湖南省师大附中2020年高考理科数学模拟卷

湖南省师大附中2020年高考

理科数学模拟卷

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，N ＝{x|x ＝k 2＋1

4

，k ∈Z }，则(C)

A ．M ＝N

B ．M N

C ．N M

D ．M ∩N ＝

2．若复数z ＝(1－ai)(a ＋2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中a∈R ，i 为虚数单位，则实数a 取值范围是(A)

A ．(0，2)

B ．(2，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－2，0) 3．如果等差数列a 1，a 2，…，a 8的各项都大于零，公差d≠0，则(B) A ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＞a 4a 5 【解析】由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除A 、C.

又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d)＝a 2

1＋7a 1d ，

∴a 4·a 5＝(a 1＋3d)(a 1＋4d)＝a 21＋7a 1d ＋12d 2

＞a 1·a 8，故选B.

4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω∈N *

)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为

(B)

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】由题知πω6＋π6＝k π＋π

2

(k∈Z )ω＝6k ＋2(k∈Z )，故ωmin ＝2.

5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为(A)

A ．100

B ．1000

C ．90

D ．900

【解析】支出在[50，60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n ＝30

0.3＝

100.

6．已知一个几何体的三视图如图所示(正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(B)

A.34

B.78

C.1516

D.2324

【解析】由题意可知几何体的形状如图，是长方体中截出的棱锥(底面是梯形，高为12，

底面梯形下底边长为1，上底边长为1

2

，高为1)的剩余部分，

所以几何体的体积为：1－13×12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＝7

8

，故选B.

7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是

“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是(D)

A.112

B.115

C.118

D.114

【解析】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个

不同的数共有C 2

8＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P ＝1

14

，故选D.

8.下列图象可以作为函数f(x)＝x

x 2＋a

的图象有(C)

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】当a<0时，如取a ＝－4，则f(x)＝x

x 2－4，其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇

函数，图象是(3)，所以(3)是正确的；当a>0时，如取a ＝1，则f(x)＝x

x 2＋1，其定义域为

R ，它是奇函数，图象是(2)，所以(2)是正确的；当a ＝0时，则f(x)＝1

x ，其定义域为：{x|x≠0}，

它是奇函数，图象是(4)，所以(4)正确．故选C.

9．已知点集M ＝{}

（x ，y ）|1－x 2·1－y 2≥xy ，则平面直角坐标系中区域M 的面积是(D)

A ．1

B ．3＋π4

C ．π

D ．2＋π

2

【解析】当xy≤0时，只需要满足x 2

≤1，y 2

≤1即可；

当xy>0时，对不等式两边平方整理得到x 2＋y 2

≤1，所以区域M 如下图．

易知其面积为2＋π

2

.

10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫52，0，b ＝(0，5)的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP →⊥AB →，OP →

＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为(C)

A.15，45

B.43，－13

C.45，15 D ．－13，43

【解析】OP →＝x a ＋y b ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0＋y(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x ，5y , AB →＝b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5，

∵OP →⊥AB →

，∴－254x ＋25y ＝0

x ＝4y ，①

又∵A，B ，P 三点共线，∴x ＋y ＝1，②

由①②得 x ＝45，y ＝1

5

.故选C.

11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||AB ＝||AD ＝3，||AA 1＝1，而对角线A 1B 上存在一点P ，使得||AP ＋||D 1P 取得最小值，则此最小值为(D)

A ．2

B ．3

C ．1＋ 3 D.7 【解析】把对角面A 1BC

D 1绕A 1B 旋转到与△AA 1B 在同一平面上的位置，连接AD 1，在△AA 1D 1

中，|AA 1|＝1，|A 1D 1|＝3，∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋90°＝150°，