y )dxdy D
DD 3 D1
0 1
之间的环域
怎么计算？
D2
2
x
D4
必须把D分块
3、选系
当积分域是圆或圆的一部分，或者区域 D 的边界方程 用极坐标表示比较简单，或者被积函数为 f ( x 2 y 2 )， y x f ( )， f ( )时，用极坐标计算较为简便 x y
4、选序 即要考虑积分区域（一般分块越少越好） 又要考虑被积函数（一般先积分的容易求， 并为后积分的作准备） 5、定限计算积分 注：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时， 一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。
第二节 二重积分的计算法
D : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
又 I = ∫ f ( y )dy ∫ xf ( x )dx − ∫ xf ( x )dx
2 2 0 0 0
1
D
1
1
∫
1
0
f ( y )dy
= ∫∫ xf ( x ) f ( y )[ f ( y ) − f ( x )]dxdy
D
于是， 于是，有 2 I = ∫∫ f ( x ) f ( y )( y − x )[ f ( x ) − f ( y )]dxdy
1 0
14
= ∫ f ( x )dx ∫ f ( y )dy = A2 .
0
1
f 且单减， 例11 设 f ( x ) ∈ c[0,1]， ( x ) > 0且单减，试证明
证
1 2 1 1 2
∫0 ∫ ≤ 01 1 ∫0 xf ( x )dx ∫0 f ( x )dx
xf ( x )dx
2
1
1
f 2 ( x )dx
I = ∫ dx∫
0
2
x2 2 0
f ( x, y)dy +∫
2 2
2
dx∫
8− x2
0
f ( x, y)dy
y
x2 + y2 = 8
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0 ≤ y ≤ 8 − x2 0 ≤ y ≤ 1 x2 2 D : , D2 : 1 0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 视为Y–型区域
D2
10
例7 计算 I = ∫ dy ∫
0
1
y
利用极坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分极坐标是平面直角坐标系的一种描述方式，它采用极径和极角来描述点的位置。
极坐标可以方便地描述圆形和对称图形，因此在解决部分二元函数相关问题时，可以使用极坐标进行计算，本文将探讨如何利用极坐标计算二重积分。
在平面直角坐标系中，二重积分是用来计算平面上某一区域内二元函数的积分值。
在极坐标中，圆形的面积可以被完美地描述为$r^2$，因此二重积分可以用$r$和$\theta$来表示。
在极坐标中，一个二元函数$f(x,y)$可以被表示为：$f(r\cos \theta,r\sin \theta)$。
同样地，二重积分中的区域也可以用$r$和$\theta$的方式表示。
对于一般的二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$，我们可以将其转化为极坐标下的形式：$\iint_D f(r\cos \theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。
对于上式中的$rdrd\theta$，在极坐标中可以被理解为区域的微小面积，它由收缩区间$d\theta$和虫蛉区间$dr$构成。
那么一个极坐标下的二重积分应该如何计算呢？下面我们来探讨一下具体步骤：Step1：确定求积区域。
首先需要确定要求的积分区域，根据具体情况，可以使用极坐标方程$r=f(\theta)$或$\theta=g(r)$来表示整个积分区域。
通常情况下，积分区域的形状和对称性都会决定使用哪一个极坐标方程。
Step2：计算微元面积。
在极坐标下，我们需要计算积分区域的微元面积，这个面积由$d\theta$和$dr$构成，可以使用微积分知识来计算。
Step3：建立积分式子。
确定了求积区域并计算微元面积之后，我们可以将积分式子建立起来，这个式子可以根据所求问题来确定。
Step4：推导积分结果。
根据积分式子，我们可以推导出中间的积分结果，这个过程通常需要使用到数学方法和公式，需要耐心和细心地推导。
Step5：计算积分值。
最后，我们需要计算出具体的积分值，这个过程可以使用计算器或者数学软件进行计算，一般需要注意精度和符号问题。
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它的底为xoy平面的区域D : 0 y
它的顶为柱面 z R2 x2 ,
故由二重积分的几何意义得：
R2 x2，0 x R, z
z R2 x2
V 8 R2 x2dxdy
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
0
0
R
80
(
R2
x
2
)dx
8(R2 x
1 3
x
3
)
R 0
16 R3 . 3
其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
提示
i
1 2
(
i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i
)i
i
i
(i
2
i )
i
i
i i i
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域iii的面1212((积ii为ii))22ii1212i2i2ii iiiiii 其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
y
0 R，0 .
R
I
2 d
R e 2 d
0
0
(1 eR2 ) .
2 2
0
1 (1 eR2 )d
2
o
4
y R2 x2
D Rx
例2. 求I
a
dx
a2 x2 ( x2 y2 )dy.
0
0
y
解： I ( x2 y2 )dxdy
a
y a2 x2
D
2 d
a 2 d
0
0
2
a 4 d
04
a4 .
8
D o
ax
例 3.求广义积分 . ex2 dx 0
e x2 y2 dxdy
D
解: 设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2，x 0，y 0},
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2，x 0，y 0},
S {(x, y) | 0 x R, 0 y R},
0
0
D
要求(1)或(2)就必须解决积分 et2 dt, o
Rx
而 et2 dt是存在的，但积不出来,
故在直角坐标下无法求 出该积分.
二、利用极坐标系计算二重积分
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族
同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域i的面积为 ii 1212((iiii))22ii1212i2i2ii iiiiii
在i 内取点 ( i ,i ) 设其直角坐标为( i i)
则则有有 iiiiccoossii,, iiiissininii.. 于于是是
n
n
lim
0 i1
f
(i ,i ) i
lim
0 i1
f
(i
cosi,
i
sin
i)i
ii
即
f (x, y)d f ( cos, sin)dd .
D
D
二、利用极坐标系计算二重积分
sinsin))dd.
.
DD
((22)) ff((ccooss, , sisnin))dddd0202dd00(()f) (f(cocsos,,sinsin))dd. . DD
例1. 求I e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解： 在极坐标下区域 D可表示为：
例1. 求I emax{ x2，y2 }dxdy，其中D {( x，y) 0 x 1，0 y 1}(02年).
D
解：I
emax{ x2，y2 }dxdy emax{ x2，y2 }dxdy
D1
D2
e x2dxdy e y2dxdy
D1
D2
1
dx
x e x2 dy
,
4
4
,
I2
4
4
,
I
4
所求广义积分
0
e
,
x2
dx
2
.
例4. 求 x2 y2d，其中D : x2 y2 2x，y 0.
D
y
解： 在极坐标下，区域D可表示为：
0 2cos，0 .
1.
极坐标与直角坐标的关系：
x y
cos sin
.
2. 极坐标下面积元素： d dd
3. 二重积分在极坐标下的变换公式：
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin )dd .
D
D
F(， )
4. 计算方法：.化为关于，的二次积分，
特别：
一般是先对，再对积分
如果积分区域可表示为
o y
xy
y R2 x2
D
o
Rx
例 求 e x2 y2 dxdy，其中D：x2 y2 R2，x 0，y 0.
D
解：如图D既是X型区域又是Y型区域. y
故 I
R
dx
e dy R2 x2 x2 y2 (1)
0
0
R
y R2 x2
或 I
R
dy
e dx R2 y2 x2 y2 (2)
D2
S
DSD1 2
显然有 D1 S D2 . e x2 y2 0,
R 2R
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R e x2 dx R e y2 dy ( R e x2 dx)2;
0
0
0
I1 D1
同理 I 2
(1Sex2y2
dxdy
2 d
R e
0
0
e x2 y2 dxdy (1
eD2
R
2
)
(
4 R e x2 dx)2
2 d
e2R2
(1
(1 e
4 ); I1
e 2R2 );
R
2
); I
I2,
当
4 R
时,
即( e x2 dx)2
0
0
I1
1
dy
y e y2 dx
0
0
0
0
D D2
D1
y x
1 xe x2 dx 1 ye y2 dy
0
0
1 e x2 2
1 0
1 e y2 2
1 0
e 1.
例2.求由柱面x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体体积.
解：由对称性得所求立体体 积为第一卦限部分体 积的8倍. 而第一卦限的部分立 体为一曲顶柱体，
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1) f ( x，y)d
D
b
dx
2 ( x) f ( x，y)dy
a
1( x)
(X型区域),
(2)
f ( x，y)d
b
dy
2 ( x) f ( x，y)dx (Y型区域).
D
a
1(x)
注：(1) 先画D的图形，再选择公式，
(2)积分顺序从右到左.
D 1()2() ab 则
f ( cos , sin )dd
D
bd
2( ) f ( cos , sin )d .
a
1 ( )
讨论 区域如下图, 如何确定积分限?
(1)
(2)
提示
((11) )
ff((ccooss,
, sisnin))dddd b bdd(()f) aa 0 0
(f(cocsos,,