幂函数的定义

高中数学 幂函数的定义 编稿老师

李斌

一校

张小雯

二校

黄楠

审核

孙溢

【考点精讲】

1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。

注意：幂函数与指数函数的区别。 2. 幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；

（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ；

（3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当1

1,1,3,3

α=-时，幂函数是 。

【典例精析】

例题1 已知 f （x ）＝()

1

22

2-++m m

x m m ， m 为何值时，f （x ）是：

（1）正比例函数？ （2）反比例函数？ （3）二次函数？ （4）幂函数？

（5）在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增？

思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。

答案：（1）若f （x ）为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝1，

m 2＋2m ≠0

⇒m ＝1。

（2）若f （x ）为反比例函数，则⎩

⎪⎨⎪

⎧

m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1。

（3）若f （x ）为二次函数，则⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±13

2。

（4）若f （x ）为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

（5）若f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，012

>-+m m ，∴m ＝－1－2。

例题2 已知幂函数f （x ）＝3

22--m m x （m ∈N *）的图象关于y 轴对称，且在（0，＋∞）

上是减函数，求满足3

)

1(m

a -+＜3

)

23(m a -

-的a 的取值范围。

思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求

出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围。

答案：∵函数在（0，＋∞）上递减，

∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3。 ∵m ∈N *，∴m ＝1，2。

又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1。 而3

1)(-=x x f 在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

∴3

1

31)

23()

1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0

或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a 。

解得a ＜－1或23＜a ＜3

2

。

故a 的取值范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜3

2

}。

点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。

例题3 已知m ∈N *，函数f （x ）＝（2m －m 2）·

2

322-+m m x 在（0，＋∞）上是增函数，

判断函数f （x ）的奇偶性。

思路导航：（1）幂函数y ＝a

x 的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数。 （2）幂函数的单调性：①当α>0时，y ＝a

x 在（0，＋∞）上为增函数；②当α<0时，y ＝a

x 在（0，＋∞）上为减函数。

答案：由函数f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，

得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋3m －2>0，2m －m 2>0，或⎩

⎪⎨⎪⎧

2m 2＋3m －2<0，2m －m 2<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >12或m <－2，0

－22或m <0， ∴1

2

【总结提升】

要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数。

（答题时间：15分钟）

1. 已知幂函数y ＝f （x ）通过点（2，2），则幂函数的解析式为（ ）

A. y ＝212x

B. y ＝12x

C. y ＝3

2x D. y ＝521

x 2

2. 下列命题中正确的是

（ ）

A. 当0=α时函数α

x y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）

C. 若幂函数α

x y =是奇函数，则α

x y =是定义域上的增函数

D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限

3. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，则实数m 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）

4. 已知幂函数f （x ）＝x m x 1 1

2

f （x ）

1

22

A. {x|0

B. {x|0≤x≤4}

C. {x|－2≤x≤2}

D. {x|－4≤x≤4} 5. 设x ∈（0，1），幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的上方，则实数a 的取值范围是______。 6. 已知函数2

23

()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）

f （x ）的解析式。