实验-Z变换、零极点分析
(完整版)实验二z变换及其应用
实验三z变换及其应用3.1实验目的1）加深对离散系统变换域分析——z变换的理解；2）掌握进行z变换和z反变换的基本方法，了解部分分式法在z反变换中的应用；3）掌握使用MATLAB语言进行z变换和z反变换的常用函数。
3.2实验涉及的MATLAB函数1）ztrans功能：返回无限长序列函数x(n)的z变换。
调用格式：X＝ztrans(x)；求无限长序列函数x(n)的z变换X(z)，返回z变换的表达式。
2）iztrans功能：求函数X(z)的z反变换x(n)。
调用格式：x＝iztrans(X)；求函数X(z)的z反变换x(n)，返回z反变换的表达式。
3）syms功能：定义多个符号对象。
调用格式：syms a b w0；把字符a，b，w0定义为基本的符号对象。
4）residuez功能：有理多项式的部分分式展开。
调用格式：[r，p，c]＝residuez(b，a)；把b(z)/a(z)展开成部分分式。
[b，a]＝residuez(r, p, c)；根据部分分式的r、p、c数组，返回有理多项式。
其中：b，a为按降幂排列的多项式的分子和分母的系数数组；r为余数数组；p为极点数组；c为无穷项多项式系数数组。
3.3实验原理１）用ztrans 子函数求无限长序列的z 变换MATLAB 提供了进行无限长序列的z 变换的子函数ztrans 。
使用时须知，该函数只给出z 变换的表达式，而没有给出收敛域。
另外，由于这一功能还不尽完善，因而有的序列的z 变换还不能求出，z 逆变换也存在同样的问题。
例1 求以下各序列的z 变换。
012345(1)(),(),(),21(),()(1)n jw n n n x n a x n n x n x n e x n n n -=====- syms w0 n z a x1=a^n; X1=ztrans(x1) x2=n; X2=ztrans(x2) x3=(n*(n-1))/2; X3=ztrans(x3) x4=exp(j*w0*n); X4=ztrans(x4) x5=1/(n*(n-1)); X5=ztrans(x5)2）用iztrans 子函数求无限长序列的z 反变换MATLAB 还提供了进行无限长序列的z 反变换的子函数iztrans 。
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
z变换实验报告
南昌大学实验报告(信号与系统)学生姓名：肖江学号：6100210030 专业班级：电子103班实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：2012/6/1 实验成绩：Z变换、离散时间系统的Z域分析一、实验目的1、学会用matlab求解z变换与逆z变换。
2、学会离散系统零极点分布图的绘制，理解离散系统零极点分布图的含义。
3、求解离散系统的频率响应特性。
二、实验说明1、一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n),若激励为x(n)=a n u(n)，起始值y(-1)=0,求响应y(n)。
2、当H(s)极点位于z平面中各方框附近的位置，画出对应的h(n)波形填入方框中。
3、求系统差分方程为y(n)-1.1y(n-1)+0.7y(n-2)=x(n-1),的系统的频率响应特性。
三、实验内容1、syms n a b z%定义符号n a b zx=a^n; %定义激励信号X=ztrans(x); %计算激励信号的变换H=1/(1-b*z^(-1)); %写出系统z变换式Y=H*X; %计算输出的变换式y1=iztrans(Y); %计算输出时域表达式y=simplify(y1) %化简表达式2、pos=[26,19,18,17,24,27,13,11,9,23,28,7,4,1,22];figure,id=1; %生成新图框，子图id初始化为1for r=0.8:0.2:1.2 %极点的幅度依次为0.8,1.0,1.2for theta=0:pi/4:pi %极点的弧度依次为0，Π/4，Π/2，3Π/4,Πp=r*exp(j*theta);if theta~=0&theta~=pip=[p;p']; %如果极点不在实轴上添加一个共轭极点end[b a]=zp2tf([],p,1); %由零极点得到传递函数subplot(4,7,pos(id));[h,t]=impz(b,a,20); %计算20个点的单位样值响应stem(t,h,'k-','MarkerSize',5);%绘制单位样值响应id=id+1; %子图序号加1end%退出弧角循环end%退出幅度循环3、a=[1,-1.1,0.7];b=[0,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a) %绘制频率特性4、a=[1,-1.1,0.6];b=[0.6,-1.1,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a); %绘制频率响应n=[0:40]'; %生成时间点x1=sin(0.1*pi*n); %生成单频信号x2=0*n; %准备方波信号x2(mod(n,10)<5)=1; %生成周期为10的方波信号y1=filter(b,a,x1); %分别对两个信号滤波y2=filter(b,a,x2);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x1); %绘制单频信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y1);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x2); %绘制方波信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y2);四、实验结果1、y =(a^(1+n)-b^(1+n))/(a-b)2、输出波形如下3、输出波形如下：4、输出波形如下：五、实验总结通过本次实验的学习，对离散系统有了更多的了解，通过用matlab画出离散系统的零极点分布图，使我对离散系统的零极点分布与其对用的频响特性有了深刻的了解；同时对全通网络的相频失真有了进一步了解，幅度没有失真，但对不同的频率信号的相移不同，因此单频信号输入时，其输出信号的波形没有失真，只是整个波形发生了移位，但对于方波信号，由于其中包含了各种频率的信号，因此不同频率的信号相频失真不同，因此输出波形不再是方波。
利用Z变换分析信号和系统的频域特性.ppt
1 j j n 其中： x () n X ( e ) e d 2 1 j j n X ( e ) e d 微分增量（复指数）： 2
2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性
z 1）因果： R x 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即
图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
例 2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解：
N N 1 z z 1 n n R ( z ) R ( n ) z z N N 1 N 1 1 z z ( z 1 ) n n 0 N 1
第八讲
2.6 利用Z变换分析信号和系统的频 域特性
要点
• 离散系统的系统函数和频率响应，系统函 数与差分方程的互求 • 系统频率响应的意义 • 由系统函数的极点分布分析系统的因果性 和稳定性 • 由系统函数的零极点分析系统的频率特性---系统函数零极点的几何意义
第二章作业
2-1 （1）（3）（4）（6）（7）， 2-2，2-3，2-4，2-5 （1）（3）（5）， 2-6 （1）（3），2-10，2-12，2-13 2-14（2）（3）（6）， 2-16，2-23，2-24，2-28
2e
0 .2 e
j
j
6
4
0 .4
1 .5
1
R e[ z ]
j
0
0.2 e
j
4
解：因果系统： z 2
稳 定 系 统 ： 0 . 4 z 1 . 5
2e
6
2.6.3 利用系统的零极点分析系统的频 率特性
常系数线性差分方程：
ayn ( k ) b xn ( k )
DSP实验报告--离散时间信号与系统的时、频域表示-离散傅立叶变换和z变换-数字滤波器的频域分析和实现-数字
南京邮电大学实验报告实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示离散傅立叶变换和z变换数字滤波器的频域分析和实现数字滤波器的设计课程名称数字信号处理A(双语) 班级学号B13011025姓名陈志豪开课时间2015/2016学年，第1学期实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示实验目的和任务：熟悉Matlab基本命令，理解和掌握离散时间信号与系统的时、频域表示及简单应用。
在Matlab环境中，按照要求产生序列，对序列进行基本运算；对简单离散时间系统进行仿真，计算线性时不变（LTI）系统的冲激响应和卷积输出；计算和观察序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）幅度谱和相位谱。
实验内容：基本序列产生和运算：Q1.1～1.3，Q1.23，Q1.30～1.33离散时间系统仿真：Q2.1～2.3LTI系统：Q2.19，Q2.21，Q2.28DTFT：Q3.1，Q3.2，Q3.4实验过程与结果分析：Q1.1运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并显示它。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.2 命令clf，axis，title，xlabel和ylabel命令的作用是什么？答：clf命令的作用：清除图形窗口上的图形；axis命令的作用：设置坐标轴的范围和显示方式；title命令的作用：给当前图片命名；xlabel命令的作用：添加x坐标标注；ylabel c命令的作用：添加y坐标标注；Q1.3修改程序P1.1，以产生带有延时11个样本的延迟单位样本序列ud[n]。
运行修改的程序并显示产生的序列。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,21) 1 zeros(1,9)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.23修改上述程序，以产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的一个正弦序列并显示它。
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析
实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。
2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。
3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ （1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰（2）MATLAB 中可采用符号数学工具箱ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F 的z 变换。
F=iztrans(Z)求符号表达式Z 的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ （3）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = （4）由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ （5） 3. 离散时间系统的零极点分析MATLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。
此外还可采用MATLAB 中zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数的调用格式为：zplane(b,a) b 、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z 、p 为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。
实验z变换、零极点分析
1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z azz F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H =（3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
第四章Z变换解析
位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就
是 DFT 与频域抽样的关系。
6
4.2 Z变换的收敛域
X
(z)
x(n) z n
n
x(2) z 2
x(1) z
x(0)
x(1) z
x(2) z2
由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。
xp (t) xa (nT ) (t nT ) n
x(n) xa (nT )
p(t) (t nT ) n
4
对 xp (t) 作拉氏变换有： 对 x（n）作 z 变换有：
X p (s) xa (nT )esnT n
X (z) xa (nT )zn n
X (z) ZeST X p (s)
z z3
z
z
1
(z
8 3
z
3)(z
1 3
)
8 3
1 (1 3z1)(1
1 3
z 1)
3
j Im[z]
1 z 3 3
o
Re[ z ]
11
例四、
x(n)
(
1 3
)n
u
(n)
(
1 2
)
n
u
(
n
1)
X (Z ) (1)n z n 1 (1 )n z n
n0 3
n 2
11
1
1 3
z 1
1
1 2
0 r 1.....右半面 单位圆外
0 0...S实轴 正实轴
T
....... 负实轴
5
四。z 变换与 DFT 的关系：
实验一 基于matlab语言的线性离散系统的z变换分析法1(1)
实验一基于MATLAB语言的线性离散系统的Z变换分析法一、实验目的1. 学习并掌握 Matlab 语言离散时间系统模型建立方法；2．学习离散传递函数的留数分析与编程实现的方法；3．学习并掌握脉冲和阶跃响应的编程方法；4．理解与分析离散传递函数不同极点的时间响应特点。
二、实验工具1. MATLAB 软件（6.5 以上版本）；2. 每人计算机一台。
三、实验内容1. 在Matlab语言平台上，通过给定的离散时间系统差分方程，理解课程中Z变换定义，掌握信号与线性系统模型之间Z传递函数的几种形式表示方法；2. 学习语言编程中的Z变换传递函数如何计算与显示相应的离散点序列的操作与实现的方法，深刻理解课程中Z变换的逆变换；3. 通过编程，掌握传递函数的极点与留数的计算方法，加深理解G（z）/z 的分式方法实现过程；4. 通过系统的脉冲响应编程实现，理解输出响应的离散点序列的本质，即逆变换的实现过程；5. 通过编程分析，理解系统的Z传递函数等于单位脉冲响应的Z变换，并完成响应的脉冲离散序列点的计算；6. 通过程序设计，理解课程中脉冲传递函数极点对系统动态行为的影响，如单独极点、复极点对响应的影响。
四、实验步骤1.创建系统How to create digital system g Four examples are as follows:numg=[0.1 0.03 -0.07];deng=[1 -2.7 2.42 -0.72];g=tf(numg,deng,-1)get(g);[nn dd]=tfdata(g,'v')[zz,pp,kk]=zpkdata(g,'v')Unite circle region with distrbuting zeros points and poles points hold onpzmap(g), hold offaxis equal运行结果：2.转换为零极点标准形式Convert from tf(z-function) to zpk(z-function) Part C exercise form gg=zpk(g)[zz,pp,kk tts]=zpkdata(gg,'v')[z,p k,ts]=zpkdata(g,'v')运行结果：3.四个例子Four examples are as follows:Part A exerciseeg1mun=[1.25 -1.25,0.30];eg1den=[1 -1.05 0.80 -0.10];eg1=tf(eg1mun,eg1den,-1);eg1zpk=zpk(eg1);[zz1,pp1,kk1,tts1]=zpkdata(eg1zpk,'v');Part B exerciseeg2mun=[0.84 -0.062 -0.156 0.058];eg2den=[1 -1.03 0.22 0.094 0.05];eg2=tf(eg2mun,eg2den,-1);eg2zpk=zpk(eg2);[zz2,pp2,kk2,tts2]=zpkdata(eg2zpk,'v');Part C exercisezz3=[-0.2 0.4];pp3=[0.6 0.5+0.75i 0.5-0.75i 0.3];kk3=150;tts3=-1;eg3zpk=zpk(zz3,pp3,kk3,tts3);eg3=tf(eg3zpk);Part D exercisezz4=[-0.3 0.4+0.2i 0.4-0.2i];pp4=[-0.6 -0.3,0.5 0.6];kk4=5;tts4=-1;eg4zpk=zpk(zz4,pp4,kk4,tts4);eg4=tf(eg4zpk);4.留数法Residue method and impluse response numg=[2 -2.2 0.65];deng=[1 -0.6728 0.0463 0.4860]; [rGoz, pGoz,other]=residue(numg,[deng 0]) [mag_pGoz,theta_pGoz] =xy2p(pGoz)[mag-rGoz,theta-rGoz]=xy2p(rGoz)G=tf(numg,deng,-1)impulse(G)[y,k]=impulse(G);stem(k,y,'filled');impulse(G)运行结果：5.复杂极点响应When transfer function is G(Z) with complex ,t=t*ts;pole of z=e^(+-j*30*pi/3) and z=-0.5,as well as its gain value is unit step signal,its collecting cycle is 0.5 second,how to analyze its response.gcfts=0.3;num=[1 0.5];den=conv([1 -exp(i*pi/3)],[1 -exp(-i*pi/3)]);g1=tf(num,den,ts)[y,k]=impulse(g1,20);stem(k,y,'filled'),grid运行结果：6.重极点响应How to analyze response with repeating poles dtime=[0:90];y(k+2)-1.8y(k+1)+0.81y(k)=3u(k+1)-1.2u(k) yi=impulse(gstep,dtime)gcfnum=[3 -1.2];den=[1 -1.8 0.81];[rGoz, pGoz,other]=residue(num,[den 0])t=0:60;y=rGoz(2,1).*(t.*(pGoz(2,1).^(t-1)))+rGoz(1,1).*(pGoz(1,1).^(t)) y1=zeros(1,61);y1(1,1)=rGoz(3,1);y=y+y1;t=ts*t;stem(t,y,'filled'),gridSpecial example about difference real pole tosystem response[rGoz,pGoz,other]=residue(num,[den,0])num1=[rGoz(1) 0];den1=[1 -pGoz(1)]gg1=tf(num1,den1,ts)[y,t]=impulse(gg1,50)stem(t,y,'filled'),grid运行结果：7.阶跃响应numg=[2 -2.2 0.56];deng=[1 -0.6728 0.0463 0.4860];g=tf(numg,deng,1);numgstep=[numg 0];dengstep=conv(deng,[1 -1]);gstep=tf(numgstep,dengstep,1)dtime=[0:90];yi=impulse(gstep,dtime)subplot(2,1,1)stem(dtime,yi,'filled')ys=step(g,dtime);subplot(2,1,2)stem(dtime,ys,'filled')dcgain(g)ys_ss=ys(end)ys_ss=ys(max(dtime))运行结果：Example 1: Analysis of subsection input function subplot(1,1,1)num=[2 -2.2 0.56];den=[1 -0.6728 0.0463 0.4860];ts=0.2;g=tf(num,den,ts);dtime=[0:ts:8]';u=2.0*ones(size(dtime));ii=find(dtime>=2.0); u(ii)=0.5;y=lsim(g,u,dtime);stem(dtime,y,'filled'),gridhold onplot(dtime,u,'o')hold offtext(2.3,-1.8,'output')text(1.6,2.3,'input')运行结果：五、实验思考1、根据实验结果，分析离散传递函数不同极点的时间响应特点。
第10章Z-变换
[例]：求 Xz z2z10.5可能的收敛域及对应的逆变换 解：X z ( z ) z 3 ( z 1 0 . 5 ) z A 3 z B 2 C z 1 z D 0 . 5 z 2 3 z 4 2 z 8 1 z 8 0 . 5
X(z)2z24z18 8z z0.5
因果序列的ROC是某个圆的外部包括∞
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不
包括 z 0。
若 r0 RO，C ，r1 则 r有0
N1 x(n)r1n
n
N1
x(n)r0n
n
(r0)n r1
N1
n
x(n)r0n
(r0)N1 r1
r1ROC
当 N 1 0时，由于 X ( z 的) 展开式中包括有Z的负
4
3
如果极点为高阶极点呢？
国内教材介绍的部分分式法
1. 基本公式：
①因果序列 anunz za
za
n (n 1 ( )m ...( n 1 )!m 2 )a n m 1 u n z z a mz a
②反因果序列 bnun1 z zb
zb
记忆方法： 两边对a求导
n ( n 1 ( ) m ...( n 1 ) ! m 2 )b n m 1 u n 1 z z b m z b
上一个以原点为中心的圆环。
例5. 有限长序列 x ( n ) ( n 1 ) ( n ) ( n 1 )
X (z)[(n 1 )(n )(n 1 )]z n 1 1 z
n
z
ROC:0z
(n) 1 ROC:0z
R O C :0z , fo rm 0
(nm)zm
R O C :0z , fo rm 0
数字信号处理实验报告
《数字信号处理》实验报告实验一：Z 变换及离散时间系统分析给定系统)8.0/(2.0)(2+-=z z H ，编程并绘出系统的单位阶跃响应y(n),频率响应)e (jw H 。
给出实验报告。
实验代码clear;x=ones(100); t=1:100;b=[0 0 -0.2 ]; a=[1 0 0.8]; y=filter(b,a,x); (t,x,'r.',t,y,'k-'); grid on ;ylabel('x(n) and y(n)') xlabel('n')单位阶跃响应单位抽样：b=[0 0 -0.2 ]; a=[1 0 0.8];[h,t]=impz(b,a,70);stem(t,h, '.')幅頻，相频b=[0 0 -0.2 ];a=[1 0 0.8];[H,w]=freqz(b,a,256,1);Hr=abs(H);Hphase=angle(H);Hphase=unwrap(Hphase); subplot(211)plot(w,Hr);grid on;ylabel(' 幅频.')subplot(212)plot(w,Hphase);grid on; ylabel(' 相频')零极点图:b=[0 0 -0.2 ];a=[1 0 0.8];subplot(221);zplane(b,a);实验二：快速傅里叶变换设x(n)由三个实正弦组成，频率分别是8Hz,9Hz,10Hz,抽样频率为60 Hz,时域取256点，作FFT变换，观察波形，给出实验报告。
实验代码：clear all;N=256;f1=8;f2=9;f3=10;fs=60;w=2*pi/fs;x=sin(w*f1*(0:N-1))+sin(w*f2*(0:N-1))+sin(w*f3*(0:N-1)); subplot(3,1,1);plot(x(1:N/4));f=-0.5:1/N:0.5-1/N;X=fft(x);=ifft(X);(3,1,2);plot(f,fftshift(abs(X)));subplot(3,1,3);plot(real(y(1:N/4)));实验三：无限冲击响应数字滤波器设计设计一个数字带通滤波器，参数自定。
实验四_Z变换
实验四 Z 变换【实验目的】 通过MATLAB 仿真离散时间系统，研究其时频域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零极点分布概念和理解。
【实验原理】1.Z 变换原理（1）.Z 变换 在数字信号处理的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域分析方法。
后者通常指Z 变换和傅里叶变换法。
变换域分析的最大优点是将离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化，也使得对系统的特性分析更为方便。
对于离散时间信号，设序列为x (n )，则其Z 变换定义为： ，其中z 为复变量，是一个以时部为横坐标，虚部为纵坐∑+∞-∞=-=n n z n x z X )()(标构成的平面上的变量。
Z 变换记作，X (z )存在的z 的集合称为收敛域])([ )(n x z X Z =（ROC ），一般为+-<<x x R z R 由于ROC 是由定义的，因此一般为环形区域。
根据ROC 的特点，可以判定序列是右边序z 列、左边序列、双边序列等。
Z 变换具有一些重要的特性，是傅里叶变换的推广，包括线性、时移特性、频移特性、尺度变换、共轭、翻褶、Z 域微分、序列相乘、序列卷积等一系列性质。
（2）.系统函数离散线性时不变（LTI ）系统的系统函数H (z )定义为：H (z ) = Z[h (n )] = (4.4)∑+∞-∞=-n n z n h )(若用差分方程表示系统，则有 )k -n (b )k -n (a M 0k k N0k x y k ∑∑===如果系统起始状态为零，直接对上式的两边Z 变换，并利用移位特性，有 ∑∑=-=-==N 0M 0)()()(k k k k k k z a z b Z X z Y z H 因此，系统函数H (z )的分子和分母的系数正好等于差分方程的系数。
归一化，即使得0a y (n )前的参数为1，此时可以对上式的分子、分母进行因式分解，可得∏∏=-=-=N k k M m z z z H 1111m )p -(1)c -(1K )(得到系统的增益函数K 、零点、极点。
实验Z变换、零极点分析
1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；一、 实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
z变换极点对应频率
z变换极点对应频率介绍z变换是数字信号处理中一种常用的分析方法，用于将离散时间域信号转换为复平面上连续的频域表示。
在z变换中，极点（pole）是表示系统时域特性的重要概念，它们对应着系统的频域响应中的共振频率。
本文将深入探讨极点与对应频率之间的关系以及其在信号处理中的应用。
z变换和极点简介z变换将离散时间域中的离散信号转换为复平面上的频域表示，用于分析和设计数字滤波器、求解差分方程等。
它可以将离散时间域信号表示为复平面上的频谱函数，其中包含了信号的幅度和相位信息。
极点是z变换中的重要概念，表示系统的时域特性。
它们是使得系统输出无穷大的输入值，也是系统的共振频率。
极点的数量和位置决定了系统的稳定性、频率响应特性和滤波器的性能等。
极点对应频率的计算在z变换中，极点的位置可以通过求解系统的特征方程得到。
特征方程是由系统的差分方程得到的，通过将差分方程进行z变换后得到。
以一个一阶差分方程为例，其差分方程形式为：y[n] = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] - a1 * y[n-1]其中，y[n]是系统的输出，x[n]是系统的输入，b0、b1、a1分别为系统的系数。
对上述差分方程进行z变换，得到特征方程：Y(z) = b0 * X(z) + b1 * z^-1 * X(z) - a1 * z^-1 * Y(z)特征方程可以表示为：Y(z) - a1 * z^-1 * Y(z) = b0 * X(z) + b1 * z^-1 * X(z)将Y(z)和X(z)看作变量，可以得到特征方程的形式：H(z) = Y(z)/X(z) = (b0 + b1 * z^-1)/(1 - a1 * z^-1)特征方程的形式表明，极点的位置由分母的根决定，即由特征方程的分母因式表示。
分母因式为1 - a1 * z^-1，当这个方程等于零时，即可以求得极点对应的z值。
极点对应的频率可以通过将z值代入单位圆上的频率计算出来。
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（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将)(z H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：)())(()())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k z H ------= （3-3） 【实例3】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为16.032.0)(2+++=z z z z H 试用MATLAB 命令求该系统的零极点。
解：用tf2zp 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为B=[1,0.32];A=[1,1,0.16];[R,P,K]=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为32.0=z ，极点为8.01=p 与2.02=p 。
若要获得系统函数)(z H 的零极点分布图，可直接应用zplane 函数，其语句格式为：zplane(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量。
它的作用是在Z 平面上画出单位圆、零点与极点。
【实例4】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为68.052.136.0)(22+--=z z z z H ，试用MATLAB 命令绘出该系统的零极点分布图。
解：用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为B=[1,0,-0.36];A=[1,-1.52,0.68];zplane(B,A),grid onlegend('零点','极点')title('零极点分布图')程序运行结果如图3-1所示。
可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。
2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z 变换建立了时域函数)(n h 与z 域函数)(z H 之间的对应关系。
因此，z 变换的函数)(z H 从形式可以反映)(n h 的部分内在性质。
我们仍旧通过讨论)(z H 的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
【实例5】 试用MATLAB 命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应)(n h 的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。
图3-1 零极点分布图（1）72.02.1)(23+-=z z z z H 解：MATLAB 源程序为b3=[1,0];a3=[1,-1.2,0.72];subplot(1,2,1)zplane(b3,a3)title('极点在单位圆内的共轭复数')subplot(1,2,2)impz(b3,a3,30);grid on;figure程序运行结果分别如图3-2的（a ）所示。
(a)当极点位于单位圆内时，)(n h 为衰减序列；当极点位于单位圆上时，)(n h 为等幅序列；当极点位于单位圆外时，)(n h 为增幅序列。
若)(n h 有一阶实数极点，则)(n h 为指数序列；若)(n h 有一阶共轭极点，则)(n h 为指数振荡序列；若)(n h 的极点位于虚轴左边，则)(n h 序列按一正一负的规律交替变化。
（三）离散时间LTI 系统的频率特性分析图3-2 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列)()sin()(n u n A n x ω=，则系统的稳态响应为)()](sin[|)(|)(n u n e H A n y j ss ωϕωω+=。
其中，()j H e ω通常是复数。
离散时间系统的频率响应定义为)(|)(|)(ωϕωωj j j e e H e H = （3-4）其中，|)(|ωj e H 称为离散时间系统的幅频特性；)(ωϕ称为离散时间系统的相频特性；)(ωj e H 是以s ω（T s πω2=，若零1=T ，πω2=s ）为周期的周期函数。
因此，只要分析)(ωj e H 在πω≤||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。
MATLAB 提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz ，调用freqz 的格式主要有两种。
一种形式为[H,w]=freqz(B,A,N)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量；N 为正整数，默认值为512；返回值w 包含],0[π范围内的N 个频率等分点；返回值H 则是离散时间系统频率响应)(ωj e H 在π~0范围内N 个频率处的值。
另一种形式为[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)与第一种方式不同之处在于角频率的范围由],0[π扩展到]2,0[π。
【实例6】 用MATLAB 命令绘制系统8109.056.19028.096.0)(22+-+-=z z z z z H 的频率响应曲线。
解：利用函数freqz 计算出)(ωj e H ，然后利用函数abs 和angle 分别求出幅频特性与相频特性，最后利用plot 命令绘出曲线。
MATLAB 源程序为b=[1 -0.96 0.9028];a=[1 -1.56 0.8109];[H,w]=freqz(b,a,400,'whole');Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(211)plot(w,Hm),grid onxlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude')title('离散系统幅频特性曲线')subplot(212)plot(w,Hp),grid onxlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Phase')title('离散系统相频特性曲线')程序运行结果如图3-3所示。
1、计算9.0||,))9.01()9.01()(121>+-=--z z z z X 的Z 反变换。
提示：b=1;a=poly([0.9 0.9 -0.9]);[r,p,k]=residuez(b,a)图3-3 离散系统频响特性曲线实验内容因此得到9.0||9.0125.0)9.01(5.09.0125.0)(1211>++-+-=---z z z z z X 相应的 )()9.0(25.0)1()9.0)(1(95)()9.0(25.0)(1n u n u n n u n x n n n -++++=+ 2、已知某离散系统的系统函数为3.0005.05.012)(232+--++=z z z z z z H 试用MATLAB 求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，求系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统的是否稳定。
1、讨论极点与系统稳定性的关系？根据程序运行结果判断该系统的稳定性。
2、根据实验程序的运行结果写出z 反变换x(n)。
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