物理竞赛复赛模拟训练卷19

物理竞赛复赛模拟训练卷19

题1： 如图1所示，轻滑轮两边分别悬挂相同的托盘和砝码。系统处于静止状态时右边砝码挂在盘底上方L 处，然后右边砝码由于细线断裂而自由落下，已知每个托的 质量和砝码的质量都是M ，绳子与滑轮无摩擦且重量不计。求： （1）当右边砝码撞击盘底前一瞬间系统的总动能； （2）碰撞前后系统的总动量。 分析与解答：

首先应明确，系统挂在定滑轮上，所以碰撞过程中，系统的总动

量不守恒。右盘的上方砝码开始下落过程，右盘也同时上升。

（1）依题意，系统指轻滑轮、细绳、托盘和砝码所组成的系统。以地面上一点O 为原点，建立直角坐标系xOy 进行观察研究（图1(1)。右边砝码线断后自由下落

，与右盘相撞，且有

（1）

当悬线断后右盘以加速度 上升一段距离s 2，与下落的砝码相撞，且：

（2）

由题意可知：

（3）

将 (1)、(2)、(3)式联立求解，得

，

碰撞前右砝码的速度

（竖直向下）

碰撞前右盘的速度

（竖直向上）

碰撞前左盘及其中的砝码的速度亦为 ，方向为竖直向下，因此，碰撞前系统的

总动能

为

图1

图1(1)

（2）在计算动量时，若以竖直向上为正值，则在碰撞前后砝码的动量为，右盘的动量为，左盘及左砝码一起的动量为，所以碰撞前系统的总动量为

碰撞后，左盘和右盘一起运动。由于左盘、右盘以长度不变的绳子相连接，所以它们运动的速度大小应该一样，而方向相反，再加上质量相等（2M），结果左盘及砝码的合动量与右盘及砝码的合动量总是大小相等、方向相反，因而系统的总动量必为零。

讨论：碰撞后的速度可推导如下：设在碰撞过程中绳子张力的冲量为，碰撞后左盘以速度竖直上升，则右盘以竖直下降。左、右绳中的张力永远相等，所以在碰撞过程中左、右盘所受的冲量都是竖直向上的，重力的冲量则由于碰撞时间很短（）而可以忽略不计。根据冲量定理，有

左盘

右盘

两式相减，得

点评：本题在碰撞过程中动量不守恒，因为在滑轮轴上有一很大的冲力（对系统来说这是外力），它给系统的冲量不等于零，所以系统的总动量应该不守恒。

题2：设曲面S是由曲线绕x轴转动的结果。如图2(a)所示。曲面两侧的光学均

匀媒质的折射率分别为n和。

1、如果所有平行于x对称轴（光轴）的平行光线经曲面折射后相交于x轴上一点，则曲面称为无像差曲面。假定所有光线都聚焦于F点，并已知和OF=f的值。求曲线

所满足的方程。考察时的情况并分析结果。

2、球面会聚透镜只能使傍轴光线聚焦于一点。如果我们

要使宽光束会聚于一点，我们就需要有一个无像差曲面透镜。

有一折射率n=1.5的平凸透镜。半径R=5cm，如图2(b)所示，

使一束垂直入射于平面的平行光束聚焦于F点，其中

OF=f=12cm。求平凸透镜中心处厚度的最小值。

3、有一折射率n=1.5的平凹透镜，半径R=2cm，边缘厚

度，如图2(c )所示，如果垂直入射于平面的平行光束，经折射后，折射光线的延长线交于F点，其中OF=f=20cm，求平凹透镜中心处厚度的最小值。

分析与解答：

1、假定离O点无限处的点发出一束平行于x轴的平行光线，从点到F点所有光线的光程都相等。现考虑一入射光线交于曲面上的A点的半径为x和y，它的光程为

常数（1）

而，对于所有光线，所以

常数（2）

利用图4-3-131（），我们可写为

；（3）

从（2）式和（3）式得

常数（4）

对于沿x轴的光线，有（5）

图2(a) 图2(b) 图2(c )

从（4）式和（5）式可得

（6）

将（6）式中

移至等式右边，两边平方，即得

（7）

一般说，（7）式是一椭圆方程，于是曲面S 是旋转椭球面，（7）式也可以是抛物面或双曲面的方程，这取决于 ，n 和f 的值。

当

时，从（7）式可得 （8）

这时，曲面是一抛物面反射镜。所以抛物面镜不仅可使傍轴光线聚焦于一点，而且也可使宽光束聚焦于一点。

2、根据1.所描述的方法，从图2( d )可得

（9）

对于y=R,x=0，从（9）式可得

3、由透镜凹面折射后产生发散光束，可视为从焦点F 处的点光源像所发出的光束。显然，yOZ 平面和以F 为中心，FA 为半径的球面是两个波面。通过这两波面之间的所有光线是等光程的，见图2(f )。

；

；

（10）

对于y=R,x=d ，从（10）式可得

题3：试计算由于氢原子在辐射时反冲产生的光子波长的变化，电子从第二轨道跃迁到第一轨道时，氢原子获得多大速度？

图2( f )

图2(d )

分析与解答：设、分别为原子放射光子前后的能量，氢原子的质量为M，氢

原子的反冲速度为，则在氢原子最初是静止在坐标系中，应用放射光子过程的能量和动量守恒定律，得

（1）

（2）

根据，（1）式可写成

（3）

由（2）式得

（4）

将（4）式代入（3）式得

（5）

又，，

考虑到«，则有

下面再求原子的反冲速度。

根据题意，电子从第二轨道跃迁到第一轨道，因此谱线波长有

（6）

将（6）式代入（4）式得

题5：原子束将炉子中的一群原子加热到某一温度T，并让这些原子沿水平方向通过炉子侧面上一个直径为D的小孔射出（D的尺寸与原子尺度相当），从而形成一束原子束，当这束原子束行经水平长度为L的距离时，估算这束原

子束的直径。设原子的质量为M，

分析与解答：由于微观粒子的波动性，当原子束中

的原子通过小孔时，其运动方向会改变，其空间轨迹类

似于圆锥状，由不确定关系估算原子通过小孔时的

，进而算出运动距离时原子束的直径。

当原子束通过直径为的孔时，由量子力学不确

图5

定关系，其动量的分量

，，

相应的速度分量

，，

原子束的直径增大了量值，其中为行进时间。

当炉温为时，原子离孔时的动能

，，

，，

原子束以速度行进距离，需时，故

，

或以上述相应其他量代入的表达式，因而原子束行进距离后的新直径为