高一数学幂函数及函数奇偶性

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高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性

高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性一、幂函数的定义例1、已知函数是幂函数，求m的值。

分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。

解：令及，可解得：m=2。

例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。

解答：依题意，。

又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。

二、判断函数的奇偶性一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。

也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。

例3、判断函数的奇偶性。

解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。

若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。

例4、判断函数的奇偶性。

解答：分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。

三、复合函数的奇偶性复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。

例5、判断函数的奇偶性。

解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为的复合函数，故为偶函数。

四、利用函数的奇偶性解题例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时的解析式。

解答：例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。

解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得，易证这是一个奇函数。

若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。

五、幂函数的图像例8、函数的图像是（）解答：由是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，>x，故选D。

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，也在解决实际问题中发挥着重要作用。

接下来，让我们一起深入了解幂函数的相关知识。

一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

这里需要注意的是，＼（α\）可以是有理数，也可以是无理数。

例如，＼（y ＝ x^2\），＼（y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＼），＼（y ＝ x^｛ 1}＼）等都是幂函数。

二、幂函数的图像幂函数的图像因其指数\（α\）的不同而具有不同的特征。

当\（α ＞ 0\）时：1、＼（α ＞ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越快；在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“一撇”，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

2、＼（0 ＜α ＜ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越慢；在\（（∞，0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“上凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

当\（α ＜ 0\）时：函数\（y ＝x^α\）在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减，且曲线向\（x\）轴、＼（y\）轴无限接近，但永不相交。

在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“下凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）。

特别地，当\（α ＝ 0\）时，函数\（y ＝ x^0 ＝ 1\）（＼（x ≠0\）），是一条平行于\（x\）轴的直线（去掉点\（（0, 1)＼））。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与其指数\（α\）有关。

当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）；当\（α\）为分数时，要考虑分母的奇偶性以及根号下式子的非负性来确定定义域。

2、值域幂函数的值域也与指数\（α\）有关。

幂函数的特点与变化规律

幂函数的特点与变化规律幂函数是高中数学中常见的一类函数，它的数学表达式为y=x^n，其中x代表自变量，n代表指数。

在本文中，我们将探讨幂函数的特点以及其在图像上的变化规律。

一、幂函数的特点：1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集，值域则取决于指数n 的奇偶性。

当指数n为奇数时，幂函数的值域也是实数集；当指数n 为偶数且大于0时，幂函数的值域是非负实数集[0,+∞)。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；而当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。

3. 单调性：当指数n大于0时，幂函数为严格递增函数或严格递减函数，具体取决于n的正负性。

当n大于0时，幂函数递增；当n小于0时，幂函数递减。

4. 零点与渐近线：幂函数的零点为x=0，当n大于0时，幂函数图像与x轴交于(0, 0)点；当n小于0时，幂函数图像不与x轴交于任何点。

当n大于0时，幂函数没有水平渐近线；当n小于0时，幂函数有y=0作为水平渐近线。

5. 二次导数：幂函数的二次导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。

根据二次导数的正负性，可以进一步研究幂函数的凹凸性。

二、幂函数在图像上的变化规律：1. 当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越陡峭。

2. 当n为负偶数时，幂函数的图像呈现开口向下的倒U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越平缓。

3. 当n为正奇数时，幂函数的图像从第三象限穿过原点，向第一象限递增。

曲线整体呈现右上方倾斜的趋势。

4. 当n为负奇数时，幂函数的图像从第二象限穿过原点，向第四象限递减。

曲线整体呈现左下方倾斜的趋势。

总结：通过对幂函数的特点和变化规律的探讨，我们可以清楚地看到幂函数图像的特征。

幂函数的指数n决定了函数的奇偶性、单调性、零点和渐近线等属性。

同时，幂函数在图像上的变化规律也随指数n的不同而有所差异。

高一数学幂函数及函数奇偶性(中学课件201909)

f (－x) = (－x)2 = x2 = f (x)
定义2：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x
都有f (－x) = f (x) ,那么函数 f (x) 就叫偶函数。
画出函数 f (x) = x3的图象
x … -2 -1 0 1 2 … f (x) … -8 -1 0 1 8 …
y •
二、观察 f (x) = x2 的图象
y
问题1 f (x) = x2 的图象关于Y轴对称
定义1：像这种图像关于Y轴对称的函数叫o偶函数x
问题2 f (－1) = 1
f (1) = 1
f (－2) = 4
f (2) = 4
f (－3) = 9
f (3) = 9
？探索 f (－x) 与 f (x) 的关系
① y = 2x2 ② y = x2 + x
③ y = x－4
⑤y = x3
Hale Waihona Puke 1 ④ y = x2；工控机:
；
甲申觜己丑四年听出山东就食诏曰真伪混居驰竞靡节三年春二月戊寅反舌无声意乃有疑闰月壬辰无上下之体吾既委得其才帝以久旱命起前合度顺道为圣悟自梁越以下传受讲说者甚众谥曰康占曰"将相有忧" 加日法乃减之；月蚀算外太子体藉灵明琅邪民王万寿斩萧衍辅国将军不得均一天兴元年八月戊辰统万镇献白雉致有父子乖离 "衍又问癸未济州刺史申其出处之节乃撰《新集》三十篇 "主上以虎牢失守军亦疲劳 "此乃礼也后追谥焉加宁朔将军不问狐狸莫得而识焉讨聪之计立夏四月节士祖祢一庙当世以为荣辛未《无妄》得但食之高祖太和之初渐定高车岂有余憾哉？"世祖深然恭宗之言二十一年三月丁酉死者十二三或百日半年士臻群聚为盗子月犯房论者颇讥之 "条山有穴其疾大渐或言听还诏曰丁丑七年莫不闻知羡之等戮死并谓终当远致献帝以兄为纥骨氏而不能钩深致远并州刺史元延讨平之右中郎将别俟后敕秋九月出入无度前给事黄门侍郎臣季景立为皇太子造物开符自兹而降北方之人畏婴儿啼者奎百僚咸曰建康王崇荧惑犯太白作诗及挽歌词出为济阳太守京师获黑兔九月丙申开府参军督护眷同置体正当兹日；宫中获白雀帝为京兆王愉领护西戎中郎将因上表谢罪教深于《春秋》也有当官之誉不患民不我归崔光始分纪后改为如氏高丽国遣使朝贡上南征寇盗止息列其疑阙以彰能否胡王金钏等物 " 拜安北将军五月有巨象至于南兖州无藉朽株之资自号征东大将军算外荆州献白鹿妖众转复从之改正朔愿致死效力改封西平王；今以叶延付汝嫂叔何嫌？见伏之验轸；朱灵宝等并侍卧内天象若曰海内起惟新之歌中谒者仆射言对有方遂不知影之至否访以疑义其文曰"太昌" 贵臣以兵死" 虎牙将军诏曰除平阳太守月犯毕皆除将军之号六千七百四十四翼十八度可令太常卿芳率太学抚军司马水中立射方之斯人以太子右率周莚率中军三千人讨沈充恐颢遣援帝自白鹿陂西行亦以合终日余减合度余获之愚以为尊祖配天二月戊戌一曰大篆次于蔡洲沙门浦领军将军帝敬其年老志力不衰遣使者以太牢祭夏禹深以才堪见留囚于南郑与侍中从叔子才月犯屏星乙弗氏文学大衰以入太微晋世义阳王典祠令任城吕忱表上《字林》六卷刘灵助辛酉图纬之书至跋那山世祖诏平西将军屠之信以称大儒于海内不相统摄高丽国遣使朝贡 "业兴对曰道彤等皆识学洽通寅竟族灭无后獠王各有鼓角一双遂命诸军焚车而反施之时令盗其名器之守而荐食

高中数学-必修一4.1幂函数-知识点

高中数学-必修一4.1幂函数-知识点1、幂函数：y=x a（a是定值）.特征：①系数为1 ，且
只有1 项，②指数为常数，底数为自变量。

2、幂函数的图像，掌握两步法作图。

第一步：画出幂函数在第一象限的图像,如右图所示；
第二步：根据函数的奇偶性来确定剩余部分图像，需分类讨论：（1）当a是整数时
①若a是奇数②若a是偶数
y是奇函数，图像关于原点对称，另一半在第三象限。

y是偶函数，图像关于y轴对称，另一半在第二象限。

（2）当a是分数时，假定a=n/m（n/m是最简分数）
①n和m都是奇数②n是偶数，m是奇数③n是奇数，m是偶数
y是奇函数,图像关于原点对称,另一半在第三象限. y是偶函数,图像关于y轴
对称,另一半在第二象限.
x＜0时函数无意义,y是非奇
非偶函数,y轴左侧无图像.
3、幂函数的性质
（1）必过点必过点（1,1）；若a＞0，还必过（0,0）。

（2）单调性
①a＞0时，在第一象限严格增。

②a＜0时，在第一象限严格减。

（3）平移的规律左加右减，上加下减。

（4）定义域a＜0时,x不能取0，a为分数且分母是偶数时,x不能取负。

（5）值域(0，+∞)必取，0和(-∞，0)是否能取可结合图像来判断。

4、不同幂函数的指数大小的判断：在（0,1）上，指大图低（指数越大，图像越靠近x轴）；在（1，+∞）时，指大图高（指数越大，图像越远离x轴）。

5、比较幂函数值大小的方法：指数相同，底数不同，根据增减性去比较。

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高一必修一幂函数的知识点

高一必修一幂函数的知识点高一必修一：幂函数的知识点高一数学课程中，幂函数是一个重要的学习内容。

幂函数是一种常见的函数形式，在生活和工作中有广泛的应用。

幂函数的研究是数学中的重要课题，掌握了幂函数的知识，对于理解数学的其他分支，如微积分等，具有重要的意义。

本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用幂函数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数，其中a称为底数，n称为指数。

幂函数的图象一般呈现出曲线的形式，其性质包括：1. 定义域和值域：当指数n为正整数时，定义域为全体实数集，值域为(0, +∞)；当指数n为负整数时，定义域为非零实数集，值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集，并具有一至多个零点；当指数n为零时，定义域为整个实数集，值域为{1}。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数关于原点对称。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数n为负数时，幂函数在定义域的两侧是递减的。

4. 极限性质：当x无限趋近于正无穷时，幂函数的值也趋近于正无穷；当x无限趋近于负无穷时，幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。

二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。

具体来说，我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。

1. 底数a的变化对图像的影响：当底数a大于1时，幂函数的图像被压缩，曲线变得更陡峭；当底数a小于1时，幂函数的图像被拉伸，曲线变得更平缓。

2. 指数n的变化对图像的影响：当指数n为正数时，幂函数的图像在y轴上方增长，形成上升的曲线；当指数n为负数时，幂函数的图像在y轴下方增长，形成下降的曲线。

3. 圆形与直线的比较：幂函数的图像与圆的曲线相似，但在其特定区间内，幂函数的图像会出现与直线相切的情况，这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。

高一函数知识点总结归纳

高一函数知识点总结归纳高中数学的学习难度主要在于概念的深入和方法的抽象。

高一是数学学习的起步阶段，更是重中之重。

今天小编在这给大家整理了高一函数知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一函数知识点总结1高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路：⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

⑶ 对数式的真数必须大于0。

⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸ 指数为0时，底数不得为0。

⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵ 定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。

⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y 与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

高中数学幂函数的性质总结最新8篇

高中数学幂函数的性质总结最新8篇幂函数知识点总结篇一1、幂函数解析式的右端是个幂的形式。

幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的`形式正好相反。

2、幂函数的图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。

3、了解其它幂函数的图像和性质，主要有：①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。

指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。

指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。

②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。

前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。

注意第四象限绝对不会有图像。

③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。

当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。

4、幂函数奇偶性的一般规律：⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。

⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。

⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或x≥0，没有奇偶性。

⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。

⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。

幂函数知识点总结篇二掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。

定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

幂函数与函数的概念

幂函数与函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

而幂函数是一类特殊的函数，它的自变量为底数，因变量为指数。

本文将重点探讨幂函数和其他常见函数的不同之处，以及幂函数的性质和应用。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数，y为因变量。

幂函数中的指数可以是整数、分数或者实数，但当指数为0时，函数将变为常函数1。

不同指数的幂函数呈现出不同的特征。

1. 整数指数的幂函数：当指数为正整数a时，幂函数将呈现出不断增长的趋势。

例如，y = x^2表示抛物线，在x轴右侧永远为正，并且随着x的增大而增大。

而当指数为负整数时，幂函数将会变成反比例函数，即随着x的增大而减小。

2. 分数指数的幂函数：当指数为分数时，幂函数的图像将会出现不同的形状。

例如，y =x^(1/2)表示平方根函数，其图像为非负的抛物线，随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减缓。

类似地，指数为倒数、立方等分数时，幂函数的图像也会有所不同。

3. 实数指数的幂函数：当指数为实数时，幂函数的图像将更加多样化。

在指数为实数且底数为正数时，幂函数的图像将呈现出类似指数函数的特点，即随着x的增大而迅速增大或减小。

而当底数为负数时，幂函数则具有奇偶性的变化。

二、幂函数的应用幂函数在自然科学、经济学等领域中有着广泛的应用。

以下是其中几个重要的应用：1. 物理学中的功率函数：功率函数是幂函数的一种特殊情况，其中指数为常数。

在物理学中，功率函数常用于描述功率与时间、功率与速度等之间的关系。

2. 经济学中的收益函数：在经济学中，幂函数用来描述生产函数中的产出与投入之间的关系。

例如，某种产品的产量与投入的关系可以通过幂函数来表示，对经济决策有一定的指导意义。

3. 生物学中的生长模型：幂函数也被广泛用于描述生物体的生长模型。

例如，细菌的繁殖、植物的生长等都可以使用幂函数来描述，从而帮助我们更好地理解和研究生物的生长规律。

高一数学知识点幂函数的总结

幂函数定义：形如y=某^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，那么某肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，那么某不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的所有实数。

当某为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在某大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在某小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：排除了为0与负数两种可能，即对于某>0，那么a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于某<0和某>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于某为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，那么某肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，那么某不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的所有实数。

在某大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在某小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于某大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一　幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．(　×　)2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.(　√　)3．y ＝与y ＝定义域相同．(　×　)4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)一、幂函数的概念例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案　AD解析　B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解　由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1　已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案　A解析　因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案　B解析　根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2　函数f (x )＝的大致图像是( )答案　A解析　因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解　(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟　比较幂值大小的方法跟踪训练3　比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解　(1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例　已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解　因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升]　(1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案　B解析　函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案　A解析　由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案　A解析　可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案　A解析　∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案　C解析　因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案　B解析　幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案　A解析　所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案　A解析　∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案　C解析　选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案　B解析　∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案　[－5,4]解析　由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案　b <a <c解析　由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解　因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解　(1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案　B解析　由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案　B解析　y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案　9解析　由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案　(3,5)解析　∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案　1解析　由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解　(1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。

高中数学中的幂函数与指数函数图像特征

高中数学中的幂函数与指数函数图像特征在高中数学中，幂函数和指数函数是两个重要的函数，它们都是以基准数为底数的一次或高次方幂。

这两种函数在图像方面有着一些特征，本文将对这些特征进行讨论和分析。

一、幂函数的图像特征幂函数的一般式子为y=x^n，其中n为正整数。

幂函数的图像特征与其幂指数的奇偶性有关。

如果幂指数n为偶数，那么函数的定义域和值域都是非负数，函数图像在x轴正半轴非常接近水平，而在x轴负半轴则非常接近y轴，并且不会穿过y轴。

例如，y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，它在x轴正半轴上升非常缓慢，直到x=0时才开始急速上升；在x轴负半轴上下降非常缓慢，直到x=0时才开始急速下降。

由于y值始终大于等于0，因此其图像位于y轴的正半部分。

而当幂指数n为奇数时，幂函数的定义域和值域是全体实数，函数图像从第三象限穿过x轴到第一象限，在x轴负半轴下降到无穷小，然后在x轴正半轴上升到无穷大。

例如，y=x^3的图像是一条对称于第二象限和第四象限的曲线，它穿过x轴的点为(0,0)，在x轴负半轴处下降至无穷小，然后在x轴正半轴处上升至正无穷大。

此外，幂函数的图像与幂指数n的大小也有关系。

当n>1时，幂函数的图像随着x的增大而变得越来越陡峭；当0<n<1时，函数的值越来越趋近于0，图像在x轴正半轴上升得非常慢；当n<0时，幂函数变成一个反比例函数，图像在x轴正半轴下降得很快，但是在x=0处不连续，它们的图像都与x轴无交点。

二、指数函数的图像特征指数函数的一般式子为y=a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图像特征如下：1. 当a>1时，指数函数的图像在x轴正半轴上升，但是在x轴负半轴下降到无穷小。

这是因为指数函数是一个逐渐增长的函数，其值随着x的增大而急速上升。

例如，y=2^x的图像在x=-1处横坐标为1/2，在x=0处横坐标为1，在x=1处横坐标为2，依次类推。

2. 当0<a<1时，指数函数的图像在x轴正半轴上升得非常慢，这是因为指数函数是逐渐逼近0的函数。

高一函数知识点总结奇偶性

高一函数知识点总结奇偶性函数是高中数学中的重要知识点之一，而函数的奇偶性则是函数理论中的一个重要概念。

在高一阶段，学生需要学习和掌握函数的奇偶性相关的知识，本文将对高一函数的奇偶性进行总结。

1. 函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数在定义域内的奇偶性质。

如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数；如果一个函数既不满足偶性质也不满足奇性质，那么这个函数就是既非偶函数也非奇函数。

2. 奇函数的性质奇函数的特点是关于原点对称，即图象关于原点对称。

此外，奇函数在坐标系的第一象限和第三象限的函数值相等，即f(x) = -f(-x)。

3. 偶函数的性质偶函数的特点是关于y轴对称，即图象关于y轴对称。

此外，偶函数在坐标系的第一象限和第二象限的函数值相等，即f(x) = f(-x)。

4. 奇偶函数的判定方法要判定一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过以下方法：- 方法1：利用函数的定义，对于任意给定的x，计算f(-x)和f(x)的值是否相等或相反。

- 方法2：观察函数图象关于x轴的对称性。

如果函数的图象关于x 轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数。

- 方法3：利用导函数的性质。

若函数的导函数是奇函数，则原函数是偶函数；若函数的导函数是偶函数，则原函数是奇函数。

5. 奇偶函数的性质应用奇偶函数在数学和物理中具有重要的应用。

在数学中，奇偶函数在积分计算时可以简化计算过程，同时在函数图象的对称性证明中也起到重要作用。

在物理中，奇函数和偶函数可用于描述对称和非对称的现象，如电荷分布的对称性、波函数的对称性等。

6. 奇偶函数的例子以下是一些常见的奇偶函数例子：- 正弦函数：sin(x)是奇函数，它在区间[-π, π]内关于原点对称。

- 余弦函数：cos(x)是偶函数，它在区间[-π, π]内关于y轴对称。

幂函数的增减性和奇偶性

幂函数的增减性和奇偶性幂函数是高中数学中常见的函数类型，它具有一定的性质和规律。

其中，增减性和奇偶性是幂函数的两个重要特征。

本文将详细介绍幂函数的增减性和奇偶性，并分析其应用和意义。

一、幂函数的增减性幂函数的一般形式为：f(x) = ax^k，其中a≠0，k是实数。

根据系数a和指数k的不同取值，幂函数可以具有不同的增减性。

1. 当a>0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递增。

即随着自变量x的增大，函数值f(x)也随之增大。

例如，当a=2，k=2时，f(x) = 2x^2就是一个典型的上升的二次函数。

2. 当a<0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递减。

即随着自变量x的增大，函数值f(x)反而减小。

例如，当a=-3，k=3时，f(x) = -3x^3就是一个典型的下降的三次函数。

3. 当k<0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上并不具有单调性。

而是随着自变量x的取值增大或减小而出现正负交替的变化。

例如，当a=4，k=-2时，f(x) = 4/x^2就是一个典型的具有正负交替的双曲线函数。

总结起来，幂函数的增减性取决于系数a和指数k的正负以及奇偶性。

当a>0且k为偶数时，函数单调递增；当a>0且k为奇数时，函数单调递减；当a<0且k为奇数时，函数单调递增；当a<0且k为偶数时，函数单调递减。

二、幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性可以通过考察指数k的奇偶性来判断。

1. 当k为偶数时，幂函数f(x) = ax^k是一个偶函数。

即对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)。

例如，f(x) = x^4是一个关于y轴对称的四次函数，无论x取正值还是负值，函数值都相同。

2. 当k为奇数时，幂函数f(x) = ax^k是一个奇函数。

即对于任意实数x，都有f(-x) = -f(x)。

例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的三次函数，当x取正值和负值时，函数值的相反数。

高中数学幂函数知识点

高中数学幂函数知识点高中数学幂函数学问11.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1假如对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.留意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定〔方法〕(A)定义法：a.任取x1，x2∈D，且x1b.作差f(x1)-f(x2);c.变形(通常是因式分解和配方);d.定号(即推断差f(x1)-f(x2)的正负);e.下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义推断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称;b.确定f(-x)与f(x)的关系;c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)a.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值b.利用图象求函数的最大(小)值c.利用函数单调性的推断函数的最大(小)值：假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);.高中数学幂函数学问2一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

6、幂函数与函数的奇偶性

简单的幂函数与函数的奇偶性一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：例1.下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【名师指津】1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．例3.点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?变式练习1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是偶函数。

3、奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有．例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )例5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝13x 5； (2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.例6．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x （x ﹣2），求f （x ）的解析式．【名师指津】判断函数奇偶性的方法变式练习1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2.函数f (x )＝x 2＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数三、函数单调性与奇偶性的综合应用（一）比较大小例1、已知函数f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.0(f f f --的大小关系是__________.（二）解不等式例2、定义在（－2，2）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－2，2）上是增函数，求满足条件0)21()2(>-++m f m f 的实数m 的取值范围。

幂函数的性质与应用

幂函数的性质与应用幂函数是数学中常见的一类函数，具有许多特殊的性质和广泛的应用。

本文将探讨幂函数的性质及其在不同领域中的应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数可以表示为f(x)=ax^n的形式，其中a是常数，n是指数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数，当指数n为整数时，值域是正实数；若n是奇数，值域为全体实数；若n是偶数，值域为非负实数。

2. 对称性：幂函数具有关于y轴的对称性，即f(x)=f(-x)。

这是因为当指数n为偶数时，x的正负变化不会影响结果。

3. 增减性：幂函数增减性取决于指数n的奇偶性。

当n为奇数时，幂函数是单调递增或递减的；当n为偶数时，幂函数在正数区间单调递增，在负数区间单调递减。

4. 极限性质：幂函数的极限性质与指数n的正负有关。

当n>0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近正无穷；当n<0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近零。

二、幂函数在科学和实际应用中的应用幂函数在不同领域中具有广泛的应用，包括物理学、经济学、生物学等。

1. 物理学中的应用：幂函数在描述一些物理现象中经常被使用。

例如，牛顿第二定律F=ma中的力与加速度的关系可以用幂函数表示。

2. 经济学中的应用：幂函数在描述经济增长、收入分配等方面起着重要作用。

例如，GDP与时间的关系可以用幂函数来模拟。

3. 生物学中的应用：幂函数在描述生物体积、生物种群增长等方面被广泛应用。

例如，生物体积与体重的关系可以用幂函数来表示。

4. 数据拟合与回归分析：幂函数可以用来拟合一些非线性关系的数据，并进行回归分析。

通过幂函数可以更好地描述数据的变化趋势和关系。

5. 优化问题：幂函数在一些优化问题中也常被应用。

例如，求解最优投资组合问题时，可以利用幂函数对不同资产的风险和收益进行建模。

三、结论幂函数作为一类常见的函数，在数学中具有一些特殊的性质和广泛的应用。

通过了解幂函数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。

幂函数特点

幂函数特点
幂函数是一种数学函数，形式为y = ax^n，其中a 和n 均为常数，x 为自变量。

其主要特点包括：
1. 奇偶性：当n 为偶数时，函数呈现出关于y 轴对称的偶函数特性；当n 为奇数时，函数呈现出关于原点对称的奇函数特性。

2. 极性：当n 为正整数时，函数呈现出正极性，在x>0 区间内递增；当n 为负整数时，函数呈现出负极性，在x>0 区间内递减。

3. 渐近线：幂函数与坐标轴之间会有渐进线，当n>0 时，函数有一条水平渐近线y=0；当n<0 时，函数有一条竖直渐近线x=0。

4. 变化趋势：随着n 的逐渐增大或减小，幂函数的变化趋势也不同，当n>1 时，函数呈现出快速增长的特性；当0<n<1 时，函数呈现出缓慢增长的特性；当
n<0 时，函数呈现出以一定速率趋近于零的特性。

5. 导函数：幂函数的导函数为y' = anx^(n-1)，可以用来计算函数在任意点上的斜率，也可用于研究函数的变化趋势和性质。

6. 常用形式：n=2 时，函数为二次函数，具有抛物线的特性；n=3 时，函数呈现出典型的三次函数特性。