八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案

分式的化简与求值

典例剖析

【例l 】 已知2

310a a -+=，则代数式3

61

a a +的值为 ．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a

+=，需要对所求代数式变形含“1

a a +”．

【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，

356

124234567

a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944

（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．

【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．

求

222

()()()()()()

()()()

x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．

【例4】 已知

1,2,3,xy yz zx

x y y z z x

===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）

解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．

【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111

a b c a b c

++=

++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．

解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．

（北京市竞赛试题）

【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=

②

1

4

b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．

（全国初中数学联赛试题）

能力训练

1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d

-+-+-+的值是 ．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知2

131

x

x x =-+，则242

91x x x =-+ ． （广东竞赛试题）

3．若2

2

2

1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c

++--- 的值为 ．

（“缙云杯”竞赛试题）

4．已知

232325

x xy y x xy y +-=--，则11

x y -= ．

5．如果111,1a b b c

+

=+=，那么1

c a +=（ ）．

A ．1

B ．2

C ．12

D ．1

4

（“新世纪杯”竞赛试题）

6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则

222222222

111

b c a c a b a b c

+++-+-+-的 值为（ ）．

A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．不能确定

7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则222

222

23657x y z x y z

++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定

8．已知211

x

x mx =-+，则36

33

1x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．

313m + C ．2132m - D ．2

131

m + 9．设0a b c ++=，求222

222222a b c a bc b ac c ab

+++++的值．

10．已知111

x y z y z x

+

=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）

11．设,,a b c 满足

1111

a b c a b c

++=

++， 求证212121212121

1111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）

（波兰竞赛试题）

12．三角形三边长分别为,,a b c ．

（1）若a a b c

b c b c a ++=

+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111

a b c a b c

-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．

13．已知1ax by cz ===，求

444444

111111

111111a b c x y z

+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）

14．解下列方程（组）： （1）

1827

2938

x x x x x x x x +++++=+

++++； （江苏省竞赛试题）

（2）

5968419221

19968

x x x x x x x x ----+=+

----； （“五羊杯”竞赛试题）

（3）111211131114

x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪

+⎩．

（北京市竞赛试题）

B 级

1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c

=

++， 111111

()()()y a b c b c c a a b

=+++++，则23x y xy ++= ．

2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b

+++==，则

()()()

a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．