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江苏省苏州市2021-2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题

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江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题

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江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b> 2．不等式(4)3x x -<的解集为A ．{}13x x x <>或 B ．{}04x x x <>或 C ．{}13x x << D ．{}04x x <<3．双曲线221916y x-=离心率为 A ．53 B ．54C ．73D ．744．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ．2212012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为A ．12B ．13C ．22D ．327．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是 A ．201斤 B ．191斤 C ．184斤 D ．174斤 8．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是 A ．(32-，43-](43，32] B ．(32-，43-][43，32) C ．[32-，43-)(43，32] D ．[32-，43-)[43，32) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A ．在△ABC 中，“B ＝60°”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B ．“x ＝1”是“x 2﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ＞0，使得x 2＋x ＋1＜0”，则p 的否定：“x ∀≤0，都有x 2＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅＝(1，2，3)，b ＝(3，0，﹣1)，c ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列等式中正确的是A ．()a b c b c ⋅=⋅B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．2222()a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a a =-(其中a 为常数)，则下列说法正确的是 A ．数列{}n a 一定是等比数列 B ．数列{}n a 可能是等差数列 C ．数列{}n S 可能是等比数列 D ．数列{}n S 可能是等差数列12．已知方程mx 2＋ny 2＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ，n ∈R ，p ＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，4，3)，b ＝(﹣2，t ，﹣6)，若a ∥b ，则实数t 的值为 ． 14．己知正实数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11x y+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为 ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （本题第一空2分，第二空3分）．第15题16．已知一族双曲线E n ：2221x y n n-=+(N n *∈，且n ≤2022)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，由A n 向E n 的两条渐近线作垂线，垂足分别为B n ，C n ．记△A n B n C n 的面积为n a ，则1232020a a a a ++++＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解下列不等式：（1）24120x x --≤；（2）223x x +<-． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为20000(cm 2)，设该铝合金窗的宽和高分别a (cm)，b (cm)，铝合金的透光部分的面积为S (cm 2)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少?20．（本小题满分12分）已知抛物线24x y =，过点P(4，2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ． （1）求k 的取值范围；（2）若△OMN 为直角三角形，且OM ⊥ON ，求k 的值． 21．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2 AF ＝t ，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1，求二面角A —DF —B 的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF SSS==．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率．（2）若2PAF S，12PF F S，1PBF S成等差数列，且∠F 1BO ≤30°，求直线PF 1的斜率的取值范围．。

数学-江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试卷(含答案)

数学-江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试卷(含答案)

苏州市2021－2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学 2022.01一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设i 为虚数单位，若复数(1－i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．22．设集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}，B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B 的元素个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知圆锥的高为6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 2 4．在△ABC 中，∠BAC ＝π2，点P 在边BC 上，则“AP ＝12BC ”是“P 为BC 中点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 3＋S 6＝15，则a 3a 3＋a 6＝A ．215B ．14C ．516D ．136．北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A ，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是A ．59B ．89C ．1718D ．35367．已知a ＞b ＋1＞1，则下列不等式一定成立的是A ．|b －a |＞bB ．a ＋1a ＞b ＋1b C ．b ＋1a －1＜e bln a D ．a ＋ln b ＜b ＋ln a8．若斜率为k (k ＞0)的直线l 与抛物线y 2＝4x 和圆M ：(x －5)2＋y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D 两点，且AC ＝BD ，则当△MCD 面积最大时k 的值为A ．1B ． 2C ．2D ．2 2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则(图1) (图2)A ．→EH ∥→FCB ．→AH ·→BE ＝0C ．→EG ＝→EH ＋→EFD ．→EC ·→EH ＝→EC ·→ED 10．下列命题正确的是A ．若z 1，z 2为复数，则|z 1z 2|＝|z 1|⋅|z 2|B ．若→a ，→b 为向量，则|→a ·→b |＝|→a |·|→b |C ．若z 1，z 2为复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0D ．若→a ，→b 为向量，且|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则→a ·→b ＝0 11．已知函数f (x )＝14x 3＋12ax 2＋1，则A ．∀a ∈R ，函数f (x )在R 上均有极值B ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在R 上无极值C ．∀a ∈R ，函数f (x )在(－∞，0)上有且仅有一个零点D ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在(－∞，0)上有两个零点12．甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2，2.4]内，则这五个点数A ．众数可能为1B ．中位数可能为3C ．一定不会出现6D ．出现2的次数不超过两次 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．记数列{a n }的前n 项积为T n ，写出一个同时满足①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ． ①{a n }是递增的等比数列；②T 3＝T 6．14．设点P 是曲线y ＝x －32ln x 上的任意一点，则P 到直线y ＝－x 的最小距离是 ．15．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点E 在C 上，则双曲线C 的离心率为 ．16．已知直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝BB 1＝2，D ，E 分别为棱A 1C 1，AB 的中点过点B 1，D ，E 作平面α将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为V 1，V 2(V 1＜V 2)，则V 2＝ ；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 在①MC ＝2MB ；②sin C ＝2114；③S △ABM ＝3这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝27，b sin B ＋C2＝a sin B ．(1)求A ；(2)若M 为边AC 上一点，且∠ABM ＝∠BAC ， ，求△ABC 的面积． (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a n ＋m ＝a n ＋d (m ∈N *，d 是不等于0的常数)对任意n ∈N *恒成立，则称{a n }是周期为m ，周期公差为d 的“类周期等差数列”．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：{a n }是周期为2的“类周期等差数列”，并求a 2，a 2022的值； (2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n ．19．(本小题满分12分)2021年8月国务院印发《全民健身计划2021－2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关?附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关?(2)为了推广全面健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元)．20．(本小题镇分12分)如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．(1)若AG//平面CEF，求线段CF的长；(2)若二面角A－BD－C的大小为30°，求CE与平面ABD所成角的大小．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线P A与直线PB的斜率之积为－14．记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点D(0，1)，直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G，记直线AQ的斜率为k1，直线GQ的斜率为k2，求证：k1－2k2为定值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(e x－1)－ln x．(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；(2)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)，求证：对任意n∈N*，a n＞a n＋1＞12n ．苏州市2021—2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学参考答案一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分． 每小题给出的四个选项中， 只多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得0 分．13． 5) (1>n a a - 14．15． 16． 726;69π四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解： (1)由条件 sinsin 2B C b a B += 得 sin 90sin 2A b a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以 cos sin 2A b a B =， 由正弦定理得 sin cos sin sin 2A B A B =， 又 ABC 中， sin 0B ≠， 所以 cos sin 2AA =， 即2sin cos cos 222A A A =，又 0180A <<， 所以 cos 02A ≠， 则 1sin 22A =， 所以 60A =．(2)由(1)得 60A =， 由条件 ABM BAC ∠∠= 可知 ABM 为等边 三角形， 若选①： 2MC MB =， 不妨设 ,2MB x MC x ==，在 BCM 中申余弦定理得 222244cos120x x x a +-=， 解得 2x =， 所以 2,4MA MB MC ===，ABC 的面积为11sin sin 22AB AM A MBMC BMC ∠⋅⋅+⋅⋅=；若选②sin C = 由止弦定理得 sin sin ac A C =， 解得 2c =， 由余弦远理 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，所以ABC 的而积为 1sin 2bc A =若选③， ABM S =， 由等边二角形 ABM 的面积为 ， 可得其边长为 2 ， 即 2c AB ==， 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，所以 ABC 的面积为 1sin 2bc A =18．(1)证明： 由 141,1n n a a n n ++=+= 时， 125a a +=， 所以 24a =，且 1245n n a a n +⋅+=+，两式相减得 24n n a a +-=， 所以 {}n a 是周期为 2 的 “类周期等差数列”，且周期公差为 4 ， 所以 ()2022220222244044a a =+-÷⨯=． (2) 因为 +1n n n b a a =-，所以 {}n b 的前 n 项和 11n n T a a +=-，由(1)得 {}n a 是周期为 2 ， 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”，所以当 n 为奇数时， 1n + 为偶数， ()12122422n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 21n T n =+；当n 为偶数时， 1n + 为奇数， ()11112421n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 2n T n = ；综上，*21,21,.2,2,n n n k T k n n k +=-⎧=∈⎨=⎩N19．解：(1)设 0H ：“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关．()()()()222()100(2501000)9.8907.879,50506535n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯ 则能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作：为主要健身方式” 与性别有关． 答： 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 标关．(2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人，则有男性： 2513565⨯= 人， 女性： 4013865⨯= 人， 设补贴金额为变量 X ， 则 X 的可能值为 1000,1500,2000．()()()211285852221313142051000,1500,2000393939C C C C P X P X P X C C C =========()142051000150020001385393939E X =⨯+⨯+⨯≈元 答： 补贴金额的数学期望是 1385 元．20．解： (1) 由 //AG 平面 ,CEF AG ⊂ 平面 ABD ， 平面 CEF ⋂ 平面 ABD EF =， 得 //AG EF ， 又 E 为线段 AB 的中点， 所以 F 是 BG 中点．因为 ABD 是边长为 2 的等边 三角形， G 为线段 BD 的中点， AG BD ⊥，BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形， 得 12FG =．连结 CG ， 得 CG BD ⊥ 且1CG =．Rt CFG 中，CF == (2)CG ⊥ ,BD AG BD ⊥， 作 AH ⊥ 而 AGC ， 垂足为 H ，由二面角 A BD C -- 的大小为 30 ， 得 AGH ∠ 为二面角 A BD C -- 的平面角， 30AGH ∠=，易求 32HG =， 在 AG 上取 Q 点， 使 13AQ AG =， 连接 CQ ， 以 C 为坐标原点，分别以 CB ，,CD CQ 为 ,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系．则 ())()0,0,0,,,C BD A ⎛ ⎝⎭，2,,884442E AD ⎛⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．设面 ABD 的法向量为 (),,x yz =n ， 由0,0.BD AD ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 令 1x =， 则 1,y z ==所以一个法向量(=n ，38cos ,2CE CE CE ⋅===n n n 则 ,,4CE π=n21．（1）解： 设 (),P x y ， 则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为1224y y x x ⋅=-+-， 且 2x ≠±，所化简得 221,24x y x +=≠±且，所以曲线 C 的方程为 221,24x y x +=≠±且．(2) 设 ()00,M x y ， 则 001:1y DM y x x -=+， 令 0y =， 则 001x x y -=-， 所以 00,01x G y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， ()001:2,:1,22y AM y x BD y x x =+=-++所以Q 点坐标满足 ()000000000244,2,222 41.1,222x y y x y x x y x y y y x x y ⎧-+⎧==+⎪⎪+++⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-+⎪⎪++⎩⎩解得 所以00000002444 ,,2222x y y Q x y x y ⎛⎫-+ ⎪++++⎝⎭所以()()()()00000200000000000044122244244122221y y y x y k x y x x y y x x y x y y -++==-+-+-++++++-()()000002220000000000041411,448484822y y y y y x y x y y y x y y y x ---===-++--++-++ 所以()()()()()00000001200000022221122222222y y x x y y y k k x y x x y x --++---=+=+--+-- 22000000002200000000224224124442482y x y x y x y x x x y x y x y x +--+--===-+--+--所以122k k -为定值1222．解：(1)()f x 的定义域为 ()0,∞+，()()1ln 1ln ln ,r re f x e x x-=--=()()()()()()2111,0,,11,0,0,x x x x x e e g x x g x x x h x x e x h x xe -+-'=>=='-+>=>令则令则 所以 ()()11x h x x e =-+ 在()0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时，()()()1100x h x x e h =-+>=，所以 ()0g x '>， 所以 ()1re g x x-= 在 ()0,∞+上单调递增，所以 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增．(2) 设 ()1,0xn x e x x =-->，则 ()10rn x e =->'，所以 ()n x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时 ()0n x >， 所以 0x > 时， ()()ln 1ln ln ln 0xf x e x x x =-->-=，故 ()10n n a f a +=>，11a =， 所以 ()()()()211ln 10,1a f a f e ===-∈， 所以 21a a <， 由(1)知 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 ()()21f a f a <， 即 32a a <， 以此类推， 则有 1n n a a +<，所以 10n n a a +<<，所以()112ln 1ln .11,2n n n a n n n n a a n n n e a a a a a a e e a ++--=>⇔>- 只需证明 01x << 时， 21x x xe e >-， 设 ()()21,0,1xx k x xe e x =-+∈，则 ()22221022x x x x x x x k x e e e e e '⎛⎫=+-=+-< ⎪⎝⎭， 所以 ()k x 在 ()0,1 上单调递减， 所以 ()()00k x k >=， 故 01x << 时， 21x x xe e >- 成立，所以 21n n a a na e e >-， 所以 112n n a a +>． ， 故 112n n a a +>， 所以 211111222n n n n a a a +-⎛⎫>>>>⎪⎝⎭． 综上所述， 对任意 *11,2n n n n a a +∈>>N ．。

江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题

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【市级联考】江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的焦点坐标为______．3．在平面直角坐标系xOy 中，三点()1,0A ，(),3B a ，()0,2C 共线，则实数a 的值为___．4．在平面直角坐标系xOy 中，方程22121x y k k +=--表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值范围是____．5．在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 在直线40x y +-=上，则OP 的最小值为______．6．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,2B ，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______．7．函数()xf x e x =-的单调递增区间为______．8．已知直线l ，m 及平面α，l α⊄，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的______条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) 9．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若“阳马”11B A ACC -的体积为320cm ，则“堑堵”111ABC A B C -的体积为______3cm ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和右焦点，点B ，C 分别是椭圆的上、下顶点.若AB CF ⊥，则该椭圆离心率为______．11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中，正确命题的序号是______.①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ③若m ⊂β，α∥β，则m ∥α.12．已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222(3)(4)x y r -+-=和点(0,A ，(B ，若在圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=，则半径r 的取值范围是______．14．若函数()()21()1f x x x a a =---+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是___．二、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD ，//AB DC ，4AD BC ==，8AB =， 6.DC =以A ，B 为焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过C ，D 两点．()1求双曲线的方程；()2写出该双曲线的离心率和渐近线方程．16．如图，AC ，DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ，N 分别是线段AC ，DF 上的点，且12AM MC =，12DN NF =．()1证明：//MN 平面BCF ； ()2证明：MN DC ⊥．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y ++-+=．()1若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l 的方程； ()2已知点()11,P x y 为直线26y x =-上一点，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，若PM =，求点P 的坐标．18．光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k 1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k 2(k 1,k 2均为正常数).如图，强度分别为8，1的两个光源A ，B 之间的距离为10，物体P 在连结两光源的线段AB 上(不含A ，B).若物体P 到光源A 的距离为x ．(1)试将物体P 受到A ，B 两光源的总照度y 表示为x 的函数，并指明其定义域； (2)当物体P 在线段AB 上何处时，可使物体P 受到A ，B 两光源的总照度最小？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>右准线方程为3x =()1求椭圆C 的标准方程；()2已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在第三象限内.M为椭圆C 的上顶点，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ．①若直线l 经过原点，且1254k k -=，求点A 的坐标； ②若直线l 过点()2,1--，试探究12k k +是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．20．已知函数()()()ln 12f x a x b x x =+--，其中a ，b R ∈．()1当1b =时，若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的值； ()2当1a =时．①若函数()f x 在区间()1,2上单调递增，求b 的取值范围；②若存在实数01x >，使得()00f x <，求b 的取值范围．参考答案1．2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题. 2．(2,0) 【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标． 【详解】抛物线y 2＝8x 的开口向右，P ＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）． 故答案为（2，0）． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题. 3．12-【解析】 【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a 的方程，解出即可． 【详解】 由题意得：3020101a --=--， 解得：a 12=-，故答案为12-．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题． 4．1k <或2k > 【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k ）（k ﹣1）＜0，解之可得k 的范围． 【详解】若方程22121x y k k +=--表示的曲线为双曲线，则（2﹣k ）（k ﹣1）＜0，即（k ﹣2）（k ﹣1）＞0， 解得k ＜1或k ＞2， 故答案为k ＜1或k ＞2． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k ）（k ﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5．【解析】 【分析】OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4＝0上， ∴OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离：d ==故答案为 【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．()2215x y +-= 【分析】求出线段AB 的中点为圆心，半径为12|AB |，再写出圆的标准方程． 【详解】A （﹣2，0），B （2，2），则以线段AB 为直径的圆的圆心为C （0，1），半径为r 12=|AB |12==∴所求的圆的标准方程为x 2+（y ﹣1）2＝5． 故答案为x 2+（y ﹣1）2＝5． 【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题． 7．()0,∞+ 【解析】 【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间． 【详解】函数f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f ′（x ）＝e x ﹣1， 由f ′（x ）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e 0， 解得x ＞0，故答案为（0，+∞）． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题． 8．必要不充分 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l ⊥α又m ⊂α，得：“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件，反之，当l //α时，α内仍有直线与l 垂直，得“l ⊥m ”时，可能直线l //α，所以不充分. 【详解】由“l ⊥α “则直线l 垂直平面α中的任意直线，又m ⊂α，则“l ⊥m ”，即“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件，反之，当l //α时，α内仍有直线与l 垂直，即“l ⊥m ”可能有l //α成立，所以“l ⊥m ”是“l ⊥α”的不充分条件，即“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要不充分条件， 故答案为必要不充分条件 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题. 9．30 【解析】 【分析】连接A 1，C ，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解． 【详解】 如图，连接A 1C ， 根据等底等高，易得：11111111B AA C B A C C A BCC A BC B V V V V ----===，∵B ﹣A 1ACC 1的体积为20cm 3， ∴ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为30cm 3， 故答案为30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10 【解析】 【分析】利用已知条件AB ⊥CF ，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点A ，F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的右顶点和右焦点，点B ，C 分别是椭圆的上、下顶点．若AB ⊥CF ， 可得：b a -•b c=-1，可得b 2＝ac ＝a 2﹣c 2，可得e 2+e ﹣1＝0，e ∈（0，1），解得e 12=．故答案为12．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力． 11．③ 【解析】 【分析】在①中，m 与n 相交、平行或异面；在②中，n ∥α或n ⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m ∥α． 【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在①中，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故②错误；在③中，若m ⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m ∥α，故③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．2ln2+ 【分析】根据题意，设切线的坐标为（m ，lnm +m ），求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1，代入化简得到lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m++1，求出g ′（m ），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g （m ）的最小值，即可得答案． 【详解】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m =+1， 则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y ＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1， 则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=， 在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2； 故答案为ln 2+2． 【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13．2⎡⎤⎣⎦【分析】点A （0，，B （0，求出点P 的轨迹方程，使得∠APB ＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r 的取值范围． 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，，B （0，使得∠APB ＝60°，可知P 在以AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在AB 的中垂线即x 轴上，半径为：12=2，由垂径定理可得圆心到y 轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0） 则P 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝22， 或：（x +1）2+y 2＝22，已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝r 2，若在圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝60°，≤r +2，并且2r -≤r ∈[2，2]．故答案为[2，2]． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14．,1122⎛⎛⎫-∞-⋃++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可． 【详解】f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣a ）2﹣a +1，∴f ′（x ）＝（x ﹣a ）（3x ﹣a ﹣2） 令f ′（x ）＝0，解得x ＝a 或x 23a +=， ∵f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣a ）2﹣a +1有三个不同的零点， ∴f （x ）极大值f （x ）极小值＜0，∴f （a ）f （23a +）＜0， 即（﹣a +1）[（23a +-1）（23a +-a ）2﹣a +1]＜0， 整理可得（a ﹣1）2（24(1)2727a --）＞0，即4（a ﹣1）2﹣27＞0且a 1≠,解得a ＜1或a ＞1故答案为（﹣∞，1）∪（1，+∞） 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、解决问题的能力．15．（1）221412x y -=（2）离心率2e =,渐近线方程为y =【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A ，B ，C ，D 的坐标，可得CA ，CB 的距离，由双曲线的定义可得a ，再由a ，b ，c 的关系可得b ，即可得到双曲线的方程； （2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求． 【详解】（1）因为等腰梯形ABCD ，AB DC ，4AD BC ==，8AB =，6DC =.所以()4,0A -，()4,0B ，(C ，(3,D .所以8CA ==，4CB ==. 因为24a CA CB =-=，所以2a =.又因为A ，B 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦点，所以28c AB ==，所以4c =.所以b ==.所以双曲线的方程为221412x y -=.（2）由（1）知，24a c ==，，所以双曲线的离心率2ce a==.又b =双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取DC的三等分点P，通过平面MNP∥平面FCB可得线面平行；（2）利用DC垂直平面FBC，得到CD⊥平面MNP，易证．【详解】(1)取DC的三等分点P，使DP12PC =，∵12AM MC=，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵12DN NF=，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础题．17．（1）10x y ++=或30x y +-=；（2）点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0. 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM 2＝PC 2﹣MC 2，又由PM =，则2PO 2＝PC2﹣MC 2，代入点的坐标变形可得：x 12+y 12﹣2x 1+4y 1﹣3＝0，①，又由点P （x 1，y 1）为直线y ＝2x ﹣6上一点，则y 1＝2x 1﹣6，②，联立①②，解可得x 1的值，进而计算可得y 1的值，即可得答案． 【详解】（1）将圆22:2430C x y x y ++-+=化标准方程为()()22122x y ++-=，所以圆心()1,2C -，半径r =又因为圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零， 所以设切线l 的方程为0x y a +-=.因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=解得：1a =-或3a =.所以切线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=.（2）因为PM 为切线且M 为切点，所以222PM PC MC =-.又因为PM =，所以2222PC MC PO -=.又因为()11,P x y ，()0,0O ，MC r ==所以()()()222211111222x y x y ++--=+，化简可得：2211112430x y x y +-+-=①；因为点P 在直线26y x =-上，所以1126y x =-②.联立①②可得：22111111243026x y x y y x ⎧+-+-=⎨=-⎩，消去1y 可得：21151890x x -+=，解得135x =或13x =. 将135x =代入②可得：1245y =-，所以点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.将13x =代入②可得10y =，所以点P 的坐标为()3,0. 综上可知，点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0. 【点睛】本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题． 18．（1）y =8k 1k 2x +k 1k 210−x ，x ∈(0,10)；（2）在连接两光源的线段AB 上，距光源A 为203处.【解析】 【分析】（1）求出P 点受A 光源的照度，P 点受B 光源的照度，求和即可；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可． 【详解】（1）因为物体P 到光源A 的距离为x ，所以物体P 到光源B 的距离为10−x . 因为P 在线段AB 上且不与A ，B 重合，所以0<x <10.因为光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比. 所以P 点受A 光源的照度为：8k 1k 2x 2，P 点受B 光源的照度为：k 1k 2(10−x )2， 所以物体P 受到A ，B 两光源的总照度y =8k 1k 2x 2+k 1k 2(10−x )2，x ∈(0,10).（2）因为f (x )=8k 1k 2x 2+k 1k2(10−x )2，x ∈(0,10). 所以f ′(x )=−16k 1k 2x 3+2k 1k 2(10−x )3=2k 1k 2(3x−20)(3x 2−60x+400)x 3(10−x )3. 令f ′(x )=0，解得x =203.当0<x <203时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,203)上单调递减； 当203<x <10时，f ′(x )>0，所以在(203,10)上单调递增. 因此，当x =203时，f (x )取得极小值，且是最小值.所以在连接两光源的线段AB 上，距光源A 为203处，物体P 受到光源A ，B 的总照度最小. 【点睛】本题考查了函数模型中求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19．（1）2214x y +=；（2）①83,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②为定值1. 【分析】（1）由已知列关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆C 的标准方程可求；（2）①设A （x 1，y 1），M （0，1），由椭圆对称性可知B （﹣x 1，﹣y 1），由点A （x 1，y 1）在椭圆上，得到221114x y -=-，求出k 1•k 2，结合k 1﹣k 254=，可得k 1＝1，则直线MA 的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A 的坐标；②直线l 过点（﹣2，﹣1），设其方程为y +1＝k （x +2），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k 1+k 2是定值． 【详解】（1x =所以223c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩.又因为1b =.所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为椭圆的上顶点，则()0,1M . ①因为直线l 经过原点，由椭圆对称性可知()11,B x y --.因为点()11,A x y 在椭圆上，所以221114x y +=，即221114x y -=-.因为1111y k x -=，2122111y y k x x -+==.所以211112211111114y y y k k x x x -+-=⨯==-. 所以12125414k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12114k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12141k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. 因为点A 在第三象限内，所以112k >，所以11k =，则直线MA 的方程为1y x =+. 联结方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得1101x y =⎧⎨=⎩或228535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以83,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（解出11k =，214k =-，也可根据11111y k x -==，121114y k x +==-，求出点A 的坐标）②直线l 过点()2,1--，设其方程为()12y k x +=+.联列方程组221421x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，消去y 可得（4k 2+1）x 2+8k （2k ﹣1）x +16k （k ﹣1）＝0．当0∆>时，由韦达定理可知()12282141k k x x k -+=-+，()12216141k k x x k -=+.又因为()()()12111212121212121221112x y x y x x k x x y y k k k x x x x x x +-+-+--+=+==+()()()()21821 22121161k k k k k k k k ⎡⎤-⨯--⎣⎦=+=+-=-.所以12k k +为定值1. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，其中第二问关键是体现椭圆的对称性并能用坐标表示，考查计算能力，是中档题． 20．（1）-2；（2）①1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②()(),01,-∞⋃+∞. 【分析】(1）代入b 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a 的值即可；（2）代入a 的值，①求出函数的导数，通过讨论b 的范围求出函数的单调区间，从而确定b 的范围即可；②通过讨论b 的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b 的范围即可． 【详解】（1）当1b =时，因为()()()ln 12f x a x x x =+--，所以()23af x x x+'=-. 因为()f x 在2x =处取得极小值，所以()20f '=，解得：2a =-. 此时，()()()212223x x f x x x x+-=-+-='， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()f x 在2x =处取得极小值. 所以2a =-符合题意.（2）当1a =时，因为()()()ln 12f x x b x x =+--，所以()()2123123bx bx f x b x x x-+=+-='.令()2231g x bx bx =-+.①因为()f x 在()1,2上单调递增，所以()0f x '≥在()1,2上恒成立， 即()0g x ≥在()1,2上恒成立.1︒当0b =时，则()1g x =，满足题意.2︒当0b ≠时，因为()g x 的对称轴为314x =<， 所以()()1020g g ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得102b -≤<或01b <≤.综上，实数b 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ②1︒当0b =时，()ln f x x =，与题意不符.2︒当0b ≠时，取013x b=-，则01x >. 令()ln 1h x x x =-+，则()11h x x'=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()()10h x h ≤=，即ln 1x x ≤-.所以()()()()()()0000000ln 12112210f x x b x x x b x x b =+--≤-+--=-<， 所以0b <符合题意.3︒当01b <≤时，因为()2231g x bx bx =-+在()1,+∞递增且()110g b =-≥所以()()0g x f x x='≥在()1,+∞上恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=恒成立，与题意不符.4︒当1b >时，因为()110g b =-<，()2210g b =+>，由零点存在性原理可知，存在()11,2x ∈，使得()10g x =，所以当()11,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 取011x x =>，则()()010f x f <=，符合题意. 综上可知，实数b 的取值范围为()(),01,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查了不等式有解问题，关键是转化为求解最小值，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，属于较难题型.。

2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析

2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析

2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ） A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝93．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513) B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513)D ．(−3，−1513)∪(1513，3)4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ）A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ）A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）解：因为向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3）， 则p →=a →−2b →+3c →，设向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（x ，y ，z ）， 则p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 所以{x +y =1x −y =−2z =3，解得x =−12，y =32，z =3，所以向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为(−12，32，3)． 故选：A ．2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝9解：易知圆心C 1与圆心C 关于直线y ＝x 对称，且两圆半径相等， 方程x 2+y 2+6x ＝0可化为：（x +3）2+y 2＝9，故C 1（﹣3，0），半径为3，结合两点关于y ＝x 对称，则它们的横纵坐标互换，可知C （0，﹣3），半径r ＝3， 故圆C 方程为x 2+（y +3）2＝9． 故选：A ．3．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513)B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513) D ．(−3，−1513)∪(1513，3) 解：设A （m ，y 0），则B （m ，﹣y 0），且|m |＜3，则y 02＝4（1−m 29），所以|y 0|=23√9−m 2，A 2（3，0），当∠AA 2B 为钝角时，则∠AA 2O ＞45°， 所以|y 0|＞3﹣m ，即23√9−m 2＞3﹣m ，|m |＜3，整理可得：13m 2﹣54m +45＜0， 解得：1513＜m ＜3，故选：B ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ，又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交， 则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(b√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =ca =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55，∴tan∠FMC =FC CM =2√55=√52，选项B 正确； 取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49， ∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ，则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中， 由题意可得tan θ=b 2aa+c=√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ），即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33． 故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件： （1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3．（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3，∴2c＝2√3，即c=√3，∵a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的离心率为e=ca=√32，椭圆方程为x24+y2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x＝my−√3，两交点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2），设线段AB为直径的圆与y相切于点D，由{x=my−√3x24+y2=1，消去x得：（m2+4）y2﹣2√3my﹣1＝0，∴y1+y2=2√3m4+m2，y1y2=−14+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2√3=−8√34+m2，所以AB的中点到y轴的距离d=|x1+x2|2=4√34+m2，所以弦长|AB|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4•1+m2 4+m2=2d=8√34+m2，解得m2＝2√3−1，所以m＝±√2√3−1直线方程为x=√2√3−1y−√3，或x=−√2√3−1y−√3，即x−√2√3−1y+√3=0或x+√2√3−1y+√3=0．18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=2a−2√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分）故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分） 19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34，所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=2√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=4√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133． 22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。

江苏省苏州市高二数学上学期学业质量阳光指标调研卷试题(含解析)

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高二数学2019.1 一、填空题：本大题14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．1.命题“”的否定是_______________.【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.2.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标．【详解】抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，三点，，共线，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．【详解】由题意得：，解得：a，故答案为：．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．4.在平面直角坐标系中，方程表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得k的范围．【详解】若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1或k＞2，故答案为：k＜1或k＞2．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5.在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d2．故答案为：2．【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系中，，，则以线段为直径的圆的标准方程．．．．为______. 【答案】【解析】【分析】求出线段AB的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程．【详解】A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r|AB|，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．7.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．【详解】函数f（x）＝e x﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线，及平面，，，则“”是“”的______条件.（请用“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”，“既不充分也不必要”填空）【答案】必要不充分【解析】【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥又m⊂，得：“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，得“l⊥m”时，可能直线l，所以不充分.【详解】由“l⊥“则直线l垂直平面中的任意直线，又m⊂，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，即“l⊥m”可能有l成立，所以“l⊥m”是“l⊥”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题.9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱：“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______.【答案】30【解析】【分析】连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解．【详解】如图，连接A1C，根据等底等高，易得：，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆（）的右顶点和右焦点，点，分别是椭圆的上、下顶点.若，则该椭圆离心率为______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力．11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列命题中，正确命题的序号是______.①若，，则；②若，，则；③若，，则.【答案】③【解析】【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m∥α．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知是函数的切线，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1，b＝lnm﹣1，则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系中，已知圆和点，，若在圆上存在点，使得，则半径的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】点A（0，），B（0，），求出点P的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r的取值范围．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为：2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0）则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．故答案为：[2，42]．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）。

江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期学业质量阳光指标调研(期末)数学试卷含答案

江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期学业质量阳光指标调研(期末)数学试卷含答案

苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高 二 数 学2023.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S , 且{}n S 是等比数列，且11a =，32a =，则5a =A ．16B ．4C ．8D ．182．直线40x +=的倾斜角是A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3．设数列{}n a 各项非零，且平面α的法向量为32(,,0)a a =−n ，直线l 的方向向量为67(,,)n a a a =m ，则“数列{}n a 为等比数列”是“平面α平行于直线l ”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．记椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点和右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A . 过F 1且倾斜角为30°的直线l 与椭圆的一个交点为B ，且B 在x 轴上的投影为F 2. 连接AB ，AB 的方向向量)3=−v ，则椭圆的离心率为A ．12B ．2C ．35D ．35．如图，正方形1111A B C D 的边长为14 cm ，A 2，B 2，C 2，D 2依次将A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1分为3:4的两部分，得到正方形2222A B C D ，依照相同的规律，得到正方形3333A B C D 、4444A B C D 、…、n n n n A B C D . 一只蚂蚁从A 1出发，沿着路径A 1A 2A 3…A n 爬行，设其爬行的长度为x ，K 为正整数，且x 与K 恒满足不等式x ≤K ，则K 的最小值是（第5题图）A ．19B ．20C ．21D ．226．已知数列{}n a ，且12a =，记其前n 项和为S n . 若n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，则S 100＝A ．200B ．20200C ．10500D ．101007．如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像. 已知圆柱O 1O 2的轴线在Oyz 平面内且平行于x 轴，圆锥与圆柱的高相同. AB 为圆锥底面圆的直径，2AB =，且2AB OS =. 若O 1到圆O 所在平面距离为2. 若AO 1⊥BO 2，则SO 1与SO 2夹角的余弦值为（图1） （图2）（第6题图）A．65B．13C．65D ．188．在写生课上，离身高1.5 m 的絮语同学不远的地面α上水平放置着一个半径为0.5 m 的正圆C ，其圆心C 与絮语同学所站位置A 距离2 m. 若絮语同学的视平面π⊥α，π⊥AC ，且ACD π=，1CD =m ，则絮语同学视平面上的图形的离心率为A ．56B．5C．6D ．35二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知直线1:230l kx y k +−+=，2:340l x ky k −+−=，设两直线分别过定点A 、B ，直线1l 和直线2l 的交点为P ，则下列结论正确的是A ．直线1l 过定点(2,3)A −，直线2l 过定点(4,3)B B ．0P P B A ⋅=C ．△P AB 面积的最大值为5D ．若(1,0)C −，(1,0)D ，则P恒满足|||PD PC =10．设平面直角坐标系中，双曲线Γ :2231x y −=的左焦点为F 1，且与抛物线C :28y x =有公共的焦点F 2. 若P 是C 上的一点，下列说法正确的是 A ．Γ 和C 不存在交点B ．若(2,4)P ，则直线F 1P 与C 相切C ．若△F 1PF 2是等腰三角形，P 的坐标是(4,4)D ．若∠F 2PF 1＝90°，则P的横坐标为25−+11．Farey 数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用。

江苏省苏州市2021届高二上学期数学期末教学质量检测试题

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江苏省苏州市2021届高二上学期数学期末教学质量检测试题一、选择题 1．函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A. B.C. D.2．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A.①③B.①②③C.②D.①②3．下列说法正确的是 ( )A ．“若2x 1=，则x 1=，或x 1=-”的否定是“若2x 1=则x 1=，或 x 1≠-”B ．a,b 是两个命题，如果a 是b 的充分条件，那么a ⌝是b ⌝的必要条件．C ．命题“0x R ∃∈，使 得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有 2x x 10++<”D ．命题“ 若αβ=，则sin αsin β=”的否命题为真命题. 4．下列命题中，不是真命题的是（ ） A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题. B.“1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件. C.命题“若29x =，则3x =”的否命题. D.“1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ） A ．为真命题 B ．为真命题 C ．为真命题 D ．为真命题7．要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位8．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ ）A ．D 、E 、FB ．F 、D 、EC ．E 、F 、D D ．E 、D 、F9．已知正方体ABCD-A B C D 中,E 、F 分别为BB 、CC 的中点,那么异面直线AE 与D F 所成角的余弦值为( ) A.45 B.45- C.35D.3510．已知函数31(),f x x a x e e ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦e （是自然对数的底数)与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.30,e 4⎡⎤-⎣⎦ C.31,3e ⎡⎤-⎣⎦D.)3e 4,,∞⎡-+⎣11．如果函数323y x x ax =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A.()3,+∞ B.[)3,+∞C.(),3-∞D.(],3-∞ 12．已知集合 ，，则（ ） A.B.C.D.二、填空题13．执行如下图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为____．14．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是_____．15．已知A是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C P于、Q两点，若APQ∆是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为________.16．双曲线的渐近线方程为三、解答题17．设命题函数在上是减函数，命题函数的定义域为全体实数，如果是真命题，求实数的取值范围.18．已知过点且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线上的任意一点与两点连线的斜率之积为．（1）求曲线的方程；（2）过原点作射线，分别平行于，交曲线于两点，求的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点，设线段的中点为．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为（其中为坐标原点）且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点，使得当直线运动时，为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．20．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.21．某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取人进行统计（已知这个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为．（）补全频率分布直方图；（）根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数；（）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本，从样本中任意抽取位男生，求这两位男生身高都在内的概率．22．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.(Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B A A A B B C C C A二、填空题13．1514．15．216．三、解答题17．【解析】试题分析：分别讨论真，真时的值，再根据是真命题，进而求得实数的取值范围解析：若真，则，即若真，则，解得，是真命题，∴真真，∴.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出圆C的方程，再利用直接法求曲线的方程.(2) 设，射线的斜率为，则射线的斜率为,求出，再换元求其取值范围.详解：（1）∵圆过点，，∴圆心在直线上，又圆心在直线上，∴当时，，即圆心为.又与的距离为，∴圆的方程为.令，得.不妨设，，由题意可得，，∴,∴曲线的方程为：()．（2）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.解得，∴．同理，…9分∴．设，则，∴，又∵，∴.点睛：（1）本题主要考查圆的方程的求法，考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是利用换元后利用函数求的取值范围. 19．（1）；（2）存在点，或，，使得为定值．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由于已知离心率为，这样可得，从而可得，从而可设可椭圆方程为，再把椭圆上点的坐标代入可解得，得椭圆方程；（2）由题设结论可知中点的坐标适合一个椭圆方程，即点在椭圆上，那么题中要求的定点就是椭圆的焦点．实质上从问题出发，就让我们想到点应该在某个椭圆上．因此从这方面入手，就要求的轨迹方程，因此我们从已知出发先找出参数的关系，再求出弦中点的坐标（用表示），然后消去参数可得．具体方法：由直线方程，与椭圆方程联立方程组，消去后得的一元二次方程：，已知保证，即直线与椭圆一定相交，设，可得，于是有，从而点的坐标，由直线圆锥曲线相交弦长公式可得弦长，由点到直线距离公式可得原点点到直线的距离为，利用的面积为可得满足的关系：，试题解析：（1）由于椭圆的离心率为，则，故椭圆：又椭圆过点，从而，从而椭圆的方程为．（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，联立方程，得，则从而，从而点的坐标为由于，点到直线的距离为，则的面积由题得：，从而化简得：故，即或，又由于，从而．当时，由于，，从而即点在椭圆上．由椭圆的定义得，存在点，或，，使得为定值．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合．20．（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数g′（x）=，得当时，；当时，且，从而得单调性；（2）由在上恒成立，得，从而，故当，即时，，即可求解.试题解析：（I）由已知得函数的定义域为,函数,当时,，所以函数的增区间是;当且时,，所以函数的单调减区间是, .....6分（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．21．（1）见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全直方图；（2）借助加权平均数的计算公式建立方程求解；（3）先借助分层抽样的特征求出第四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算公式求解：解：（1）第六组与第七组频率的和为：∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为，则∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种，因此所求事件的概率为．22．（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件【解析】【分析】(Ⅰ)由命题A为真命题，解得，再由椭圆的长轴长为短轴长的2倍，列出方程即可求解. （Ⅱ）由(Ⅰ)命题成立的条件为，根据一元二次不等式解法，求得命题成立的条件为，再利用充要条件的判定方法，即可求解.【详解】(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，∴实数的值为.（Ⅱ）命题成立的条件为.由，得，∴命题成立的条件为，，∴命题是命题的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，即充分不必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，以及合理利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.。

江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研数学试卷 含答案

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江苏省苏州市2020—2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．命题“∀x ∈R ，210x x −+>”的否定为A ．∀x ∈R ，210x x −+≤B ．∀x ∈R ，210x x −+<C ．∃x ∈R ，210x x −+≤D ．∃x ∈R ，210x x −+< 2．已知复数z ＝﹣i(1＋2i)(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2 3．不等式(5)(32)6x x +−≥的解集为A ．912x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或B ．912x x ⎧⎫−≤≤⎨⎬⎩⎭C ．912x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或D ．912x x ⎧⎫−≤≤⎨⎬⎩⎭4．若0＜b ＜1，则“a >是“a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即md k=，其中d 是距离（单位cm ），m 是质量（单位g ），k 是弹簧系数（单位g/cm ）．弹簧系数分别为1k ，2k 的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+，并联时得到的弹簧系数k 满足k ＝1k ＋2k ．已知物体质量为20g ，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为A ．14cmB ．12cm C ．1cm D ．2cm6．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 与焦点F 的距离为10，点M 到x 轴的距离为2p ，则p 的值为A ．1B ．2C ．4D ．8 7．若正整数m ，n满足4321n n n n ++<++，则所有满足条件的n 的和为 A ．6 B ．4 C ．3 D ．18．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如2115315=+，71112962458=+++ 1187232+，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记21111101606x y z=+++，其中x ，y ，z 是以101为首项的等差数列，则y ＋z 的值为A ．505B ．404C ．303D ．202二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．早在古巴比伦吋期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z −=的根的是A ．12+ B ．12−+ C ．12−− D ．1 10．已知a ＞b ＞0＞c ＞d ，则A ．a c b d −>−B ．ad bc >C ．b b c a a c −<−D ．22c d a b<11．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2214y x −=与直线y kx m =+(k ≠±2，m ∈R)有唯一的公共点，则动点P(k ，m )与定点Q(0，2)的距离可能为A ．2BC ．D ．3 12．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和1n n S pa r +=+(n N *∈，p ＞0)． A ．数列{}n a 的公比为p B ．数列{}n a 为递增数列 C ．1r p =−− D ．当14p r−取最小值时，13n n a −=三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝3＋4i （i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 14．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则12ab a b++的最小值为 ． 15．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R 0＝3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）（本小题第一空2分，第二空3分）16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，过O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2，1)，则椭圆C 的方程为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b +=与双曲线22221x y a b−=的离心率分别为1e ，2e ，其中a ＞b ＞0．（1）求2212e e +的值； （2）若双曲线渐近线的斜率小于2，求1e 和2e 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知不等式ax 2＋(3﹣a )x ﹣3b ＜0(a ，b ∈R)的解集为A ＝{}31x x −<<． （1）求实数a ，b 的值；（2）设22()2ax bx f x x +−=−(x ∈A)，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．19．（本小题满分12分）在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ， ．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =，求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 20．（本小题满分12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C 1的部分和椭圆C 2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy 中，C 1：x 2＝2py (p ＞0)和C 2：22221y x a b+=(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，F 1是公共焦点，1OF ＝1，1AF ＝53（如图2）．（1）求C 1和C 2的方程；（2）过点F 1作直线l 与“W”形状曲线依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CF DE λ=，求实数λ的取值范围．已知数列{}n a 满足11a =，112(1)n n a a n+=+(n N *∈)．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，称数列{}n b 是数列{}n a 的“中程数数列”．①求“中程数数列”{}n b 的前n 项和n S ；②若m k b a =(m ，k N *∈且m ＞k )，求所有满足条件的实数对(m ，k )． 22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，过原点O 的直线交该椭圆于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点E(4，0)．当直线AB 垂直于x 轴时，AE =（1）求a ，b 的值；（2）设直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．①若OC ∥BE ，求△ABE 的面积；②是否存在x 轴上的一定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省苏州市2020—2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案1．C 2．D 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A9．BCD 10．CD 11．BCD 12．BD1314．4 15．64，6 16．221 306x y+=17．18．19．20．21．22．。

江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研试题 数学含解析

江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研试题 数学含解析

苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学（答案在最后）2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b b c b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故1217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得3k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <。

2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年江苏省苏州市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【正确答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，23CO CG ∴==AO ∴∴该正四面体的高为3．故3．3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为.354．若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【正确答案】0x =【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l 的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故0x -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得122O A ''=⨯则122A B C S '''=⨯故答案为6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【正确答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a=====.本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【正确答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒122sin 602⨯⨯⨯︒=三棱台的体积为1713412⎛⨯⨯= ⎝.故1210．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=，此时直线弦长为最小值=故答案为.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【正确答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故8π．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【正确答案】22⎡⎣【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23，最大值为23，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤+⎣⎦.故23,23⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最小值为A ．22-B ．12C ．22+D ．1【正确答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅ 的最小值为12.向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题【正确答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A ．1,22⎤⎢⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．142⎤⎥⎣⎦D ．4⎣⎦【正确答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢=，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即111C D <£，则所求面积即1111111111,262A B C D S A B C D ç=鬃ç棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，1C E h ==②当平面ABD α 时，1C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故122C E＃，则所求面积即11111112A B C S A B C E =鬃臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎥⎣⎦.故选：D 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x-+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【正确答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【正确答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x=-设00(,2)(0)Q x x >5=及图，得04x =，()42Q ∴，.（2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC =(3)1arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =-- ，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =- ，111010D E B C ⋅=-++= ，所以11B C D E ⊥.（2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z = ，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=- ，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.（3）()0,2,0AB = ，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z = ，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则2221sin 255m AB m AB t t θ⋅===⋅⨯++ ，由于22202,04,559,553t t t t ≤≤≤≤≤+≤≤+≤，所以2115sin ,355t θ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y (1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；(3)求直线AB 倾斜角的最小值.【正确答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为arctan 2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()，若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m k x -'==-，所以k k'为定值．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=+，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----==++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y kk kx x k k-+⎛⎫===+⎪-⎝⎭．由0m>，00x>，可得0k>，所以16kk+≥16kk=，即6k=时，取得等号，=m=所以直线AB斜率的最小值为2AB倾斜角的最小值为arctan2．。

苏州市2021-2022学年高二上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题(含答案)

苏州市2021-2022学年高二上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题(含答案)

苏州市2021－2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1. 直线 03x π-= 的倾斜角为A ． 0B ．3π C ． 2π D ． 23π 2. 已知平面 α 的一个法向量为 ()()2,2,4,1,1,2AB =-=--n ， 则 AB 所在直线 l与平面 α 的位置关系为A ． l α⊥B ． l α⊂C ． l 与 α 相交但不垂直D ． //l α3. 若数列 21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列， 1311,3a a ==-， 则 5a = A ． 79- B ． 35- C ． 35D ． 794. 已知抛物线 22(0)y px p => 的焦点为 F ， 准线为 ,l M 是抛物线上一点，过点M 作 MN l ⊥ 于 N ． 若 MNF 是边长为 2 的正三角形， 则 p =A ．14B ． 12C ． 1D ． 25. 如图， 在平行六面体 1111ABCD A B C D - 中， AC 与 BD 的交点为 M ． 设11111,,A B A D A A ===a b c ， 则下 列向量中与 1B M 相等的向量是A ． 1122--+a b cB ． 1122-++a b c C ． 1122-+a b c D ． 1122++a b c 6. 椭圆 2213x y += 上的点 P 到直线 290x y +-= 的最短距离为A ．B ．C ．D ． 5 7. 若数列 {}n a 满足 21321111222n n a a a a a a --<-<<-<， 则称数列 {}n a 为“半差递增” 数列． 已知 “半差递增” 数列 {}n c 的前 n 项和 n S 满足()*221n n S c t n N +=-∈， 则实数 t 的取值范围是 A ． 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． (),1∞-C ． 1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． ()1,∞+ 8. 已知线段 AB 的端点 B 在直线 :5l y x =-+ 上，端点 A 在圆221:(1)4C x y ++= 上运动， 线段 AB 的中点 M 的轨迹为曲线 2C ， 若曲线 2C 与圆 1C 有两个公共点， 则点 B 的横坐标的取值范围是A ． ()1,0-B ． ()1,4C ． ()0,6D ． ()1,5-二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。

江苏省2022学年高二数学上学期期末考试试题 (2)

江苏省2022学年高二数学上学期期末考试试题 (2)

第一学期期末调研测试试题高 二 数 学（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ．2. 已知直线l 过点()()1120A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为 /m s ．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 个.5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为 ．6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值 是 ．7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：()1240a x ay +++=垂直”的 条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ．9. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是 ．10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上 抛两次，则两次看不到．．．的数字都大于2的概率为 ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线 的渐近线方程为 ．（第6题）12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不 等式()3281f x x <+的解集为 ．13. 已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =，G 为弦AB的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ．14．函数()xf x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知m 为实数.命题p ：方程221313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29(2)04x m x +-+>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。

江苏省苏州市第二十一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

江苏省苏州市第二十一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

江苏省苏州市第二十一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是 ()参考答案：C2. 已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．3. 某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为()A． B. C. D.参考答案：D4. 如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f （x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=，其中“H函数”的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，即满足条件的函数为不减函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）．①函数y=﹣x3+x+1，则y′=﹣2x2+1，在在[﹣，]函数为减函数．不满足条件．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx），y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cosx）=3﹣2sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1是定义在R上的增函数，满足条件．④f（x）=，x≥1时，函数单调递增，当x＜1时，函数为常数函数，满足条件．故选：A5. “x＝”是“tan x＝1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A6. 设过抛物线的焦点的弦为，则以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能参考答案：B略7. 是复数为纯虚数的（）A．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件参考答案：B8. 命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B．若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0参考答案：D9. 两变量具有线性相关关系，且负相关，则相应的线性回归方程y=bx+a满足（）A. b=0B. b=1C. b<0D. b>0参考答案：C10. 设.．若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则（）．A. B. C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数，则曲线在点（）处的切线方程为。

2021-2022学年江苏省苏州市星海中学高二(上)学情调研数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市星海中学高二(上)学情调研数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市星海中学高二（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a 5等于( )A. 32B. 53C. 85D. 232. 已知A(3,1)，B(1,−2)，C(1,1)，则过点C 且与线段AB 平行的直线方程为( )A. 3x +2y −5=0B. 3x −2y −1=0C. 2x −3y +1=0D. 2x +3y −5=03. 已知直线l ：ax +y −2=0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A. 1B. −1C. −2或−1D. −2或14. 已知a ⃗ =(2,−1,3)，b ⃗ =(−1,4,−2)，c ⃗ =(7,5,λ)，若a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 三向量共面，则实数λ等于( )A. 627B. 637C. 647D. 6575. 已知圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ky −2=0的公共弦所在直线恒过点P(a,b)，且点P 在直线mx −ny −2=0上，则mn 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (14,1]C. [14,+∞)D. (−∞,14]6. 已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中PD =8，CE =6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为( )A. 12B. 23C. 35D. 457. 数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1.对任意正整数a 0，记按照上述规则实施第n 次运算的结果为a n (n ∈N)，则使a 7=1的a 0所有可能取值的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知圆C 1：(x −1)2+(y +1)2=1，圆C 2：(x −4)2+(y −5)2=9，点M 和N 分别是圆C 1和圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN|−|PM|的最大值是( )A. 7B. 9C. 3√5+4D. 3√5+2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为( )A. a n =1+(−1)nB. a n =2cos nπ2 C. a n =2|sin(n+1)π2|D. a n =1−cos(n −1)π+(n −1)(n −2)10. 已知点A(1,m)与点B(m 2,3)关于直线x +y −5=0上的某点对称，则m 的取值可以是( )A. 2B. −2C. −3D. 311. 下列四个结论正确的是( )A. 任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ =0或b ⃗ =0或<a ⃗ ，b ⃗ >=π2B. 若空间中点O ，A ，B ，C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，B ，C 三点共线 C. 空间中任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 都满足(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )D. 已知向量a ⃗ =(1,1,x)，b ⃗ =(−2,x,4)，若x <25，则<a ⃗ ，b ⃗ >为钝角 12. 已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0.则下列选项正确的是( )A. yx+1的最大值是√22B. yx+1的最大值是√3C. 过点(1,−√2)作x 2+y 2−4x +1=0的切线，则切线方程为x −√2y +1=0D. 过点(1,−√2)作x 2+y 2−4x +1=0的切线，则切线方程为x +√2y +1=0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−6x +2y +m =0关于直线l 对称，则直线l 方程______．14. 若直线y =kx +2与曲线y =√1−x 2有两个公共点，则k 的取值范围是___________ ．15. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是______.(填序号)①(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2； ②AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0； ③向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1的夹角是60°；④BD 1与AC 所成角的余弦值为√63．16. 已知点A(−3,0)，B(−1,−2)，若圆(x −2)2+y 2=r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为4，则直线AB 的方程为______，r 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4x −3y +5=0垂直； ②过点(5,−5)；③与直线3x +4y +2=0平行； 已知直线l 过点P(1,−2)，_____． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆x 2+y 2=5相交于P ，Q ，求弦长|PQ|．18.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分别是A B.PC的中点．(1)求证：平面MND⊥平面PCD；(2)求点P到平面MND的距离．19.已知直线l1：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0．(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．20.《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上.(1)若P为A1B1的中点，求证：PN//平面AA1C1C.(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．21.已知圆C：x2+y2−8x−6y+F=0与圆O：x2+y2=4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q(1)求点Q的轨迹方程；(2)若|AQ|=|AP|，点P与点Q不重合，求直角MN的方程及△AMN的面积．22.已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．(Ⅰ)若从P到圆O的切线长为2√3，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；(Ⅱ)若点A(−2,0)，B(2,0)，直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点(1,0)．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出前5项即可． 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a 2=1+1=2， a 3=1+−12=12， a 4=1+112=3， a 5=1+−13=23．故选：D ．2.【答案】B【解析】解：因为A(3,1)，B(1,−2)，C(1,1)， 所以k AB =−2−11−3=32，则所求直线的斜率为32，所以过点C 且与线段AB 平行的直线方程为y −1=32(x −1)，即3x −2y −1=0． 故选：B ．由两点间斜率公式求出AB 的斜率，由平行的充要条件结合直线的点斜式方程求解即可． 本题考查了直线方程的求解，两点间斜率公式的应用，两条直线平行的充要条件的应用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：把直线l ：ax +y −2=0化为x 2a+y2=1，∵直线l ：ax +y −2=0在x 轴和y 轴上的截距相等，∴2a =2，解得a =1， 故选：A ．把直线l ：ax +y −2=0化为截距式，利用截距相等即可得出． 本题考查了直线的截距式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵a ⃗ =(2,−1,3)，b ⃗ =(−1,4,−2) ∴a ⃗ 与b ⃗ 不平行，又∵a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 三向量共面， 则存在实数X ，Y 使c ⃗ =X a ⃗ +Y b ⃗即{2X −Y =7−X +4Y =53X −2Y =λ 解得λ=657故选D由已知中a ⃗ =(2,−1,3)，b ⃗ =(−1,4,−2)，c ⃗ =(7,5,λ)，若a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 三向量共面，我们可以用向量a ⃗ 、b ⃗ 作基底表示向量c ⃗ ，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值． 本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理，其中根据a⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 三向量共面，a ⃗ 与b ⃗ 不共线，则可用向量a ⃗ 、b ⃗ 作基底表示向量c ⃗ ，造关于λ的方程，是解答本题的关键．5.【答案】A【解析】解：由圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0，圆C 2：x 2+y 2+ky −2=0， 得圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为k(x +y)−2y −2=0，求得定点P(1,−1)， 又P(1,−1)在直线mx −ny −2=0上，m +n =2，即n =2−m ． ∴mn =(2−m)m =−(m −1)2+1，∴mn 的取值范围是(−∞,1]． 故选：A ．求出定点P 的坐标，推出m +n =2，然后利用二次函数的性质求解mn 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的应用，函数的性质的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，设F(t,0,0)，0≤t ≤4，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，则(t,0,0)=(4λ,0,0)，∴t =4λ，∴F(4λ,0,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,−4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,−4)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−2)， 设平面DEF 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x −4y +2z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4λx −4y =0，取x =1，得n⃗ =(1,λ,2λ−2)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +4b −4c =0m ⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a −2c =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1,2)， ∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴n ⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =1+λ+2(2λ−2)=0，解得λ=35． 故选：C ．以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角从标系，利用向量法能求出λ的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.【答案】D【解析】解：由题意知∀n ∈N ∗，a n ={3a n−1+1,a n−1为奇数a n−12,a n−1为偶数，由a 7=1，得a 6=2，∴a 5=4，∴a 4=1或a 4=8．①当a 4=1时，a 3=2，∴a 2=4，∴a 1=1或a 1=8，∴a 0=2或a 0=16． ②若a 4=8，则a 3=16，∴a 2=5或a 2=32，当a 2=5时，a 1=10，此时，a 0=3或a 0=20， 当a 2=32时，a 1=64，此时，a 0=21或a 0=128， 综上，满足条件的a 0的值共有6个． 故选：D ．推导出∀n ∈N ∗，a n ={3a n−1+1,a n−1为奇数a n−12,a n−1为偶数，由a 7=1，得a 6=2，从而a 5=4，进而a 4=1或a 4=8.由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的a 0的值的个数． 本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：圆C 1的圆心E(1,−1)，半径为1，圆C 2的圆心F(4,5)，半径为3， 要使得|PN|−|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小， |PN|的最大值为|PF|+3，|PM|的最小值为|PE|−1，故|PN|−|PM|的最大值为(|PF|+3)−(|PE|−1)=|PF|−|PE|+4， 点F(4,5)关于x 轴的对称点F′(4,−5)，|PF|−|PE|=|PF′|−|PE|≤|EF′|=√(4−1)2+(−5+1)2=5， 故|PN|−|PM|的最大值为5+4=9． 故选：B ．先利用圆的方程求出圆心和半径，将问题转化为求|PF|−|PE|的最大值，利用对称性和三点共线时取得最值求解即可．本题考查了圆的方程的综合应用，主要考查了圆的标准方程以及点与圆位置关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】 【分析】对四个选项中的通项公式的n 分别从1开始逐项检验即可．本题主要考查了数列的概念及其简单表示，考查数列的通项公式，属于基础题． 【解答】解：对于选项A ，a n =1+(−1)n 取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件； 对于选项B ，a n =2cosnπ2取前两项得0，−2，不满足条件；对于选项C ，a n =2|sin(n+1)π2|取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项D ，a n =1−cos(n −1)π+(n −1)(n −2)取前三项得0，2，2，不满足条件； 故选：AC ．10.【答案】AC【解析】解：点A(1,m)与点B(m 2,3)的中点为(1+m 22,m+32)在直线x +y −5=0上，则1+m 22+m+32−5=0，解得m =2或m =−3．故选：AC ．利用AB 的中点在直线上，列式求解即可．本题考查了中点坐标公式的应用，点关于直线的对称点问题，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：对于A ：任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ =0或b ⃗ =0或<a ⃗ ，b ⃗ >=π2，故A 正确；对于B ：若空间中点O ，A ，B ，C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于x +y =13+23=1，则A ，B ，C 三点共线，故B 正确；对于C ：空间中任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 都满足(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )，由于a ⃗ ⋅b ⃗ 和b ⃗ ⋅c ⃗ 都是一个数值，故说明a⃗ 和c ⃗ 共线，与已知条件相矛盾，故C 错误； 对于D ：知向量a ⃗ =(1,1,x)，b ⃗ =(−2,x,4)，由于cos <a ⃗ ,b ⃗ ><0时，−2+x +4x <0，解得x <25，且x ≠−2时，<a ⃗ ，b ⃗ >为钝角，故D 错误． 故选：AB ．直接利用向量的线性运算，向量的夹角，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：由x 2+y 2−4x +1=0，得(x −2)2+y 2=3． 圆心坐标为C(2,0)，半径r =1． 对于AB ，设yx+1=k ，即y =k(x +1)，由圆心(2,0)到直线y =k(x +1)的距离等于半径，得√k 2+1=√3，解得k 2=12，即k max =√22，k min =−√22，故A 正确，B 错误；对于CD ，点(1,−√2)在圆(x −2)2+y 2=3上， 过点(1,−√2)与圆心(2,0)的直线的斜率k =√2， 由切线的性质可得，k′=−√22，则切线方程为y +√2=−√22(x −1)，即x +√2y +1=0，故C 错误，D 正确． 故选：AD ．由圆的方程求得圆心坐标与半径．设yx+1=k ，即y =k(x +1)，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k ，即可判断A 与B ；判断点(1,−√2)在圆上，求出该点与圆心连线的斜率，得到切线斜率，再由直线方程的点斜式求得切线方程判断C 与D ．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】y =3x −5【解析】解：圆x 2+y 2=4的圆心为A(0,0)，半径为2， 圆x 2+y 2−6x +2y +m =0的圆心为B(3,−1)， 由AB 的斜率为−13， 可得直线l 的斜率为3，由直线l 过(32,−12)，可得直线l 的方程为y +12=3(x −32)，化为y =3x −5． 故答案为：y =3x −5．求得两圆的圆心，由题意可得只要求得圆心的连线的垂直平分线方程即可． 本题考查直线和圆的方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】[−2,−√3)∪(√3,2]【解析】 【分析】作出直线y =kx +2与曲线y =√1−x 2的图象，利用数形结合进行求解即可． 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 【解答】解：由y =√1−x 2得x 2+y 2=1，(y ≥0)，对应的轨迹为上半圆， ∵直线y =kx +2过定点A(0,2)，∴当k =±√3时，直线y =kx +2与圆x 2+y 2=1相切，由图象可知当直线y =kx +2经过点B(−1,0)或C(1,0)时，直线和圆有两个交点， 此时k =±2，则若直线y =kx +1与曲线y =√1−x 2恰有两个公共点， 故k ∈[−2,−√3)∪(√3,2]． 故答案为：[−2,−√3)∪(√3,2]．15.【答案】①②【解析】解：以A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12，所以(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+3×2×12=6，又2(AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(1+1+2×12)=2×3=6=2×3=6，所以(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 所以①正确，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−12+1−12+12−1=0，所以②正确，由已知条件，得△AA 1D 为等边三角形， 则∠AA 1D =60°，所以向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°， 所以③不正确，因为BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =√1+12−12+12+1−12−12−12+1=√2， |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√1+2×12+1=√3， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12+1+12+12−1−12=1⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12+1+12+12−1−12=1， 所以cos〈BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√3=√66，=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√3=√66， 所以④不正确． 故答案为：①②．根据题意平行六面体中异面直线的夹角，转化为向量的夹角问题，逐个分析即可． 本题考查平行六面体中异面直线的夹角问题，转化为向量来解决，属于中档题．16.【答案】x+y+3=0(√22,9√2 2)【解析】解：由点A(−3,0)，B(−1,−2)，所以直线AB的方程为y−0−2−0=x+3−1+3，即x+y+3=0；由题意可得|AB|=√(−1+3)2+(−2−0)2=2√2，根据△MAB和△NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2√2；若圆上只有一个点到直线AB的距离为2√2，则有圆心(2,0)到直线AB的距离为2+0+3√2=r+2√2，解得r=√22；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2√2，则有圆心(2,0)到直线AB的距离为为2+0+3√2=r−2√2，解得r=9√22；综上，r的取值范围是(√22,9√2 2).故答案为：(√22,9√2 2).利用直线方程的两点式写出AB的直线方程，求得|AB|的值，得出两点M，N到直线AB的距离相等，根据圆上的点到直线AB的距离求出r的取值范围．本题主要考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用问题，是中档题．17.【答案】解：(1)选①：因为直线4x−3y+5=0的斜率为k1=43，因为直线4x−3y+5=0与直线l垂直，所以直线l的斜率为k=−34，依题意，直线l的方程为y+2=−34(x−1)，即3x+4y+5=0；选②：由两点式可得y+5−2+5=x−51−5，化简得3x+4y+5=0；选③：因为3x+4y+2=0的斜率为k=−34，又因为直线l与3x+4y+2=0平行，所以直线l的斜率为k=34，依题意，直线l的方程为：y+2=−34(x−1)，即3x+4y+5=0；(2)圆x 2+y 2=5的圆心O(0,0)到直线3x +4y +5=0的距离为d =∣0+0+5∣√32+42=1，设P ，Q 的中点为M ，由圆的半径为r =√5可知：|PM|=√r 2−1=2， 因此|PQ|=2|PM|=4，即弦长|PQ|为4．【解析】(1)先选条件，然后根据条件求直线方程； (2)利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解．本题考查了直线与圆的相交关系以及求解直线方程的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两互相垂直，如图所示，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， M(1,0,0)，N(1,1,1)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面MND 的一个法向量， 可得{m ⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0，取y =−1，得x =−2，z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)是平面MND 的一个法向量，同理可得n ⃗ =(0,1,1)是平面PCD 的一个法向量，∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2×0+(−1)×1+1×1=0，∴m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，即平面MND 的法向量与平面PCD 的法向量互相垂直，可得平面MND ⊥平面PCD ； (2)解：由(1)得m ⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)是平面MND 的一个法向量，∵PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，得PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0×(−2)+2×(−1)+(−2)×1=−4， ∴点P 到平面MND 的距离d =|m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=4√4+1+1=2√63．【解析】本题在特殊的四棱锥中证明面面垂直，着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、二面角的定义及求法和点到平面的距离等知识，属于中档题．(1)作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND 、平面PCD 的法向量分别为 m⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)和 n ⃗ =(0,1,1)，算出 m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0可得m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，从而得出平面MND ⊥平面PCD ；(2)由(1)中求出的平面MND 法向量 m ⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)与向量 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P 到平面MND 的距离．19.【答案】(1)证明：l 1：(2+m)x +(1−2m)y +4−3m =0⇒m(x −2y −3)+(2x +y +4)=0．{x −2y −3=02x +y +4=0⇒{x =−1y =−2则M(−1,−2) 所以无论m 为何实数，直线l 1恒过一定点M(−1,−2)．(2)解：由题知直线l 2的斜率k <0，设直线l 2：y +2=k(x +1)， 令x =0，y =k −2．令y =0,x =2k −1．S =12|k −2|⋅|2k−1|=12|2−4k−k +2|=12|4−4k−k|，∵k <0，∴−4k >0,−k >0．∴−4k −k ≥2√(−4k )(−k)=4，当且仅当−4k =−k 即k =−2时取等，∴y +2=−2(x +1)即2x +y +4=0．【解析】(1)l 1：(2+m)x +(1−2m)y +4−3m =0⇒m(x −2y −3)+(2x +y +4)=0.令{x −2y −3=02x +y +4=0即可得出．(2)由题知直线l 2的斜率k <0，设直线l 2：y +2=k(x +1)，求出与坐标轴的交点、三角形面积、基本不等式的性质即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线方程、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：取AC 的中点E ，连结A 1E ，因为P 为A 1B 1的中点，A 1P//AB 且A 1P =12AB ， 又N 为BC 的中点，E 为AC 的中点，所以EN//AB 且EN =12AB ，故A 1P//NE 且A 1P =NE ， 所以四边形A 1PNE 为平行四边形，所以PN//A 1E ，又PN ⊄平面A 1ACC 1，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以PN//平面A 1ACC 1；(2)解：如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，则P(λ,0,1),M(0,1,12),N(12,12,0)，故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−1,12),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−12,−12,1)， 设平面PMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{λx −y +12z =0(λ−12)x −12y +z =0， 令x =3，则y =2λ+1，z =2−2λ，故m ⃗⃗⃗ =(3,2λ+1,2−2λ)， 平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×√9+(2λ+1)2+(2−2λ)2=√22， 解得λ=−12∉[0,1]，故在线段A 1B 1上不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°．【解析】(1)取AC 的中点E ，连结A 1E ，利用中位线定理证明四边形A 1PNE 为平行四边形，从而得到PN//A 1E ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，设A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．本题考查了线面平行的判定定理的应用以及二面角角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)圆C 的标准方程为(x −4)2+(y −3)2=25−F ，∴圆心C(4,3)，半径为√25−F ， 由圆C 与圆O 相外切可知 √25−F +2=√16+9， 解得F =16，∴圆C ：(x −4)2+(y −3)2=9， 点P(4,1)在圆C 内，弦MN 过点P ，Q 是MN 的中点， 则CQ ⊥MN ，∴点Q 的轨迹是以CP 为直径的圆， 其方程为(x −4)2+(y −2)2=1； (2)线段OC 与圆O 的交点为A ， 由{y =34xx 2+y 2=4 解得A(85,65)， 若|AQ|=|AP|，则P ，Q 是以点A 为圆心，AP 为半径的圆与点Q 的轨迹的交点， 由(x −85)2+(y −65)2=(85−4)2+(65−1)2， 与(x −4)2+(y −2)2=1 作差可得3x +y −13=0，即直线MN 的方程为3x −y −13=0， ∴点C(4,3)到直线MN 的距离 d =√10=√10，|MN|=2√9−d 2， 点A 到直线MN 的距离 ℎ=|245+65−13|√10=√10，∴△AMN 的面积 S =12|MN|×ℎ=7√8610．【解析】(1)利用两圆外切确定圆C ，通过弦心距与弦垂直可得QC ⊥QP ，故知Q 轨迹为以CP 为直径的圆；(2)先求得点A 坐标，由|AQ|=|AP|可知P ，Q 也在以A 为圆心，以AP 为直径的圆上，该圆与点Q 的轨迹圆联立可得直线PQ 也即直线MN 的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可．此题考查了圆与圆，直线与圆的位置关系，难度较大．22.【答案】解：根据题意，设P(4,t)．(I)设两切点为C ，D ，则OC ⊥PC ，OD ⊥PD ，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即42+t 2=22+(2√3)2，(2分) 解得t =0，所以点P 坐标为(4,0).(3分) 在Rt △POC 中，易得∠POC =60°.(4分) 所以两切线所夹劣弧长为2π3×2=4π3.(5分)(II)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(1,0)， 依题意，直线PA 经过点A(−2,0)，P(4,t)， 可以设AP ：y =t6(x +2)，(6分) 和圆x 2+y 2=4联立，得到{x 2+y 2=4y=t6(x+2)， 代入消元得到，(t 2+36)x 2+4t 2x +4t 2−144=0，(7分)因为直线AP 经过点A(−2,0)，M(x 1,y 1)，所以−2，x 1是方程的两个根， 所以有−2x 1=4t 2−144t 2+36，x 1=72−2t 2t 2+36，(8分)代入直线方程y =t6(x +2)得，y 1=t 6(72−2t 2t 2+36+2)=24t t 2+36.(9分)同理，设BP ：y =t2(x −2)，联立方程有{x 2+y 2=4y=t2(x−2)，代入消元得到(4+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−16=0，因为直线BP 经过点B(2,0)，N(x 2,y 2)，所以2，x 2是方程的两个根，2x 2=4t 2−16t 2+4，x 2=2t 2−8t 2+4，代入y =t2(x −2)得到y 2=t 2(2t 2−8t 2+4−2)=−8tt 2+4.(11分) 若x 1=1，则t 2=12，此时x 2=2t 2−8t 2+4=1显然M ，Q ，N 三点在直线x =1上，即直线MN 经过定点Q(1,0)(12分) 若x 1≠1，则t 2≠12，x 2≠1， 所以有k MQ =y 1−0x1−1=24tt 2+3672−2t 2t 2+36−1=8t12−t 2，k NQ =y 2−0x2−1=−8tt 2+42t 2−8t 2+4−1=−8tt 2−12(13分)所以k MQ =k NQ ，所以M ，N ，Q 三点共线， 即直线MN 经过定点Q(1,0)．综上所述，直线MN 经过定点Q(1,0).(14分)【解析】根据题意，设P(4,t)．(I)设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即42+ t2=22+(2√3)2，解得t=0，所以点P坐标为(4,0)，由此能够求出两切线所夹劣弧长．(II)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(1,0)，依题意，直线PA经过点A(−2,0)，P(4,t)，可以设(x+2)，和圆x2+y2=4联立，代入消元得到，(t2+36)x2+4t2x+4t2−AP：y=t6144=0，因为直线AP经过点A(−2,0)，M(x1,y1)，所以−2，x1是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．本题考查直线和圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．。

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江苏省苏州市2021-2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调
研考试试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是
A ．若a b >，则2
2
ac bc > B ．若a b >，则2
2
a b > C ．若0a b <<，则2
2
a a
b b << D ．若0a b <<，则11a b
> 2．不等式(4)3x x -<的解集为
A ．{}
13x x x <>或 B ．{}
04x x x <>或 C ．{}
13x x << D ．{}
04x x <<
3．双曲线
22
1916
y x -=离心率为
A ．
53 B ．5
4
C D
4．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为
A ．
22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036
x y += D ．22
12012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．16
6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为
A ．
1
2
B ．13
C ．2 D
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，
次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A ．201斤
B ．191斤
C ．184斤
D ．174斤 8．关于x 的不等式2
2
(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是
A ．(32-
，43-](43，32] B ．(32-，43-][43，32)
C ．[32-，43-)(43，32]
D ．[32-，43-)[43，3
2
)
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选
项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A ．在△ABC 中，“B ＝60°”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”
B ．“x ＝1”是“x 2
﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件
C ．命题p ：“∃x ＞0，使得x 2＋x ＋1＜0”，则p 的否定：“x ∀≤0，都有x 2
＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅＝(1，2，3)，b ＝(3，0，﹣1)，c ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列
等式中正确的是
A ．()a b c b c ⋅=⋅
B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+
C ．222
2()a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a a =-(其中a 为常数)，则下列说法正确
的是
A ．数列{}n a 一定是等比数列
B ．数列{}n a 可能是等差数列
C ．数列{}n S 可能是等比数列
D ．数列{}n S 可能是等差数列
12．已知方程mx 2
＋ny 2
＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ，n ∈R ，p ＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知向量a ＝(1，4，3)，b ＝(﹣2，t ，﹣6)，若a ∥b ，则实数t 的值为 ． 14．己知正实数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则
11
x y
+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy中，桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔与桥拱交点B的坐标为（本题第一空2分，第二空3分）．
第15题
16．已知一族双曲线E n：22
2
1
x y
n n
-=
+
(N
n*
∈，且n≤2021)，设直线x＝2与E n在第一象限内的交点为A n，由A n向E n的两条渐近线作垂线，垂足分别为B n，C n．记△A n B n C n
的面积为
n
a，则
1232020
a a a a
++++＝．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解下列不等式：（1）24120
x x
--≤；（2）
2
2
3
x
x
+
<
-
．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a的前n项和为n S，公差0
d≠，且
35
50
S S
+=，
1
a，
4
a，
13
a成等比数列．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）已知数列n
n
b
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b的前n项和n T．
19．（本小题满分12分）
如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结
构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1：2，此铝合金窗占用的墙
面面积为20000(cm 2
)，设该铝合金窗的宽和高分别a (cm)，b (cm)，铝合金的透光部分的面
积为S (cm 2
)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．
（1）试用a ，b 表示S ；
（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少?
20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
4x y ，过点P(4，2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ． （1）求k 的取值范围；
（2）若△OMN 为直角三角形，且OM ⊥ON ，求k 的值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2， AF ＝t ，M 是
线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t＝1，求二面角A—DF—B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．
22．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶
点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若12
2
1
PF F PAF PBF S S
S
==．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率． （2）若2PAF S ，12PF F S
，1
PBF S
成等差数列，且∠F 1BO ≤30°，求直线PF 1的斜率的取
值范围．。

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