7相明(电磁场边值关系--唯一性定理)

5ξ电磁场的边值关系一．引言当介质分布均匀时，出现了界面，→D ,→B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→E ,→D ,→B ,→H 在介质中连续麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。

故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∙=∙⎰⎰⎰→→→→s s v S d B dv S d D 0ρ⇒导出法向关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∙∂∂+∙=∙∙∂∂-=∙⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→s s l l S d t DS d j l d H S d tB l d E ⇒导出切向关系二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→D 的法向有跃变⎰⎰=∙→→vsdv S d D ρ⇒σfD D n =-∙→→→)(12 （1）推论：εσσρρε0120)()(1pf v pf sE E n dv S d E +=-∙⇒+=∙→→→→→⎰⎰ （2）dv S d P ps⎰⎰-=∙→→ρ→⇒n )(12→→-∙P P =-σP（3）2．→B 的法向连续0)(0)(0112212=-∙−−−−→−=-∙⇒=∙→→→→→→→→⎰H u H u B B n n S d B s线性各向同性(4) 3.的→E 切向连续→→→→∙-=∙⎰⎰S d B dt d l d E s l 0)(12=-⨯⇒→→→E E n E Et t12= (5)4.的切向跃变→H→→→→→→→→→→=-⨯⇒∙∂∂+∙=∙⎰⎰⎰αf sflH H jn s d t DS d l d H )(12 （6）0)(012=-⨯=→→→→H H n f时，αH Ht t12= (7)线性各向同性：uB uBtt 1122=（8）推论：→→→→→→→→=-⨯⇒∙=∙⎰⎰αm s Ml M M jn S d l d M )(12 (9)5.→jf的法向跃变⎰⎰-=∙→→dv dt dS d sfjρtn f f f jj ∂∂-=-∙⇒→→→σ)(12 （10）0=∂∂t时，0)(12=-∙→→→jj f f n （11）三．说明1.上述关系在介质界面静止时导出，运动时，D ,B 法向关系仍成立，但E ,H切向改变2.规定：界面法向n从介质1指向介质2，否则差一负号3.具普遍意义：对任意矢量场，只要场方程与麦式方程组形式相同，其边值关系亦相同。

如∙∇→P =-Pρ⇒n ∙（→P -→P ）=-σP4.三个特殊参数：ε,u,σ描述介质的电磁性质。

三参数中只要有一个不同，则为不同介质，其交接面为介质界面，ε不同会出现σP，σ不同会出现自由电荷，μ不同会出现→M α。

5．导电介质的恒定电场问题（47P 11T ）恒定电场：由恒定电荷产生的电场恒定电荷指系统内电荷恒定（并非电荷不动！）微分方程式： ∙∇j=0 （12）→⨯∇E =0（13）j=σE （电源除外）（14）6.静电场中的导体→内E =0 n ∴ ⨯E=0对稳恒电流 n ∙（2j -1j）=0 48P 13T四 证明只证明H的切向边值关系在界面两侧较狭长矩形回路积分回路绕行方向∥→αf，矩形短边→0∴→→∙⎰l d H l=(2H -1H)∙→∆lstd D d ⎰∙d s 0→s 0 f I =→→→∆∙⨯=∆∙l n l f f )(αα由→→∙⎰l d H l =→→∙⎰S d sfj+s d D d S dt ∙⎰ =f I +sd D d S dt ∙⎰有（2H -1H）→∆∙l =（→→⨯n f α）→∆∙ll ∆任意∴ （2H -1H ）∥=f n α⨯ 有：⨯→n （2H -1H）∥=⨯→n （f n α⨯ ）而 n ⨯ （2H -1H ）∥=n ⨯ （2H -1H）n ⨯（2H -1H ）=n ⨯（f nα∙ ）=fα（n n∙ ）-→n （fn α∙ ）=fα证毕注：面电流密度为垂直通过单位横截线的电流即电流线密度书上：47P T9 12 ,13 补充：证明E的切向关系（本科生补充题：当介质界面上不仅有存在自由电荷，并且存在传导面电流时，试导出与电荷守恒定律相应的边值关系）6ξ 电磁场的能量和能流一.过去对电磁能的认识 1.电能点电荷间： e U =124o q q rπε 电容器： e U =212q C =qV 21电能密度： e W =2012E ε2.磁能电感： m U =212IL 磁能密度： m W =212B u3.静电静磁条件下，电磁能的特点：1形式上：q,E ,B,I 表现2问题：①电磁能究竟定域在哪？是不确定的！ ②只有一个参量描述 W ③能量守恒二.普遍情况下电磁过程中能量的转化和守恒定律 麦克斯韦方程组揭示：一般情况下，电磁场两个特点：场可以脱离源———能量定域在场中场的运动———两个参量描述场能W,S1.概念1 能量密度W （x，t ）：电磁场单位体积内的能量2 能量密度S（坡印延矢量）：单位时间通过与波传播方向垂直的单位横截面的能量2.电磁现象中能量守恒定律的表现形式10表述 电磁场运动的某空间区域V 内，单位时间通过V 表面S 流入V 内的能量等于场对该区域所做的功率与V 内电磁能量的增加率之和 20导出，⑴场对V 内自由电荷所作的功率对单位体积所作功率：f v ∙该部分能量变成电荷的功能或焦耳热 ， 其中f=ρ（E +V B ∙ ）对V ： vf vdv ∙⎰⑵V 内场能量的增加率单位体积w t ∂∂ dv ：wdV t∂∂ V ：vw dV t ∂∂⎰ ⑶流入S 的能量d s ：s ds ∙s ：-→→∙⎰s d S （“-”表示流入）积分式-→→∙⎰s d S S=v f vdv ∙⎰ +v w dv t ∂∂⎰⑴-v v s dv ∙∙⎰ =v f vdv ∙⎰ +vwdv t ∂∂⎰微分式： -s ∇∙ =f v ∙ +wt∂∂⑵⑷特殊情况若无能量导入，即s=0，则f v ∙ =-w t∂∂ ⑶三，s，w 的表达式1.导出：由⑴式-v wdV t ∂∂⎰-→→∙⎰s d S S =v f vdv ∙⎰思路：从vf vdv ∙⎰入手找出其用场量表示的结果，与左边比较得出 vf vdv ∙⎰ =[()]vE V v B v dV ρρ∙+∙∙⎰=VE jdV ∙⎰=()VDE H dV t ∂∙∇⨯-∂⎰ （)D H j t ∂∇⨯=+∂利用()()()A B B A A B ∇∙⨯=∙∇⨯-∙∇⨯有343(P I 21)()()()()V V VBD E H H E H E E H dV H dV E dVt t →∂∂⋅∇⨯=∇∙⨯+∙∇⨯=-∇∙⨯-∙-∙∂∂⎰⎰⎰=()()()S VB B DE H H E H d S H E dV t t t →∂∂∂-∇∙⨯+∙-=-⨯∙-∙+∙∂∂∂⎰⎰⑸⑷与⑸比较 S E H →=⨯⑹w B DH E t t t∂∂∂=∙+∙∂∂∂⑺V S Vwf vdV S ds dV t →∂∙=-∙-∂⎰⎰⎰2.论证⑴能量定域在场中（有场就有能量）⑵能量是守恒的（机械能+电磁能）————场是物质的 ⑶全空间能量守恒律形式无穷 处 0E = 0H =, ()0E H d S →→∞⨯∙=⎰∴ Vvdf vdV wdv dt ∙=-⎰⎰⑻意义：单位时间内机械能的增加等于全空间总能量的减少⑷真实情况O D E ε=, 0B H μ=220000122E W B B B EE t u t t t tεεμ∂∂∂∂∂=∙+∙=+∂∂∂∂∂ =220011()22B E t εμ→∂+∂∴ 22001122em m e W B E W w w εμ=+⇒=+ ⑼ 1os E H E B μ=⨯=⨯⑽⑸介质情况j E H =⨯W D BE H t t t∂∂∂=∙+∙∂∂∂0D E P ε=+ ,01H B M μ=-对线性各向同性介质： D =E ε∙ B H μ= D ∥E B ∥H同理有 221122em m e W B E W W εμ=+=+介介介 ⑾=1()2H B E D ∙+∙与真空比较：e r e e W W W ε=>介222201111()2222m r r m m W B H H H W W μμμμμμμ=====>介 结论：①真空与介质的电磁能密度不同②真空中：电磁能+磁场能介质中：电场能+磁场能+极化能+磁化能原因是介质中 f ρ ，f j ， ρρ ， p σ ，m j ，p j p j电磁场对ρρ ，P σ和m j要做功，转化为极化能和磁化能储存在介质中，若介质无损耗（铜损，铁损），它们是可逆的。

四.电磁能的传输1.稳恒电磁场（直流情况）0wt∂=∂ 自由电荷动能不变，故f ，v 完全转化为焦耳热 ∴ VSf vdV S d s →∙=-∙⎰⎰流入V 中的电磁能全部转化为对电荷作功——完全转化为焦耳热∵2f v j E E E E σσ∙=∙=∙∙==2j σ22VVj j f vdV dV V σσ∙==⎰⎰对柱形体：222222j j j s I V sl l l I R s sσσσσ====能量的传输：能量在场中传输 直流电路j nev =- ， 283108.4n m=⨯ 191.610e C -=-⨯ 319.110e m kg -=⨯622101AA j mm m ==5105m v s-=⨯ ek E 很小又j 处处相等，ek E 不变，若灯光内ek E 转化而来则与I(j)处处相等矛盾，灯光的能量从何而来？ 分析电路，接连K 时，电路中I,V B ⇒ ,K ,灯光能量正是由电磁场传输的能量交交情况：广播，电视是从电磁场接收能量的广播，电视发对天线附近压，用一段导线可使电灯发亮 因此，无论直流或交流电路，导线的直接作用是引导电磁场传输例1 43p 例2 例3 48P 14T解 非磁性物质，故介质性质为ε，σ 积分式解法微分式解法⑴取单位长同轴圆柱高斯面（a r b <<） 由高斯定理得22f E r rλπε=则f SQ D d s →=∙⎰212f D E rj t t rλεπ∂∂==∂∂fSdQ D d s dt t →∂=∙∂⎰ 由传导电流定义I=f f dQ d l dtdt λ=又由电荷守恒定律电荷守恒律ff SdQ j d s dt→∙=-⎰ff SdQ j d s dt→∙=-⎰2f f d j rl l dtλπ=-r j f π21-=fd dtλ∴f S SD j d s d s t →→∂∙=-∙∂⎰⎰ 212f f d rj dt r λπ→=-()()0f f d s SD j d s j j d s t →→∂+∙=+∙=∂⎰⎰ ∴ f d j j o += ∴0f D j j +=而 0f D H j j ∇⨯=+=∴ B O ∇⨯=又 0B ∇∙=∴0B =⑵f f f SVdQ dj ds dV dt dt ρ→∙=-=-⎰⎰又22f f j E r r σλσπε===-f f ddl dl dt t λλ∂-=-∂⎰⎰即122ff d r dt rλσλππε-=-由f j E σ=,f SS Sj d s E d s D d s σσε→→→∙=∙=∙⎰⎰⎰ f f d dt λσλε=- =f dl σλε⎰ffd dt λσλε=-∴ff f f d dt t λλσσλελε∂=-⇒=-∂ t f fo e σελλ-=tf fo eσελλ-=-*参见梁绍荣，电动力学，北师大出版社1986年3334P - ⑶法1：能量的耗散转化为焦耳热法2： 0B =由焦耳一楞茨定律2e W E t σ∂=∂ ∴能量密度的变化率e W D E E E t t tε∂∂∂=∙=∙∂∂∂故能量耗散功率密度为=-2()2f rλσπε+2()2f ew p t rλσπε∂=+=∂故能量耗散率密度eW t ρ∂=-∂ 2()2f rλρσπε= 式中eW t∂∂为热功率密度 或电磁场对电荷做功完全转化为焦耳热，耗 ⑷对长为L 的一段介质总能量耗散功率 散功率密度为 →→→→→=∙=∙E E j v f f σ2()22f ev vW dv ldr t r λρσππε∂==∂⎰⎰ 2)2(r v f f πελσ=∙→→而对l 一段有=2222222b f f n a l l dr b r a σλσλπεπε=⎰ 2v vf vdv E dv σ∙=⎰⎰ 另一方面，静电能'1e f W lv λε= =22()22bf arldr λσππε⎰22bb f f n a abV E dr dr r a λλπεπε=∙==⎰⎰ =22f n l b a σλαπε ∴2'4f e n l bW aλπε=0s =由电磁能量守恒有2'222f ff e n n l d l W b b t a dt a λλσλπεπε∂==-∂ v vw f vdv dv t ∂∙=-∂⎰⎰ ∴'e e W W t t∂∂=-∂∂ew dv t∂=-∂⎰作业：试证麦式方程组中D ρ∇∙=不独立 即场对电荷所作的总功率等于其静电能()()0DH j j D t t∂∂∇∙∇⨯=∇∙+∇∙=∇∙+∇∙=∂∂的减少又0j tρ∂∇∙+=∂ 两式化较得：D ρ∇∙=2.试证麦式方程组中0B ∇∙=不独立 ()()()0B E B t t∂∂∇∙∇⨯=∇∙-=-∇∙=∂∂0B ∴∇∙= (本应B C ∇∙=,但方程中给出C=0)3 试证麦式方程组中蕴含了电荷守恒律4 48P 14T5 试由麦克斯韦方程导出电磁场能量密度和动量密度的表达式6 47P 11T (提示：要用到稳恒条件下边界上的电荷守恒定律)第二章 静电场第二章，第三章的中心问题：给定源分命，空间介质，导体分布条件下求解E ,B方法：将麦式方程组的矢量方程转化为标量方程（7个）方程，静场条件下引入势——静电势，磁矢势，磁标势，导出势的微分方程，在一定边界条件下求解势的微分方程。