九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

第十三讲 反比例函数

第一部分 知识梳理

一、反比例函数的解析式

1．反比例函数的概念

一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1

-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质

3．反比例函数中反比例系数的几何意义

①过双曲线x k

y =

(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。

②过双曲线x

k

y =(k ≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三

角形（如图）的面积为2

k ．

③双曲线x

k

y =

(k ≠0) 同一支上任意两点1P 、2P 与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形1221P P Q Q 的面积．

第二部分 例题与解题思路方法归纳

【例题1】 已知函数()5

21-+=m x m y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值

是（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．±2

D ．2

1

-

〖难度分级〗A 类

〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=

k x

k y 。由于11

-=x x ，所以反比例函数也可以写成

1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。（1）k

＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．

〖参考答案〗解：∵函数()5

21-+=m x

m y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，

y

x

O

Q

C B A

P

∴⎩⎨⎧+-=-0

1152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．

【课堂训练题】

1．（2000•甘肃）已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类

〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=

∴y=k 1x+

∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5，

∴⎩⎨⎧=+-=-53121

21k k k k ，∴⎩⎨⎧==2121k k 。

∴2

2

-+

=x x y 。 2．定义：已知反比例函数x k y 1=

与x

k

y 2=，如果存在函数x k k y 21=（k 1k 2＞0）则称函数

x

k k y 21=

为这两个函数的中和函数。

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为x

y 2

=，并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大。 （2）函数x y 3-=和x

y 12-=的中和函数x k y =的图象和函数y =2x 的图象相交于两点，试

求当x

k

y =

的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围。 〖难度分级〗B 类

〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为，

并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大． ∴答案不唯一，如y=

x 1-与y=x

4-等； y=x 3

-

（2）∵

y=

x

3-和y=x 12-的中和函数 y=x 6，

联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧

==

x

y x y 26，

解之得两个函数图象的交点坐标为（3，32）（3-，32-），结合图象得到当x

k

y =的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围是3-＜x 或30＜＜x ． 【例题2】如图所示是反比例函数x

n y 4

2-=

的图象的一支，根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n 的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），如果a 1＜a 2，试比较b 1和b 2的大小．

〖难度分级〗B 类

〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题

〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．

〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；

（2）把点的坐标代入反比例函数求出n 值，即可求出函数解析式；

（3）根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，在每个象限内，函数值y 随x 增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n ﹣4＞0，解得：n ＞2 （2）将点（3，1）代入x n y 42-=得：3

4

21-=n ，解得：n=； （3）∵2n ﹣4＞0，

∴在这个函数图象的任一支上，y 随x 增大而减小，