03传热学第三章非稳态热传导

0
th(
m
H
)
3
实际散热量
7. f 假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量
8. 肋面总效率
0
Ar f Af
Ar Af
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4
第三章 非稳态热传导
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主要内容：
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分析 求解方法。包括：
1. 零维非稳态导热的集中参数分析法；
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4、分析解应用范围的推广及Fo、Bi对过程影响的讨论
应用范围：※加热与冷却过程 ※平板一侧绝热，一侧为第三类边界条件 ※平板两侧均为第一类边界条件且维持在相同温度
Fo数的影响： Fo∝τ,τ↑→Fo↑→θ↓
Bi数的影响： Fo数一定时， Bi↑→ θm / θ0 ↓ 当Bi→∞,第三类边界条件转化为第一类边界条件下的解 当Bi→0, 与集中参数法同解
(, 0
)
n1
Cn
exp(
2 n
FO
)
cos(
n
)
其中，
FO
a 2
,
x
Cn
n
2 sin n cos n sin
n
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n 为方程
tan
n
Bi
n
,n
1,2,
的根
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（2）圆柱 无量纲温度的分析解为
(, )
0
n1
Cn
exp( n2FO )J0 (n)
其中，
FO
a
R2
,
r R
Cn
—图线法（诺谟图法）
以无限大平板为例，Fo>0.2 时，取其级数首项即可
e (,
)
0
1
2 sin 1 sin 1 cos
1
12F0 cos(1 ) f (Fo, Bi, )
三个变量，因此，需要分开来画
根据简化表达式先绘出
再根据任意点与中心处 过余温度之比绘出
m ( ) f (Fo, Bi ) 0
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
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相当于第一 类边界条件
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任意时刻平板 内温度均匀
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书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
t t0 0 1 0
2
2 1
t
t t0 1 0 2 1
Bi
0Bi
Bi 0
Biv 准则数对无限大平壁温度分布的影响
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4、 无量纲数的简要介绍
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
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3、集中参数法的适用范围及应用举例
由
lc
V 可知
A
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厚 2 的平板 lc
圆柱 球
lc
R 2
lc
R 3
Bi 0.1 Bi 0.05 Bi 0.033
最大最小过余温 度之差小于5%
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生活例题：
厨师吹肉丝
一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100℃的热炒锅 中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65℃时再放入口中。 试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为 2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝之间
（lumped parameter method)
特点： 1 h
物体内部热阻可忽略， 温度与空间坐标无关
1、集中参数法温度场的分析解
c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
简化后可得
•
dt d c
边界上的换热量全部来自物体本身
•
VAh(tt)
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导热微分方程
cVddthA (tt) 13
λ=const
a=const h=const
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此半块平板的数学描写：
c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
导热微分方程 初始条件
t a 2 t
x2
t(x,0) t0
(0 x , 0)
(0 x , 0)
边界条件
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t(x, ) 0 x 0
x
t x
7
温度分布
4
t1
3
2
1
t0
0
非正规状况阶段（起始阶段）
※导热过程的阶段 正规状况阶段
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新的稳态
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2、导热微分方程解的唯一性定律
c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
初始条件 t(x, y, z,0) f (x, y, z)
通常
t t0
第三类边界条件
t n
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
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3、非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法
w
h
tw
tf
若某函数 t(x, y, z, )满足上述方程及初始、边界条
件，此函数为唯一解。
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3、第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
物体内部导热热阻：
表面对流换热热阻：1 h
特性长度 特征数 （准则数）
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毕渥数：Biv
1
h
h
10
0
21 3
t t0 0
始状态）。
t
t1
t1
初温t0
上升到tw
被 测 t2 介 质
热探针
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满足半无限大物体要求
t2
t0
end
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1、三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解
c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
控制方程 t a 2t ,0 x
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n 为方程 1 n cos(n ) Bi , n 1,2, 的根
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2、非稳态导热正规状况阶段分析解的简化
（1）非稳态导热正规阶段的物理概念与数学含义
三种几何形状分析解均有 n f (Bi)
当Bi一定，n↑, n↑迅速，
则分析解中时间影响部分
exp(
2 n
Fo)
随Fo增加而迅速衰减。
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§3.4 半无限大物体的非稳态导热
主要内容: ※半无限大 物体的定义 难点
( definition of semi-infinite body )
※半无限大物体在非稳态导热中的温度分布
( distribution of temperature in semi-infinite
exp(1) 0.368
0
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※ hA hV A2 cV A cV 2
hV
A
a
V A2
Biv Fov
方程中指数的量纲：
hA
Vc
W m2K
m2
kg m3
Jkg K
[
m3
]
w J
1 s
物体中的温度
呈指数分布
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0
t t t0 t
exp(Biv Fov )
Fo>0.2，只保留第1项与完整级数误差小于1%
相当于Cn=0（n≥2） 则三个分析解无穷级数的第1项即为正规状况阶段温度场的解。
t(, ) t f (Fo, Bi,)
0
t0 t
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（2）正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板
( , 0
)
1
2 sin 1 sin 1 cos
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（3）毕渥数与傅立叶数的物理意义
Bi hlc lc 1h
固体内部单位面积导热热阻 固体表面单位面积对流换热热阻
无量纲 热阻
Fo lc2 a
换热时间 边界热扰动扩散到lc2面积上所需要的时间
无量纲 时间
lc
V A
特征 长度
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点温度就越接近周围介质的温度。
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0ຫໍສະໝຸດ Baidud
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
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0 cV
1
exp
hA
cV
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（2） 时间常数
令
c
cV
hA
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
2. 一维非稳态导热的分析解法；
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6
§3.1 非稳态导热的基本概念
1、非稳态导热过程的类型及特点 类型：
（1）瞬态非稳态导热
（2）周期性非稳态导热
特点：
（1）非正规状况阶段
温度分布主要受初始温度分布控制
（2）正规状况阶段
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物体内初始温度分布消失，温度分布主要取决于边 界条件及物性，各点的温度变化具有一定的规律
2 l (t1
ln r2
t2)
r1
t1
t2 R
R ln r2 r1
2 l
ln d2
2l(t1 t4 )
d1 / 1 ln d3 d2 / 2 ln d4
d3 / 3
6.等截面直肋稳态导热
0
chm( x H )
ch(m H )
x0
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Ac0mth(mH )
hP m
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数， 比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似 的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一
般用符号 lc 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
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§3.2 零维问题的分析法—集中参数法
body in the unsteady heat transfer ) 重点
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半无限大物体指可以在如图所示的x轴正向及与x轴 垂直的上、下方向上无限延伸，且在与x轴垂直的截
面上温度均匀。
t tw
t0
x
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在一定的时间内，边界面处的温度扰动只能传播到
有限深度，在此深度以外，物体仍保持原有状态（初
0.0737
0
t t t0 t
e xp
hA cV
65 30 100 30
0.5
0.0737 ln 0.5
ln 0.5 / 0.0737 9.4s
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§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
1、三种几何形状物体的温度场分析解 （1）平板
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的表面传热系数为100W/(m2·K)。
鸡肉丝的 810kg / m3、c 3.35kJ /(kg K )、 1.1W /(m K )。
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解：∵ Biv
hl
100 2 103 1.1
/4
0.045
0.05
可以使用集中参数法
∵
h
cl
100 810 3.35103 2 103 / 4
引入过余温度 令 t t
cV d hA d
求通解 ln hA c cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
零维非稳态导热 温度场分析解
0
t t t0 t
exp
hA
cV
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2、导热量计算式、时间常数与傅立叶数
（1）导热量计算式
※瞬间换热量：
03传热学第三章非稳态热传导
3.边界条件 第一类边界条件：给定壁面温度 tw 第二类边界条件：给定壁面热流密度 qw
第三类边界条件：对流换热条件 h t f
4.无内热源平壁导热（单层和多层）
q (t1 t2 )
（单层）
q
tw1
tw(n1)
n i
（多层）
i1 i
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2
5.圆筒壁导热（单层和多层）
h(
t
t
)
x
对称性
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引入变量－－过余温度
令
( x, ) t( x, ) t
以上几式化为：
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a 2 (0 x , 0)
x 2
(x,0) 0 (0 x , 0) (x, ) 0 x 0
x
(x, ) h ( , ) x
x
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采用分离变量法可得分析解:
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(, ) (0, )
(, ) m ( )
cos( 1 )
与时间无关
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（3）一段时间间隔内所传导的热量计算式
从初始到平衡所传递 的热量（最大传热量）
考察热量的传递 Q0 cV (t0 t )
若令Q为从初始到某一时刻τ内所传递热量，则
Q cV [t0 t(x, )]dV 1
1
cos(1
x
) exp( 12Fo)
圆柱
(, ) 0
2
1
J
2 0
(
J1
1 )
( 1 )
J12
(1
)
exp(
12
Fo)
J
0
(
1
)
球
( , 0
)
2
sin( 1) 1 cos(1) 1 sin( 1) cos(1)
exp( 12Fo)
sin( 1) 1
以平板为例，正规状况阶段的任意时刻，任意处（ η ）与 平板中心处（ η=0.0）处的过余温度之比为
2
n
J1(n )
J
2 0
(n
)
J12
(n
)
n 为方程
n
J1(n ) J0 (n )
Bi , n
1,2,
的根
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（3）球 无量纲温度的分析解为
(,
0
)
n1
Cn
exp(
2 n
FO
)
1
n
sin(
n )
其中，
FO
a
R2
,
r R
Cn
2
sin( n ) n cos(n ) n sin( n ) cos(n )