双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用

双曲线焦点三角形面积公式的应用

广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

定理 在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意

一点，θ=∠21PF F ，则2

cot

2

21θ

⋅=∆b S PF F .

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得

.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ、

配方得：.4cos 22)(2

21212

21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242

212

c r r a =-+θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ-=--=∴b a c r r

由任意三角形的面积公式得：

2cot 2

sin 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=-⋅==

∆b b b r r S PF F .

.2

cot 221θ

⋅=∴∆b S PF F

同理可证，在双曲线122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例1 设1F 和2F 为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）

A. 1

B.

2

5

C. 2

D. 5

/

解：,145cot 2

cot

221=︒=⋅=∆θ

b S PF F ∴选A.

例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.

解: ,12

cot

2

cot

221==⋅=∆θ

θ

b S PF F ︒=∴

452

θ

,即.90︒=θ

∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF

例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.

解：由31230cot 2

cot

2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ

得：.122=b

又,2122

=+=a

b e

.41212

=+

∴a

从而.42

=a ∴所求的双曲线的标准方程为

112422=-y x ，或112

42

2=-x y . 金指点睛

`

1. 已知双曲线14

22

=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF •的值为( )

A. 2

B.

3 C. 2- D. 3-

2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且

2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）

A. 13222=-y x

B. 12322=-y x

C. 1422=-y x

D. 1422

=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12

2

2

=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，

则点M 到x 轴的距离为（ ） A.

34 B. 3

5

C. 332

D.

3

4. 双曲线

116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3

π

则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163

B ．323

C ．32

D ．42

[

5. 双曲线1449162

2

=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且

32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.

6. 已知双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，

ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.

参考答案

1. 解：32cot

2cot

221===∆θθb S PF F ，∴

︒=︒=60,302

θθ

.

又3sin ||||2

1

2121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF .

∴21PF PF •=22

1

4cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF .

故答案选A.

2. 解： ,21PF PF ⊥∴122

1

||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2

cot

22221==︒==∆b b b S PF F θ

，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .

~

故答案选C.

3. 解： 021=⋅MF MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22

cot

2

21=︒==∆θ

b S MF F .

点M 到x 轴的距离为h ，则23||2

1

2121===⋅⋅=

∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.

4. 解：设θ=∠21PF F ，则3

π

θ=

. ∴3166

cot

162

cot

221===∆π

θ

b S PF F .

故答案选A.