双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积
今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。
12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠和。
例:已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠︒＝，则1F PF 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：221212236PF PF PF PF ＋－＝由勾股定理有：222121212||10032PF PF F F PF PF ∴＋＝＝，＝1212S PF PF ∴=＝16所以本题选B 。
整理： 焦点三角形的面积求法：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；12121sin 2PF F S r r θ=；121=2||2PF F P S c y ；注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。
再看一个例题，加深印象：例：已知12F F ，为双曲线221C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠︒＝，则P 到x 轴的距离为（ ）解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF mn －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-).4m n mn m n mn mn =+︒=+=从而由三角形面积公式有：11sin 602214222y mn y y ⨯︒⨯⨯∴＝，＝总结：1.双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.2.掌握双曲线焦点三角形的面积公式，根据已知条件合理选择面积公式计算.练习：1.已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12,F F 为左右焦点， P 是双曲线上一点，且1260,F PF ∠=12PF F S ∆=.2.设P 为双曲线22112y x -= 上的一点,12,F F 是该双曲线的两个焦点.若 12||:||3:2PF PF =,则12PF F 的面积为( )A.B.12C. D.24已知点P 是双曲线22145x y -= 上一点,若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.54 B.52 C.5 D.10答案：1. 【解析】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>2,2e c a =∴= 所以，2224,16,12a c b ===，双曲线标准方程为221412x y -=.。
椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝
椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝董晖
【摘要】利用椭圆和双曲线焦点三角形面积公式可以大大简化解决圆锥曲线相关问题的步骤,节省时间,是解决此类客观题的法宝公式.
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2018(000)006
【总页数】2页(P79-80)
【关键词】椭圆;双曲线;焦点三角形面积公式;客观题
【作者】董晖
【作者单位】甘肃省武威第六中学 733000
【正文语种】中文
全国卷高考数学的客观题有16道，共90分，占总分的60箛.小题小解，解决客观题能否快而准，是考试成败的关键，其中椭圆和双曲线焦点三角形面积公式可以大大简化解决圆锥曲线相关试题的步骤，节省时间，是解决小题的法宝公式.
定理：已知椭圆方程为b>0），它的两焦点分别为F1，F2，设在焦点三角形
PF1F2中，∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=
图1
由椭圆的第一定义得s+t=2a，所以（s+t）2=4a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得：s2+t2-2stcosθ=（2c）2.。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
高考数学中，有心二次曲线的焦点三角形面积公式怎么用？
高考数学中，有心二次曲线的焦点三角形面积公式怎么用？
答：
有心二次曲线的焦点三角形是高考的常考内容之一，它综合了圆锥曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式等知识点，往往计算量相对较大。
但是，如果能应用焦点三角形的面积公式，那么许多题都可以大大减少运算量，同时提升正确率。
一·椭圆的焦点三角形
二·双曲线的焦点三角形
焦点三角形问题实际上是有心二次曲线定义的应用，通过上述两道高考真题不难发现，掌握焦点三角形面积公式的正确打开方式，某些题堪称秒杀。
另外，有些题目看似与焦点三角形没有关系，实际上经过转化便可使用，因此，注意体会。
以上。
专题12 焦点三角形的面积公式(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
b2 θ 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
tan
2
例题
3．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 C
： x2 a2
−
y2 b2
= 1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1 ， F2
离心率为 5 ． P 是 C 上一点，且 F1P ⊥ F2P ．若 ∆PF1F2 的面积为 4，则 a =（
1 A． 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | − AF2 = 2a ，
| AF | ⋅ AF2 = 3a2 ，
= ∴| AF |
3= a, AF2
a ，在 Rt AFF2 中， kAF
b2 tan θ = ⇒ 4 2
b2 tan π ⇒= b2 4
4 ，又离心率 c = a
5 ，结合 c=2
a2 + b2 ，可求出 a = 1.
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，S∆PF1F2
× sin
60°
=4 3 3
.
故选：C
4．（2022·高二课时练习）已知点 P 在椭圆 x2 16
+
y2 4
= 1上，F1 与 F2 分别为左右焦点，若 ∠F1PF2
= 2π ，则 3
△F1PF2
的面积为( )
A． 4 3
B． 6 3
C．8 3
D．16
高中数学论文双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . .2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解例1 设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）A. 1B.25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e .41212=+∴a从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112422=-x y . 金指点睛1. 已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ∙的值为( )A. 2B. 3C. 2-D. 3-2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A.34 B. 35 C. 332 D. 34. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( )A ．163B ．323C ．32D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6. 已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.参考答案1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF ∙=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A. 2. 解： ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .故答案选C. 3. 解： 021=⋅MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .故答案选A. 5. 解：由14491622=-y x 得116922=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2cot 162cot221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||212121=⋅⋅=∆PF PF S PF F .∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF PF ∴︒=90θ. ∴22245cot 2cot21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=. 得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用,DOC
双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，∠F 在△1F 即42a +21=∆S PF F 例︒，则△解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2(03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解:,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e∴，则 0，则A.34B.35C.332 D.3 4.双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为()A ．163B ．323C ．32D ．425.双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6.已知双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率. 参考答案1.解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF . ∴2.3.4.5.∴又∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6.解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF ∴︒=90θ.∴22245cot 2cot 21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=.得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。
双曲线的焦三角面积公式
双曲线的焦三角面积公式在我们的数学世界里，双曲线就像是一个神秘而有趣的“小怪兽”，而其中的焦三角面积公式更是这个小怪兽身上独特的“标志”之一。
先来说说什么是双曲线的焦三角。
想象一下，在双曲线的图形中，有两个焦点 F1 和 F2，然后从这两个焦点引出一条边，再连接双曲线上的一点，这样就构成了一个三角形，这就是双曲线的焦三角啦。
那这个焦三角的面积公式到底是啥呢？它是S = b²cot(θ/2) 。
这里的b 是双曲线的虚半轴长，θ 是双曲线的离心角。
可能有的同学会问了，这公式有啥用啊？我给您举个例子。
比如说，有一道数学题，告诉您双曲线的一些参数，让您求焦三角的面积。
这时候，这个公式就派上大用场啦！您只需要把相应的数值代入公式，然后进行计算，就能轻松得出答案。
我记得之前给一个学生讲这部分内容的时候，那孩子怎么都理解不了。
我就拿了一张纸，给他画了个大大的双曲线，标上焦点和双曲线上的点，一点点地给他解释。
我指着图形说：“你看啊，这就像是一个迷宫，咱们找到这个公式就是找到走出迷宫的钥匙。
” 这孩子盯着图形看了半天，突然一拍脑门说：“老师，我好像有点明白了！”那一刻，我心里别提多高兴了。
再来说说这个公式的推导。
其实推导过程也没有那么可怕。
我们可以利用双曲线的定义和一些三角函数的知识来搞定。
在推导的过程中，您会发现数学的神奇之处，就像是解开一个复杂的谜题，每一步都是关键的线索。
对于双曲线的焦三角面积公式，大家可别被它吓到。
只要多做几道练习题，多画几个图，您就会发现它其实也没那么难。
就像我们刚开始学走路的时候，觉得迈出第一步很难，但一旦勇敢地跨出去，后面就越来越顺啦。
在学习数学的道路上，每一个公式都是我们前进的工具，而双曲线的焦三角面积公式就是其中一个很有用的工具。
希望大家都能掌握它，让数学变得更有趣、更简单！。
椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式及应用
椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式及应用
张扩社
【期刊名称】《课堂内外?教研论坛》
【年(卷),期】2011(000)003
【摘要】@@ 椭圆和双曲线是解析几何中的两个重要的知识点,也是历年高考中必考的知识点.两个焦点是两种曲线的关键点,而满足一定条件的动点则构成椭圆和双曲线.动点JP与两个焦点F1、F2则可以构成一个三角形,涉及△F1PF2的有关计算与论证问题常出现在选择与填空题中.
【总页数】2页(P47-48)
【作者】张扩社
【作者单位】礼县实验中学,甘肃,陇南,742200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝
2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝
3.椭圆、双曲线焦点三角形的性质及应用
4.椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
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双曲线焦点三角形公式面积
双曲线焦点三角形公式面积好的，以下是为您生成的关于“双曲线焦点三角形公式面积”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，双曲线就像一个神秘又有点调皮的小家伙。
今天咱们就来聊聊双曲线里一个挺重要的东西——焦点三角形的面积公式。
记得有一次，我在给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这双曲线焦点三角形的面积公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没直接回答他，而是在黑板上画了一个大大的双曲线。
咱们先来说说啥是双曲线的焦点三角形。
它其实就是由双曲线的两个焦点和双曲线上的一点构成的三角形。
而这个三角形的面积公式呢，是S=b²cot(θ/2) ，这里的 b 是双曲线的虚半轴长，θ 是双曲线焦点三角形的顶角。
就拿这个公式来说吧，可别小瞧它，它用处大着呢！比如说，当咱们已知双曲线的方程，又知道焦点三角形的某个角，就能很快算出这个三角形的面积。
有一道题是这样的，已知双曲线方程为 x²/9 - y²/16 =1 ，焦点三角形的顶角为 60°，那咱们就能用这个公式算面积啦。
先算出 b² = 16 ，然后 cot(60°/2) 也能算出来，最后一乘，面积就出来了，是不是挺神奇？还有一次做练习题，有个题给出了焦点三角形的面积和双曲线的一些参数，让求某个角的大小。
这时候这个公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解题的大门。
其实啊，数学里的这些公式就像是一个个小工具，只要咱们掌握了，用对了地方，就能解决好多难题。
就像这个双曲线焦点三角形面积公式，刚开始可能觉得它有点复杂，不好理解，但多做几道题，多琢磨琢磨，就能发现其中的乐趣和奥妙。
再比如说，在实际生活中，工程师设计桥梁的时候，可能就会用到双曲线的知识，那焦点三角形的面积公式说不定也能在其中发挥作用呢。
总之，双曲线焦点三角形的面积公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就能把它变成咱们解题的得力助手。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一） 【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考． 一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===． 证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=． 【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=． 注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-， 双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-， 则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型： （一）公共点问题； （二）公共焦点三角形问题； （三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题； （五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题； （七）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题； （八）求2212ke le +（,k l 为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法． （一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110xC y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________． （二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.4．椭图221:116x y C m +=与双曲线222:18x y C n-=有相同的焦点1F ，2F ，P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．（三）角度问题5．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（ ） A ．79B ．29C ．14D ．19例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________． 【强化训练】 一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b -=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．7y x =B ．y =C ．y =D ．y = 9．若椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F △的面积是A ．4B ．2C ．1D 1 （2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:122x y C -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D 0y ±=（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆2214924x y +=和双曲线22124y x -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∠的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若()1F ，)2F 是椭圆1C ：2218x y m+=与双曲线2C ：2214x y n -=的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则12F PF ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π （2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22810x y -=1B ．2245x y -=1C ．2254x y -=1D ．22108x y -=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（ ）A ．1PF =B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，点P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，下列说法中正确的有（ ）A ．若a ＝2，b12PF PF ⊥，则1232PF F S =△ B ．若a ＝2，b212PF F F ⊥，则22e =C ．若a ＝5，m ，则b n +∈D ．若123F PF π∠=，且2e ∈，则1e ∈⎣⎦三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆2212449x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为______．18．已知椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，若P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=______.19．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m+=>和双曲线()2210xy n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是________． （2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>与双曲线2222:1(0)x C y m m -=>有公共焦点12,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是12F PF ∠的角平分线，O 为坐标原点，1F G 垂直射线PI 于H 点，若1OH =，则=a _________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若122PF PF ⋅=，则22b n +的值为_____________. （2022宁夏中卫·三模（理））22．已知椭圆()222:103x y C b b+=>与双曲线221:1C x y -=共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点（1F 、2F 为椭圆C 的两个焦点）．又O 为坐标原点，当ABO 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________． ①1b =；①当点P 在第一象限时坐标为⎭； ①直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值12-；①12F PF ∠的角平分线PH （点H 在12F F ．参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =， 联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=， 故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点， 设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．A【分析】由两曲线有相同焦点可得,m n 的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点P 到两焦点的距离，为确定值，因此当12PF PF ⊥时，12PF F △面积最大，同时求出,m n 验证正确性． 【详解】由题意168m n -=+，即8m n +=，0,0m n >>．不妨设P在第一象限，则12128PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩易知当12PF PF ⊥时，1212142PF F S PF PF ∆==． 此时22212448c PF PF =+=，212c =，4m n ==，满足题意． 故选：A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键． 5．A【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．【详解】由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF 124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 6．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 7．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =， 又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：A ． 8．A【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P 是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上， 求出P 点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.【详解】对于椭圆2219x y += ，易得椭圆的半焦距的平方28c = ，即双曲线的半焦距的平方=8；对于双曲线22221x y a b-= ，有2228a b c +== …①，12120,PF PF PF PF =∴⊥ ，即P 点是在以原点为圆心，半径为c 的圆上，设()00,P x y ，则有22002200198x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得2200631,88x y == ， 代入双曲线方程并与①联立：22226318818a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩，化简后得：4216630a a -+= ，()()22790aa --= ，解得27a = 或9，由①可知：28a ＜ ，227,1ab ∴== ，双曲线的方程为：2217x y -=，渐近线方程为y = ；故选：A. 9．C【分析】由已知条件求得2211m n -=+，进而得出222m n -=，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点P 的纵坐标，并求得12F F ，由此可计算得出12PF F △的面积.【详解】由于椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，则2211m n -=+，可得222m n -=，联立22222211x y m x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2222222222m n x m n y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，12F F =因此，12PF F △的面积是121211122PF F S F F ==⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D【分析】首先求出2C 的焦点坐标，从而求出m 的值，即可得到1C 的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线222:122x y C -=中22a =、22b =，所以2224c a b =+=，即2C 焦点坐标为()2,0±，因为双曲线()221:10y C x m m --=≠与222:122x y C -=共焦点，所以()14m +-=， 解得3m =-，所以双曲线221:13y C x -=，则1C0y ±=； 故选：D 11．D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立1||PF 与2||PF 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距12||10F F =，由椭圆、双曲线定义得：1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式平方相加得：2221212||||100||PF PF F F +==，于是有122F PF π∠=，所以12F PF ∠的值为2π. 故选：D 12．B【分析】根据已知和渐近线方程可得b a =，双曲线焦距26c =，结合a b c 、、的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①. 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点， 双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9①.由①①解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 13．B【分析】根据题意，求得参数,m n ，再利用椭圆和双曲线定义，求得12,F P F P ，利用余弦定理，即可求得12F PF ∠.【详解】由题可知：85m =+，54n =+，解得3,1m n ==， 不妨设P 为12,C C 在第一象限的交点，12,F P x F P y ==，由椭圆和双曲线定义可得：4,x y x y -=+=22x y =+=，则2224,4x y xy +==，又12F F =在①12F PF 中，由余弦定理可得：(2221224201cos ?282x y F PF xy+--∠===，则123F PF π∠=. 故选：B. 14．B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b故所求的双曲线方程为2245x y -=1. 故选：B. 15．BD【解析】先由两曲线的焦点相同，求出2b ，可判断BC 选项；再将两曲线联立，求出点P 的坐标，可判断AD 选项，【详解】因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ， 所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确； 因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ， 因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P SF F y =⋅=D 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解. 16．BD【分析】对于A ，求出12PF F S 即可判断，对于B ，可求出2232b PF a ==，152PF =，然后由双曲线的定义可得12m =，即可判断，对于C ，可得2218b n+=，然后设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，利用三角函数的知识可判断，对于D ，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得2212134e e +=，然后可判断.【详解】对于A ，若a ＝2，b 12PF PF ⊥则1222tantan 452PF F Sb θ=⋅=⋅︒A 错误对于B ：若a ＝2，b ①c ＝1212PF F F ⊥ ，2232b PF a ∴==，1224PF PF a +== 152PF ∴=所以1253122PF PF -=-= 12m ∴=， 22ce m == ，故 B 正确 对于C ，若a ＝5，m 因为椭圆与双曲线共焦点 2222a b m n ∴-+= 2218b n ∴+=设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则(6sin 4b n πθθθ⎛⎫⎤+=+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故C 错误 对于D ，设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，可得22222222242cos 22()3c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即2212134e e +=，当2e ∈时可得1e ∈⎣⎦，故D 正确故选：BD17．221169y x -=【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，由离心率求出a ，再由222b c a =-求出2b ，从而可求出双曲线的方程 【详解】由2212449x y +=可得焦点坐标为(0,5),(0,5)-， 由题意设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则554c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，得54c a =⎧⎨=⎩， 所以22225169b c a =-=-=，所以双曲线方程为221169y x -=，故答案为：221169y x -=18．3【分析】由题意可得，12124,2PF PF PF PF +=-=，两式平方相减可得12PF PF ⋅的值. 【详解】解：因为椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，且P 为两曲线的一个交点，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以22112222112221624PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩, 两式相减得，12412PF PF ⋅=，所以 123PF PF ⋅= 故答案为：3【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题. 19．1【解析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义整理得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，由焦点相同可得2m n -=，结合余弦定理可证明1290F PF ∠=︒，从而可求出面积.【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 s t s t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2222 s t m n st m n ⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n+--+-∠==-，①11m n -=+，①2m n -=，①12cos 0F PF ∠=，①1290F PF ∠=︒． ①12F PF △面积为112st =，故答案为:1.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.20【分析】由题意可得2OH GF 且212OH GF =,再结合双曲线的定义可得1m =，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.【详解】解：由PI 是12F PF ∠的角平分线，1F G 垂直射线PI 于H 点，则点H 为线段1F G 的中点，且1PG PF =,又O 为线段12F F 的中点，则2OH GF 且212OH GF =, 又1OH =,则22GF =,由双曲线的定义可得21222m PF PF GF =-==, 则1m =，又椭圆与双曲线有公共焦点， 则2211a m -=+， 则23a =，即a =【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题. 21．2【分析】不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=，故()()22221212448PF PF PFPF a m +--=-=，解得答案.【详解】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=.()()22221212124448PFPF PFPF a m PF PF +--=-=⋅=，即222a m -=，即222b n +=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．①①【分析】求出b 的值，可判断①的正误；设点()00,P x y 在第一象限内，利用基本不等式求得ABO 面积的最小值，利用等号成立可求得a 的值，可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；利用等面积法可求出PH 的长，可判断①的正误.【详解】对于①，双曲线1C的焦点坐标为()，所以，232b -=，0b >，1b ∴=，①正确；对于①，由于椭圆的对称性，设点P 为第一象限内的点，设点()00,P x y ，则220013x y +=，先证明椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 联立00221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22002330x x x y -+-=，即220020x x x x -+=，解得0x x =.所以，椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 所以点03,0A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、010,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由基本不等式可得22000013x y y +=，可得00x y ≤000013133222ABOSx y x y =⋅⋅=≥0y ==0x =0y =①错误； 对于①，00OP y k x =，003l x k y =-，所以，13OP l k k =-，①错误；对于①，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，22622⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 在圆222x y +=上，则12PF PF ⊥， PH m =，由等面积法可得()1212116sin 45222F PF S PF PF m =⨯=⨯+⋅=△，解得m =故答案为：①①.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.。
高三数学锥曲线中焦三角面积公式的应用
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b 和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为θ，F 1、F 2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b 2tan 2θ,在双曲线里焦三角的面积S=b 2cot 2θ。
下面我们给出证明：若P 是椭圆22221x y a b+=（a>b>0）上一点，F 1、F 2是两个焦点，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,三角形PF 1F 2的面积为S ，则S=121sin 2r r θ……（1） 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理（2c ）2=222121212122cos ()2cos r r rr r r rr θθ+-=+-, (2)又r 1+r 2=2a ,……(3)代入（2）得：4c 2=4a 2-θcos 221r r ∴r 1r 2=θcos 22b 代入（1）中可得S=b 2tan2θ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b 2cot 2θ。
在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1（2004年高考福州）已知P 是椭圆2214x y +=的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积是___________。
由椭圆的焦三角面积公式，这里θ=600，2θ=300得△PF 1F 2 例2.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. C. 32 D. 42 解：由三角形外角性质可得∠F 1PF 2=3π，即θ=3π，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b 2cot2θ=16cot 6π故选A 。
例3.在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解51---椭圆、双曲线的二级结论的应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解 第51讲 椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ， 则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tanθ2. 例1(2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( )A ．2B ．4C ．6D ．12 答案 D解析 由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ， 因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π， 所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33， 所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义． (2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62 答案 D解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°， 即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62.考点二 焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2a b 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________． 答案x 23－y 24＝1解析 如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ， 又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2， 即32t ＝2a b2， 又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2， 又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7， 解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立．跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案83 －13解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， 即12＋1|BF 2|＝84， 解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6， |BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三 周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024 答案 B解析 由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法 周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12， 且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1， 又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四 过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0yb 2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析 连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0， 又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20， 又x 24＋y 20＝1， 所以x 20＝4－4y 20，所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1，当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1，即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立， 所以|AB |max ＝1， 此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2，即R ＝2∈(1,2)， 故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1. 跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 由已知可得F (1,0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1， 因为切线AM ，AN 过点A (3，t )， 所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)， 所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上， 所以M ，N ，F 三点共线， 所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295 B.303 C.355 D.305答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25， 即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355.2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析 如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形，∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tanπ4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析 如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B 两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3答案 A解析 如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ，∵∠ADO ＝∠AOD ，∴k AP ＝－k AB ＝－k ，又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k， 依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2， ∴－1k ·(－k )＝b 2a 2， ∴b 2a 2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35答案 BD解析 设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， ∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2， ∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34，∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2， ∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2，∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误； 若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)，∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确． 6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1答案 ACD解析 对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1， 因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3， 得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确； 对于B ，因为c a＝2， 所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3， 又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误； 对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ， 则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a ，tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a， 所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a＝tan ∠PF 1A 2， 因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确．7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案32解析 如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43，∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q， 又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a 2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14， 即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析 设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0，k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12，所以k PN ＝－12k PM ＝y12x 1， 所以k PM ＝－x1y 1.所以k MN ×k PM ＝y1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1， 所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。
双曲线的焦点三角形的面积的公式
双曲线的焦点三角形的面积的公式在我们学习圆锥曲线的时候，双曲线总是让人又爱又恨。
今天咱们就来好好聊聊双曲线的焦点三角形的面积公式。
先来说说啥是双曲线的焦点三角形。
简单来讲，就是以双曲线的两个焦点和双曲线上任意一点构成的三角形。
这个三角形在解题中可有大用处呢！那它的面积公式到底是啥呢？如果设双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a\gt 0\)，\(b\gt 0\)），两个焦点分别是\(F_1\)，\(F_2\)，点\(P\)为双曲线上的一点，\(\angleF_1PF_2 = \theta\)，那么焦点三角形\(\triangle F_1PF_2\)的面积就可以用公式\(S_{\triangle F_1PF_2} = b^2 \tan\frac{\theta}{2}\)来计算。
这个公式看起来好像有点复杂，但是用起来可顺手啦！比如说，有一道题给出了双曲线的方程和焦点三角形的一个角度，让我们求面积。
这时候，咱们只要把相关的数据代入这个公式，就能轻松算出答案。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都理解不了。
我就给他举了个例子，假设我们在操场上画一个双曲线的形状，然后我和他分别站在两个焦点的位置，再找另一个同学站在双曲线上的一点，形成一个焦点三角形。
然后我们一起测量角度，计算面积。
通过这样直观的方式，他终于恍然大悟，那种成就感可太棒了！在实际解题中，这个公式能帮我们节省不少时间和精力。
比如说，如果已知双曲线的方程和焦点三角形的某个内角，那我们就可以直接套用公式求出面积，不用再去费劲地找边长、求高什么的。
再比如，当我们遇到一些综合性的题目，需要通过焦点三角形的面积来反推其他条件的时候，这个公式也能发挥关键作用。
总之，双曲线的焦点三角形的面积公式虽然只是圆锥曲线众多知识点中的一个，但它的作用可不容小觑。
只要我们掌握好了，就能在解题的时候更加得心应手。
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F 证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）A. 1B.25C. 2D. 5解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF ⋅的值是___________.解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF PF例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b又,2122=+=ab e.41212=+∴a从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112422=-x y . 金指点睛1. 已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则21PF PF •的值为( )A. 2B. 3C. 2-D.3-2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ）A. 34 B. 35 C.332 D.3 4. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则△F 1PF 2面积为( )A ．163B ．323C ．32D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6. 已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.参考答案1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ.又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF •=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A.2. 解：Θ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot 22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .故答案选C.3. 解：Θ021=⋅MF MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .故答案选A.5. 解：由14491622=-y x 得116922=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800πθ）. ∴2cot 162cot221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||212121=⋅⋅=∆PF PF S PF F . ∴2cot sin θθ=，即2sin2cos 2cos 2sin 2θθθθ=.整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ.故21PF F ∠的大小为︒90.6. 解：设θ=∠21PF F ，Θ021=⋅PF ∴︒=90θ.∴22245cot 2cot21b b b S PF F =︒==∆θ.又Θab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=. 得2=ab. ∴离心率5)(12=+=ab e .。
高三数学二轮复习冲刺：双曲线焦点三角形的十大应用
双曲线焦点三角形的十大结论一．基本原理本节中约定已知双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a 如图，顶点),(00y x P 在第一象限，.),(,212112γβαβα=∠>=∠=∠PF F F PF F PF 对于双曲线焦点三角形，有以下结论：1.如图，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.证明：由余弦定理可知2221212122cos F F MF MF MF MF θ=+-⋅．由双曲线定义知||21||||2MF MF a -=，可得222122124MF MF MF MF a+-⋅=所以2221424c MF MF a =⋅+-2121222cos 1cos b MF MF MF MF θθ⋅⇒⋅=-则22221222sincos 112sin 22sin cot 221cos 22sin tan 22i MF b b b S MF MF b θθθθθθθθ∆⋅=⋅⋅=⋅===-．2.如图，有γcos 12221-=⋅nPF PF ，cn y p 2cot 2γ=3.离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22-+=-===a c a c e .4.若21PF PF λ=，则有222)11(21c m n S PF F --+=∆λλ.5.若λ=OP ，则有2221m n S PF F -=∆λ.6.焦半径公式：如图，对于双曲线，a ex PF a ex PF -=+=0201,，对双曲线，其焦半径的范围为[)+∞-,m c .7.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0,(≠<<-=y b y b a x .证明：设内切圆与1212,,PF PF F F 的切点分别为,,M N T ，则由切线长定理可得1122,,PM PN F M FT F N F T ===,因为1212122PF PF F M F M F N F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=，所以2F T c a =-，所以点T 的坐标为(,0)a ，所以点I 的横坐标为定值a .8.如图，直线)0(≠=k kx y 与双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，C 的左右焦点记为F F ,'，则BF AF '为平行四边形.结论9.已知具有公共焦点21,F F 的椭圆与双曲线的离心率分别为P e e ,,21是它们的一个交点，且θ221=∠PF F ，则有1)cos (sin (2221=+e e θθ.证明：依题意，在21PF F ∆中，由余弦定理得θ2cos 2212221221⋅⋅-+=PF PF PF PF F F )sin (cos 222212221θθ-⋅⋅-+=PF PF PF PF ()()22122212cos sin PF PF PF PF -++=θθ，所以1)(cos )(sin 221212221212=-⋅++⋅F F PF PF F F PF PF θθ，即1)cos ()sin (2221=+e e θθ.结论10.如图，过焦点2F 的弦AB 的长为t ，则1ABF ∆的周长为t m 24+.二．典例分析例1．已知12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，若12F PF 的面积是1，则12PF PF ⋅的值是__________．解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：22,cotcot 122F PF S b θθ∆=⋅==，所以452θ︒=，即90θ︒=．所以12PF PF ⊥ ，从而120PF PF ⋅=．例2．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF PF ⋅=（）A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：222,60cot 1cot 22F PF S b θ︒∆===1212113sin 60222PF PF PF PF ︒⋅=⋅⋅所以124PF PF ⋅=．故选B ．例3已知12,F F 为双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，点()00,M x y 在C 上，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：由题意知12(F F ，且220012x y -=，即22022x y =+，所以())222120000000,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=+-=-<，解得033y -<<，故选A ．例4.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 30tan2PF F b S θ===︒.例5.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.解析：记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 2θ=，故122tan2PF F b S θ== .例6.已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 60tan2PF F b S θ===︒，又121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅ 12PF ⋅=故124PF PF ⋅=，由双曲线定义，122PF PF -=，解得：11PF =例7.（1）双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ,过焦点1F 的直线与该双曲线的同一支交于A 、B 两点,且m AB =，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长为（）A.a 4 B.m a -4 C.ma 24+ D.ma 24-（2）设1F 与2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足︒=∠9021PF F ,则21PF F ∆的面积是（）A.1B.25 C.2D.5例8．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F '，右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足60F AF '∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是__________.解析：由条件可得2BF BF AF AF a ''-=-=，3BF AF =，BF AF '=，则=AF a ，3BF a =，3AF a '=，所以在F AF '△中，2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠，即222214962c a a a =+-⨯，即2247c a =，则c a =，所以双曲线C 的离心率为：c e a ==故答案为：2.例9．如图所示,已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,双曲线C 的右支上一点A ,它关于原点O 的对称点为B ,满足120AFB ∠=︒,且3BF AF =,则双曲线C 的离心率是______.解析：设双曲线的左焦点为F ',连接AF ',BF ',根据双曲线的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得32BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=,则=AF a ,3BF a =,60F AF '∠=︒,所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''=-⋅∠'⋅'+,即222214962c a a a =+-⨯,即2247c a =，所以双曲线C 的离心率为:c e a ==故答案为：2.例10．如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB△是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.解析：设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，12,2,22AB m BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，22222210109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：102例11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线交于点P ，12||||PO F F =，椭圆和双曲线的离心率分别是1e 、2e ，那么221211e e +=__________（点O 为坐标原点）．解析：设椭圆的长半周长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，它们的半焦距都为c ，并设12,PF m PF n ==，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得122,2m n a m n a +=-=，在1POF ∆中，由余弦定理得22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在2POF ∆中，由余弦定理得22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由12POF POF π∠=-∠,两式相加，则22210m n c +=，又由()2222212222m n m n mn a a +=+-=+，所以222222121222105a a c a a c +=⇒+=，所以2212225a a c c +=，即2212115e e +=.例12.双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.解析：由题意，1a =，b =2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =-，因为1235PF PF =，所以00321521x x +=-，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±.例13.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，双曲线222222:12x y C b a b -=-，1F ，2F 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若△12PF F 的内切圆的圆心的横坐标为1，1C 和2C 的离心率之积为83，则实数a 的值为（）A．3B．4C．5D．6解析：不妨设点P 在第一象限，设 12PF F 的内切圆的圆心为I ，且与1PF ，2PF ，12F F 的切点为M ，N ，K ，可得||||PM PN =，2211,F K F N MF F K ==，由双曲线的定义可得122PF PF b -=，即有122F K F K b -=，又122F K F K c +=，可得1F K c b =+，可得内切圆的圆心I 的横坐标为1b =，1C 和2C 的离心率之积为83，可得11813a =解得3a =，故选：A ．。
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双曲线焦点三角形面积公式的应用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）
定理 在双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意
一点，θ=∠21PF F ，则2
cot
2
21θ
⋅=∆b S PF F .
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得
.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ、
配方得：.4cos 22)(2
21212
21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =-+θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ-=--=∴b a c r r
由任意三角形的面积公式得：
2cot 2
sin 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=-⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
cot 221θ
⋅=∴∆b S PF F
同理可证，在双曲线122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 设1F 和2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）
A. 1
B.
2
5
C. 2
D. 5
/
解：,145cot 2
cot
221=︒=⋅=∆θ
b S PF F ∴选A.
例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.
解: ,12
cot
2
cot
221==⋅=∆θ
θ
b S PF F ︒=∴
452
θ
,即.90︒=θ
∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF
例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.
解：由31230cot 2
cot
2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ
得：.122=b
又,2122
=+=a
b e
.41212
=+
∴a
从而.42
=a ∴所求的双曲线的标准方程为
112422=-y x ，或112
42
2=-x y . 金指点睛
`
1. 已知双曲线14
22
=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF •的值为( )
A. 2
B.
3 C. 2- D. 3-
2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且
2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）
A. 13222=-y x
B. 12322=-y x
C. 1422=-y x
D. 1422
=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，
则点M 到x 轴的距离为（ ） A.
34 B. 3
5
C. 332
D.
3
4. 双曲线
116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3
π
则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163
B ．323
C ．32
D ．42
[
5. 双曲线1449162
2
=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且
32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.
6. 已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，
ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.
参考答案
1. 解：32cot
2cot
221===∆θθb S PF F ，∴
︒=︒=60,302
θθ
.
又3sin ||||2
1
2121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF .
∴21PF PF •=22
1
4cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF .
故答案选A.
2. 解： ,21PF PF ⊥∴122
1
||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2
cot
22221==︒==∆b b b S PF F θ
，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .
~
故答案选C.
3. 解： 021=⋅MF MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22
cot
2
21=︒==∆θ
b S MF F .
点M 到x 轴的距离为h ，则23||2
1
2121===⋅⋅=
∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.
4. 解：设θ=∠21PF F ，则3
π
θ=
. ∴3166
cot
162
cot
221===∆π
θ
b S PF F .
故答案选A.
5. 解：由1449162
2
=-y x 得
116
92
2=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2
cot 162cot
221θ
θ
==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||2
1
2121=⋅⋅=
∆PF PF S PF F . ∴2cot sin θθ=，即2
sin
2cos 2
cos 2sin 2θ
θ
θ
θ=
.
[
整理得：21
2
sin 2
=
θ
，∴222sin =θ，︒=452
θ，︒=90θ.
故21PF F ∠的大小为︒90.
6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF PF ∴︒=90θ.
∴22245cot 2
cot
21b b b S PF F =︒==∆θ
.
又 ab ab PF PF S PF F 2421
||||212121=⨯=⋅=
∆， ∴ab b 22=. 得2=a
b
.
∴离心率5)(12=+=a
b e .
…
?。