(精选)复合材料力学课件第02章_各向异性弹性力学基础

有一个弹性对称面的材料
同理：
S11 S12 S13 0
S1
2
S22
S23
0
0 S16
0
S
2
6
s
S1
3
S23
S33
0
0
S
3
6
0 0 0 S44 S45 0
0
0
0
S45 S55
0
S16 S26 S36 0 0 S66
18
三、正交各向异性（9个弹性常数）
如果具有三个正交弹性对称面，则：
2
工程应力
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
3
工程应变
x
ຫໍສະໝຸດ Baiduxy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
4
几何关系方程
x
u x
,
v y y ,
z
w z
,
yz
w y
v ; z
zx
u z
w x
;
xy
v x
u . y
5
变形协调方程 （1）
2 x y 2
2 y x2
16
有一个弹性对称面的材料
为保证W值不变,将含有xz和yz(4与 5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立
变量。
C11 C12 C13 0 C12 C22 C23 0
0 C16
0
C
26
C C13 C23 C33 0
0
C
36
0 0 0 C44 C45 0
0
0
0
C45 C55
0
C16 C26 C36 0 0 C66 17
同样，可用应力分量表示应变分量：
S
[S]＝[C]-1—柔度矩阵。 同样， [S]也是对称矩阵，它也有
21个独立变量。
10
§2.2
§2.2 各向异性弹性体的 本构方程
➢ 完全各向异性
➢具有一个弹性对称面的材料 ➢ 正交各向异性材料 ➢ 横观各向同性材料 ➢ 各向同性材料
11
§2.2
x 1 y 2 应 力 z 3 yz 4 zx 5 xy 6
0 0 0 S44 0 0
0
0
0
0
S55
0
0 0 0 0 0 S66
只有九个独立系数
（后面再详细讨论）
20
四、横向同性（5个弹性常数）
各向同性面—在该平面内，各点的弹 性性能在各方向上相同。
假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性 面。
则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55
14
二、有一个弹性对称面（13个弹性常数）
取xOy坐标面为弹性对称面，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。 xy面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴15 .
有一个弹性对称面的材料
此时：z=-z’，w=-w’， yz w yzv(w yvz)yz4 zx zuw x(uzw x)yz5
第二章 各向异性 弹性力学基础
§2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数
回总目1录
§2.1(1)
§2.1 各向异性弹性力学 基本方程
各向异性弹性力学基本方程包括：
1∘工程应力方程 2∘工程应变方程 3∘平衡方程
4∘几何关系方程 5∘变形协调方程 6∘物理方程
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
2 z x2
2 x z2
2 xz zx
6
变形协调方程（2）
x
xz
y
xy
z
yz
x
2
2 x
yz
y
xy
z
yz
x
zx
y
2 2 y
zx
z
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 z
xy
7
平衡方程
x
x
xy
y
xz
x 1 y 2 应 变 z 3 yz 2yz 4 zx 2zx 5 xy 2xy 6
12
§2.2
应变势能密度为：W11C
W
1 2
C1112
C121 2
C131 3
2
C141 4
2
C151 5 C161 6
1 2
C22
2 2
C23 2 3
C24 2 4
C25 2 5
C26 2 6
SS3411
S32 S42
S33 S43
S34 S44
S35 S45
SS3466yzz
z
x
xy
S51 C61
S52 C62
S53 C63
S54 C64
S55 C65
CS5666
zx xy
各向异性体具有耦合现象：剪应力可以引起 正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。
注意：各向同性体无此耦合现象。
21
横观各向同性材料
又设某点应力状态：1= ， 2= － ， 4= 5＝ 6，有
W 1 2 S 11 2 S 12 2 1 2 S 11 2S 1 1S 122
将1、2坐标轴在面内转450到1 ’、2’，
则1’= 2’＝ 3’＝0， 6’ ＝1’2’＝－ ，
2’3’＝
3’1’
＝0：
W
1 2
1 2
C33
2 3
C34 3
4
C35 3 5
C36 3
6
1 2
C44
2 4
C45
4 5
C46
4 6
1 2
C55
2 5
C56 5 6
1 2
C 2 6613 6
一、完全各向异性（21个弹性常数）
x y
S11 S21
S12 S22
S13 S23
S14 S24
S15 S25
S16x
S26
y
z yz
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366
z yz
zx xy
C51 C61
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56
zx
C66 xy
记作{}=[C]{}， [C]—刚度矩阵，
可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只 有21个独立变量。
9
物理方程
c11 c12 c13 0 0 0
c12
c22
c23
0
0
0
c
c13 0
c23 0
c33 0
0 c44
0 0
0
0
0
0
0
0
c55
0
0 0 0 0 0 c66
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2.2.2正交各向异性材料
S11 S12 S13 0 0 0
S1
2
S22
S23
0
0
0
S
S1
3
S23
S33
0
0
0
S66 6
则：S66＝2(S11 –S12)
22
横观各向同性材料
S11 S12 S13 0 0
S12 S11 S13 0
0
0
0
S S13 S13 S33 0
0
0 0 0 S44 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
S44
z
fx
2u t 2
yx
x
y
y
yz
z
fy
2v t 2
zx
x
zy
y
z
z
fz
2w t 2
注：以上关系与各向同性体相同
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物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
C15 C25
CC1266
x y
z
yz
C31 C41